广东省广州市越秀区执信中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷

2025-2026学年广东省广州市越秀区执信中学 九年级上学期第一次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：、当时，即该方程的二次项系数是时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、由，得，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误； C、是分式方程，不是整式方程； D、符合一元二次方程的概念，故本选项正确； 故选：． 判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是由一元二次方程的概念对四个选项进行验证，可得正确答案． 本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 2.抛物线的顶点坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题知， 因为抛物线的解析式为， 所以抛物线的顶点坐标为． 故选：． 根据所给二次函数解析式，求出顶点坐标即可． 本题主要考查了二次函数的性质，能根据所给解析式求出顶点坐标是解题的关键． 3.关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D  【解析】解：抛物线， 该函数图象开口向下，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意； 与轴的交点坐标为，故选项C错误，不符合题意； 顶点坐标为，故选项D正确，符合题意； 故选：． 先将题目中的解析式化为顶点式，然后即可判断哪个选项符合题意． 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4.抛物线经过三点，则，，的大小关系正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：的对称轴为直线，且开口向上， 越靠近，的值就越小； 距离三个单位，距离一个单位，距离一点五个单位； ； 故选：． 根据抛物线的解析式得到对称轴为直线，且开口向上，可推出越靠近，的值就越小，比较的值即可得出结果． 本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 5.用配方法解方程，下列配方结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， ， 则，即， 故选：． 将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 6.将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是(    ) A. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【答案】D  【解析】解：抛物线向右平移个单位长度，再向下平移两个单位长度得到抛物线， 故选：． 根据函数图象平移的法则解答即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 7.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】C  【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得且， 故选：． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出解集即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 8.设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意得，，， 所以 ， 故选：． 根据根与系数的关系得到，，再将变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 9.年月日，曲靖市举行避暑旅游新闻发布会，诚邀各地游客来曲靖避暑，体验“的夏天”随着川渝避暑大军的到来，我市某景区游客人数逐月增加，七月份游客人数为万人，九月份游客人数为万人设八、九两个月该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设八、九两个月该景区游客人数的月平均增长率为，则八月份游客人数为万人，九月份游客人数为万人， 由题意得，， 故选：． 设八、九两个月该景区游客人数的月平均增长率为，则八月份游客人数为万人，九月份游客人数为万人，据此列出方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据每月的增长率相同，表示出月份的游客人数可列出方程． 10.二次函数的对称轴是，该抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：，，，若点在二次函数的图象上，则关于的不等式的解集是，其中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：二次函数的对称轴是， ， ， ，正确； 抛物线的顶线坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，成立，故正确； 抛物线与轴的一个交点在点和点之间， 由抛物线的对称性可知，另一个交点在和之间， 时，， ， ， ， ，正确； 抛物线的顶线坐标为，点在二次函数的图象， 抛物线与直线有两个交点， 交点的横坐标即为方程的两个实数根， 点在二次函数的图象， 为其中一个实数根， 根据函数图象对称性，对称轴为直线， 另一个实数根是， 关于的不等式的解集是， 正确， 故选：． 根据抛物线的对称轴可判断对错；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到，即可判断对错；抛物线的对称性可知，当时，，得到，即可判断对错；根据二次函数和直线的交点，即可判断对错． 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握对称轴，最值，相应方程的根是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知是二次函数，则实数______． 【答案】  【解析】解：是二次函数， ， 解得或， ， ， ． 故答案为：． 根据二次函数定义可得且，再解即可． 此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 12.已知是方程的一个根，则另一个根为      ． 【答案】  【解析】解：设另一个根为，根据题意得： ， ． 故答案为：． 设另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．若二次项系数为，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 13.在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，则抛物线的对称轴为      ． 【答案】直线  【解析】解：由题意可知：，是抛物线上对称的两点， 抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线． 由题意得抛物线的对称轴为直线，即可求解． 本题考查了已知抛物线上对称的两点求对称轴，掌握其相关知识点是解题的关键． 14.方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为          ． 【答案】  【解析】解：， 解得，， 当等腰三角形的三边是，，时，，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边是，，时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是． 故答案是：． 15.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”若一元二次方程是“倍根方程”，的值为      ． 