专题06 双曲线与抛物线11考点（期中真题汇编，吉林专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题06 双曲线与抛物线 11大高频考点概览 考点01 双曲线的标准方程 考点02 双曲线的定义 考点03 双曲线的和差最值 考点04 双曲线的渐近线问题 考点05 双曲线的焦点三角形 考点06 双曲线的离心率 考点07 抛物线的方程与应用 考点08 轨迹方程问题 考点09 直线与双曲线的位置关系 考点10 直线与抛物线的位置关系 考点11抛物线解答题 地 城 考点0 1 双曲线的标准方程 1．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)（多选）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点； （2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线． 3．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 5．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)双曲线的虚轴长为 ，以的左焦点为圆心，1为半径的圆的标准方程为 . 地 城 考点0 2 双曲线的定义 1．(24-25高二上·吉林八校·期中)若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（    ） A．3 B．12 C．15 D．3或15 2．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（    ） A．9或1 B．1 C．9 D．9或2 3．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)法国数学家蒙日发现：双曲线的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线对应的蒙日圆方程为，则 . 地 城 考点0 3 双曲线的和差最值 1．(24-25高二上·吉林四平·期中)已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 2．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)（多选）设M为双曲线上一动点，为上下焦点，O为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则或6 B．双曲线C与双曲线的离心率相同 C．若点，M在双曲线C的上支，则最小值为 D．过的直线l交C于G、H不同两点，若，则l有2条 地 城 考点0 4 双曲线的渐近线问题 1．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 2．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·月考)已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为 A． B． C． D． 5．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 6．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)（多选）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．若直线与双曲线C有交点，则 C．点P到C的两条渐近线的距离之积为 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2 7．(23-24高二下·贵州铜仁印江土家族苗族自治县智成中学·月考)已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为 ． 地 城 考点0 5 双曲线的焦点三角形 1．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·期中)已知，为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若为内切圆上一动点，当的最大值为4时，的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 . 地 城 考点 0 6 双曲线的离心率 1．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 3．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)设双曲线的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的距离为，双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．或 4．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则a=（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)（多选）已知为坐标原点，分别为双曲线，的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，为在第一象限上的一点，点的坐标为，为的平分线，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为2 C． D．点到轴的距离为 7．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)（多选）若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（    ） A．的渐近线上的点到距离的最小值为4 B．的离心率为 C．上的点到距离的最小值为2 D．过的最短的弦长为 8．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)已知曲线：（且）的左、右焦点分别为，，直线与交于点，. (1)若，且四边形是矩形，求的值； (2)若是上与，不重合的点，且直线，的斜率分别为，，若， ①求此曲线的的离心率； ②求. 地 城 考点0 7 抛物线的方程与应用 1．(24-25高二上·吉林四平·期中)已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)已知抛物线的焦点为，为上的一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 3．(24-25高二上·吉林八校·期中)抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C． D． 5．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)已知抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．(24-25高二上·吉林四平·期中)抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 A．2 B． C． D．3 10．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 11．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)若抛物线C ：上的一点到焦点的距离为，到轴的距离为3，则 . 12．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则 . 地 城 考点0 8 轨迹方程问题 1．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)已知圆A：内切于圆P，圆P内切于圆B：，则动圆P的圆心轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)在中，若，，的周长是18，则顶点C的轨迹方程是 3．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为 . 4．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)在中，，，，则点的轨迹方程为 ． 5．(24-25高二上·吉林八校·期中)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 6．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)平面内，过点和的两条直线交于点P，且直线和直线的斜率之积为 (1)求点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线交点的轨迹C于、两点，求的取值范围． 7．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知点，动点M满足，点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)曲线C上任意一点N（不同于A，B）和点A，B的连线分别与y轴交于P，Q两点，O为坐标原点求证：为定值． 8．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式. (1)求线段的长度； (2)求顶点的轨迹方程. 地 城 考点0 9 直线与双曲线的位置关系 1．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)已知点，在双曲线上，线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．若轴，则的周长为 B．若直线交双曲线的左支于点，则 C．面积的最小值为 D．的取值范围为 4．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)设双曲线的半焦距c，坐标原点到直线的距离等于，则c的最小值为 5．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积． 6．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)已知双曲线的左右焦点与点构成等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过定点且与双曲线交于两点，当时，求直线的方程． 7．(24-25高二上·吉林四平·期中)已知等轴双曲线C：的左，右顶点分别为A，B，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于D，E两点（不与A，B重合），直线AD与直线BE的交点为P，证明：点P在定直线上，并求出该定直线的方程. 8．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·期中)已知双曲线，离心率为，，为其左右焦点，为其上任一点，且满足，． (1)求双曲线的方程； (2)已知，是双曲线上关于轴对称的两点，点是上异于，的任意一点，直线、分别交轴于点、，试问：是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中是坐标原点）． 地 城 考点10 直线与抛物线的位置关系 1．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与抛物线交于两点，满足，点在准线上的射影为，若的面积，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林八校·期中)（多选）已知抛物线的准线l与圆相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（    ） A．点F的坐标为 B．的最小值为 C．存在两个P点，使得 D．若为正三角形，则圆M与直线PQ相交 4．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)（多选）过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，则（    ） A．的准线方程是 B．过的焦点的最短弦长为2 C．直线过定点 D．若直线过点，则的面积为24 5．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)（多选）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·吉林四平·期中)（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．以为直径的圆与准线相交 C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条 地 城 考点11 抛物线解答题 1．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)已知是抛物线上的一点. (1)求的焦点坐标与准线方程； (2)若直线经过的焦点，且与交于两点，求的最小值. 2．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·期中)已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线相切，且切点为，点为抛物线C上的点． (1)求直线的方程； (2)若直线不与轴垂直，点在轴上，轴，．若直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，求证：． 3．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的标准方程和准线方程； (2)记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 4．(23-24高二上·吉林长春吉大附中实验学校·期中)已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O. 5．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程． 6．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知抛物线x2=2py（p>0）上一点R(m，2)到它的准线的距离为3.若点A，B，C分别在抛物线上，且点A、C在y轴右侧，点B在y轴左侧，△ABC的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足3|AM|<2|BM|，直线BC交y轴于点N.记△ABC，△AMG，△CNG的面积分别为S1，S2，S3. （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求的取值范围. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线与抛物线 11大高频考点概览 考点01 双曲线的标准方程 考点02 双曲线的定义 考点03 双曲线的和差最值 考点04 双曲线的渐近线问题 考点05 双曲线的焦点三角形 考点06 双曲线的离心率 考点07 抛物线的方程与应用 考点08 轨迹方程问题 考点09 直线与双曲线的位置关系 考点10 直线与抛物线的位置关系 考点11抛物线解答题 地 城 考点0 1 双曲线的标准方程 1．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)（多选）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分焦点在x轴上和焦点在轴上两种情况讨论，求出对应的标准方程即可. 【详解】∵，∴， 当焦点在轴上时，设，代入点，得， 此时双曲线方程为， 同理求得焦点在轴上时，双曲线方程为， 故选AC. 2．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点； （2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由题意设出双曲线的标准方程，根据渐近线方程和间的关系求出后可得所求方程；或根据渐近线方程设双曲线方程为，然后由题意求出后得到所求．（2）根据题意设双曲线的方程为，代入点的坐标求出后可得所求方程． 【详解】（1）方法1：椭圆方程可化为，焦点坐标为， 故可设双曲线的方程为，其渐近线方程为， 则， 又， 所以可得，， 所以所求双曲线的标准方程为． 方法2：由于双曲线的一条渐近线方程为，则另一条渐近线方程为． 故可设双曲线的方程为，即， 因为双曲线与椭圆共焦点， 所以， 即， 解得， 所以所求双曲线的标准方程为． （2）由题意可设所求双曲线方程为， 因为点在双曲线上， ∴，解得， 所以所求双曲线的标准方程为． 【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可． 3．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由渐近线方程，设出双曲线方程，结合与椭圆有相同的焦点，求出双曲线方程. 【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程为： ∴设双曲线： ∵双曲线与椭圆有相同的焦点 ∴，解得： ∴双曲线的方程为. 故选：B. 4．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）结合题意求出双曲线的长、短半轴长，根据焦点位置，即可求得双曲线方程. 【详解】（1）因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，所以， 解得，所以， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）依题意，可设所求双曲线的标准方程为. 因为焦距为，所以， 所以. 又渐近线方程为，所以， 则，所以所求双曲线的标准方程为. 5．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)双曲线的虚轴长为 ，以的左焦点为圆心，1为半径的圆的标准方程为 . 【答案】 ； . 【分析】写出双曲线的标准方程，进而确定其虚轴长、左焦点，根据圆心、半径写出圆的标注方程，即得答案. 【详解】由，得，则，，故， 所以双曲线的虚轴长为，左焦点的坐标为， 则所求圆的标准方程为． 故答案为：； 地 城 考点0 2 双曲线的定义 1．(24-25高二上·吉林八校·期中)若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（    ） A．3 B．12 C．15 D．3或15 【答案】C 【分析】利用双曲线方程求得，再利用双曲线的定义即可得解. 【详解】因为双曲线方程为，所以，则， 设双曲线的左､右焦点分别为， 又点在双曲线的右支上，且， 所以，则. 故选：C. 2．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（    ） A．9或1 B．1 C．9 D．9或2 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】是双曲线上一点，所以，所以， 由双曲线定义可知， 所以或者，又，所以， 故选：C 3．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)法国数学家蒙日发现：双曲线的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线对应的蒙日圆方程为，则 . 【答案】2 【分析】根据题意写出双曲线对应的蒙日圆方程，可得出关于的等式，即可求得正数的值. 【详解】由双曲线的方程可得， 由蒙日圆的定义可得双曲线对应的蒙日圆方程，所以，即， 可得. 故答案为：2. 地 城 考点0 3 双曲线的和差最值 1．(24-25高二上·吉林四平·期中)已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离 ，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论． 【详解】记双曲线的右焦点为，所以 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值． 故选：C． 2．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 3．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)（多选）设M为双曲线上一动点，为上下焦点，O为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则或6 B．双曲线C与双曲线的离心率相同 C．若点，M在双曲线C的上支，则最小值为 D．过的直线l交C于G、H不同两点，若，则l有2条 【答案】ABC 【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案. 【详解】因为,，所以，，则， 由双曲线的定义可知，，，则， 解得或6，当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 综上：或6，故A正确； 因为双曲线离心率为， 所以双曲线的离心率为， 双曲线即，离心率为， 所以双曲线C与双曲线的离心率相同，故B正确； ，当且仅当三点共线时，等号取到， 最小值为，故C正确； 由双曲线：，得， 直线l斜率为0时，方程为，联立得或， 所以，所以，不合题意， 当直线l斜率不存在时，，所以直线l斜率存在且不为0， 故设：，，设 联立得，则， 所以 ，所以或， 解得或，符合题意，所以这样的直线有4条，故D错误.    故选：ABC 地 城 考点0 4 双曲线的渐近线问题 1．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线的倾斜角求出渐近线的斜率，进而求得，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，， 所以该渐近线的方程为，所以， 解得或（舍去），所以， 此双曲线的右焦点坐标为，到一条渐近线的距离为. 故选：A 2．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·月考)已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线焦距可得与，进而可得渐近线方程. 【详解】由已知双曲线的焦距，即， 所以，解得， 即双曲线方程为， 则其渐近线方程为， 故选：B. 3．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可得直线与渐近线平行，结合平行关系运算求解. 【详解】双曲线可得，，， 所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为， 因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行， 所以，解得. 故选：B. 4．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用双曲线的离心率，求出的关系式，然后求渐近线方程. 【详解】解：双曲线的离心率是3， 可得，则. 则双曲线的渐近线的方程为：. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力. 5．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，设下焦点为，渐近线方程为，然后根据双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为求得即可. 【详解】因为， 所以下焦点为，渐近线方程为，即 ， 则下焦点到的距离为， 又因为， 解得，即， 所以渐近线方程为： 故选：B 6．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)（多选）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．若直线与双曲线C有交点，则 C．点P到C的两条渐近线的距离之积为 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2 【答案】AC 【分析】由双曲线的渐近线方程可判断A，通过对比直线与双曲线的渐近线斜率之间的关系可求解B，结合点到直线的距离公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，结合双曲线方程化简可得定值，则D可判断. 【详解】双曲线，则， 对于A，C的渐近线方程为，A正确； 对于B，由双曲线的渐近线方程为可知， 若直线与双曲线C有交点，则，B错误； 对于C，设点，则， 点P到C的两条渐近线的距离之积为，C正确； 对于D，易得，，设，则， 所以直线PA，PB的斜率之积为，D错误． 故选：AC. 7．(23-24高二下·贵州铜仁印江土家族苗族自治县智成中学·月考)已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】由双曲线方程确定一个焦点、一条渐近线，利用点线距离公式列方程求参数b，即可写出渐近线方程. 【详解】由题设，双曲线其中一个焦点为，一条渐近线为， 所以，故该双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 地 城 考点0 5 双曲线的焦点三角形 1．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】如图：    因为为右支上一点，所以. 因为为坐标原点，为线段的中点，所以，， 则. 故选：C 2．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以，由双曲线的定义可得， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，，设，则， 由得 ，解得，所以， 所以. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用，结合余弦定理与双曲线的定义，从而得解. 3．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·期中)已知，为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若为内切圆上一动点，当的最大值为4时，的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质及双曲线的定义，确定M的横坐标，即得出圆心的横坐标，利用圆的几何性质知的最大值即为，即可求解. 【详解】设的内切圆分别与，切于N，B，与切于M，如图，    则, 又点在双曲线右支上， 所以， 故，而， 设M的坐标为，可得: ， 解得， 设内切圆半径为，则内切圆圆心为， 则的最大值为，即， 解得. 故选：C 4．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 . 【答案】24 【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积． 【详解】双曲线的两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10， 由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x， 由双曲线的性质知x﹣x=2，解得x=6． ∴|PF1|=8，|PF2|=6， ∵|F1F2|=10，∴∠F1PF2=90°， ∴△PF1F2的面积=×8×6=24． 故答案为24． 【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，考查三角形面积的计算，属于基础题． 地 城 考点 0 6 双曲线的离心率 1．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，该笔筒中间最窄处的直径为得解. 【详解】依题意可得，所以， 所以该笔筒中间最窄处的直径为. 故选：B. 2．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，连接，则可得，然后在中利用余弦定理求得，则，从而可表示出，代入双曲线方程化简可求出离心率. 【详解】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，左右焦点为，连接， 因为线段的中点在圆上，所以， 所以≌，所以， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 所以，过作轴于，则， 所以， 所以，得， 所以，，所以， 所以离心率， 故选：A    【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意求得，然后在中利用余弦定理求出，从而可表示出点的坐标，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 3．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)设双曲线的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的距离为，双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】写出直线方程，由点到直线距离公式求得的齐次式，变形后可求得离心率． 【详解】因为直线l过，两点， 所以直线l的方程为，即， 所以原点到的距离①. 又②， 所以，即，故，解或. 当时，，与矛盾，所以. 故选：B. 4．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则a=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金双曲线的定义，结合双曲线离心率公式列方程求参数a即可. 【详解】由题意，则， 所以. 故选：B 5．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，即，由此即可求出离心率. 【详解】直线的斜率为， 由题意，得，所以， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：D. 6．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)（多选）已知为坐标原点，分别为双曲线，的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，为在第一象限上的一点，点的坐标为，为的平分线，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为2 C． D．点到轴的距离为 【答案】ABD 【分析】由到的距离为以及渐近线方程为可求得，即可得出方程，判断A；根据离心率公式即可判断B，由可求出判断C；利用等面积法可求得点到轴的距离，判断D. 【详解】对于A，由到渐近线的距离为，得，解得， 由渐近线方程为，得 ，结合可得，， 则双曲线的方程为，故A正确． 对于B，，故B正确． 对于C，为的平分线，则，故C错误． 对于D，由双曲线定义可得，则可得，， 在中，，， 设点到轴的距离为，则 即，解得，故D正确． 故选：ABD．    7．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)（多选）若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（    ） A．的渐近线上的点到距离的最小值为4 B．的离心率为 C．上的点到距离的最小值为2 D．过的最短的弦长为 【答案】AC 【解析】根据题意，求出，结合的关系式求出，利用双曲线的几何性质进行逐项分析，判断即可. 【详解】由题意知，，即，因为，所以，解得，所以右焦点为为，双曲线的渐近线方程为， 对于选项A：由点向双曲线的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为的渐近线上的点到距离的最小值，由点到直线的距离公式可得，， 故选项A正确； 对于选项B：因为，所以双曲线的离心率为，故选项B错误； 对于选项C：当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小为，故选项C正确； 对于选项D：过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，此时为过点的最短弦为，故选项D错误. 故选：AC 【点睛】本题考查双曲线的几何性质；考查运算求解能力；熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键；属于中档题. 8．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)已知曲线：（且）的左、右焦点分别为，，直线与交于点，. (1)若，且四边形是矩形，求的值； (2)若是上与，不重合的点，且直线，的斜率分别为，，若， ①求此曲线的的离心率； ②求. 【答案】(1)4 (2)①；② 【分析】（1）由，确定是椭圆，根据椭圆的对称性和焦点三角形解法可得； （2）先根据求得，即可求出曲线方程，根据双曲线的性质计算①②. 【详解】（1）当时，曲线：是椭圆，，    因为四边形是矩形，所以， ， 由椭圆的定义得， 所以； （2）设，则，， 设，则，与相减得， 所以， 所以． 所以，所以是双曲线，且曲线：； ①因为，所以离心率； ②．    地 城 考点0 7 抛物线的方程与应用 1．(24-25高二上·吉林四平·期中)已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出椭圆的焦点坐标，写出抛物线的焦点坐标，列出等量关系，求出，即可得抛物线的标准方程. 【详解】对于椭圆，，，则， 椭圆的焦点坐标为和， 抛物线的焦点的坐标为， 因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 2．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)已知抛物线的焦点为，为上的一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可知AD⊥BD，利用抛物线的定义，可得∠ABD＝30°，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12. 【详解】因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD. 由抛物线定义知，所以∠ABD＝30°. 因为F到准线的距离为6， 所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12. 故选：B.    3．(24-25高二上·吉林八校·期中)抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的标准方程求得正确答案. 【详解】依题意，，且抛物线的开口向上，焦点在轴上， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B 4．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线方程求出，由抛物线定义可得解. 【详解】由抛物线可得， 所以，， 故抛物线的焦点到准线的距离是. 故选：B 5．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)已知抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线方程与准线之间的关系分析求解. 【详解】由题意可知：，解得. 故选：C. 6．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线方程求出的值，从而可求出其焦点坐标. 【详解】由于抛物线的方程为， 所以，，则 所以抛物线的焦点坐标是， 故选：A. 7．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值. 【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3， 故选：B. 8．(24-25高二上·吉林四平·期中)抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】得出焦点位置和即可得出. 【详解】由化为，抛物线焦点在轴正半轴，且， 则准线方程为. 故选：A. 9．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值. 详解：由①得到，，故①无解， 所以直线与抛物线是相离的. 由， 而为到准线的距离，故为到焦点的距离， 从而的最小值为到直线的距离， 故的最小值为，故选A. 点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解. 10．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】AD 【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，，开口向左，故A正确； 对选项B，，焦点为，故B错误； 对选项C，，准线方程为，故C错误； 对选项D，，对称轴为轴，故D正确. 故选：AD 11．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)若抛物线C ：上的一点到焦点的距离为，到轴的距离为3，则 . 【答案】2 【分析】由抛物线的定义可得，解之即可求得. 【详解】抛物线C ：上的一点到焦点的距离为， 该点到准线的距离为. 又该点到轴的距离为3， ，解之可得或， 又 . 故答案为：. 12．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则 . 【答案】2 【分析】由抛物线的焦半径公式可得. 【详解】因在抛物线上，所以，故， 故答案为：2 地 城 考点0 8 轨迹方程问题 1．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)已知圆A：内切于圆P，圆P内切于圆B：，则动圆P的圆心轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的性质和椭圆的定义求得：，，再利用，，的关系求解方程即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 设圆的半径为， 由于圆内切于圆，所以； 由于圆内切于圆，所以； 由于， 所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆. 则，，所以，； 所以动圆的圆心的轨迹方程为. 故选：A 2．(23-24高二上·吉林长春文理高中有限责任公司·期中)在中，若，，的周长是18，则顶点C的轨迹方程是 【答案】， 【分析】根据得到顶点C的轨迹是椭圆，确定即可得方程. 【详解】设顶点， 则， 所以顶点C的轨迹是以为焦点的椭圆，除去左右两个顶点， 设该椭圆为， 其中， 所以椭圆为， 即顶点C的轨迹方程是，. 故答案为：，. 3．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点，根据可求出顶点的轨迹方程. 【详解】设点，则，，其中， 由题意可得，化简可得. 故顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 4．(24-25高二上·吉林通化集安第一中学·期中)在中，，，，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，分别表示与，化简即可. 【详解】设点， 则，， 则， 化简可得， 故答案为：. 5．(24-25高二上·吉林八校·期中)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用轨迹法，代入两点间距离公式，即可求解； （2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解； （3）首先直线与圆的方程联立，并利用坐标表示直线和的方程，并利用韦达定理表示，即可求解交点坐标， 【详解】（1）设，因为，所以， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为． （2）曲线的圆心到直线的距离， 所以． （3）证明：设． 联立得， ． 设，所以直线的方程为，直线的方程为． 因为直线与直线交于点，所以 则 ，即，解得， 所以点在直线上． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是坐标法的应用，利用韦达定理表示. 6．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)平面内，过点和的两条直线交于点P，且直线和直线的斜率之积为 (1)求点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线交点的轨迹C于、两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，根据斜率公式求解即可； （2）设直线的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式表示出，进而求解. 【详解】（1）设点，则， 化简得， 所以点P的轨迹C的方程为. （2）由题意，直线与轴不重合，设直线的方程为， 设，， 联立，消去得， 所以恒成立， ，， 所以 ， 因为，则， 即，即， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 7．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)已知点，动点M满足，点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)曲线C上任意一点N（不同于A，B）和点A，B的连线分别与y轴交于P，Q两点，O为坐标原点求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合，由向量的坐标运算化简即可求解曲线C的轨迹方程； （2）设，分别由点斜式求出直线和直线的方程，令可求，相乘即可求证. 【详解】（1）设点，因为，所以，化简得，所以曲线的轨迹方程为； （2）设点， 则直线的方程为，令得，所以， 直线的方程为，令得，所以， 所以． 8．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式. (1)求线段的长度； (2)求顶点的轨迹方程. 【答案】(1)线段的长度； (2)顶点的轨迹方程为 【分析】（1）、将椭圆的方程化为标准方程，确定两点的坐标，即可求出的长度； （2）、中根据正弦定理得,代入中并化简得到，即可得到C点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支. 【详解】（1）椭圆的方程为 椭圆的方程为 分别为椭圆的左焦点和右焦点， 线段的长度 （2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)， C点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且， ，，顶点的轨迹方程为 地 城 考点0 9 直线与双曲线的位置关系 1．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)已知点，在双曲线上，线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据中点弦定理求出直线的斜率，然后求出直线的方程，联立后利用弦长公式求解的长. 【详解】设，，则可得方程组：，两式相减得：，即，其中因为的中点为，故，故，即直线的斜率为，故直线的方程为：，联立，解得：，由韦达定理得：，，则 故选：D 2．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法求解. 【详解】解：设，则， 两式相减得直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为， 经检验此时与双曲线有两个交点. 故选：A 3．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．若轴，则的周长为 B．若直线交双曲线的左支于点，则 C．面积的最小值为 D．的取值范围为 【答案】BD 【分析】利用双曲线的定义可判断A选项；利用平行四边形的几何性质可判断B选项；设直线的方程为，求出、，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可判断C选项；由双曲线的定义，求出关于的函数关系式，利用函数的单调性可求得的取值范围，可判断D选项. 【详解】双曲线的标准方程为，则， 易知点、，双曲线的渐近线方程为. 对于A选项，当轴，直线的方程为， 联立，可得，此时，， 则， 此时，的周长为，A错； 对于B选项，因为双曲线关于原点对称，则点关于原点的对称点也在双曲线上， 因为若直线交双曲线的左支于点，则点、关于原点对称， 即、的中点均为原点，故四边形为平行四边形， 所以，，即，B对； 对于C选项，易知的方程为，的方程为，所以，， 因为直线与双曲线的右支交于点、，则直线不与轴重合， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，解得， 由韦达定理可得，，可得， 联立可得，即点， 联立可得，，即点， 所以，，， 所以，，当且仅当时，等号成立，C错； 对于D选项， ， 当时，， 当时，， 因为函数在上单调递减， 此时， 当时，因为函数在上单调递减， 此时， 综上所述，的取值范围是，D对. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围 4．(24-25高二上·吉林长春第八中学·期中)设双曲线的半焦距c，坐标原点到直线的距离等于，则c的最小值为 【答案】4 【分析】先根据点到直线的距离求得，进而根据均值不等式的性质求得求得c的范围． 【详解】解：依题意可知， ， ， ，解得或（舍去） 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是利用点到直线的距离求得和的关系 5．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由离心率值双曲线为等轴双曲线设为，将点代入求解即可； （2）通过直线与双曲线联立，利用根与系数的关系表示弦长，利用求解即可. 【详解】（1）因为双曲线离心率为，所以是等轴双曲线， 设双曲线方程为， 将点代入方程, 得， 双曲线方程为. （2）右焦点为，则直线的方程为， 由，得， 设、，则：， 又原点到直线的距离为， [另解]：由，得， 设、，则：， ， . 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，用到了弦长公式及根与系数的关系，着重考查了学生的运算能力，属于基础题. 6．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)已知双曲线的左右焦点与点构成等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过定点且与双曲线交于两点，当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）由条件直接得出焦距，结合双曲线表示出，建立方程解得的值，便可以写出双曲线方程的标准方程； （2）设直线方程，联立方程组，由韦达定理表示出焦点弦长，解得斜率的值，从而得出直线的方程. 【详解】（1）由等边三角形可知双曲线焦距为， ∵，即，∴，∴，∴， 双曲线的标准方程为：． （2）显然当直线的斜率不存在时，直线与双曲线不相交， ∴设直线的方程为， 联立方程组得， ，解得， 由韦达定理可知， 即， 解得或． 所以直线的方程为或． 7．(24-25高二上·吉林四平·期中)已知等轴双曲线C：的左，右顶点分别为A，B，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于D，E两点（不与A，B重合），直线AD与直线BE的交点为P，证明：点P在定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据题意列式求，即可得双曲线方程. （2）分类讨论斜率是否存在，直线DE的方程为，，，联立直线l与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k的范围及关于k的表达式，再联立直线AD与BE求交点坐标，即可证结论并确定直线方程. 【详解】（1）由题意知，，解得， 所以双曲线C的方程是. （2）由（1）知，. 当直线DE的斜率存在时，设直线DE的方程为，，， 联立方程，消去y得， 则，且， 可得，， 直线AD的方程为，直线BE的方程为， 点P是直线AD与直线BE的交点，则， 所以 ，解得； 当直线DE的斜率不存在时，直线DE的方程为，不妨设，， 所以直线AD的方程为，直线BE的方程为， 点P是直线AD与直线BE的交点，所以，解得； 综上所述：点P在定直线上. . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 8．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·期中)已知双曲线，离心率为，，为其左右焦点，为其上任一点，且满足，． (1)求双曲线的方程； (2)已知，是双曲线上关于轴对称的两点，点是上异于，的任意一点，直线、分别交轴于点、，试问：是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中是坐标原点）． 【答案】(1) (2)是定值，定值为2 【分析】（1）根据离心率，，列出方程求解即可； （2）设直线的方程为，与双曲线联立，再根据，，三点共线，得到点的横坐标即可证明. 【详解】（1）设，（不妨设） 则 而 ∴ 又∵且 ∴，， ∴双曲线的方程 ∴． （2）是定值，定值为2． 法一：设直线的方程为，，， 代入，得， 因为渐近线方程为，与渐近线不平行，∴ 设点，，则， 由韦达定理可得：，， 由，，三点共线得， ， ∴，即为定值． 法二：是定值，定值为2， 设点，，则，， 令，∴， 同理：， 因为点，，在双曲线上， ∴（1）， （2）， ∴（3）， 由（1）（2）可得：，， 代入（3）可得：（定值）． 地 城 考点10 直线与抛物线的位置关系 1．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与抛物线交于两点，满足，点在准线上的射影为，若的面积，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设点在准线上的投影分别为，的延长线交准线于点，利用三角形相似可得，从而得到，根据为等边三角形可求，再利用中位线可求的值.我们也可以利用抛物线定义求出直线的倾斜角与焦半径的关系，从而可求的值. 【详解】如图，点在准线上的投影分别为，的延长线交准线于点A， 解法1：由抛物线的定义可设，， 由得，所以， 所以为等边三角形，面积为，故边长为2，故 因为，故为的中点， 所以到距离， 解法2： 不妨设PQ的倾斜角为锐角，如图（2），过作的垂线，垂足为， 则，， 故，故， 同理， 所以，所以，， 所以，所以为等边三角形，面积为，故边长为2，故， 解得. 故选：A. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形（如三角形、直角梯形等）来沟通已知量与的关系，本题属于中档题. 2．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解. 【详解】由得，， 由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为， 联立与可得， 设，则，故， 因此，当且仅当时取等号， 故选：C 3．(24-25高二上·吉林八校·期中)（多选）已知抛物线的准线l与圆相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（    ） A．点F的坐标为 B．的最小值为 C．存在两个P点，使得 D．若为正三角形，则圆M与直线PQ相交 【答案】ACD 【分析】对A，准线与圆相切，可知，即可确定焦点为F坐标，即可判断选项；对B，转化为，根据将军饮马理论可判断选项； 对C，若，则，做中垂线，解出方程，与抛物线联立，解得个数，即可判断几个交点；对D，根据为正三角形，可得解得纵坐标，和圆与轴交点比较，即可判断. 【详解】对A，准线与圆相切， 可知，可得，所以，故A正确； 对B，根据可得， 可确定最小值为，故B错误；    对C，若，则，做中垂线， 根据题意知，设为中点，则可得， 直线斜率为，根据点斜式可确定为， 与抛物线联立得， ， 所以可知有两个解，所以存在两个P点，使得，故C正确； 对D，根据为正三角形，所以，则， 且，所以可得，和圆与轴交点为， ，所以可知圆M与直线PQ相交，故D正确.    故选：ACD 【点睛】关键点点睛：合理利用抛物线上点到焦点距离和到准线距离相等. 4．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)（多选）过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，则（    ） A．的准线方程是 B．过的焦点的最短弦长为2 C．直线过定点 D．若直线过点，则的面积为24 【答案】AC 【分析】由题可得抛物线为，进而判断A；利用焦点弦的方程结合抛物线的定义结合条件可判断B；设直线为，联立抛物线利用韦达定理结合条件可得m、n的数量关系，可判断C；由直线过点可得直线为，进而结合点到直线的距离和弦长公式求解，进而判断D. 【详解】将代入中得，即， 则抛物线为， 所以的准线方程是，故A正确； 抛物线的焦点为，可设过的焦点的直线为， 联立，可得，设交点为， 则，， 所以，即过C的焦点的最短弦长为4，故B不正确； 设，，直线为， 联立，可得：， 所以，， 又， 所以， 因为，，即， 所以， 化简整理得， 即，得， 所以直线为， 所以直线过定点，故C正确； 若直线过点，则，即，， 所以，， 直线为，即， 所以， 点到直线的距离为， 所以，故D不正确. 故选：AC. 5．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)（多选）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用倾斜角和抛物线定义，分别求出点的横坐标即可得，可判断A；求出直线方程，联立抛物线方程求出点横坐标，利用定义即可得，然后可判断B；根据点的横坐标求出即可判断C；将代入直线方程，求出纵坐标，然后由可得面积，可判断D. 【详解】选项A：过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以，所以， 由抛物线定义可得，，所以， 解得，故A正确．    选项B：由A得抛物线的方程为，，直线的方程为， 联立直线方程与抛物线的方程并化简，得，得或， 所以，故，故，B错误． 选项C：由，，得，故C正确． 选项D：由上知，得， 故，故D正确． 故选：ACD 6．(24-25高二上·吉林四平·期中)（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．以为直径的圆与准线相交 C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条 【答案】ACD 【分析】根据焦点弦公式即可判断A；求出线段的中点坐标及圆的半径，从而可判断B；根据抛物线的定义可得，即可判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D. 【详解】抛物线焦点，准线， 由题意，故A正确； 因为，则以为直径的圆的半径， 线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与准线相切，故B错误； 抛物线的焦点为，， 当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确； 对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点， 当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得， 当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点， 当时，则，解得， 综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确． 故选：ACD． 地 城 考点11 抛物线解答题 1．(24-25高二上·吉林通化第一中学校·期中)已知是抛物线上的一点. (1)求的焦点坐标与准线方程； (2)若直线经过的焦点，且与交于两点，求的最小值. 【答案】(1)焦点坐标为， (2) 【分析】（1）将点代入抛物线，求出的值，即可得到结果. （2）联立直线和抛物线，表示弦长，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）∵是抛物线上的一点， ∴，解得，， ∴的焦点坐标为，准线方程为. （2） 由（1）得抛物线. ∵直线经过的焦点，∴. 由得. 设，，则， ∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为. 2．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·期中)已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线相切，且切点为，点为抛物线C上的点． (1)求直线的方程； (2)若直线不与轴垂直，点在轴上，轴，．若直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，求证：． 【答案】(1)或 (2)证明见解析； 【分析】（1）求出抛物线方程，再结合直线与抛物线相切的几何意义求得直线方程； （2）根据已知条件分别求得三点的坐标，即可证得. 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，则，所以抛物线的方程为， 当斜率存在时，设过点的直线的方程为，因为直线与抛物线相切，则联立得，，由解得，， 所以直线的方程为. 当直线斜率不存在时，满足过点的直线与抛物线相切，故过点与抛物线相切的直线方程为或 （2）因为直线不与轴垂直，则直线的方程为，根据题意如图所示：    由得，因为点为抛物线C上的点，设， 由，则为的中点，则，因为轴，且直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，则 得，由得， 由，所以为的中点，即. 3．(23-24高二上·吉林延边第二中学·期中)已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的标准方程和准线方程； (2)记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)抛物线的方程为，准线方程为 (2)证明见解析，定点坐标为或 【分析】（1）根据已知得出直线的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出； （2）设，联立方程根据韦达定理得出的关系.进而表示出的方程，求出，的坐标，得出圆的方程.取，即可得出定点坐标. 【详解】（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为，直线的方程为. 联立抛物线与直线的方程可得， . 设，，由韦达定理可得， 则，所以. 所以，抛物线的方程为，准线方程为. （2）设直线， 联立直线与抛物线的方程可得，. 所以，，. 又，，所以. 同理可得. 设圆上任意一点为，则由可得， 圆的方程为， 整理可得，. 令，可得或， 所以，以为直径的圆过定点，定点坐标为或.    【点睛】思路点睛：直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令变参数为0，得出方程，求解即可得出求出定点的坐标. 4．(23-24高二上·吉林长春吉大附中实验学校·期中)已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O. 【答案】(1) (2)见解析. 【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程. （2）直线l与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证. 【详解】（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得， 所以抛物线的方程为. （2）设， 联立， 由韦达定理得， 所以 所以， 所以以为直径的圆经过原点O.得证 5．(24-25高二上·吉林长春长春汽车经济技术开发区第三中学·期中)已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求解； （2）设点代入抛物线方程，然后利用点差法求解直线的斜率，然后根据点斜式即可解得直线的方程； 【详解】（1）因为， 所以， 故抛物线的方程为． （2）    易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即. 6．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知抛物线x2=2py（p>0）上一点R(m，2)到它的准线的距离为3.若点A，B，C分别在抛物线上，且点A、C在y轴右侧，点B在y轴左侧，△ABC的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足3|AM|<2|BM|，直线BC交y轴于点N.记△ABC，△AMG，△CNG的面积分别为S1，S2，S3. （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）由抛物线x2=2py（p>0）上一点R(m，2)到它的准线的距离为3构建方程，求得p，则可得准线方程； （2）设点，，由面积公式可知由点G为的重心，且在y轴上，可以表示，由相似三角形可知，即可表示 ，令，整理得，由，得将视为二次函数求得值域，进而求得的范围，取倒即可得答案. 【详解】（1）有题意知，，，所以准线方程： （2）设点， 点G为的重心，且在y轴上， 所以，且，则，且由相似三角形可知 所以 令， 因为，所以，故 ，则 故 【点睛】本题考查在抛物线的背景下探究平面图形面积比的范围问题，涉及求抛物线的标准方程，还考查了三角形重心的性质，属于难题. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $