第2期 常用逻辑用语-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（北师大版）

高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 数理括 答案详解 2025~2026学年 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期(2025年7月) 3.由韦恩图可知，阴影部分表示(CB)∩A, 第1期2版 CB={1,3},所以(CB)∩A={1 专项小练一 4.根据空集概念可知0⑦，故(A)错误；因为2+1=0 1.ACD;2.D;3.B;4.{(1,-2)};5.6 无实根，所以x1x2+1=0}=0,且00，故(B)错误；空 6.解：(1){x∈R11<x<10 集是任何非空集合的真子集，故(C)正确；当A=B时，A∩B (2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为 =AUB,故(D)错误 {(x,y)1x<0,且y>0. 5.若ACB,则2≤a.故选(D) (3)xl x=3n+1,nE N. 6.由题意，集合M={x1-1≤x≤4}，V={x1x<2}, 专项小练二 则MUW={xlx≤4}，MnN={xl-1≤x<2}, 1.D:2.CD;3.B;4.[0,4];5.①③. 所以M☒N={x I x E M U N且x年MnN}={xIx 6.解：(1)由题知，A={x1-2≤x≤5}， <-1或2≤x≤4} 当xeZ时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}共8个元素， 7.A={(x,y）12x-y+m≥0，CB={(x,y）1x+y-n≤ 所以A的非空真子集的个数为2-2=254个 0}, (2)由题知，显然m-1<m+1,因为B二A, 由于P(2,3)eA∩(CB), 所以m+1≤5，解得-1≤m≤4， 所以2×2-3+m≥0，则m≥-1， lm-1≥-2， 2+3-n≤0， ln≥5， 所以实数m的取值范围是[-1,4]. 所以m+n≥4，即m+n的最小值为4. 专项小练三 8.由题可得x=√5,2，√2+n,√1+n, 1.D;2.BCD;3.A;4.8;5.{-3,-1,0,1,2. 又集合A⊙B有3个元素， 6.解：(1)因为AUM=R, 当2=√2+n,即n=0时， 所以s0, 解得-3≤a≤0， A⊙B={5,√2,1}满足题意； la+8≥5， 当2=√个+n,即n=1,n=-1(舍去)时， 所以实数a的取值范围是[-3,0]. (2)CM={xI0≤x≤5}， A⊙B={5,√2}，不符合题意； 因为BU(CM)=B,所以CMCB, 当5=√1+n,即n=±√2时， 所以 8-b<0解得b>8, A⊙B={5,2,2}满足题意； b>5, 当5=2+n,即n=1,n=-1(舍去)时， 所以实数b的取值范围是(8，+∞). A⊙B={5,√2}，不符合题意. 第1期3,4版 综上，ne{0,2,-2}, 集合同步核心素养测评 故所构成集合的非空真子集的个数为23-2=6. 一、单项选择题 二、多项选择题 1 ~4 ACCC 5~8 DCCB 9.AC;10.BD:11.BCD. 提示： 提示： 1.由题意可得A=0,1,2,3,4},所以A二B. 9.因为M军P, 2.由题意可知B≤A, 所以MUP=P,故(A)正确； 则AUB=A={x∈RIx≠3} 因为M军P,所以P口M=M, 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 而M至V,故(B)错误； 四、解答题 因为NP, 15.解：(1)由题得a2+4a+2=7,解得a=1或a=-5. 所以CRP手CRN,故(C)正确； 因为a>0,所以a=1.当a=1时，B={0,7,3,1}. M军N,如右图所示， (2A中的元素是x=1。白，。eB a 所以N∩CRM表示的集合为①，不是空集，故(D)错误. 故选(A)(C) 所以a1。-6>4,即1-2沙>4所以6<-子 a 10.由已知条件可得A*B=1,2,3,4,5}. 0E(A*B),(A)错； 所以实数6的取值范图是(-”，-号) U={1,2,3,4,5},则CB={3,4,5}, 16.解：满足{3}B≤{3,4,5}的集合B可以是3,4}， 故(CB)∩A={3},(B)对： {3,5},{3,4,5}.U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={2,4,6,8}, BCM≤(A*B),即1,2}二MC1,2,3,4,5},则满足 (1)填“B=3,4}”时，可得AUB=2,3,4,6,8, 条件的集合M有：1,2}，1,2,3}，1,2,4}，{1,2,5}，1,2， 因为CB=1,2,5,6,7,8,9}, 3,4,{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8个，(C)错： 所以An(CuB)=2,6,8}; A*B中所有元素之和为1+2+3+4+5=15，(D)对. (2)填“B=3,5}”时，可得AUB=2,3,4,5,6,8, 故选(B)(D). 因为CB=1,2,4,6,7,8,9}, 11当a=0时，B={0},BCA,所以A与B构成“全食”； 所以An(CB)={2,4,6,8}; 当a>0时，B={。a}如果a=1,则-日=-1 (3)填“B={3,4,5}”时，可得AUB=2,3,4,5,6,8, 因为CB={1,2,6,7,8,9,所以An(CB)=2,6,8. B:-1,1,4与B构成全食°；如果a=2,则-。=-之 1 17.解：(1)若A∩B=3}, 则3∈{xlax-1=0},3∈{xlx2-2x+b=0}, B={-22},此时A与B构成“偏食”： 所以3a-1=0,9-6+b=0, 当a<0时，如果a=-1,则-1=1，B={-1,1},BG 解得a=号6=-3， 所以B={x「x2-2x-3=0}={-1,3}. A,所以4与B构成“全食如果a=-2,则-。=分，B (2)若A≠⑦，则a≠0， {分，-2}，所以选项()错误放选(B)(C(D). 此时A={xlax-1=0} } 三、填空题 又AUB=B,所以ACB, 12.-2;13.1,3,5,6,8}；14.27. 即2∈xx2-2x+6=0 提示： 12.因为M={-2,0,2,4},N={xlx≥m}且M∩N=M, 片名+6=0， 所以MCN,则m≤-2，所以m的最大值为-2. 4=4-46≥0， 13.由题可得X∩Y={3}, 所以实数a和6满足的关系式为6：一吉+名(6≤). 1 则X*Y=C(XnY)={1,2,4,5,6,7,8}, 又{1,2,4,5,6,7,8}∩{2,4,7}={2,4,7}， 18.解：(1)由题意知：CRA={xl-3≤x≤7}， 所以(X*Y)*Z=1,3,5,6,8}. 因为(CRA)UB=CRA,故B∈(CRA) 14.