专题2.4等腰三角形的判定定理（一课一练）2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版 专题2.4等腰三角形的判定定理（一课一练） 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．下列命题中，是真命题的是（    ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．到角两边距离相等的点在角的平分线上 C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D．有一个角等于的三角形是等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及等腰三角形的性质、角平分线的判定、等边三角形的判定，熟知正确的命题是真命题是解答的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，正确，是真命题，符合题意； B、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，原命题错误，是假命题，不符合题意； C、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，原命题错误，是假命题，不符合题意； D、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，原命题错误，是假命题，不符合题意； 故选：A． 2．如图，若，，的周长为，不能作出的中点的尺规作图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的定义以及判定判断即可． 【详解】解：若，，的周长为， ∴， ， A、由作图可知为的垂直平分线，能作出的中点，故本选项不符合题意； B、由作图可知为的角平分线，再由等腰三角形三线合一可得能作出的中点，故本选项不符合题意； C、记两弧交点为，由作图可得是等边三角形，则，再由可得垂直平分，故能作出的中点，故本选项不符合题意； D、由作图可知为的平分线，不能作出的中点，故本选项符合题意， 故选：D． 3．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先过点作，如图所示，由题意可知为的角平分线，结合角平分线性质、平行线的性质及等腰三角形的判定与性质得到，再由即可确定答案． 【详解】解：过点作，如图所示： 由题意可知，，且， 为的角平分线， 则， ， ， 则， ， 点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5， ，则， 故选：B． 4．如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可得垂直平分，推出，通过证明是等边三角形，得到，再利用三线合一性质即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等边对等角、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，，根据垂直平分线的性质得到，，利用等边对等角以及三角形外角的性质得出，，由，得到，则，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．已知，点P在内部，点是点P关于的对称点，点是点P关于的对称点，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解． 【详解】解：∵P为内部一点，点P关于的对称点分别为， ∴且， ∴是等边三角形．如图， 故选：D． 7．如图，，，，，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的外角性质．先利用判定，求得，再证明是等边三角形，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，在中，D是的中点，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使得，连接，先证明，再证明，然后得到为等边三角形，即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴, ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A． 9．如图，在中，，，是的平分线，点D在AC上，则图中等腰三角形的个数一共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识；根据等边对等角，得到，角平分线得到，三角形的外角得到，等角对等边得到等腰三角形，进行判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， ∴， ∴是等腰三角形； 故共有三个等腰三角形； 故选C． 10．小红用两个全等的等腰和等腰设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它们关于直线l对称，点E，F分别是底边，的中点，且，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．当时，等腰和等腰均为等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等；根据轴对称图形的性质可得，从而得到，可判断A；根据等腰三角形的性质判断B；过点O作，则，根据题意可得，，再由，可得，从而得到，然后根据轴对称图形的性质可得，由此判断C；根据求出，由此判断D． 【详解】解：∵它们关于直线对称， ∴， ∴， ∵点E，F分别是底边的中点， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵等腰和等腰， ∴， ∴， ∵ ∴，故选项B正确，不符合题意； 如图，过点O作，则， ∵点E，F分别是底边的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵它们关于直线对称， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 当时，， ∴ ∴等腰和等腰均不是等边三角形，故选项D错误，符合题意； 故选：D 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．如图，在中，D为上一点，，且，，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形外角的性质以及等边三角形的判定，熟练掌握以上性质是解题的关键．先根据 “等边对等角” 得到，再根据三角形外角性质得到，进而判定为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴． 故答案为：5． 12．如图，在中，和的平分线交于点，过作，分别交于点，交于点，若，，则线段的长为 . 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握等角对等边是解答本题的关键．根据角平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，，推得，，根据等角对等边得出，，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 13．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形中线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 延长到点，使，连接，则，而，即可根据“”证明 ，得，，因为，，，所以，，推导出，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点，使，连接， 在中，为边的中线， ， 在和中， ， ， ，， 为上一点，连接并延长交于点，，，， ，， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，在中，，且为边的中点，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，先证明为等边三角形，为等边三角形，进一步求解即可. 【详解】解：， ， ， ， ， 为等边三角形， ∴，， 为等边三角形， 为的中点， ∴， ， 故答案为： 15．如图①，衣架杆．若衣架收拢时，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，先证明为等边三角形，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴A，B两点之间的距离是． 故答案为：． 16．已知a，b，c是的三边长，且满足，则此三角形是 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意，将题中式子进行化简得到，推出得到这个三角形是一个等边三角形．据此解答． 【详解】解：∵， ∴， ， 即， ∴且， ∴， ∴这个三角形是一个等边三角形． 故答案为：等边三角形． 17．如图，等腰直角中，，底边的长为10，点在上，从作的垂线交于点，交的延长线于点，则的值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，继而推导出是等腰直角三角形，且，则，得到，即可解答． 【详解】解：在等腰直角中，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴． 故答案为：10． 18．如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，延长到点，使，连接，而，，可根据“”证明，得，，因为，，所以，则，于是得到问题的答案，掌握知识点的应用，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接， ∵点是边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图，在四边形中，点是的中点，，，，且平分，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定定理、角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质可得，最后由等边三角形的判定定理即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：平分，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 20．如图，在中，，，． (1)作的平分线交于；（用尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）题的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）证明为等腰直角三角形，得到，角平分线结合三角形的内角和定义，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 21．如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键在于通过平行线的性质找出角度的相等，进而转变为边长相等． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，同位角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边的性质即可得证； （2）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后利用“”证明和全等即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， 22．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上； (1)在图中画出一个以线段为腰的等腰三角形，点在小正方形的格点上； (2)在图中画一个钝角三角形，点在小正方形的顶点上，且三角形的面积为4； (3)连接，请直接写出四边形的面积______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】本题考查了作图，包括画等腰三角形，画钝角三角形；以及等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握作图规则并判断出四边形是平行四边形是解决本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）由图可知A、B间的垂直方向长为2，要使构造的钝角三角形面积为4，则可以在A的水平方向取一条长为4的线，由此可求； （3）根据钝角三角形面积为4，求解四边形的面积即可． 【详解】（1）解：等腰三角形，如图， （2）解：钝角三角形，如图， （3）解：连接，如图， ∴． 23．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（选填“”“”或“”）； 【特例启发，解答题目】 （2）如图②，当为边上任意一点时，请写出线段与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质求解即可； （2）过点E作，交于点，利用等边三角形的性质证出，即可求解． 【详解】解：（1）解：∵为等边三角形， ∴ ∵为的中点， ∴平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：； （2）． 理由：过点E作，交于点，则，，如图所示： ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴． 24．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，M，N两点重合，此时两点重合在点C处 (2)存在，此时M，N运动的时间为 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，一元一次方程与几何综合，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出点N第一次运动到点B的时间，再结合M，N两点重合，进行列式，解出，即可作答． （2）先根据等腰三角形的性质得，再结合等边三角形的性质得，证明，得．当点M，N在BC边上运动，是等腰三角形时，．结合进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：点N第一次运动到点B用时为， 由题意，得， 解得， ∴当时，M，N两点重合， 则， 此时两点重合在点C处． （2）解：存在． 理由如下：如图，点M，N在上，连接， ∵是以为底边的等腰三角形， ， ． ∵是等边三角形， ． 在和中， ． 当点M，N在边上运动，是等腰三角形时，． ， 解得， ∴当点M，N在边上运动时，存在以为底边的等腰， 此时M，N运动的时间为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版 专题2.4等腰三角形的判定定理（一课一练） 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．下列命题中，是真命题的是（    ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．到角两边距离相等的点在角的平分线上 C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D．有一个角等于的三角形是等边三角形 2．如图，若，，的周长为，不能作出的中点的尺规作图是（   ） A． B． C． D． 3．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 5．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．已知，点P在内部，点是点P关于的对称点，点是点P关于的对称点，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 7．如图，，，，，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，D是的中点，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在中，，，是的平分线，点D在AC上，则图中等腰三角形的个数一共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 10．小红用两个全等的等腰和等腰设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它们关于直线l对称，点E，F分别是底边，的中点，且，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．当时，等腰和等腰均为等边三角形 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．如图，在中，D为上一点，，且，，则 ． 12．如图，在中，和的平分线交于点，过作，分别交于点，交于点，若，，则线段的长为 . 13．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 14．如图，在中，，且为边的中点，，则的值为 ． 15．如图①，衣架杆．若衣架收拢时，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是 ． 16．已知a，b，c是的三边长，且满足，则此三角形是 ． 17．如图，等腰直角中，，底边的长为10，点在上，从作的垂线交于点，交的延长线于点，则的值是 ． 18．如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图，在四边形中，点是的中点，，，，且平分，求证：是等边三角形． 20．如图，在中，，，． (1)作的平分线交于；（用尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）题的条件下，求证：． 21．如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 22．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上； (1)在图中画出一个以线段为腰的等腰三角形，点在小正方形的格点上； (2)在图中画一个钝角三角形，点在小正方形的顶点上，且三角形的面积为4； (3)连接，请直接写出四边形的面积______． 23．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（选填“”“”或“”）； 【特例启发，解答题目】 （2）如图②，当为边上任意一点时，请写出线段与的数量关系并说明理由． 24．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $