辽宁省沈阳市同泽高级中学2025-2026学年高一上学期第四次数学周考试题

沈阳市同泽高级中学2028届高一（上）第四次数学周考 命题人：2028届数学组考试时间：2025年9月28日19：3021：30满分150分 第卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合A=N,集合B={x3<x<3},则A∩B-() AN B.{-2,-1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{1,2} 2.设a,b∈R,则K1且b<1”是a+b<2的(). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.如果实数集R的子集X满足：任意开区间都含有X中的元素，则称X在R中稠密若R的子集X在 R中不稠密，则() A.任意开区间都不含有X中的元素 B.存在开区间不含有X中的元素 C.任意开区间都含有X的补集中的元素 D.存在开区间含有X的补集中的元素 A C B 4.《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要 依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”现有如下 图形：AB是半圆O的直径，点D在半圆周上，CD⊥AB于点C,设AC=L,BC=b,直接通过比较线段OD 与线段CD的长度可以完成的无字证明为 A.b+m2(b>心0，m>0) a+m a B.va2+b2≥9a+ba0,h0) c.2ab≤√ab(a>0,b>0) atb D2≥Va西a0,b0 5.一群学生参加数学、物理学科夏令营，每名学生至少参加一个学科考试.已知有52名学生参加了 数学考试，47名学生参加了物理考试，学生总人数是只参加一门考试的学生人数的2倍，则这一群学 生总人数为()》 A.66 B.87 C.99 D.以上答案都错 6.设有限集M所含元素的个数用card)表示，并规定ca(O)=O.已知集合A,B满足 AUB={1,2,3,4,5,6},A∩B-O,若crd(A)EA,ca(B)EB,则满足条件的所有不同集合A的个数为() A.3 B.6 C.10 D.64 D 7设rax-8,若0恒成立，则2+2的最小值是() 同 A.0 B C.1 D.2 译 中 8.若关于x的方程风=x2有四个不同的实数解，则k的取值范围为() “X+4 A.(0,1) B.,1) C.(.+co) D.(1,+∞) 第1页共4页 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列关系正确的是() A.ER B.-3N C.-V30 D.NEO 10.若a,b≠0，且后合则下列不等式定成立的是( A.a-b B.11 C.a-b D.acl>blcl a b 11.设a心0，b>0,+b=ab,则() A.ab的最小值为4 B.a+4b的取值范围是[9，+∞) C.a+1)+1的最小值为2√2 D.若c>1,则(atb+25c+1的最小值为15 Vab a ab' 0-1 第Ⅱ卷（选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若{1，Va@c{1,2,》,则F 13.已知二次函数y(ax-1)x,甲同学：y>0的解集为(-o,aU(,+oo),乙同学：y<0的解集为( 0,U(+o),丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误 的，则a的取值范围是 14.定义aM为数集M中最大的数，已知0<Kb<c<1,若b≥3a或a+b≤，则mcx{b-a,c-b,1-c)的最 小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.《九章算术》第八章“方程问题九：今有五雀、六燕，集称之衡①，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处 ②，衡适平③.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集用衡器 称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的重量和为一 斤.问燕、雀每只各重多少斤？①集称之衡：集中在一起用衡器称；②交而处：交换位置放；③衡适平：重 量恰好相等. (1)设每只雀重n斤，每只燕重m斤，请列方程组求解这个问题， (2)在()的条件下，设集合A=(m≤8≤m},B广x2p1≤x≤p1),若BA,求p的取值范围. 國同评中學对员 第2页共4页 16.(1)证明：V6-V5<2-v3, 回已知abc01ac求证≥1 17.设矩形ABCD(其中AB>BC的周长为24，如图所示，把它沿对角线AC对折后，AB交CD于点P. (1)证明：△ADP的周长为定值， (2)设AB=x,且记△ADP的面积为S(x求当x为何值时，Sx)取得最大值，并求出最大值， B D 力 第3页共4页 18.己知y=x2-(c+3)x+3 (1)当a=V3时，方程y=0的两根分别为，2，若存在x,使x+x子≥x-1+-x成立，求m的取值范围； (2)若aER,求不等式ax2-(a什3)x+3≥0的解集 19,对于题日：已知m0,0,且m2F,求A-号的最小值 同学甲的解法： 因为00所后0哈0所以+是之层 m n mm2n≥2V2mm,4+2om+2nm(2+3≥×2V2mn×2、 m n 3 巨8所以A的最小值为号 mn 同学乙的解法： 因为m心0,0.所以4m+20片月I+是+0+40≥X6+403,当且仅当货，即1时 m n 等号成立，所以A的最小值为3 (1)请对两位同学计算结果的正确性作出评价（需指明错误原因）， (2)为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：已知m0,>0,且什2=3. ①求Bm2nm+的最小值： ⑩求c号 +1的最小值. m+5n m+n 同评中学员 第4页共4页 沈阳市同泽高级中学2028属高一（上）第四次数学周考参考答案 题号 1 3 4 U 6 7 P 9 10 答案 C 心 D C B AC ACD 题号 0 答案 ABD 1.C【分析】根据题意，集合集合交集的概念及运算，即可求解 【详解】因为集合A=N,集合B={x|-3<x<3},所以A∩B={0,1,2.故选：C. 2.A【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若a<1且b<1,则a+b<2,即充分性成立； 若a+b<2,例如a=1,b=0,满足a+b<2,但不满足a<1且b<1,即必要性不成立； 综上所述：“a<1且b<1”是“a+b<2的充分不必要条件.故选：A. 3B【分析】结合题意根据全称量词命题的否定即可得结果， 【详解】命题“任意开区间都含有X中的元素的否定是“存在开区间不含有X中的元素”故选：B. 4D【详解】：0D是半圆的半径，AB=a+b为圆的直径，0D=”,由射影定理可知，CD2=AC,BC=ab,GD= Va,在Rt40Dc中，0D>CD,>Va5,当0与C重合时，=-Vab,所以≥Va5,故选D. 2 5.A【分析】根据集合的元素个数的性质列方程即可求解 【详解】设只参加了数学、物理考试的学生人数分别为xy, x+z=52, 参加了两门学科考试的学生人数为z,根据题意得{ y+z=47 解得z=33,所以学生总人数为x+y+ (2(x+y)=x+y+Z, z=2z=66.故选：A 6.C【分析】设card(A)=k,由题意结合两集合元素个数和为6，可推理出k∈B,6-k∈A,按k的取值分类求解即 可 【详解】若A=时，B={1,2,3,4,5,6,则card(A)=0,则card(B)=6∈B, 这与题意card(B)庄B矛盾，故不满足题意；故A≠O. 设A中元素的个数为card(A)=k(k=1,2,…,6),则B中元素的个数为card(B)=6-k,且6-k∈AUB, 由k庄A且6-k庄B,得k∈B,6-k∈A. ①当k=1时，则5∈A,又card(A)=1,所以A=5},B={1,2,3,4,6}满足题意； ②当k=2时，则2A,4庄B,则2∈B,4∈A,又card(A)=2, 若A={1,4,则B={2,3,5,6;若A={3,4},则B={1,2,5,6: 若A={4,5,则B={1,2,3,6:若A={4,6,则B=1,2,3,5;以上情况都满足题意； ③当k=3时，即card(A)=3,则3庄A,3∈B, 但此时card(B)=6-3=3庄B,故产生矛盾，所以不满足题意； ④当k=4时，则由card(B)=6-4=2EB且card(A)=4在A,得2∈A,4∈B, 又card(B)=2,与②同理可得不同集合B的个数有4个，即不同集合A的个数有4个； ⑤当k=5时，则由card(A)=5年A,得5∈B,又card(B)=1,所以B={5},A={1,2,3,4,6满足题意 综上，满足条件的所有不同集合A的个数为1+4+4+1=10.故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理清题意，明确两个集合及集合中元素个数的相互制约关系，所以有如 下推理：若card(A)=k(k=1,2,…,6),则card(B)=6-k;若card(A)=kA,card(B)=6-kB,则k∈B,且6 k∈A. 7.B【分析】根据不等式恒成立，分析其组成，判断x-a与x-b-1符号同时变化，得到a=b+1,且a>0,将问题 转化成求二次函数的最值来解决， 【详解】由y=(x-a·x->0恒成立，可得x-a与x-b-1符号同时变化， 即a=b+1,且a>0,则有a2+b2=(a-1)2+a2=2a2-2a+1=2(a-)2+2,故a2+b2的最小值为2故 选B. D 8.C【分析】根据所解方程既是高次方程又是分式方程，所以对其进行是降次，同时注意到对任意的k∈R,x=0必 是原方程的一个根，所以只考虑x≠0时有三个实数解即可. 译 【详解】因为以=kx2有四个实数解，显然，x=0是方程的一个解， 中 x+4 下面只考虑x≠0时有三个实数解即可.若x>0,原方程等价于1=kx(x+4),显然k≠0，则=x(x+4). 要使该方程有解，必须k>0,则+4=(x+2)2,此时x>0,方程有且必有一解； 所以当x<0时必须有两解，当x<0时，原方程等价于-1=kx(x+4), 即-是=x(x+4)(x<0且x≠-4)，要使该方程有两解，必须-4<-<0，所以k> 答案第1页，共4页 所以实数k的取值范围为（仔，+∞），故选：C, 9.AC【分析】理解数集符号R、N、Q,逐项判断即可. 【详解】A项，是实数，即∈R,A正确B项，-3引=3∈N,B错误； C项，-V3是无理数，所以-V3Q,C正确：D项，N不是Q的元素，D错误.故选：AC. 10.ACD【分析】由不等式的性质可得a>b,即可根据选项逐一求解. 【详解】由已知可得c≠0， 对于A项c≠0，所以后>0，由合>合及不等式性质得a>b,故A成立 附于B项-君=s因为a>b,所以b-a<0 0 当ab<0时，>0，即后>故B项不一定成立 对于C项，当b>0时，a>b,所以川al>b;当b<0时，la>b成立，故C项一定成立 对于D项，由a>b,c≠0，得|c>0,所以alcl>blcl,故D项一定成立.故选：ACD 11ABD【分析】分别应用基本不等式，结合应用常值代换乘以+=1化简计算判断各个选项，注意取等条件. 【详解】对于A项，由a>0,b>0,a+b=ab≥2√ab,得Vab≥2，所以ab≥4， 当且仅当a=b=2时等号成立，A项正确； 对于B项，由a>0,b>0,a+b=ab,得1+1=1， 所以a+4b=(日+)(a+40)=5+誓+号≥5+4=9， 当且仅当a=2b,即a=3,b=时等号成立，B项正确： 对于c项a0型-=2+高之22而·忘=22 v√ab √ab 当且仅当2V西=高即V而西=时取等号， 又Vab≥2，所以等号取不到，C项错误； 对于D项，由a++25=ab-b+2+25=ab+-驰+25=ab+25-1≥9， a ab ab a ab ab 当且仅当ab=5时等号成立，(a++)c+号≥9c+=9(c-1)+品+9≥6+9=15， c-1 当且仅当c=时等号成立，D项正确故选：ABD. 12.0【分析】根据集合与集合的关系，分类讨论元素对应相等，解方程并结合集合的三要素计算即可. 【详解】因为{1，Vac{1,2,},所以①当va=2时，即a=4, 此时{1,2，={1,223，不符合元素互异性： ②当Va=时，即a=0或a=4(舍).综上，a=0.故答案为：0 13.(-∞，-1]【分析】先由三人各自的论述入手分别化简求解α的范围，再按范围分类判断即可得。 【详解】由题意，a≠0. 若甲正确，则la>0且之a,即a2≤1，则0<a≤1 若乙正确，则a<0且a≤即a2≥1，则a≤-1： 若丙正确，则由二次函数的对称轴为x=,得41<0，所以a<0. 2a 2a 若a>0,则乙丙两人论述错误，不满足题意； 若-1<a<0,则甲乙两人论述错误； 若a≤-1，则乙丙两人论述正确，只有甲一人论述错误，满足题意。 综上所述，a≤-1，即a的取值范围是(-∞，-1].故答案为：(-∞，-1]. 14【分析】解法1冷b-a=m.c-b=n,1-c=p,得到a1-m”n”p分b23a和a+b≤艺两情况讨一 论，结合新定义和不等式的基本性质，即可求解. 解法2：由数轴上点的距离公式，得到b-a,c-b,1-c分别为线段AB,BC,CD的长，转化为求三个线段中最长线段 D 的长的最小值，不妨设为x,0A的长为y,得到y=1-3x,分b≥3a和a+b≤，两情况讨论，结合新定义和不等式的 同 基本性质，即可求解。 译 【详解】解法-：令b-a=m,c-b=元，1-c=p,其中m,np>0,所以{n6二1-n-p 中 Cla=1-m-n-p 若b≥3a,则b=1-n-p≥3(1-m-n-p),可得3m+2n+2p≥2， M=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p3, 答案第2页，共4页 3M≥3m 则2M≥2n,所以7M≥3m+2n+2p≥2，则M≥ （2M≥2p 当且仅当a=b-c=时等号成立 若a+b≤2则1-n-p+1-m-n-p≤2即m+2m+2p≥ M max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p3, (M≥m 则3M≥2n,所以5M≥m+2n+2p≥2则M≥品 2M≥2p 当且仅当a=高b=c=时等号成立综上可得，max-acb,1-c的最小位为号 解法二：根据数轴上点的距离公式，可得b-a,c-b,1-c分别为线段AB,BC,CD的长， 如图所示，若点A固定，即求三个线段中最长线段的长的最小值， 可知当三个线段等长时，最长的线段长取最小值， 不妨设为x,0A的长为y,则y+3x=1,即y=1-3x, 若b≥3a,则y+x≥3y,即1-3x+x≥3(1-3x),解得x≥ 若a+b≤则y+y+x≤即1-3x+1-3x+x≤解得x之品 因为号<品所以maxh-a,c-b,1-c的最小值为号 B(b)D(1) A(a) C(c) x故答案为号 【点睛】对于涉及不等式的基本性质问题的求解策略： 1、运用不等式的性质求解或判断是，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其也不能想当然捏造性质； 2、建立待求范围的整体与己知范围的整体关系，最后利用不等式的基本性质，进行运算，求得待求的范围： 3、注意利用同向不等式的两边相加时，这种转化不时等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，可能会扩大 其取值范围； 4、若通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基 础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的： 15.(1)每只燕重6斤，每只雀重号斤(2)[-1，+∞) 【分析】(1)根据题意列出方程组即可求解； (2)由(1)可得集合A={x-3≤x≤4)，结合题意分为B=和B≠0分析即可求解. 【详解】（①）根据题意，可列方程组为4n+m三5m十八解得 m3 5n+6m=1, ”所以每只燕重品斤，每只雀重号斤 2 (2)由(1)可得集合A={x|-3≤x≤4，因为BA, ①当B=0时，p+1<2p-1,解得p>2: ②当B≠时，即p≤2且2印1之：3，且等号不同时成立，解得P之，1 “(p+1≤4， (p≤3， 所以-1≤p≤2.综上的取值范围是[-1，+∞) 16.(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】(1)可用反证法，分析法，综合法的任意1个方法证明： (2)结合abc=先把1换成2abc,再化简，结合基本（均值）不等式证明. 【详解】证明(1)解法一（反证法）： 假设V6-√5≥2-√3，即V6+V3≥2+√5， 两边平方得9+6v2≥9+45，即3V2≥2V5, 即18≥20，这与18<20矛盾，因此假设不成立， D 故V6-V5<2-3. 同 解法二（分析法）：要证2-3>√6-5， 只需证2+V5>6+V3,因为2+V5>0,V6+v3>0, 中 所以只需证(2+5)>（√6+V3),即证9+4v5>9+6v2,即证20>18， 学 因为20>18成立，所以2-V3>V6-V5成立 解法三（综合法）： 6-5=合=52-g=品= 1 因为V6+V5>2+√3，所以√6-V5<2-5. 答案第3页，共4页 ++ (2)由题意知a>0,b>0.c>0,故ab2 b3+1 c3+1 ab2 bc2 ca2 62 c2 a2 a3+2abc b3+2abc c3+2abc a2+2bc+62+2ac+c2+2ab b a2 ≥a2+b2+e+a2+b2+e+ 2+b2+c2=1. 17.(1)证明见解析(2)x=6V2时，S(x)max=108-72V2. 【分析】(1)通过证明△ADP兰△PBC,即可得到AP=PC,从而求出△ADP的周长； (②)利用勾股定理得到DP=12-号，由面积公式得到5()=6(18-是-x)利用基本不等式求出经+x的最小值， 即可求出面积的最大值， 【详解】(I)由题意可知，∠APD=∠BPC,∠ADP=∠PBC,AD=BC, 所以△ADP兰△PBC,所以AP=PC, 所以AD+DP+PA=AD+DP+PC=AD+DC=12,所以△ADP的周长为定值. (②在Rt△ADP中，因为AD2+DP2=PAP,所以(12-x2+DP2=(x-DP)2,解得DP=12- 所以5)=ADDP=12-(12-)=6(18-是-x 因为AB>8C所以6<x<12号+x之2层=122当且仅当x=6v2时等号成立 所以△ADP面积的最大值为108-72V2. 18.(1)[-3,5](2)答案见解析 【分析】()先利用一元二次方程的性质，得到好+x号=1+是=4，利用绝对值的几何意义求得x-1+m一x刘 的最小值为m-1,根据题意，转化为m-1≤4，即可求解； (2)化简不等式为(ax-3)(x-1)≥0，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解。 【详解】(1)解：由题意知，方程ax2-(a+3)x+3=0的两根分别为x1,x2, 则x1+x2=4=1+x1x2=所以x好+x烃=1+号，因为a=V3,所以x好+x好=1+是=4， 根据绝对值的几何意义，可得引x-1+m-x≥I(x-1)-(x-m川=|m-1, 当且仅当(x-1)(m-x)≤0时，等号成立， 又因为存在x,使x子+x经≥|x-1+m-x成立，可得|m-1≤4，解得-3≤m≤5， 所以的取值范围为[-3,5]. (2)解：若a∈R不等式ax2-(a+3)x+3≥0等价于(ax-3)(x-1)≥0， ①当a<0时，不等式的解集为{x层≤x≤1}，②当a=0时，不等式的解集为xx≤1 国当0<a<3时，不等式的解集为xk≤1或x≥引}④当a=3时，不等式的解集为R ⑤当a>3时，不等式的解集为xx≤名或x之1 19.(1)同学甲结果错误，同学乙结果正确，原因见解析 (20子+【分析】(1)根据不等式“=”成立的条件，看看能不能取到最小值，判断两个同学的正确性 (2)通过转化，把问题都转化成已知的题型，利用已知的方法解决问题. 【详解】(1)同学甲结果错误，同学乙结果正确。 甲同学连续两次运用基本不等式，取等号的条件分别为n=2m,m=2n, 又m+2n=3,所以不能同时取等号， 即最小值是取不到的， (2)已知m>0,n>0,且m+2n=3. ⑥8=+2=tm+2 n m+1 m+1+2n+=2+ 1 1” 2 =m+1-2+ m+1 =2+m++(++月=2+行x+ (m+1), 2n m++4 D ≥2+×5+4到=兴 当且仅当n=m+1,即m=,n=时等号成立 ⑩c=+n=0m+5m)+3(m+0-(（+) 泽中学 =言×+g+0把+3≥立×6+2v6=品+9 m+n m+5n 当且仅当m+5n=V6(m+n),即m=21-8V6,n=4V6-9时等号成立. 答案第4页，共4页