由题意知，第一天售出但第二天未售出的商品有17-3 ①当B=☑，即m+1>2m-1时， =14种， 满足BC(CRA),此时m<2; 第二天售出但第一天未售出的商品有13-3=10种， ②当B≠O时，若BC(CRA), 所以前两天共售出的商品有14+10+3=27种， rm+1≤2m-1, 第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种， 则m+1≥-3，解得2≤m≤4， 所以第三天售出但第二天未售出的商品有14-5=9种， 2m-1≤7， 因为9<14， 综上所述，实数m的取值范围为(-∞，4]. 所以这9种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品 (2)因为(CA)∩B={x1a≤x≤b},且b-a≥1， 时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为27. 故B≠☑，即m+1≤2m-1, —2 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 解得m≥2，则m+1≥3,2m-1≥3. (2)“线段的长度都能用正有理数表示”为全称量词命题， ①当2m-1≤7，即m≤4时， 它是假命题，如线段的长度也可以是2， (CRA)∩B=B={xlm+1≤x≤2m-1}, (3)“3x>1,x2-2>0”含有存在量词，故它是存在量词 故2m-1-(m+1)≥1，解得3≤m≤4； 命题，当x=3时命题成立，故此命题为真命题， ②当2m-1>7即4<m≤6时， 6.解：(1)若A∩B=B,则BCA, lm+1≤7， (CRA)∩B={xIm+1≤x≤7}， 当B=②时，则2m≥1-m,所以m≥子， 故7-(m+1)≥1，解得4<m≤5； ,2m<1-m, ③当m+1>7,即m>6时，(C4)∩B=⑦，不合题意. 当B≠0时，则2m≥1，则m不存在， 综上所述，实数m的取值范围为[3,5]， 1-m≤3， 19解，0)架合{生2}是复话 综上m≥号肌以AnB≠B,实数m的范国为(-，号) 理由如下： (2)因为Vx1eA,3x2∈B,使得x1=2, 因为15.山，5=15+1,5.-1 所以ACB,且A≠⑦，则 2m≤1， 所以m<-2, 2 2 (1-m>3, 所以年合{之，}是复活集 所以实数m的范围为(-∞，-2). 第2期3,4版 (2)由a1,a2}为“复活集”，设a1+4=aa2=t, 常用逻辑用语同步核心素养测评 因此a1,a2是一元二次方程x-x+t=0的两个不等正根， 一、单项选择题 于是△=2-4t>0,且t>0,解得t>4, 1~4 BDAA 5~8 ADAC 所以a1a2的取值范围是(4，+∞) 提示： (3)不妨设A中元素a,(i=1,2,3)满足a1<a2<a, 1.“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不 显然a1a2a3=a1+a2+a3<3a, 是充分条件 因为a,eN,则aa2<3,a1a∈N, 2.哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不 所以a1a2=2,且得a1=1,a2=2, 可以表示成两个质数之和” 则2a3=3+a3,解得a3=3, 3.对Hx>3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a,所以 所以“复活集”A={1,2,3}. a≤3. 第2期2版 4.由A=B可得x=x2,解得x=0或x=1. 专项小练一 所以“x=I”是“A=B”的充分不必要条件. 1.B;2.BD;3.B;4.AD; s[-] 5.由a>b+1→a>b,但a>b无法得出a>b+1,(A) 满足；由a>b-1,a2>b2均无法得出a>b,不满足“充分”； 6.解：(1)由1x+1「<2，解得-3<x<1, 由a>b3台a>b,不满足“不必要”. 所以p:-3<x<1, 6.当{x11≤x≤2}时， 当a=2时，x-5<0即x<5,所以q:x<5, 所以同时满足条件P,9的实数x构成的集合即为公共部分 +x-号-a=分(+2-2-@ 的实数x构成的集合， 即为x1-3<x<1 则当x=2时，分+-子-a取得最大值务-， (2)因为p是q的充分条件，且p:-3<x<1,9:x<2a+1, 依题意，多-a≥0，解得a≤子， 所以{xI-3<x<1}≤{xIx<2a+1}, 所以2a+1≥1，解得a≥0， 因此命题“31≤x≤2，分+x-子-a≥0为真命题 故实数a的取值范围是[0，+∞). 专项小练二 的充要条件是a≤弓，(C)错误； 1.C;2.D;3.B;4.BC. 显然a≤0，a≤1分别是该命题为真命题的一个充分不必 5.解：(1)含有量词“至少”，故它是存在量词命题，99既能 要条件，(A)(B)错误； 被11整除，又能被9整除，故此命题为真命题。 a≤3是该命题为真命题的一个必要不充分条件，(D)正确. 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 7.因为A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必分成[0]，[1]，[2]，[3]共4类，故Z=[0]U[1]U[2]U 要条件，D为A的必要条件，所以A=B,B→C,C←=D,D=A,即[3]，故(C)正确； A=B与C=D=A 若整数a,b属于同一“类”， 对于(A),若B为C的必要条件，即B=C,则 则a=4n1+k,n1∈Z,b=4n2+k,n2∈Z, A=BC=D=A,所以A、B、C、D互为充要条件，则A、B、C、D中 则a-b=4(n1-n2)+0,所以a-b∈[0]； 的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，故(A) 反之，不妨设a=4n1+k1,n1eZ,b=4n2+k2,n2eZ, 正确； 则a-b=4(n1-n2)+(k,-k2), 对于(B),若B为A的必要条件，即B=A,则 若a-be[0],则k-2=0,即k1=k2, A一B一C=D=A,易得B不是C的必要条件，故(B)错误； 所以整数a,b属于同一“类”， 对于(C),若C为D的充分条件，即C→D,则 故整数a,b属于同一“类”的充要条件是a-be[0],即 A=B→CD=A,易得B不是C的必要条件，故(C)错误； (D)正确.故选(B)(C)(D). 对于(D),若B为D的必要条件，即B=D,则 三、填空题 A=B=C=D=A且B=D,易得B不是C的必要条件，故(D) 12.3x>0,使x+1≤√x;13.1;14.a≤1. 错误。 提示： 8.因为p(a,b)=0, 13.由条件p:lx|≤m,可得-m≤x≤m.条件q:-1≤ 所以√a+b-a-b=0,即a2+6=a+b, x≤4，若p是g的充分条件，则-m≥-1，且m≤4，解得0< 显然a+b≥0， m≤1，则m的最大值为1. 所以a2+b2=a2+b2+2ab,所以ab=0,且a≥0，b≥0， 14.若“0是集合M=x1ax2+2x+1=0,aeR}的真 所以p(a,b)=0是a与b互补的充分条件； 子集”， 当a与b互补时，则有a≥0，b≥0，且ab=0, 所以M={xlar2+2x+1=0,a∈R}≠⑦， 所以a,b中至少有一个数为0， 所以方程ax2+2x+1=0有实数解， 所以a2+b2=(a+b)2,即+b2=1a+b1=a+b, 当a=0时，由2x+1=0可得x=分，符合题意： 所以p(a,b)=√+b-a-b=(a+b)-(a+b)=0, 当a≠0时，由4=4-4a≥0可得a≤1，所以a≤1且 所以p(a,b)=0是a与b互补的必要条件， a≠0. 所以p(a,b)=0是a与b互补的充要条件. 综上所述：M={xlaa2+2x+1=0,aeR}≠⑦的充 二、多项选择题 要条件为a≤1； 9.BCD;10.BD;11.BCD. 即“☑是集合M={xIax2+2x+1=0,a∈R}的真子 提示： 集”成立的充要条件为a≤1. 9.“实数都大于0”的含义是“所有实数都大于0”，所以它 四、解答题 的否定应该是“存在实数不大于0”，所以(A)错误； “三角形外角和为360度”的含义是“所有三角形外角和 15解：)当m=子时，8={号≤≤6}， 为360度”，所以(B)正确； 又CA=xIx<-2或x>5}, 同理(C),(D)也正确. 所以(CRA)∩B={xI5<x≤6. 故选(B)(C)(D). (2)因为命题p:x∈A,命题q:x∈B,p是q的必要条件， 10.命题“3x∈M,x>3”为假命题， 所以BCA, 则命题“Hx∈M,x≤3”为真命题，可得MC{xlx≤3}， rm+1≤2m-1, 命题“Hx∈M,x<0或x>1”为真命题， 所以m+1>2m-1或{m+1≥-2， 则MC{xx<0或x>1}, 2m-1≤5， 所以{xIx<0或x>1}∩{xlx≤3}=x1x<0或 解得m<2或2≤m≤3， 1<x≤3}，显然，(B),(D)选项中的集合为x|x<0或1< 所以实数m的取值范围为(-∞，3]. x≤3}的子集.故选(B)(D). 16.解：(1)由条件A={-1<x<3},p是q的充要条件， 11.由2024=4×506可得，2024∈[0]，故(A)错误； 由-2=4×(-1)+2可得，-2∈[2]，故(B)正确； 得4=B,即-m=-1, 解得m=2, lm+1=3, 所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况，刚好 所以实数m=2. 4 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 (2)由p是q的充分不必要条件，得A军B, 若x+y=0或x+y=1时，显然(x+y)2eA; rm>0, rm >0 若x+y≠0或x+y≠1时，显然(x+y)2∈A, 所以 1-m≤-1，或{1-m<-1,解得m>2, 可得2xy=(x+y)2-x2-y2∈A, *m+1>3 m+1≥3， 所以eA,由(2)得 综上实数m的取值范围是(2，+∞). 2xy 时+站∈4，所以奶后4 17.解：命题“Hm∈R,使得AnB=☑”为真命题. 综上：xy∈A. 当a<0时，集合A=xI0≤x≤a}=☑，符合A∩B 故若x,y∈A,则必有xy∈A. =0: 第3期2版 当a≥0时，因为m2+3>0,所以由Hx∈R,A∩B= 专项小练一 ☑，得a<m2+3, 1.A;2.C;3.ACD; 所以a<(m2+3)n=3,则0≤a<3. 4.a+b+c≤130且abc≤72000； 综上，实数a的取值范围为(-0,3. 5.(-0,-1)U(1,+∞) 18.解：(1)A={x|x2+5x-6=0}={-6,1}, 6.证明：(a+√b)2=a+b+2√ab, 若m=0,则B={x1x2+2x-3=0}={-3,1}, (e+a)2=c+d+2cd, 此时AUB={-6,1,-3}, 由ab=cd,a+b>c+d, 所以AUB的所有子集为☑，{-6}，1}，{-3}，{-6， 得(a+6)2>(+√a)2, 1},{-6,-3},{1,-3},{-6,1,-3 所以a+b>√+a. (2)若“xeA”是“x∈B”的必要条件，只需BCA. 专项小练二 ①若B中没有元素即B=☑， 则4=4(m+1)2-4(m2-3)=8m+16<0, 1.B:2.A;3.BD,47:52万 此时m<-2,满足BCA; 6.解：由x>0, ②若B中只有一个元素，则△=0，此时m=-2. 则B=x1x2-2x+1=0=1},此时满足B二A; 则3x+3x+3.3 ③若B中有两个元素，则4>0，此时m>-2. 因为A中也有两个元素，且B二A,则必有B=A={-6, ③ =2+5, 1}, 2×-32-3 由韦达定理得-6×1=m2-3,则m2=-3,矛盾，故舍去。 当且仅当x=√3时，等号成立， 综上所述，当m≤-2时，B≤A. 所以实数m的取值范围为(-，-2]. 所以a≥ 3x x2-3x+3m =2+5, 19.(1)解：集合B不是“好集”，有理数集Q是“好集”， 故a的取值范围为[2+√5，+0). 理由如下： 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2生B, 第3期3,4版 所以集合B不是“好集”. 不等式性质，基本不等式同步核心素养测评 因为0∈Q,1∈Q,对任意x∈Q,y∈Q,都有x-y∈Q, 一、单项选择题 且x≠0时，e0 1~4 BCCA 5~8 BDCD 提示： 所以有理数集Q是“好集” 1.因为a>0,所以a+。+1≥2√a日 +1=3, (2)证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A,若x,y∈A, 则0-y∈A,即-y∈A,所以x-（-y)∈A,即x+y∈A. 当且仅当a=上即a=1时取等号. a (3)解：命题为真命题理由如下： 2.若使得该项投资的总收益率是增加的， 若x,y中有0,1时，显然有xy∈A, 下设，y中不存在0,1，由定义得x-1,文∈A, a+x ，(a>0,b>0,x>0),得a>6 则+x>6, 所以士De4则(-)e4 1 3.令x-y=m,2x-y=n,则=n-m, Ly n -2m, 由(2)得x(x-1)+x=x2∈A,同理y2eA. 因为-4≤x-y≤-1，-1≤2x-y≤5， 高一数学北师大（必修第一册） 第1~4期 即-4≤m≤-1，-1≤n≤5， 因为四≤(P） ≤4，且(p△q)2≤p9, 所以2≤-2m≤8，则1≤n-2m≤13，即1≤y≤13. 4.因为a>2,可得p=a+ a-2=(a-2)+1 所以p△q≤2. -2+2 综上(D)正确.故选(D) ≥2√a-2) a-2+2=4, 二、多项选择题 9.ABC;10.BD;11.AC. 当且仅当。-2=，2时，即0=3时，等号成立即p≥4. 提示： 又由9=-b2-2b+3=-(b+1)2+4,所以g≤4， 对(A).因为6>a>1,所以片<日<1，(A0正确： 所以p≥g. 对水).因为c<d<-1,所以>日>-1，()正确： 5因为实数a,6e满足心+≤子e≤1 对(C),因为c<d<-1,所以-c>-d>0, 所以a+b+c≥a+b+4(a2+b2) 所以-bc>-ad,所以ad>bc,(C)正确； 对(D),a=2,b=3,d=-2,c=-3时， a+d=b+c=0,(D)错误. 当a=一=令时等号成立。 故选(A)(B)(C) 10.由题知-2+2<a+b+2a-b<4+8, 所以a+6+c的最小值为-日 所以0<3a<12,所以0<a<4,故(A)正确； 6.因为a2>a1>0,b2>b1>0, 因为-8<b-2a<-2,-4<2a+2b<8, 所以ab1+ab2-(ab2+ab1)=a(b-b1)-a1(b2-b) 所以-12<3b<6,所以-4<b<2,故(B)不正确； =(a2-a1)(b2-b1)>0, a 2b m(a +b)n(2a-b), ab+azb2>ab2 +azb, a +26 =(m 2n)a (m-n)b, m= 5 又a1+a2=1,b1+b2=1, 所以1=(a1+a)(b+b2) 所以=m+2n所以 (2 =m-n, 1 =a1b1+a1b2+a2b1+a2b2 n=-3 =(a1b1+a2b2）+(a1b2+a2b1), 所以a+26=号(a+)-合(2-， 所以2(ab2+a2b1)<(a1b1+a2b2)+(a1b2+a2b1)< 2(a1b1+a2b), 又-9<a+)<9号<2a-号 所以a6+a.b<分，a6,+a4>分，所以B<C<A 所以-<-2a-6)<-子 7.设该直角三角形的斜边为c=2√2，直角边为a,b, 所以-6<a+2b=寻a+b)-合(2a-)<6, 则a2+2=c2=8, 故(C)正确，(D)错误.故选(B)(D). 因为2ab≤a2+b2,所以a2+62+2ab≤2(a2+b2), 11.设从A地到B地的距离为S,S>0, 即(a+b)2≤16， 因为a>0,b>0,所以a+b≤4， 2 2 S(V+V:).T:=- = 当且仅当a=b=2时，等号成立 根据题意可知工=六+=2Y 所以该直角三角形周长为a+b+c≤4+22， 易知满足子（化+）=5则工= 即a=b=2时周长取最大值4+22， 由V>0,V2>0可得， 此时三角形的面积为7×2×2=2 T= y+2≥2s匹-s 2V V 2≥2V1V, E=T2, 8.对于(A)(C),不妨取m=1,n=5,则m△n=1,排除 =+2成E3 S (A)(C): 对于(B),取p=1,9=3,则p7q=3,可排除(B)； 即可得T≥T2≥T3,即(A)正确，(B)错误： 对于(D),因为m+n≥2√mn≥4，且2(m7n)≥m+n, 易知TT3= S(y+V),2S。S2 所以m7n≥2， 2y2·y+7= 6 高一数学北师大（必修第一册） 第1~4期 所以最小值为1+号 +=+ .1 2VV2,+ 四、解答题 2S 15.解：(px+qy)2-(p2+gy2) 4VV2+(y+V2)2 =p(p-1)x2+q(g-1)y2+2pqxy, 2S(1+2), 因为p+q=1,所以p-1=-9,9-1=-p, 所以(px+9y)2-(px2+9y2)=-p四(x2+y2-2xy） =-p9(x-y)2 故选(A)(C) 因为p,9都为正数，所以-pg(x-y)2≤0， 三、填空题 因此(px+qy)2≤px+qy2,当且仅当x=y时等号成立. 2(-2,-3): 12:1+号 16.(1)证明：因为a2+2b2+1-2b(a+1)=a2+262+ 提示： 1-2ab-2b=a2-2ab+b2+b2-2b+1=(a-b)2+(b-1)2 12.由于a>b>c,且a+b+c=0, ≥0， 所以a>0,c<0,b=-a-c, 当且仅当a=b=1时，等号成立， 所以a2+262+1≥2b(a+1). -a-c<a→2a>-c曰￡>-2， (2②解：由题意可得，空=2即a+1+6+1=6, <-2 -a-c>c→-a>2c=a 则a+)(6+1可≤a+1+6+1=3, 2 所以-2<台<- a 当且仅当a=b=2时，等号成立， 设N=✉{2+宁} 所以a+1,b+1的几何平均值的最大值为3. 17.解：(1)因为x,y都是正数 则2x+3y≥2√2x·3y=2√6y,即2√6xy≤3， 3 因x>0y>0,则得2y(告+宁)≤0 解得：≤冬，当且仅当2=3y x=4 时取等号， 义因2y(4+）≥2y·号=8，所以N≥8， y=2 当且仅当：=2专+宁=2即=2=1时等号成立， 所以的最大值为号 放m,2号+宁}的最小值为2 (2公)由y都是正数，且x>y+安2可得： 14.易知△BDE△ACB,△GFH△ACB, *y=y*2y=-*2)(+分)-2 且BD=CD-BC=b-a,GF=a, 所0片+名宽号么 3 2 所以4=b,”x(a+b+c),4=合×(a+6+c), 时等号成立， b 当且仅当，，= y=2 所以+女=4+6+c-1+尽+E a +b a+b a +b 所以x+y的最小值为2. a2+62 18.解：(1)设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm, 1 =1+√a+6+2ab =1+ 2ab 1+ a2+6 则/子≥10%， 又因为a2+≥2ab,所以2ab a+b=220, a2+6s1, 当且仅当a=b时取等号， 所以6≤102%=10a,所以a+6=20≤a+10a, 所。治≥1+乐-1+ 1 所以a≥20. 2 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 (2)设a和b分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积，n 故a的取值范围为(-6,2). 表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， (2)当a=0时，y1=x2,y2=3>0,符合题意； 由题意得：0<a<b,n>0, 当a<0时，由y1=x2-2ax>0,解得x<2a或x>0, 则g+n-g=ab+b加-ab-an=n(b-a 故当2a≤x≤0时，2=ax+3-a>0恒成立，而y2在 b+n b b(b+n) b(b+n)' R上随x的增大而减小，故只需y3的最小值大于0，即3-a> 因为b>0,n>0,所以b(b+n)>0, 0,而由a<0,得3-a>0,故a<0符合题意： 又因为a<b,所以n(b-a)>0, 当a>0时，由y=2-2ax>0,解得x<0或x>2a, 因哈+日-合>0，+投>台 b+n 故当0≤x≤2a时，y2=ax+3-a>0恒成立，而y2在 所以窗户和地板同时增加相等的面积，公寓的采光条件变 R上随x的增大而增大，故只需y2的最小值大于0，即3-a> 好了. 0,解得0<a<3, 19.（1)解：由x2-1比1远离0， 综上a的取值范围是(-∞，3). 则1x2-1-01>11-01, 第4期3,4版 解得x<-√2或x>√2， 预备知识核心素养综合测评 所以x的取值范围是(-∞，-√2)U(2,+0) 一、单项选择题 1~4 ACDD 5~8 ADCC (2)证明：若证a3+b3比a2b+ab2远离2ab√ab, 提示： 即证1a2+b2-2ab√ab1>1a2b+ab-2ab√ab1, 1.由(x+1)(x-3)<0,可得-1<x<3. 因为a≠b,a>0,b>0. 则a3+b>2a6=2ab√ab, 2由x≠0，可得2>0.则2+≥2√F 2=2, 且a2b+ab2>2ab=2ab√ab, 当组仅当即x=士1时，等号成立， 所以即证a3+b-2ab√Jab>a2b+ab2-2ab√ab, 即证a3+b3>a2b+ab2, 放+的最小值为2. 