5.2.2 事件之间的关系与运算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

听不合格饮料的样本点有(A,B),(A,B2),(A, B1),(A2,B2),(A3,B1),(A,B2),(A4,B1), (A,B2),(B,B2),共9个. 6.6【解析】经4次传球又回到A手中的基本事件 BABA,BACA,BCBA,CACA,CABA,CBCA, 共6种. 7.解：(1)“转出的数字是5”可能发生，也可能 不发生，故事件A是随机事件. (2)“转出的数字是0”，即B={0),不是样本空间 2={1,2,…,10)的子集，故事件B是不可能事件. (3)C=2=(1,2,…,10,故事件C是必然事件. 8.解：m表示第一次摸出球的编号，n表示第二次 摸出球的编号，则样本点可用(m,n),m,n∈(1,2， 3,4}表示. (1)若第一次摸出的球不放回，则m≠n,此时的样 本空间可表示为2={(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3)儿，共有12个样本点. (2)若第一次摸出的球放回，则m,n可以相同.此 时试验的样本空间可表示为2={(m,n)m,n∈ 1,2,3,4,共有16个样本点. 9.解：(1)由于x,y取值均为1,2,3,4,5， 6,.以(x,y)为坐标的点有(1,1)，(1,2)， (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), (4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2), (6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个. (2)公平.理由如下：满足x+y≥10的点有(4,6)， (5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6 个，·小王赢的概率是希石：满足x+y≤4的点有 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2), (3,1),共6个，小李赢的概率是名石，则小王赢 的概率等于小李赢的概率，.这个游戏规则公平 10.C①【解析】25件产品中只有2件次品，所以不 可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”是不可能 参考答案。 事件；25件产品中只有2件次品，从中任取3件产品， 则“至少有1件正品”为必然事件.A,B是随机事件. 故选CD. 提升练习 11.{(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9), (4,5,7),(4,7,9),(5,7,9)} 【解析】从长度为3,4,5,7,9的五条线段中任取 三条，样本空间2={(3,4,5)，(3,4,7)， (3,4,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9), (4,5,7),(4,5,9),(4,7,9),(5,7,9)}, 则取出的三条线段能构成一个三角形的样本空间是 {(3,4,5),(3,5,7),(3,7,9),(4,5,7), (4,7,9),(5,7,9) 12.①③【解析】一年按365天计算，每个人的生 日只占其中一天，放丙名学生的生日相同的概率是5· 故①正确： 根据“概率的意义”可知，买彩票中奖的概率是 0.001,是指买一张彩票可能中奖的概率为0.001，不是 指买1000张彩票就一定能中奖，故②错误； 两名球员从1~10共10个数字中各抽取1个，每个 数字被抽到的概率是相同的，再比较大小，则这种抽签 方法是公平的，故③正确； 昨天气象局发布的天气预报说降水概率是90%，是 指可能性非常大，并不一定会下雨，故④错误. 5.2.2事件之间的关系与运算 效果评价 1.C【解析】甲、乙不能同时得到红色，因而这两 个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即 “甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事 件不是对立事件，故选C. 2.B【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一 面出现任意一种点数的概率都是石，记事件A为“向 上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数为6”， P4)君分，P(B)-右，且A与B为互斥事作， :P(AUB)=P(A)+P(B)=2+63 1+1=2.故选B. 3.D【解析】随机事件A,B互斥，A,B发生的 73 N 高中数学必修第二册人教B版 概率均不等于0，且P(A)=2-a,P(B)=4a-5, 0KP(A)<1, 0k2-a<1, 0kP(B)<1, 即0<4a-5<1,解得5 a≤号，即 P(A)+P(B)≤1， 3a-3≤1， ae子，号放选D 4.A【解析】从10件同类产品中，抽取3件的基本 事件有A:3件正品；A2:2件正品1件次品；A:1件 正品2件次品.事件“1件正品2件次品”显然为A, 事件“恰有1件次品”显然为A2,A2与A,互斥而不对 立.故选A. 5.BC【解析】恰有一个是奇数和有两个是偶数包 含一个奇数和两个偶数的情况，故A错误；至少有两个 是偶数和至少有两个是奇数是不可能同时发生的，故B 是互斥事件；至少有一个是奇数和三个都是偶数是不可 能同时发生的，故C是互斥事件；至少有一个是奇数和 至少有一个是偶数包含一个是奇数和两个是偶数或者一 个是偶数和两个是奇数的情况，故D不是互斥事件.故 选BC 6.0.9【解析】P(B)=0.6→P(B)=0.4,P(AUBUC)= P(A)+P(B)+P(C)=0.9. 7.出现2,4,6点出现2,4点【解析】易知B= “出现6点”，则AUB=“出现2,4,6点”，A∩B=“出 现2,4点” 8.解：(1)由图可知：区域1表示该生数学、语 文、英语三种资料都订阅；区域4表示该生只订阅数 学、语文两种资料；区域5表示该生只订阅了语文资 料：区域8表示该生三种资料都未订阅， (2)“恰好订阅一种学习资料”包括只订阅数学为 ABC,只订阅语文为ABC,只订阅英语为ABC,并且这 三种相互互斥，.“恰好订阅一种学习资料”用A,B, C表示为ABC+ABC+ABC,“没有订阅任何学习资料” 用A,B,C表示为ABC. 9.解：(1)由题意可知三个圆可能颜色一样，可 能有两个一样，另一个异色，或者三个圆都异色，则试 验的样本空间2={（红，红，红），（黄，黄，黄）， (蓝，蓝，蓝)，（红，红，黄），（红，红，蓝），（蓝， 蓝，红)，（蓝，蓝，黄），（黄，黄，红），（黄，黄， 蓝)，（红，黄，蓝）}· 74 (2)A={(红，黄，蓝)}；B={(红，红，黄)，（红， 红，蓝)，（蓝，蓝，红），（蓝，蓝，黄），（黄，黄， 红)，（黄，黄，蓝），（红，黄，蓝）；C={(红，红， 黄)，（红，红，蓝），（蓝，蓝，红），（蓝，蓝，黄）， (黄，黄，红)，（黄，黄，蓝）}；D={(红，红，红)， (黄，黄，黄)，（蓝，蓝，蓝）}· (3)由(2)可知事件B包含事件C,事件A和B 的交事件与事件D互斥. 10.解：依照题意可知样本空间为2={(1,1)， (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1), (6,2),(6,3),(6,4)(6,5)(6,6)}. (1)事件A表示随机事件“第一次掷出1点”， A={1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6)}·事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和 为6”，B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2), (5,1)}.A∩B={(1,5)},AUB={(1,1),(1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4), (3,3),(4,2),(5,1)}· (2).事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比 第一次的大3”，.C={(1,4),(2,5),(3,6)}. :AnB={(1,5)}≠☑，A∩C={(1,4)}≠☑，BnC=0, .事件A与事件B、事件A与事件C不是互斥事件，事 件B与事件C是互斥事件. (3):事件A,表示随机事件“第一次掷出1点，第 二次掷出j点”，A1={(1,1)},A2=(1,2)},A3= {(1,3)},A4={(1,4)},A5={(1,5)},A6={(1,6)}, ..A=A UA,UA:UAUAsUA 提升练习 11.BC【解析】E,G事件有可能同时发生，不是互 斥事件，故A错误： F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1， 是互斥事件，且是对立事件，故B正确； F与G可以同时发生，不是互斥事件，故C正确； G与I也可以同时发生，不是互斥事件，故D错误 故选BC 12.BCD【解析】画树形图如下： 甲 石头 剪刀 乙石头剪刀布石头剪刀布石头剪刀布 从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9 种，这些结果出现的可能性相等，P(甲获胜)= 青，P(乙获胜)号，故玩一局甲不输的概率是号，故 A错误； 不超过14的素数有2,3,5,7,11,13，共6个， 从这6个素数中任取2个，有2与3,2与5,2与7,2 与11,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与 7,5与11,5与13,7与11,7与13,11与13，共15 种结果，其中和等于14的只有一组3与11，∴.在不超 过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的 概率为5，故B正确： 基本事件总数有6×6=36种，其中点数之和是6的 有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共 5种楷况，则所求概率是6，故C正确， 记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,任取两 件产品的所有可能为AA2,AA,AB,AA3,AB,AB, 共6种，其中两件都是正品的有A,A2,AA3,A2A3,共 3种，则所求概率为P3=1 产音子，故D正确，放选BCD 5.2.3古典概型 效果评价 1.D【解析】甲、乙、丙至多有2种被选取的对立 事件为甲、乙、丙都被选取，记此事件为A,依题意， 所有基本事件为（甲，乙，丙），（甲，乙，丁）， (甲，乙，戊)，（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲 丁，戊)，（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁， 戊)，（丙，丁，戊），共10种，其中事件A所包含的 事件数为1，.根据古典概型的概率公式可得P(4)= 。再根据对立事件的概率公式可得所求事件的概率为 1-PAI0品放选D. 2.B【解析】给“小萌芽”“小萌花”“牡丹花” 参考答案⊙ “菊花”编号分别为1,2,3,4.从中选2个基本事件为 12,13,14,23,24,34,共6个，2张恰好是“小萌 芽”和“小萌花”卡片的概率为上.故选B. 6 3.C【解析】M={1,3,N=1,3,5,7,9},若从 集合M,N中各任取一个数x,y,基本事件总数n=10, 1og(xy)为整数包含的基本事件有(1,1)，(1,3)， (1,9),(3,1),(3,3),(3,9),共有6个， :le0y)为整数的展率为严品号故选C 4.C【解析】由题为古典概型，基本事件的总数共 有36种，满足1a-b1≤1的有(1,1)，(2,2)， (3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2), (2,1),(3,2),(2,3),(3,4),(4,3), (5,4),(4,5),(5,6),(6,5),共16种情况， 则概率为八名专故选C 5B【解析】由题意可得元年解得)3，从商 校C中抽取3人，记从高校B抽取的2人为b1,b2,从 高校C抽取的3人为c,c2,C,则从高校B,C抽取的 5人中选2人作专题发言的基本事件有(b,b),(b, c),(b,c2),(b,c),(b2,C),(b2,c),(b2, c),(c,c2),(c,c),(c,c),共10种，选中的 2人都来自高校C的基本事件有(c,c2),(c,c), (Q,c以，共3种，故所求概率户品故选B 6.ACD【解析】向上的点数为奇数与向上的点数为 偶数的概率相等，A符合题意，张明获胜的概率是号， 而李华获胜的概率是}，故游戏规则不公平，B不符合 题意；扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，C符 合题意；两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率 相等，D符合题意.故选ACD. 7品【解析】设3名男同学为A,B,C,2名女同 学为a,b.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学 参加志愿者服务，有AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb, Ca,Cb,ab,共10种情况，选出的2名同学中至少有1 名女同学，有Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共7种 75N高申数学必修第二册人教B版 5.2.2事件之 效果评价 1.奥林匹克会旗 中央有5个互相套连 的圆环，颜色自左至 右，上方依次为蓝、 第1题图 黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲. 在手工课上，老师将这5个环分发给甲、 乙、丙、丁、戊五名同学制作，每人分得1 个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红 色”是() A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.不是互斥事件 2.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一 面出现任意一种点数的概率都是二，记事件 6 A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上 的点数为6”，则概率P(AUB)=() A青 c D.5 6 3.若随机事件A,B互斥，A,B发生 的概率均不等于0，且P(A)=2-a,P(B)= 4a-5,则实数a的取值范围是() A.(1,2) B.() c,告 D,专制 4.10件同类产品中，有8件是正品，2 件是次品，从中任意抽出3件，与事件“1 (46)练 间的关系与运算 件正品2件次品”互斥而不对立的事件为 () A.恰有1件次品 B.至多有1件次品 C.至少有1件次品 D.既有正品也有次品 5.(多选题)从1,2,3,4,5,6,7， 8,9这9个数字中任取三个数，下列事件为 互斥事件的有() A.恰有一个是奇数和有两个是偶数 B.至少有两个是偶数和至少有两个是 奇数 C.至少有一个是奇数和三个数都是 偶数 D.至少有一个是奇数和至少有一个是 偶数 6.已知三个事件A,B,C两两互斥 且P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(C)=0.2,则 P(AUBUC)= 7.在随机抛掷一枚骰子的试验中，事件 A=“出现不大于4的偶数点”，事件B=“出 现小于6的点数”，则事件AUB的含义为 ,事件A∩B的含义为 8.如图是某班级50名学生订阅数学、 语文、英语学习资料的情况，其中A表示订 阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学 习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的 学生 (1)从这个班任意选择一名学生，用自 然语言描述1,4,5,8各区域所代表的 事件： (2)用A,B,C表示下列事件： ①恰好订阅一种学习资料；②没有订阅 任何学习资料。 B 第8题图 9.用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小 相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜 色.设事件A=“三个圆的颜色全不相同”， 事件B=“三个圆的颜色不全相同”，事件 C=“其中两个圆的颜色相同”，事件D=“三 个圆的颜色全相同”· (1)写出试验的样本空间. (2)用集合的形式表示事件A,B,C,D. (3)事件B与事件C有什么关系？事件 A和B的交事件与事件D有什么关系？请说 明理由。 第五章统计与概率。 10.在试验“连续抛掷一枚均匀的骰子 2次，观察每次出现的点数”中，事件A表 示随机事件“第一次掷出1点”；事件A,表 示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出 j点”；事件B表示随机事件“2次掷出的点 数之和为6”；事件C表示随机事件“第二 次掷出的点数比第一次的大3”· (1)试用样本点表示事件A∩B与AUB; (2)试判断事件A与B、A与C、B与 C是否为互斥事件； (3)试用事件A,表示随机事件A. 练(47 N 高中数学必修第二册人教B版 提升练习 11.(多选题)有甲、乙两种报纸供市民 订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F 为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订 一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件 I为“一种报纸也不订”.下列命题正确的有 () A.E与G是互斥事件 B.F与I是互斥事件，且是对立事件 C.F与G不是互斥事件 D.G与I是互斥事件 12.（多选题)以下对各事件发生的概 率判断正确的有() (48)练 A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游 戏，则玩一局甲不输的概率是号 B.每个大于2的偶数都可以表示为两 个素数的和，例如8=3+5，在不超过14的 素数中随机选取两个不同的数，其和等于 14的概率为5 C.将一枚质地均匀的正方体骰子（每 个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)， 先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数之 和是6的概率是6 D.从三件正品、一件次品中随机取出 两作，则取出的产品全是正品的概率是)