【答案】  【解析】解：由题意可设：与且是方程的两个根， ， ， 解得：，， 故答案为：． 根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案． 本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程以及根与系数的关系，一元二次方程解的概念，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 16.太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名图中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图所示，喷口为点，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足，则该水柱的最大高度为       【答案】  【解析】解：其物线形水柱，其解析式为， ， 水柱的最大高度是． 故答案为：． 直接利用二次函数最值求法得出答案． 此题主要考查了二次函数的应用，正确理解二次函数顶点坐标的意义是解题关键． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 17.解方程： ； ；配方法 ； ． 【答案】解： 解得：，； ， ，  ，  ， 解得：，   ； 解得：   ；    ， 解得：   ．  【解析】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握相关解方程方法是解题关键． 利用直接开平方法解方程得出答案； 利用配方法解方程得出答案； 利用因式分解法解方程得出答案； 利用直接开平方法解方程得出答案． 四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： 求，，的值； 若，两点都在该函数的图象上，试比较与的大小． 【答案】，，；   当时，；当时，；当时，  【解析】根据题意，当时，；当时，； ， ； 当时，． 由题意可得： ， ， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 根据表格得到与都在函数图象上，代入函数解析式求出与，再求解的值即可； 求出，根据的取值分类讨论即可求解． 本题考查二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 19.本小题分 关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实数根； 若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】证明过程见解答；     【解析】证明：在一元二次方程中， ， ， 方程总有两个实数根； 解：， ， 或， 方程有一个根为非负数， ， ． 先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于证明即可； 先用因式分解法解一元二次方程，得出或，由题意可知，然后解不等式即可． 本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键． 20.本小题分 已知函数． 该抛物线的对称轴是直线______，顶点坐标是______． 在如图的坐标系中画出该抛物线的图象． 根据图象直接写出当时，的取值范围是______． 根据图象写出当时，的取值范围______． 【答案】；；   ；   ；     【解析】， 该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：；； 列表得： 画图得： 由图象可知：当时，的取值范围是， 故答案为：； 当时，， 结合图象可得：当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 故答案为：． 根据顶点式的特征回答即可； 运用描点法作图即可； 根据函数图象与轴交点的位置回答即可； 根据开口向下时离对称轴越近函数值越大回答即可． 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题等知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 21.本小题分 在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售已知每个天宫模型的成本比神舟模型低元，商家购进个天宫模型和个神舟模型共花费元． 每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？ 该商家计划购进两种模型共个，每个神舟模型的售价为元，每个天宫模型的售价为元设其中购进的神舟模型为个，销售这批模型所得利润为元． 求与之间的函数关系式不要求写出的取值范围； 若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元；   ；购进神舟模型个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为元  【解析】设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元． 依题意，得解得 答：每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元． 购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个． ， 即． 购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半， ，解得． ，随的增大而增大，为整数， 当时，元． 答：购进神舟模型个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为元． 设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； 购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个，然后表示出； 根据购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半列出不等式，得到，然后根据一次函数的性质求解即可． 本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程组． 22.本小题分 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，四边形为平行四边形． 直接写出，，三点的坐标； 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)解：，，；  (2)四边形为平行四边形，，， ，，， 设平移后的抛物线为，，解得， 平移后的抛物线为20.   【解析】 略  略 23.本小题分 如图，是一名运动员在排球场比赛中跳发球的过程，球的飞行路线可以用二次函数如图刻画，其中轴是球网所在的位置，轴是水平地面，排球飞行的水平距离米与其飞行的高度米的变化规律如表排球场地标准：长米，宽米： ______； 求函数的解析式； 排球的落点是，求点的坐标． 若排球运动员击球高为米，请通过计算说明该运动员有没有踩线犯规提示：到轴的距离大于米 【答案】；；   ；该运动员发球时没有踩线犯规  【解析】， 抛物线对称轴为直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， ． 故答案为：； ，， ． 把，代入得：． ． 函数解析式：； 点在横轴上， ， ． 舍 点的坐标． 当时， 舍， 点到轴的距离为米 排球场地长为米，左半场为米， 说明该运动员发球时没有踩线犯规． 根据对称性可求出的值即可； 待定系数法求出函数解析式； 令求解即可； 令求出的值，与比较大小即可． 本题考查了二次函数的应用，审清题意、掌握数形结合思想是解题的关键． 24.本小题分 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． 求抛物线对应的函数解析式． 若为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标． 