5.2.3 古典概型-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

故选BC 12.BCD【解析】画树形图如下： 甲 石头 剪刀 乙石头剪刀布石头剪刀布石头剪刀布 从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9 种，这些结果出现的可能性相等，P(甲获胜)= 青，P(乙获胜)号，故玩一局甲不输的概率是号，故 A错误； 不超过14的素数有2,3,5,7,11,13，共6个， 从这6个素数中任取2个，有2与3,2与5,2与7,2 与11,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与 7,5与11,5与13,7与11,7与13,11与13，共15 种结果，其中和等于14的只有一组3与11，∴.在不超 过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的 概率为5，故B正确： 基本事件总数有6×6=36种，其中点数之和是6的 有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共 5种楷况，则所求概率是6，故C正确， 记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,任取两 件产品的所有可能为AA2,AA,AB,AA3,AB,AB, 共6种，其中两件都是正品的有A,A2,AA3,A2A3,共 3种，则所求概率为P3=1 产音子，故D正确，放选BCD 5.2.3古典概型 效果评价 1.D【解析】甲、乙、丙至多有2种被选取的对立 事件为甲、乙、丙都被选取，记此事件为A,依题意， 所有基本事件为（甲，乙，丙），（甲，乙，丁）， (甲，乙，戊)，（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲 丁，戊)，（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁， 戊)，（丙，丁，戊），共10种，其中事件A所包含的 事件数为1，.根据古典概型的概率公式可得P(4)= 。再根据对立事件的概率公式可得所求事件的概率为 1-PAI0品放选D. 2.B【解析】给“小萌芽”“小萌花”“牡丹花” 参考答案⊙ “菊花”编号分别为1,2,3,4.从中选2个基本事件为 12,13,14,23,24,34,共6个，2张恰好是“小萌 芽”和“小萌花”卡片的概率为上.故选B. 6 3.C【解析】M={1,3,N=1,3,5,7,9},若从 集合M,N中各任取一个数x,y,基本事件总数n=10, 1og(xy)为整数包含的基本事件有(1,1)，(1,3)， (1,9),(3,1),(3,3),(3,9),共有6个， :le0y)为整数的展率为严品号故选C 4.C【解析】由题为古典概型，基本事件的总数共 有36种，满足1a-b1≤1的有(1,1)，(2,2)， (3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2), (2,1),(3,2),(2,3),(3,4),(4,3), (5,4),(4,5),(5,6),(6,5),共16种情况， 则概率为八名专故选C 5B【解析】由题意可得元年解得)3，从商 校C中抽取3人，记从高校B抽取的2人为b1,b2,从 高校C抽取的3人为c,c2,C,则从高校B,C抽取的 5人中选2人作专题发言的基本事件有(b,b),(b, c),(b,c2),(b,c),(b2,C),(b2,c),(b2, c),(c,c2),(c,c),(c,c),共10种，选中的 2人都来自高校C的基本事件有(c,c2),(c,c), (Q,c以，共3种，故所求概率户品故选B 6.ACD【解析】向上的点数为奇数与向上的点数为 偶数的概率相等，A符合题意，张明获胜的概率是号， 而李华获胜的概率是}，故游戏规则不公平，B不符合 题意；扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，C符 合题意；两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率 相等，D符合题意.故选ACD. 7品【解析】设3名男同学为A,B,C,2名女同 学为a,b.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学 参加志愿者服务，有AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb, Ca,Cb,ab,共10种情况，选出的2名同学中至少有1 名女同学，有Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共7种 75 N 高中数学必修第二册人教B版 情况，故所求概率为记 8.写【解析】由茎叶图可得甲的5次得分分别为 18,19,20,21,2,则甲的平均得分为号×18+19+ 20+21+22)=20.设污损数字为x,则乙的5次得分分别为 15,16,18,28,(20+),则乙的平均得分为号×(15+ 16+18+28+20+)=19.4+号，0≤x≤9，xeZ,当x= 1,2时，甲的平均得分高于乙的平均得分，.甲的平均 得分高于乙的平均得分的概率为品号 9号【解析】不超过15的质数有2,3,5,7， 11,13,共6个，从中选2个质数一共有15种，和等 于16的有(3,13)，(5,11)两种，由古典概型的概 率计算公式知，和等于16的概率为号，和不等于16的 概牵为1后号 10.解：(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与 [30,35)有组的人数相同.0=25，且6=25×88 10.点人数N点5250 (2).第1,2,3组共有25+25+100=150（人），利 用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数 分别为：第1组的人数：6x高-1，第2组的人数：6x 高-1，第3组的人数：6x0=4,六第1,2,3组分 别抽取1人、1人、4人. (3)由(2)可设第1组的1人为A,第2组的1人 为B,第3组的4人分别为C,C2,C,C4,则从6人 中抽取2人的所有可能结果为(A,B),(A,C), (A,C),(A,C),(A,C4),(B,C),(B,C2), (B,C),(B,C4),(C,C2),(C,C),(C, C4),(C2,C),(C2,C),(C,C4),共有15种.其 中恰有1人在第3组的所有结果为(A,C),(A,C), (A,C),(A,C4),(B,C),(B,C),(B,C), (B,C),共有8种，恰有1人在第3组的概*为 76 提升练习 1.解：（)当n=6时，ke[60,70),M=d 1×10-0.1: 频率为p=10 当n=7时，ke[70,80,M=0颜率为p0× 10=0.2; 当n=8时，ke[80,90),M云颜率为=云× 10=0.4. 各产品等级的频率如下表所示： 质量指标值k90≤k<10080≤k<9070≤k<8060≤k<70 产品等级 B 0 D 频率 0.3 0.4 0.2 0.1 .0.1+0.2<0.5<0.1+0.2+0.4,.∴m∈(80,90)，.0.1+ 0.2+m-80x0.4=05,解得m=85. 10 (2)所抽取的7件产品中，A级品的数量为7× 0g,分对记为AA,A,B级品的数量为4. 分别记为B1,B2,B3,B 从这7件产品中任取2件产品，所有的基本事件有 AA2,AA3,ABI,AB2,A B3,AB,A2A3,A2B, AB2,A2B3,A2B4,A:B1,A:B2,AB3,A:Ba,BB2, BB3,BB4,BB3,BB4,BB4,共21个 事件“所抽的2件产品中至少有1件A级品”包含 15个基本事件，所求事件的概率为P5=三 Γ21-7 12.解：(1)记黑球为1,2号，白球为3,4号， 红球为5,6号，则甲的可能取球结果共有以下20种情 况：123,124,125,126,134,135,136,145,146， 156,234,235,236,245,246,256,345,346,356, 456.甲、乙平局时都得3分，.甲取出的3个小球是1 果1白1红，共8种特况，放平局的概*户器号 (2)甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的 是2红1白、1红2白、2红1黑共6种情况， 故先取者（甲）获胜的概率P:80 63 后取者（乙）获胜的概率=1号品品 ∴P=P,故先后取球的顺序不影响比赛的公平性。 5.2.4频率与概率 效果评价 1.D【解析】本题考查概率的概念和性质、互斥事 件和对立事件的概念.由于事件的频数总是小于或等于 试验的次数，从而任何事件的概率均满足0≤P(A)≤1， 其中必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故 A正确.若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B 为互斥事件；若A∩B为不可能事件，AUB为必然事 件，则称事件A与事件B为对立事件..互斥事件不一 定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，故B正 确，甲先抽抽到有奖奖券的概率为写，乙后抽抽到有奖 关券的概率为号×}了，放C正确某事件发生的每 率是一个确定的常数，与每次试验无关，与试验的次数 无关，故D错误.故选D. 2.D【解析】由表格可得，厨余垃圾投放正确的概 400 空=00+00了；可回收物投放正确的概率 24030+30号：其他垃圾投放正确的概率 240 60 20+20+60 子，厨余垃圾投放正确的概率为子，故A正确：生活垃 圾投放错误的有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错 误的概率为，300=3，故B正确；“厨余垃圾箱”中 1000-10 投放正确的概率 400430+20-9，“可回收物箱”中 400 8. 投放正确的概率为240+100+203· 240 2 “其他垃圾箱”中 60 6 投放正确的概率为100430+60号，该市三类垃圾箱 中投放正确的概率最高的是“厨余垃圾箱”，故C正确， D错误，故选D. 3.A【解析】甲、乙两人各写一个数字，所有可能 的结果为（奇，偶），（奇，奇），（偶，奇），（偶， 偶)，则都是奇数或都是偶数的概率为)，故游戏是公 平的，故A正确；随着试验次数的增加，频率会越来越 接近概率，故事件A发生的频率就是事件A发生的概率 参考答案。 是不正确的，故B错误；某人花100元买福利彩票，中 奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故C错误； 事件B可能发生也可能不发生，故事件B是随机事件， 故D错误.故选A. 4.B【解析】在相同的条件下做大量重复试验，一 个事件A出现的次数和总的试验次数之比，称为事件 A在这n次试验中出现的频率.当试验次数n很大时， 频率将稳定在一个常数附近.n越大，频率偏离这个常 数较大的可能性越小，这个常数称为这个事件的概率， 并不是说n越大，估计得越精确，A错误；事件A与事 件B相互独立，即A是否发生与B是否发生无关，事 件A是否发生与事件B是否发生也无关，它们相互独 立，B正确；抛一枚骰子，出现的点数不大于5记为事 件A,出现的点数为不小于2记为事件B,则事件A与 事件B同时发生是指点数为2,3,4,5，概*为合 号，面事件A与B巾恰有-个发生是指点数为1或6， 概率为名号<号，C错误：抛第一枚质地均匀的硬币， 如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出 现反面的可能性还是一样，D错误.故选B. 5.0.45【解析】设区间[25,30)对应矩形的高度 为x,则由所有矩形面积之和为1，得(0.02+0.04+0.06+ 0.03+x)x5=1,解得x=0.05,.该件产品为二等品的概率 为0.04×5+0.05×5=0.45. 6.0.4【解析】由题意，将买猪肉的人组成的集合设 为A,买其他肉的人组成的集合设为B,则维恩图如下. A∩B中有30人，Cu(AUB)中有10人，又不买猪肉 的有30人，BnC6A中有20人，只买猪肉的人数为 100-10-20-30=40,.这一天该市只买猪肉的人数与全 市人数的比值的估计值为物-04 10 猪肉30 其他肉 A B20 第6题答图 7.60【解析】·掷硬币时，出现正面朝上和反面朝 上的概率都是了，被调查者中大概有400人回答了问题5.2.3 古 效果评价 1.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教 学软件，若某学校要从中随机选取3种作为 教师“停课不停学”的教学工具，则其中 甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 A号 c号 D是 2.2019年北京世园会的吉祥物“小萌 芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、 勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹.造型 创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”， 通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被 赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊 使命.现从4张分别印有“小萌芽”“小萌 花”“牡丹花”“菊花”的4个图案的卡片 (卡片的形状、大小、质地均相同)中随机 选取2张，则2张恰好是“小萌芽”和“小 萌花”卡片的概率为() A司 B.G C a D号 3.对数的发明是数学史上的重大事件， 它可以改进数字的计算方法，提高计算速度 和准确度.已知M={1,3},N={1,3,5,7, 9},若从集合M,N中各任取一个数x,y, 则log3(xy)为整数的概率为() A古 B子 第五章统计与概率。 典概型 c D 4.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心 中想一个数字，记为a,再由乙猜甲刚才所 想的数字，把乙猜的数字记为b,其中a, b∈{1,2,3,4,5,6}，若1a-b1≤1，就称 甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游 戏，则他们“心有灵犀”的概率为（) A.g B号 c D. 5.为了对某课题进行研究，用分层抽样 方法从三所高校A,B,C的相关人员中抽 取若干人组成研究小组.有关数据见下表 (单位：人)： 高校 相关人数 抽取人数 叹 18 36 U 54 y 若从高校B,C抽取的人中选2人作 专题发言，则这二人都来自高校C的概率 为() A吉 B Cio D 6.(多选题)张明与李华两人做游戏， 则下列游戏规则中公平的有() A.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的 点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数 则李华获胜 练 49 N 高中数学必修第二册人教B版 B.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰 有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向 上则李华获胜 C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽 一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌 是黑色的则李华获胜 D.张明、李华两人各写一个数字6或 8,两人写的数字相同则张明获胜，否则李 华获胜 7.从3名男同学和2名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学 中至少有1名女同学的概率是 8.如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运 动员在五场比赛中的得分（均为整数），其 中一个数字被污渍盖住，则甲的平均得分高 于乙的平均得分的概率为 甲乙 891568 0122●8 第8题图 9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的 研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜 想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质 数的和，如14=3+11.在不超过15的质数 中，随机选取2个不同的数，其和不等于 16的概率是 10.某单位N名员工参加“社区低碳你 我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之 间.按年龄分组：第1组[25,30)，第2组 [30,35),第3组[35,40)，第4组 [40,45),第5组[45,50]，得到的频率 分布直方图如图所示.下表是年龄的频率分 布表： (50)练 区间[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50 人数 25 a b 频率 组距 0.08 0.06 0.04 0.02 0253035404550年龄 第10题图 (1)求正整数a,b,N的值： (2)现要从年龄较小的第1,2,3组中 用分层抽样的方法抽取6人，求年龄在第 1,2,3组的人数； (3)在(2)的条件下，从这6人中随 机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有 1人在第3组的概率. 提升练习 11.2020年是全面建成小康社会目标实 现之年，是全面打赢脱贫攻坚战的收官之 年为帮助某村巩固扶贫成果，该村的结对 帮扶共建企业在该村建立了一座精米加工 厂，并对粮食原料进行深加工，研发出一种 新产品.已知该产品的质量以某项指标值k (60≤k<100)为衡量标准，质量指标的等级 划分如下表： 质量指标 90≤k< 80≤k<90 70≤k<8060≤k<70 值飞 100 产品等级 B 0 为了了解该产品的生产效益，该企业先 进行试生产，从中随机抽取了1000件产 品，测量了每件产品的指标值，得到如图所 示的产品质量指标值的频率分布直方图.设 频率=M,当k∈[10m,10n+l0)(6≤n≤ 组距 8,n∈N)时，满足M=2 00 (1)试估计样本质量指标值k的中位数m: (2)从样本质量指标值不小于80的产 品中采用分层抽样的方法抽取7件产品，然 后从这7件产品中任取2件产品，求至少有 1件A级品的概率 频率 组距 60708090100质量指标值k 第11题图 第五章统计与概率。 12.袋中装有6个形状、大小完全相同 的球，其中黑球2个、白球2个、红球2 个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白 球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些 球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由 甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中， 然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的 总积分多者获胜 (1)求甲、乙成平局的概率； (2)从概率的角度分析先后取球的顺序 是否影响比赛的公平性. 练(51