又a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+b)>0, 3.对于(A),由a<0<b两边同乘以a,得a2>ab,故(A) 所以a2+b3>a2b+ab2, 错误； 即1a3+b3-2abab1>1a2b+ab2-2ab√/ab1, 对于(B),(C),a2-b2=(a+b)(a-b),因为a<0<b, 即a3+6比a2b+ab2远离2ab√ab. 所以a-b<0,但a+b的符号不确定，故(B),(C)错误； 第4期2版 对于(D),a<0<b两边同乘以b,得ab<b2,故(D) 正确， 专项小练 4.因为MCA≤N, 1.C:2.B:3.A;4.B;5.D:6.ABD: 所以A可以是1,2,3}，{1,2,3,4}，1,2,3,0}，1,2,3， 7.C;8.0. 7},{1,2,3,0,4},{1,2,3,0,7},1,2,3,4,7},{1,2,3,0,4, 9.解：(1)由题可知x1=1,x2=b是方程ax2-3x+2= 7},共8个，故选(D) 0的两个解，且a>0, 5.因为PnQ=Q,所以Q≤P, 1+6=3 所以 解得01， 又因为P≠Q,所以Q军P 1×6=2 1b=2. (A)因为QP,所以VxeQ,有x∈P,正确； (B)因为Q军P,所以不存在xP,使得x∈Q,不正确； (2)由(1)知原不等式为x2-(m+2)x+2m<0, (C)因为Q军P,所以不存在x∈Q,使得x生P,不正确； 即(x-m)(x-2)<0, (D)若Q={1,2},P={1,2,3},显然4Q,4生P,不 当m>2时，不等式的解集为x|2<x<m; 正确， 当m=2时，不等式的解集为☑； 故选(A). 当m<2时，不等式的解集为xm<x<2}. 6.由x+2≤0得x≤-2， 10.解：(1)由题意可得y1+2=-ax+3-a>0恒成立， 所以不等式x2+(a+1)x+a≤0的解集是{xlx>-2} 则4=(-a)2-4×1×(3-a)<0, 的子集 即a2+4a-12=(a+6)(a-2)<0,解得-6<a<2, 由x2+(a+1)x+a≤0，得(x+a)(x+1)≤0， —8 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 当a=1时，xe{-1}C{x|x>-2},符合题意； 由定义可知A-B=A时，x∈A→x∈A-B→xB,所以An 当a>1时，xe{xl-a≤x≤-1}C{xlx>-2}, B=☑，故(B)正确；当A-B=☑时，x∈A→x∈B→ACB, 则-a>-2,1<a<2: 故(D)正确.故选(B)(D): 当a<1时，xexl-1≤x≤-a}二{xlx>-2},符 10.对于(A),当m=0时，不成立，故(A)错误； 合题意， 对于(B),当c<0时，不成立，故(B)错误； 综上所述，实数a的取值范围为(-0,2)， 对于(C),由ab>0知a,b同号， 7.因为a2+62=k,所以a2+(b2+1)=k+1, 当a>b>0时，日<合 所以+（云2）（告 当6<a<0时，片<合放C)正确： 9 4(6+1 9a2 a a2 62+1 对于(D),由ab>0知a,b同号， +13=25, 当a,b<0时，a2>b2等价于a<b<0, 当仅心= 所以片>合，故(D)信误故选(A)(B)(D)。 a 即3动=2（公+D=号(k+)时等号成立. 11.对于(A),f(2,4)=2×(1+4)=10, f4,2)=4×(1+2)=12, 哈+云≥ 9 25 即f2,4)<f4,2),故(A)错误； 由题症可得：克≥1，又>0，解得0<4长24， 对于(B)(）=1+)=文+x≥2 故k的最大值为24. 当且仅当文=，即x=1时，等号成立，放(B)正确： 8令y=(4+m-2)(3x+n-D. 对于(C)f(x-a,2x)=(x-a)(1+2x)=2x2+(1- 2a)x-a≥-a-2恒成立， 若n>子，则e[m,， 即2x2+(1-2a)x+2≥0恒成立， 则4=(1-2a)2-16≤0， 于是(m-4)(n-4) <0,与题意矛盾， 解得-子≤a≤号，故(C)错误： 所以n≤4， 1 对于(D),由题可知存在x≥2，使得2x2+(1-2a)x+2≤ 此时3数+n-1<n-1≤0，那么4状+m分≤0恒成立， 0成立， 设y=2x2+(1-2a)x+2,因为x=0时，y=2>0, 代人mn知4m2+m-≤0，解得-立≤m 1 1 2a-1<2, 则①4 所以-子≤m≤n≤子， 2×22+(1-2a)×2+2≤0， 所以A-m≤子-()=圣 2a-1≥2， 或②4 4=(1-2a)2-16≥0， 当m=-=时。 由①解得350<号.由②解得a产 9 y=(4-0(3x-子）=12(-3)(x-)(+ 综上，得a的取值范围是[3，+o),故(D)正确. 故选(B)(D). 分）=0对V:e{-分≤x≤号}何成立，满足题意， 三、填空题 综上可得，n-m的最大值为子 12-2:1B.414[-2,-3） 二、多项选择题 提示： 9.BD;10.ABD;11.BD. 12.由题意可知2-ax+b=0有两个实数根x1=-1,x2 提示： =2, 9.当A={1,2},B=3}时，A-B=A,B≠0，故(A)错 由根与系数的关系，则x2=b=-2. 误；当A=1},B=1,2}时，A-B=O,A≠B,故(C)错误； 13.因为abc=2a+b+c,2a+b=2ab, 9 高一数学北师大（必修第一册） 第1~4期 所以c=2a+b=2ab ab-1ab-1s、3 当a≠0时，>0， 解得0<a≤4， l4=a2-4a≤0， 所以A={a10≤a≤4}. 又2ab=2a+b≥2√2a·b, 18.解：(1)因为y=x2-(a+4)x+4a=(x-4)(x-a), 解得ab≥2，所以c≤4，c的最大值为4. 所以y<0,即(x-4)(x-a)<0. 14.因为T=(1,-1)=-2,T(4,2)=1, 当a=4时，不等式y<0的解集为☑； 所写片-2，投治=1，解得a=16=3。 当a>4时，不等式y<0的解集为xI4<x<a}; 当a<4时，不等式y<0的解集为x1a<x<4}. 所以T2m.5-4m）=2mt3x5:4m）≤4， (2)由题意，关于x的方程x2-ax+4a=0有两个不等的 4m+5-4m 正根， 解得m≥宁 r4=a2-16a>0, 由韦达定理知{ m+n=a>0,解得a>16. Tm,3-2m)=m+3×(3,2m>P,解得m<9-3P mn=4a>0, 2m+3-2m 51 因为不等式组恰有3个整数解， 则1 十 m n nm 所以2<9,3P≤3，即-2≤P<-分 5 m+4=4+4)(+）=45+0+）： 则实数P的原值范用是【-2，~专) 因为m>0,n>0,所以0+只≥2√册·费 4n.m=4, m n 四、解答题 当且仅当m=2m,且 11 15.解：(1)因为命题“x∈R,不等式x2-2x-m≤0”成 m+元=4， 立是假命题，所以命题的否定“VxeR,不等式2-2x-m> 即m=12,n=6时，等号成立， 此时a=18>16,符合条件，则m+4n≥36. 0”成立是真命题，即4=4+4m<0,解得m<-1,所以实数 综上，当且仅当a=18时，m+4n取得最小值36. m的取值集合A={mlm<-1}. 1 (2)因为集合B={mla-4<m<a+4},又由题知集 19解01。+中=中+中行 合B是集合A的真子集，即4+a≤-1，解得a≤-5，所以实数 =6 a的取值范围是(-∞，-5]. 46+6=1 16解：(1)由题意，x万元投人A产品， (2)因为abc=1, 所以原方程可化为ab+a+ac+c+b+ 5ax 5bx 则100-x万元投入B产品，则 y=m+为=18-0+0 5bex 5 b(ca+c+1)=1, =38-180-x 元+10-5，t∈(0,100). ++5=1, 5bx 5bcx (2)由(1)得，y=38-180 /180 x+10-5 -=40- x+l0+ 所以3c送=1，即5x=1,解得=分 1 +b +bc )0-2×号 =28, 的。6+1器0别 (3)M=ab+1 b 当组仅当，。专0即=20时等号成立 =125+36+12 b 2h+g+3 所以当x=20时，公司利润最大. 17.解：(1)因为x1,x2是方程ax2-ax+1=0的两个不等 因为26+占≥2√26·石=22，当组仅当26=六 实根，所以a≠0,4=a2-4a>0,所以a<0或a>4,x1+为 =16=女所以写+写=（禹+户-245=1- 即6、。 。=名=厅时，等号成立， a 2<0. 因为名>0或-分< 所以2b+÷有最小值2万， 此时 1 有最大值3-22， 所以1->1或<1-<1 2b++3 a 所以号+号的取值范用为（分，1）U1,+∞)。 从而1-1 26+ 有最小值22-2， 6+3 (2)若非P为真命题，所以Hx∈R,ax2-ax+1≥0恒成立， 1 当a=0时，1≥0恒成立； 即M=+。++2%有最小值25-2 1017.(15分)已知集合A={x|0≤x≤a,集合B={x|m2+ 18.(17分)已知集合A={xlx2+5x-6=0,B={x1x2+ 19.(17分)若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①0 3≤x≤m2+4},如果命题“Hm∈R,使得A∩B=☑”为真命题 2(m+1)x+m2-3=0. EA,1EA:②若，y∈A,则x-y∈eA,且x≠0时，∈A 求实数a的取值范围. (1)若m=0,写出AUB的所有子集； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围 (1)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是否是“好集”， 并说明理由； (2)设集合A是“好集”，求证：若x,y∈A,则x+y∈A; (3)对任意的一个“好集”A,判断下面命题的真假，并说明理 由；命题：若x,y∈A,则必有xy∈A 高中数学·必修第一册（北师大版）同步棱心素养测评 高中数学·必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：郭晓红 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 数评橘 2025年7月11日·星期五 高中数学 第 2期总第1146期 北师大 必修（第一册） 凿穿大山 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/川F)邮发代号：21-167 从前有个石匠，他 题库 a≥ 的妻子嫌他卑微，并且 解得 4 所以a≥ 3 没有远大的志向，所以 子集关系 PK) a≥2 就撇下了石匠和幼小 充要条件 评注：当所给条件中的二次不等式无法进 行因式分解时，可先把“p是g的充分条件”转化 的女儿跟别人跑了。 ◎福建杨苍洲 为“P二Q”,然后利用二次函数的图象得到不等 这个石匠一直以 设p的结果可用集合P表示，g的结果可用 要条件 式，进而求解参数范围 来都是靠着手艺吃饭， 集合Q表示，则 评注：当条件所给的式子不是最简式时，需 变式四：已知p:1≤x≤3,9：x2-ax-3a< 他没有依托没有资本 (1)若PCQ,则p,即p是q的充分条件； 要将其进行等价转化，然后再判断 0,且p是g的必要条件，则a的取值范围是 在妻子走后的日子仿 (2)若P2Q,则p=g,即p是g的必要条件： 变式二：已知p:|x-21≤1,9：x2+(a 3)x-3a≤0(a>-3),且p是g的充分条件，则 解析：因为p是g的必要条件，所以Q二P (3)若PQ,则P是g的充分不必要条件； 佛都是坚硬的、粗糙 设f(x)=x2-ax-3a, (4)若P吴Q,则p是g的必要不充分条件 a的取值范围是 解析：由题知p:1≤x≤3,9： -a≤x≤3， 因为p:1≤x≤3,9：x2-ax-3a<0,所以 的、低能的。 (以下例题中的P均表示p的结果，Q均表示g 因为p是g的充分条件， (1)若Q=⑦，则4=a2+12a≤0， 但是有一天，那是 的结果) 解得-12≤a≤0： 所以PCQ,所以-a≤1 一个北风呼啸的冬日 例题：已知P:1≤x≤3,9：-1≤x≤3，则 即a≥-1. (2)若Q≠0， p是g的 条件 4=a2+12a>0 石匠的家里非常冷，石 评注：当所给条件中的二次不等式含有参 解析：由题易知P是Q的真子集，所以p是g 数时，依然应该优先考虑因式分解，用参数表示 匠的女儿要洗脸。石匠 的充分不必要条件 则1≤≤3， 解得aeO. 出不等式解集的范围，再把“P是g的充分条件” 就端着盆子一趟又一 评注：解题时，需分清P是Q的子集还是真 f1)≥0， 转化为“P二Q”,进行求解 f(3)≥0. 趟到外面取雪，然后再 子集，它们所对应的结论分别是“p是g的充分 变式三：已知p:lx-21≤1,9：x2-ax-3a 综上，a的取值范围是[-12,0]. 条件”和“p是q的充分不必要条件”，两者是不 捧进屋，生火、化雪，最 ≤0，且p是q的充分条件，则a的取值范围是 评注：解题时要注意审题，准确地将充要条 一样的 件转化为对应的子集关系是成功解题的关键 后他拿起一条柔软的 变式一：已知p:|x-21≤1,9：x2-2x-3 解析：因为p是g的充分条件，所以P二Q. 编后语：从集合的角度来认识充要条件，用 毛巾，仔细地擦净女儿 ≤0，则p是q的 条件 设f(x)=x2-ax-3a, 子集的关系来判定充要条件，可以让我们更容 的小脸。 解析：由题设条件得p:1≤x≤3，g:- 因为p:l≤x≤3,9：x2-ax-3a≤0， 易地掌握充要条件的判定方法，相信同学们掌 ≤3 所以由二次函数图象可知1)≤0， 握了上面的判定技巧，再对付充要条件时一定 石匠的心境是悲 所以P是Q的真子集，所以p是9的充分不必 f(3)≤0， 可以手到擒来 凉的，石匠的大手是粗 糙的，但这丝毫没有减 新题影 是乙的充要条件，则甲的条件中应删除的一部 同理可得两个空也可分别填④和③：②和④】 分是 (3)从一个相等，另一个不相等考虑：均不 损他对女儿的爱，在没 有妻子的日子里，他 新题连看 解：由“kx2-2x+6k<0对x∈R恒成立”，则满足.综上可知，答案是①和⑤；或⑥和⑤；或 (1)当k=0时，即-2x<0,不等式显然不恒②和③：或④和③；或②和④ 样把生活整理得有板 成立： 四、综合型 (2)当k≠0时， 则应为 有眼，有滋有味。 例4为了激发同学们的兴趣，老师在上课 他虽然一无所有， 江西王 静 「k<0, 时在黑板上写出了三个集合：A={x1x(口x 一、跨学科型 4=4-4k·6k<0, 解得k<-6 6 但是他常说的一句话 1)<0,B=x12-3x-4≤0，C={x0 例1“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采 综上可知，甲的条件中应删除的一部分是飞 就是：“我能把大山凿 撷，此物最相思！”这是唐代诗人王维的《相思》 > 6 },然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台 <x<2了 穿。” 诗，在这4句中，哪句可作为命题 6 上，并将“口”告诉了他们，要求他们各用一句话 (A)红豆生南国 (B)春来发几枝 三、开放型 试问一个能凿穿 来描述，以便同学们能确定该数.以下是甲、乙 (C)愿君多采撷 (D)此物最相思 例3设关于实数x,y有下列关系式：①x+y 大山的人，谁敢言其卑 解：第1句“红豆生南国”是陈述句，意思是=0；②x2+y2>0;③xy>0;④xy≠0；⑤x2+ 丙三位同学的描述.甲：此数为小于6的正整数： “红豆生长在中国的南方”，这在唐朝时是事实，y=0;⑥xy=0.试写出： 是 乙：A是B成立的充分不必要条件；丙：4是C成 大启示：当一个人 故本句可作为命题 的必要不充分条件（只需填出一个即可） 立的必要不充分条件.若老师评说这三位同学 第2句“春来发几枝”是疑问句，故本句不 解：可从三个方面考虑： 说的都对，试求“口”中的数 把爱倾注在生命里，灵 可作为命题， (1)从相等关系考虑：x+y=0不能推出x 解：由甲的描述，知0<口<6，且口∈Z,① 魂的高度就逾越了 第3句“愿君多采撷”是祈使句，故本句不+y2=0,而x2+y2=0→x+y=0,故x+y= 三个集合可化简为： 切障碍。只要肯拿出积 可作为命题. 0是x2+y2=0的必要不充分条件.可分别填① A={x0<x<},B=x-1≤x≤ 极向上的态度去开拓， 第4句“此物最相思”是感叹句，也不可作和⑤. 为命题. 同理，y=0不能推出x2+y2=0,而x2+ 4},C= {x0<x<2} 什么样的高度也能踩 所以选(A) y2=0=→xy=0,故xy=0是x2+y2=0的必要 在脚下。 二、探索型 不充分条件.可分别填⑥和⑤. 由乙的描述，知≤4，得口≥4 例2条件甲“k<- 6或k>6 (2)从不等关系考虑：x2+y2>0不能推出 6 :条件乙y>0,而y>02+y2>0.所以2+>0是 由丙的描述，日>分得口<2， ③ kx2-2x+6k<0对x∈R恒成立”，则要使甲y>0的必要不充分条件.可分别填②和③ 将①②③联立，解得口=1. 2 素养专练 (B)p:x,y均为无理数，g:x+y为无理数 专项小练一、必要条件与充分条件 (C)p:I a+bl=l al+l bl,q:ab >O 1.常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”.就此 (D)p:函数y=ax2+bx+c图象经过点(1， 话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的 ）0),9:a+b+c=0 (A)充分不必要条件 5.已知不等式m-1<x<m+1成立的充分 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 条件是？<x<?,则实数m的取值范围是 (D)既不充分也不必要条件 2.(多选)下列命题为真命题的是 ( 6.设p:|x+11<2,g:x-(2a+1)<0. (A)A∩B≠O是ACB的必要条件 （1)若a=2,求同时满足条件p,g的实数x构 (B)x>√2是x>1的充分不必要条件 成的集合； (C)m≠0是mn≠0的充分条件 (2)若p是g的充分条件，求实数a的取值 (D)a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是 范围. a=b=c 3.下列选项中，使x-1丨<2成立的一个必 要不充分条件是 (A)-1<x<3 (B)-3<x<3 (C)0<x<3 (D)0<x<4 4.（多选)下列选项中，P是g的充要条件的有 () (A)P:△ABC两边上的高相等，g:△ABC是等 腰三角形 1期2版参考答案 则3∈{xax-1=01,3∈{xx2-2x+b=0, 专项小练一 所以3a-1=0,9-6+b=0, 1.ACD;2.D;3.B;4.1(1,-2);5.6 解得a=子，6=-3， 6.解：(1)x∈R|1<x<10. (2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为 所以B=1x1x2-2x-3=0={-1,3 (x,y)1x<0,且y>0. (2)若A≠0，则a≠0， (3)xl x=3n+. 专项小练二 此时4=1as-1=0-(日}. 1.D:2.CD;3.B;4[0,4];5.①③ 又AUB=B,所以ACB, 6.解：(1)由题知，A=x1-2≤x≤5， 当x∈Z时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}共8个元素， 即片。摆1f-x+b:0,所宁2+6=0， 所以A的非空真子集的个数为28-2=254个. 4=4-46≥0， (2)由题知，显然m-1<m+1,因为BCA, 所以实数a和b满足的关系式为b=-京+。(b≤1)， 所以m+1≤5，解得-1≤m≤4， a .m-1≥-2， 18.解：(1)由题意知：CRA={x1-3≤x≤7， 所以实数m的取值范围是[-1,4]。 因为(CRA)UB=CRA,故BC(CRA). 专项小练三 ①当B=0,即m+1>2m-1时， 1.D;2.BCD;3.A;4.8;5.-3,-1,0,1,2. 满足BC(CRA),此时m<2; 6.解：(1)因为AUM=R, ②当B≠⑦时，若BC(CRA), 所以s0, 解得-3≤a≤0， la+8≥5， 则12”解得2≤n4 所以实数a的取值范围是[-3,0] 2m-1≤7， (2)CuM=xI0≤x≤5引， 综上所述，实数m的取值范围为(-©，4] 因为BU(CeM)=B,所以CMCB, (2)因为(CRA)nB=xla≤x≤b},且b-a≥1， 所以8,0，解得6>8 故B≠☑，即m+1≤2m-1, 解得m≥2，则m+1≥3,2m-1≥3. 所以实数b的取值范围是(8，+0). ①当2m-1≤7，即m≤4时， 1期3,4版参考答案 (CRA)∩B=B={xIm+1≤x≤2m-1|, -、单项选择题1~4ACCC5~8DCCB 故2m-1-(m+1)≥1，解得3≤m≤4； 二、多项选择题9.AC;10.BD;11.BCD. ②当2m-1>7即4<m≤6时， 三、填空题 m+1≤7， (CRA)∩B={xIm+1≤x≤7， 12.-2;13.{1,3,5,6,8};14.27. 四、解答题 故7-(m+1)≥1，解得4<m≤5： 15.解：(1)由题得a2+4a+2=7,解得a=1或a=-5. ③当m+1>7,即m>6时，(CRA)∩B=☑，不合题意 因为a>0,所以a=1.当a=1时，B={0,7,3,1. 综上所述，实数m的取值范围为[3,5]. (2)A中的元素是x=1b,由bB, a 9解：集合{5，}是复活案 2 所以a.1- -b>4,即1-2b>4,所以b<-立 3 理由如下： 因为1+5.15=1+5+15：-1， 所以实数6的取值范围是(-，一之） 2 2 2 2 16.解：满足3BC3,4,5引的集合B可以是3,4,3， 所以集合{去5,25}是“复活集 2 2 5,3,4,5.0=1,2,3,4,5,6,7,8,9,4=2,4,6,8, (2)由{a1,a2为“复活集”，设a1+2=a12=t, (1)填“B=3,4}”时，可得AUB=2,3,4,6,8 因此41，凸2是一元二次方程2-x+t=0的两个不等正根， 因为CB=1,2,5,6,7,8,9, 于是4=2-41>0，且t>0,解得1>4， 所以An(CuB)=2,6,8; 所以a1a2的取值范围是(4，+0). (2)填“B=3,5”时，可得AUB=2,3,4,5,6,8}, (3)不妨设A中元素a(i=1,2,3)满足a1<a2<a3, 因为B=11,2,4,6,7,8,91, 显然a1a2a3=a1+a2+a3<3a3, 所以An(CB)=2,4,6,8; 因为a∈N,则a4<3,aa,∈N (3)填“B=3,4,51”时，可得AUB=2,3,4,5,6,8}, 所以142=2，且得a1=1,a2=2, 因为CuB={1,2,6,7,8,9,所以An(CuB)={2,6,8. 则2a3=3+a3,解得a3=3, 17.解：(1)若A∩B=3, 所以“复活集”A=1,2,3. 举 (3)3x>1,x (-8 ++8) AOD:VN.6 =)-+8) (B)(-8.二 3.香合批：a8Ek.2+26+2-m50楼 (C)hP:yR=N.6/-74+250 -784270 ：：N.-7842/0. 7.已知有A、B、C、D四个命题，其中A为B的必要条件，B为C的 14.“☑是集合M={x|ax2+2x+1 =0,a∈R的真子集”成 常用逻辑用语 充分条件，C为D的必要条件，D为A的必要条件.若增加条件使得A 立的充要条件的是 B、C、D中的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，则这 四、解答题：本题共5小题，共77分 同步核心素养测评 个条件可以为 15.(13分)已知集合A={xI-2≤x≤5}，B=x1m+1≤ (A)B为C的必要条件 (B)B为A的必要条件 ≤2m-1. O数理报社试题研究中心 (C)C为D的充分条件 (D)B为D的必要条件 (1)当m= 8.若实数a,b满足a≥0，b≥0，且ab=0,则称a与b互补.记 子时，求(C.)nB 第I卷选择题（共58分) (2)命题p:x∈A,命题q:x∈B,若p是g的必要条件，求实数m o(a,b) =√a+-a-b,那么p(a,b)=0是a与b互补的 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 的取值范围， 1.明一罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 俱备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 高中数学 9.下列命题中正确的有 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (A)“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0” 2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先 (B)“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题 必修第一 的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出 (C)“至少存在一个实数x,使得1xI≥0”是含有存在量词的真 的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，则哥德巴 命题 册 赫猜想的否定为 (D)“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称 (北师· (A)任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和 量词命题 (B)任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和 大版 10.若“Vx∈M,x<0或x>1”为真命题，“x∈M,x>3”为 (C)至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和 假命题，则集合M可以是 同步 (D)至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和 16.(15分)设集合A={-1<x<3},B={x11-m<x<m (A){x1x<5 (B){x1-3<x≤-1} +1,m>0,命题p:x∈A,命题q:x∈B. 核心素养测评 3.已知命题p:Hx>3,x>a成立，则实数a的取值范围是 (C){x1x>3 (D){x12≤x≤3} 高中数学·必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 (1)若p是g的充要条件，求正实数m的值； ( 11.在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个 (2)若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围， (A)(-∞，3] (B)[3,+) 类”，记为[k]={4n+k1n∈Z,k=0,1,2,3,则下列结论正确的 (C)(-∞，3) (D)(3,+0) 为 4.已知集合A={x,B={x2},则“x=1”是“A=B”的 (A)2024∈[1] (B)-2∈[2] (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)z=[0]U[1]U[2]U[3] (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (D)整数a,b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]” 5.下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是( (A)a>b+1 (B)a>b-1 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） (C)a2>b2 (D)a3>b3 6.命题“31≤x≤2 +x 2 a≥0”为真命题的一个必 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 要不充分条件是 2 命题“Hx>0,则x+1>”的否定是 (A)a≤0 (B)a≤1 (C)a 13.设条件p:1x|≤m(m>0);9:-1≤x≤4，若p是q的充分 (D)a≤3 条件，则m的最大值是