将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中随增大而增大的部分记为图象若图象与直线有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)把，代入，得解得抛物线对应的函数解析式为  (2)如图，过点作轴，垂足为.由（1）知，.设点的坐标为，则点的坐标为，，，，，.，整理，得，解得或.点在抛物线上，当时，；当时，.点的坐标为（-1，4）或（-2，3）  ​​​​​​​  (3)设直线对应的函数解析式为.把，代入，得解得直线对应的函数解析式为.由（1）知抛物线对应的函数解析式为.设平移后的抛物线对应的函数解析式为，则平移后的抛物线的顶点坐标为.图象与直线只有一个交点，有以下两种情况：①当时，，即，解得；②抛物线与直线只有一个交点.令，即，整理，得.，解得.综上所述，若图象与直线有且只有一个交点，的取值范围是或 ​​​​​​​   【解析】 略  略  略 25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． 求该抛物线对应的函数解析式． 当时，的取值范围是，求的值． 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)由，抛物线的对称轴为直线，得抛物线和轴的另外一个交点为（-1，0），则抛物线对应的函数解析式为，解得，抛物线对应的函数解析式为  (2)若，则当时，取最小值，为0，当时，取最大值，为.，解得或，均不符合题意.若，则当时，取得最大值，为4.，解得.综上所述，的值为2.5  (3)存在由抛物线对应的函数解析式知，点.①如图，当为菱形的对角线时，对应的菱形为菱形，则.由点，的坐标，易得直线对应的函数解析式为.设，则，，.，解得或（舍去）.，即菱形的边长为.②如图，当为菱形的对角线时，对应的菱形为菱形，则.易知，，解得或（舍去）.，即菱形的边长为2.综上所述，菱形的边长为或2    【解析】 略  略  略 第2页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省广州市越秀区执信中学 九年级上学期第一次月考数学模拟试卷 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.抛物线的顶点坐标为(    ) A. B. C. D. 3.关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 4.抛物线经过三点，则，，的大小关系正确的是(    ) A. B. C. D. 5.用配方法解方程，下列配方结果正确的是(    ) A. B. C. D. 6.将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是(    ) A. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 7.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 8.设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.年月日，曲靖市举行避暑旅游新闻发布会，诚邀各地游客来曲靖避暑，体验“的夏天”随着川渝避暑大军的到来，我市某景区游客人数逐月增加，七月份游客人数为万人，九月份游客人数为万人设八、九两个月该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，可列方程为(    ) A. B. C. D. 10.二次函数的对称轴是，该抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：，，，若点在二次函数的图象上，则关于的不等式的解集是，其中正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知是二次函数，则实数______． 12.已知是方程的一个根，则另一个根为      ． 13.在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，则抛物线的对称轴为      ． 14.方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为          ． 15.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”若一元二次方程是“倍根方程”，的值为      ． 16.太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名图中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图所示，喷口为点，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足，则该水柱的最大高度为       三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.解方程： ； ；配方法 ； ． 18.本小题分 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： 求，，的值； 若，两点都在该函数的图象上，试比较与的大小． 19.本小题分 关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实数根； 若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 20.本小题分 已知函数． 该抛物线的对称轴是直线______，顶点坐标是______． 在如图的坐标系中画出该抛物线的图象． 根据图象直接写出当时，的取值范围是______． 根据图象写出当时，的取值范围______． 21.本小题分 在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售已知每个天宫模型的成本比神舟模型低元，商家购进个天宫模型和个神舟模型共花费元． 每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？ 该商家计划购进两种模型共个，每个神舟模型的售价为元，每个天宫模型的售价为元设其中购进的神舟模型为个，销售这批模型所得利润为元． 求与之间的函数关系式不要求写出的取值范围； 若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 22.本小题分 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，四边形为平行四边形． 直接写出，，三点的坐标； 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式． 23.本小题分 如图，是一名运动员在排球场比赛中跳发球的过程，球的飞行路线可以用二次函数如图刻画，其中轴是球网所在的位置，轴是水平地面，排球飞行的水平距离米与其飞行的高度米的变化规律如表排球场地标准：长米，宽米： ______； 求函数的解析式； 排球的落点是，求点的坐标． 若排球运动员击球高为米，请通过计算说明该运动员有没有踩线犯规提示：到轴的距离大于米 24.本小题分 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． 求抛物线对应的函数解析式． 若为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标． 将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中随增大而增大的部分记为图象若图象与直线有且只有一个交点，求的取值范围． 25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． 求该抛物线对应的函数解析式． 当时，的取值范围是，求的值． 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，请说明理由． 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $