专题01 直线与方程（期中知识清单）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题01 直线与方程（5知识&9题型&2易错） 【清单01】直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以 为始边，绕交点 转直至与重合所成的角称为直线的 ，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率 ；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的 （斜率存在时） 或斜率都不存在． 【清单02】直线方程的五种形式 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的 ， （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则 ，此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则 . 【清单03】距离公式的应用 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为 ． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4、双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 【清单04】对称问题 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 2、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得 ，解出即可． 3、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 5、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为 ． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为 ． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为 ． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 【清单05】直线系方程 1、过定点直线系 过已知点的直线系方程 （为参数）． 2、斜率为定值直线系 斜率为的直线系方程（是参数）． 3、平行直线系 与已知直线平行的直线系方程 （为参数）． 4、垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程 （为参数）． 5、过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 【题型一】倾斜角与斜率 【例1】、（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）设直线的倾斜角为，斜率为.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）已知直线的方程为， ，则直线 的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·广西玉林·阶段练习）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三上·上海·开学考试）已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ． 【题型二】求直线方程 【例2】、（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 ． 【变式2-1】、（24-25高二上·江苏扬州·期中）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为 . 【变式2-2】、（25-26高二上·全国·课后作业）设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 【题型三】两条直线的位置关系（平行、垂直与夹角） 【例3】、（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．当时，两直线的距离为 D．当时，两直线的交点坐标为 【变式3-1】已知两条直线，则下列结论不正确的是（    ） A．当时， B．若，则或 C．当时，与相交于点 D．直线过定点 【变式3-2】、（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】、直线，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型四】直线与坐标轴围成的面积 【例4】、过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式4-1】直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】、（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）已知点轴，，则周长的最小值为 ． 【题型五】距离问题 【例5】、（24-25高二下·全国·开学考试）直线过点，且与直线平行，则直线，间的距离为 ． 【变式5-1】、（25-26高二上·全国·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 【变式5-2】、（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型六】有关距离的最值问题 【例6】、已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【变式6-1】、（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式6-2】、已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（   ） A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8 【变式6-3】、（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【题型七】对称问题 【例7】、（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】、（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【变式7-3】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句.诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．13 B．11 C．9 D．7 【题型八】直线系方程方程的应用 【例8】、（24-25高二上·天津·期中）过点且与直线l：垂直的直线方程为 ．（用斜截式方程表示）． 【变式8-1】（23-24高二上·广东清远·期中）过点且垂直于直线的直线方程为 . 【变式8-2】、（23-24高三上·四川成都·开学考试）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则= . 【题型九】综合问题 【例9】、（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）已知直线，的方程分别是，点的坐标为，过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数） (1)当时，线段恰好被点平分，求斜率的值及的面积； (2)问是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，请说明理由. 【变式9-1】已知，由确定两个点. (1)写出直线的方程（答案含）； (2)在内作内接正方形，顶点在边上，顶点在边上.若，当正方形的面积最大时，求的值. 【变式9-2】、（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知三条直线；，，：，且原点到直线的距离是． (1)求a的值； (2)若，能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由． 【变式9-3】（24-25高二上·湖北·期中）已知直线 (1)若直线的倾斜角，求实数m的取值范围； (2)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最小值及此时直线l的方程． 【题型一】容易忽略截距式方程不能表示过圆点的直线 【例1】、（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1-1】、（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】、（2025高二·全国·专题练习）已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【题型二】容易忽略两条直线平行时，要注意排除两条直线重合的情况 【例2】、（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2-1】、（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【变式2-2】（24-25高二上·天津·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．或0 B． C．或2 D．2 【变式2-3】、（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与方程（5知识&9题型&2易错） 【知识图谱答案】 一、1、直线竖直向上与x轴正方向形成的角 2、 二、1、 2、 3、 4、 5、 三、1、 2、 3、 四、1~4、中点坐标公式 五、1、过已知点的直线系方程（为参数） 2、与已知直线平行的直线系方程． 3、与已知直线垂直的直线系方程）． 【清单01】直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 【清单02】直线方程的五种形式 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 【清单03】距离公式的应用 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4、双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 【清单04】对称问题 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 2、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 5、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 【清单05】直线系方程 1、过定点直线系 过已知点的直线系方程（为参数）． 2、斜率为定值直线系 斜率为的直线系方程（是参数）． 3、平行直线系 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． 4、垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． 5、过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 【题型一】倾斜角与斜率 【例1】、（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）设直线的倾斜角为，斜率为.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由直线的斜率与倾斜角的关系，得.因为，即， 又，所以的取值范围是， 故选：C. 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）已知直线的方程为， ，则直线 的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由直线方程求出直线的斜率，结合正弦函数性质确定其范围，即可求得答案. 【详解】由题意知直线的方程为， ， 即，即直线的斜率． 由 ，得 ． 又直线的倾斜角的取值范围为 ， 由正切函数的性质可得，直线的倾斜角的取值范围为 ． 故选：B． 【变式1-2】（25-26高二上·广西玉林·阶段练习）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】分别计算直线过点A，B的斜率，数形结合，即得解 【详解】    当直线过点B时，设直线的斜率为，则 当直线过点A时，设直线的斜率为，则 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为：或. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高三上·上海·开学考试）已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】设直线的倾斜角为，求得，得到直线的倾斜角，进而得到直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以， 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半， 所以直线的倾斜角，所以直线的斜率为. 故答案为：. 【题型二】求直线方程 【例2】、（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】思路一：求出交点坐标得直线斜率即可求解；思路二：设所求直线l的方程为，将原点坐标代入求得的值即可. 【详解】方法1：联立，解得，所以两直线的交点为， 所以直线l的斜率为，则直线l的方程为； 方法2：设所求直线l的方程为， 因为直线l经过原点，所以，解得； 所以直线l的方程为. 故答案为：. 【变式2-1】、（24-25高二上·江苏扬州·期中）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线综合、直线两点式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、直角坐标系中的基本公式的应用 【分析】设出直线与直线，的交点坐标、，然后根据中点坐标的相关性质得出，，再然后根据在上以及在上得出，解得的坐标，由直线的两点式方程即得. 【详解】设直线， 设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上）， 设、， 因为被点平分，所以，， 于是，， 由于在上，在上，则， 即解得，， 即的坐标是，则直线的方程是， 即． 故答案为：.    【变式2-2】、（25-26高二上·全国·课后作业）设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】求得P、A两点的坐标，根据，可得点在直线上，从而可得B点的坐标，从而可求得直线的方程. 【详解】由直线PA的方程为， 当时，；当时，，所以， ∵， ∴点在线段的垂直平分线，即直线上， ∴， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为，即． 故选：A. 【变式2-3】、（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由两条直线平行求方程、求直线交点坐标 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 【题型三】两条直线的位置关系（平行、垂直与夹角） 【例3】、（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．当时，两直线的距离为 D．当时，两直线的交点坐标为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、求直线交点坐标、求平行线间的距离 【分析】A项由，斜率相等且截距不等；B项由两直线垂直的等价条件得方程求解即可；C项由A项解得，利用两平行直线的距离公式可求；D项由B项垂直解得，联立两直线方程解交点即可. 【详解】，则；. A项，若，则存在斜率，方程可化为 则且，解得，故A错误； B项，若，则，解得，故B错误； C项，若，由A项求解可知， 则，， 则两直线的距离为，故C错误； D项，当时，由B项求解可知， 则直线，， 联立，解得， 所以两直线的交点为，故D正确. 故选：D. 【变式3-1】已知两条直线，则下列结论不正确的是（    ） A．当时， B．若，则或 C．当时，与相交于点 D．直线过定点 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、已知直线平行求参数、直线过定点问题、求直线交点坐标 【分析】对于A，由斜率关系判定即可；对于B，由直线平行的性质验算，并注意检验；对于C，联立方程组验算即可；对于D，将直线方程变形即可求解. 【详解】因为， 对于A：当时，，则、， 所以，所以，故A正确； 对于B：若，则，解得或，当时，满足题意， 当时，，与重合，故舍去， 所以，故B错误； 对于C：当时，， 则，解得，即两直线的交点为，故C正确； 对于D：，即， 令，即，即直线过定点，故D正确. 故选：B. 【变式3-2】、（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求平行线间的距离 【分析】先将两条直线化为和的形式，然后利用两条平行直线间的距离公式来求解即可. 【详解】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则. 故选：. 【变式3-3】、直线，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行的判定求参数，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若，则，可得或， 时，，即两直线平行，符合； 时，，即两直线重合，不符. 所以，即是的充要条件. 故选：C 【题型四】直线与坐标轴围成的面积 【例4】、过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的斜截式方程及辨析、直线围成图形的面积问题 【分析】设直线为，代入得，表示出所围成封闭图形面积为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成封闭图形面积的最小值为4. 故选：C. 【变式4-1】直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离、直线围成图形的面积问题 【分析】求出直线与x轴的交点M坐标，直线与y轴的交点N坐标，及直线和的交点P坐标，则可求和由两点式可得直线MN的方程为，即可求P点到直线MN的距离，即可求 【详解】直线与x轴的交点为，直线与y轴的交点为， 则． 如图所示： 则由两点式可得直线MN的方程为，即， 由解得， 此为两直线的交点， 根据点到直线的距离公式可得P点到直线MN的距离为 ， 故 ． 故选：B 【变式4-2】、（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】三线能围成三角形的问题 【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,所以，解得， 所以，所以． 因为直线过点，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立的方程得解得的交点坐标为． 因为点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：． 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）已知点轴，，则周长的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】作出关于直线的对称点，作出关于轴的对称点，则连接，交直线于点，交轴于点，则的周长的最小值等于. 【详解】如图，    设点关于直线的对称点为． 点关于轴的对称点为． 连接，交于点，交轴于点， 显然，，且四点共线， 故此时周长的最小值为． 故答案为： 【题型五】距离问题 【例5】、（24-25高二下·全国·开学考试）直线过点，且与直线平行，则直线，间的距离为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】设直线的方程为，由点在直线上求得，再结合距离公式即可求解； 【详解】因为直线与直线平行，所以设直线的方程为． 又因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为． 所以直线，间的距离为． 故答案为： 【变式5-1】、（25-26高二上·全国·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 【答案】或13 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案． 【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或． 在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13. 故答案为：或13. 【变式5-2】、（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、已知点到直线距离求参数、求到两点距离相等的直线方程 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 【题型六】有关距离的最值问题 【例6】、已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】当线段最短时，直线与直线垂直，点为直线与直线的交点. 【详解】当线段最短时，直线与直线垂直， 此时点为直线与直线的交点. 因为直线与直线垂直， 所以，直线方程为， 由得，所以. 故选：A. 【变式6-1】、（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于光线经过的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图直角坐标系， 可得，故直线BC的方程为， 则的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过重心，代入得， 化简得或（舍去），故，所以. 故选：D 【变式6-2】、已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（   ） A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、已知点到直线距离求参数 【分析】根据题意，直线恒过点，所以点到直线的距离的最大值可转化为点到定点的距离，根据两点间的距离公式，求解即可. 【详解】当变化时，直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值为， 即，解得或. 故选：D． 【变式6-3】、（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，可得， 由，则， 当且仅当共线时取等号，故最小值为10. 故选：D 【题型七】对称问题 【例7】、（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 【变式7-1】、（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、直线关于直线对称问题 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 【变式7-2】（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可. 【详解】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 【变式7-3】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句.诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】首先利用对称关系求出点关于直线的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式求出最小距离． 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 故，解得，即对称点， 故原点到点的距离， 又军营所在区域为，则， 因为， 所以“将军饮马”的最短距离为． 故选：C 【题型八】直线系方程方程的应用 【例8】、（24-25高二上·天津·期中）过点且与直线l：垂直的直线方程为 ．（用斜截式方程表示）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】先求出的 斜率，再结合垂直得出斜率，最后点斜式写出直线方程化为斜截式即可. 【详解】因为直线l：的斜率为，直线与垂直得出斜率为， 所以与直线l：垂直的直线方程为,即. 故答案为：. 【变式8-1】（23-24高二上·广东清远·期中）过点且垂直于直线的直线方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】先利用两直线垂直求得所求直线斜率，进而利用点斜式直线方程求得所求直线方程. 【详解】直线的斜率为， 则过点且垂直于直线的直线斜率为， 则所求直线方程为， 化为一般式为. 故答案为： 【变式8-2】、（23-24高三上·四川成都·开学考试）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则= . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、已知直线垂直求参数 【分析】根据直线垂直关系可得，然后结合平方关系和二倍角公式可得. 【详解】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以， 则，代入可得， 所以. 故答案为：. 【题型九】综合问题 【例9】、（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）已知直线，的方程分别是，点的坐标为，过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数） (1)当时，线段恰好被点平分，求斜率的值及的面积； (2)问是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在实数时，使得的值与无关 【难度】0.65 【知识点】直线综合、由直线的交点坐标求参数、三线能围成三角形的问题 【分析】（1）直线的方程为，根据题意，联立方程组，分别求得点和,结合和点为的中点，列出方程组，求得，得到的坐标，结合，即可求解； （2）假设存在满足题意的实数，使得的值与无关，由（1）中的坐标，化简得到，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为直线过点，且斜率为，可得直线的方程为， 因为直线与分别交于点，所以， 联立方程组，解得，即， 联立方程组，解得，即, 又因为的纵坐标均为整数，可得，即， 因为，所以， 当时，可得，，， 因为点为的中点，可得，解得， 所以，，， 则的面积. （2）解：假设存在满足题意的实数，使得的值与无关， 由（1）知，，，且， 可得，所以， 因为，所以当时，（定值）， 所以存在实数时，使得的值与无关. 【变式9-1】已知，由确定两个点. (1)写出直线的方程（答案含）； (2)在内作内接正方形，顶点在边上，顶点在边上.若，当正方形的面积最大时，求的值. 【答案】(1)直线方程为； (2)， 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、直线综合、直线的点斜式方程及辨析、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）首先计算，分和得到直线方程即可； （2）根据题意得到点坐标，将坐标代入（1）中的直线方程得到，根据二次函数性质即可得到边长最大值，即面积最大值. 【详解】（1）由题意知当直线斜率存在时，， 当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为. 直线的方程为. （2）由和四边形为正方形可知， ， 因为点在直线上， 所以， 所以， 而正方形的面积最大，即最大， 所以当时，，此时图中阴影部分的面积最大. 【变式9-2】、（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知三条直线；，，：，且原点到直线的距离是． (1)求a的值； (2)若，能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)存在理由见详解. 【难度】0.65 【知识点】直线综合、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）利用原点到直线的距离是求解即可；（2）假设存在满足三个条件的点，然后根据三个条件联立解出即可. 【详解】（1）因为原点到直线的距离是，即 所以 （2）若，由（1）得，所以 设存在点满足题意，则： 点到的距离是点到的距离的2倍有 即   ① 点到的距离与点到的距离之比是        ②              ③ 联立①②③解的： 故存在满足上述三个条件的点 【变式9-3】（24-25高二上·湖北·期中）已知直线 (1)若直线的倾斜角，求实数m的取值范围； (2)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最小值及此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)最小值为2，直线l方程为：． 【难度】0.65 【知识点】直线综合、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】 （1）由直线的斜率和倾斜角的范围可得的不等式，解不等式可得； （2）由题意可得点和点，可得，由基本不等式求最值可得． 【详解】（1）解：由题意可知当时，倾斜角为，符合题意 当时，直线l的斜率 ∵倾斜角，∴． 故m的范围：． （2）解：在直线l中：令x＝0时，即，令y＝0时x＝m，即 由题意可知：得 即 当且仅当时取等号， 故最小值为2，此时直线l方程为：． 【题型一】容易忽略截距式方程不能表示过圆点的直线 【例1】、（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】设所求直线的横截距为，分和讨论，设出直线方程，将点代入，求出即可得出答案. 【详解】设所求直线的横截距为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 综上，直线的方程为或. 故选：C. 【变式1-1】、（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 【变式1-2】、（2025高二·全国·专题练习）已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】法一：分直线过原点和不过原点讨论，当直线过原点时，由直线的斜率得到方程，当直线不过原点时，由截距式方程得到直线方程； 法二：分直线过原点和直线斜率为1两种情况讨论，由直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】法一：当直线过原点时，斜率为，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，得，解得， 故直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线斜率为1． 当直线过原点时，直线斜率为，则直线方程为； 当直线斜率为1时，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． 故选：D． 【题型二】容易忽略两条直线平行时，要注意排除两条直线重合的情况 【例2】、（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数 【分析】当时，可得出，当时，得到或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当时，，，此时，所以可以推出， 若，由，解得或， 当，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式2-1】、（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：即，与直线：，重合，舍去， 故， 故选：B 【变式2-2】（24-25高二上·天津·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．或0 B． C．或2 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】由题意，得，或.当时，重合，不符合题意，当时，即得. 【详解】由题意，可得，或， 当时，，，此时重合，不符合题意； 当时，，，，符合题意. 故选：D 【变式2-3】、（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的值，再分别代入检验两直线是否重合，从而确定两直线平行的充要条件. 【详解】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $