5.1.4 用样本估计总体-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

5.1.4用样 效果评价 1.有4万个不小于70的两位数，从中 随机抽取了3000个数据，统计如下： 数据x 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99 个数 800 1300 900 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数 据的平均数为( A.92.16 B.85.23 C.84.73 D.77.97 2.如图是某学校的教研处根据调查结果 绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况 的频率分布直方图.根据频率分布直方图， 求出自学时间的中位数和众数的估计值（精 确到0.01)分别是() 4频率 组距 0.52 o 0.1 00.511.522.533.54自学时间h 第2题图 A.2.20,2.25 B.2.29,2.20 C.2.29,2.25 D.2.25,2.25 3.某校为了解高二年级学生某次数学考 试成绩的分布情况，从该年级的1120名学 生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发 现都在[80,150]内.现将这100名学生的成 第五章统计与概率。 本估计总体 绩按照[80,90)，[90,100)，[100,110)， [110,120),[120,130),[130,140), [140,150]分组后，得到的频率分布直方图 如图所示，则下列说法正确的是() 频率 组距 0.025 0.015f---------- 0.010 0.005 0L 8090100110120130140150分数 第3题图 A.频率分布直方图中a的值为0.040 B.样本数据低于130分的频率为0.3 C.总体的中位数（保留1位小数）估计 为123.3分 D.总体分布在[90,100)的频数一定 与总体分布在[100,110)的频数相等 4.某次测试成绩满分为150分，设n名 学生的得分分别为a,2,…,an（a∈N, 1≤i≤n),bk(1≤k≤150)为n名学生中得 分至少为k分的人数.记M为n名学生的平 均成绩，则（) A.M=b+b+…+b1四 B.M=b1+b2+…+b1m 150 C.Mb+b+…+b1m n D.Mbtb+ 150 5.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比 赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部 练 39 N 高中数学必修第二册人教B版 分数据被墨迹污损不清（如图1），但甲得 分的折线图完好（如图2），则下列结论错 误的是（) 甲 乙 909 32145789 86 020 图1 得分 30 25 20 15 10 12345678场次 图2 第5题图 A.乙运动员得分的中位数是17，甲运 动员得分的极差是19 B.甲运动员发挥的稳定性比乙运动员 发挥的稳定性差 C甲运动员得分有)的叶集中在茎 1上 D.甲运动员得分的平均值一定比乙运 动员得分的平均值低 6.为了测试小班教学的实践效果，刘老 师对A,B两班的学生进行了阶段测试，并 将所得成绩统计如图所示.记本次测试中， A,B两班学生的平均成绩分别为x,xB, A,B两班学生成绩的方差分别为s,s, 则观察茎叶图可知() 40)练 A班 B班 458 35136 426245 6884673340 28651832 5291 第6题图 A.XA<xB,sA<s B.xA>xB,S<S品 C.XA<XB,SA>S D.xA>xB,sA>s 7.为了了解某市居民用水情况，通过抽 样获得了100户居民某年的月均用水量（单 位：t),将该数据按照[0,0.5)，[0.5， 1),…,[4,4.5]分成9组，绘制了如图 所示的频率分布直方图.政府要试行居民用 水定额管理，制定了一个用水量标准a,使 85%的居民用水量不超过a(假设a为整 数)，按平价收水费，超出a的部分按议价 收费，则a的最小值为 频率 组距 0.50 0.44 0.30 0.28 0.16- 00.511.522.533.544.5月均用水量t 第7题图 8.我国高铁发展迅速，技术先进.经统 计，在经停某站的高铁列车中，有10个车 次的正点率为0.97，有20个车次的正点率 为0.99，有10个车次的正点率为0.98，则 经停该站高铁列车的所有车次的平均正点率 估计值为 9.某工厂为生产一种标准长度为40cm 的精密器件，研发了一台生产该精密器件的 车床，该精密器件的实际长度为acm, “长度误差”为la-40lcm,只要“长度误差” 不超过0.03cm就认为合格.已知这台车床 分昼、夜两个独立批次生产，每天每批次各 生产1000件.已知每件产品的成本为5元， 每件合格品的利润为10元.在昼、夜两个批 次生产的产品中分别随机抽取20件，检测 其长度并绘制了如下茎叶图： 昼批次 夜批次 6778899939.999887765 43221110000040.0000111223345 第9题图 (1)分别估计在昼、夜两个批次的产品 中随机抽取一件产品为合格品的概率； (2)以上述样本的频率作为概率，求这 台车床一天的总利润的平均值， 第五章统计与概率。 10.某城市100户居民的月平均用水量 (单位：t)以[0,2)，[2,4)，[4,6)， [6,8),[8,10),[10,12),[12,14]分组 的频率分布直方图如图 (1)求直方图中x的值，并估计出月平 均用水量的众数. (2)求月平均用水量的中位数及平均数 (3)在月平均用水量为[6,8)，[8,10)， [10,12),[12,14]的四组用户中，用分层 抽样的方法抽取11户居民，则应在 [10,12)这一组的用户中抽取多少户？ (4)在第(3)问抽取的样本中，从 [10,12),[12,14]这两组中再随机抽取 2户进行深入调查，则所抽取的2户不是来 自同一个组的概率是多少？ 频率 组距 0.125 0.110 0.095 0.050 882 0 2468101214用水量t 第10题图 练(41 N 高中数学必修第二册人教B版 提升练习 11.记一组数据x(i=1,2,…,n)的 平均数为，且=16，日多-)14， 则1∑x= 12.(多选题)对某公路汽车行驶速度 抽出了一个容量为n的样本进行调查，画出 如下频率分布直方图.若样本中车速（单位： kmh)在[60,70)内有45辆，则下列说 法正确的有(） 频率 组距 0.06------- 0.05-------- 0.02-- 0.01F- '60657075808590车速/(km/h) 第12题图 (42)练 A.样本中车速在[70,75)的频率为 0.04 B.样本中车速超过80kmh的车辆数为 105 C.根据直方图估计该样本的众数为 77.5 D.根据直方图估计该样本的中位数为 77多，故C正确；由题中三幅图并不能得出从1957年到 2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误.故选 AC. 5.1.4用样本估计总体 效果评价 1.B【解析】这3000个数据的平均数为 78.1×800+85×1300+91.9x900=85.23.用样本平均数估计 3000 总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为85.23.故 选B. 2.C【解析】由频率分布直方图得，自学时间在 [0.5,2)的频率为(0.16+0.2+0.34)×0.5=0.35，自学时 间在[2,2.5)的频率为0.52×0.5=0.26，∴.自学时间的 中位数为2+0.5-035x0.5≈2.29，众数为2+25=2.25.故 0.26 选C 3.C【解析】由频率分布直方图得(0.005+0.010+ 0.010+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.030,故A 错误；样本数据低于130分的频率为1-(0.025+0.005)× 10=0.7,故B错误；[80,120)的频率为(0.005+0.010+ 0.010+0.015)×10=0.4,[120,130)的频率为0.030x10= 0.3,.总体的中位数（保留1位小数）估计为120+ 05-04×10≈123.3（分），故C正确；样本分布在 0.3 [90,100)的频数一定与样本分布在[100,110)的频数 相等，总体分布在[90,100)的频数不一定与总体分布 在[100,110)的频数相等，故D错误.故选C. 4.A【解析】利用特殊法解决.假设n=2,这2名学 生的得分分别为150,150，则这2名学生中得分至少为 1分的人数为b=2,这2名学生中得分至少为2分的人 数为b2=2,这2名学生中得分至少为3分的人数为b= 2,…,这2名学生中得分至少为150分的人数为b10= 2,即这2名学生中得分至少为k(1≤k≤150)分的人 数b分别为2,2，…，2,2.一共有150个“2”，从而 得k分的同学会被记k次，所有b的和恰好是所有人得 分的总和，即b+b+…+b.+b=a+a,从而b+b++b . =2+2+2+…+2=2x150=150.b+b++b1m=2+2+2…+2 2 2 150 150 =2x150=2.故选A. 150 参考答案。 5.D【解】由茎叶图得乙运动员得分的中位数是 17,平均值为9+14+15+17+18+19+20=16.根据甲得分的 7 折线图确定被墨迹污损的两个数字取值范围为 [13,15],.甲运动员得分的极差是28-9=19，甲运动 员得分有音号的叶集中在茎1上。甲运动员得分数据 比乙分散，·.甲运动员发挥的稳定性比乙运动员发挥的 稳定性差，甲运动员得分平均值x甲> 9412+13+13+13+20+26+28>16,D错误.故选D. 6.B【解析】根据茎叶图中数据的分布可得，A班 学生的分数多集中在[70,90]之间，B班学生的分数 多集中在[50,80]之间，∴x心.就两个班级的成绩分 布来说，A班学生的分数更加集中，B班学生的分数更 加离散，s<s.故选B. 7.3t【解析】[0,0.5)的频数为0.08×0.5×100 =4,[0.5,1)的频数为0.16x0.5×100=8,[1,1.5)的 频数为0.3×0.5×100=15，[1.5,2)的频数为0.44×0.5× 100=22,[2,2.5)的频数为0.5×0.5×100=25， [2.5,3)的频数为0.28x0.5x100=14,[3,3.5)的频数 为0.12×0.5×100=6，[3.5,4)的频数为0.08×0.5×100= 4,[4,4.5)的频数为0.04×0.5×100=2,4+8+15+22+ 25+14=88,∴.前6组占88%，a为3t. 8.0.9825【解析】总车次：10+20+10=40，则所有 车次的平均正点率为10x0.97+20x0.99+10x0.98=0.9825. 40 9.解：(1)由样本数据可知，在昼批次的20个样 本中有2个不合格品，有18个合格品，合格品的比率为 8-0.9,因此昼批次合格品的概率估计值为0.9.在夜批次 2 的20个样本中有4个不合格品，有16个合格品，合格品 的比率为6=0.8，因此夜批次合格品的概率估计值为0.8 20 (2)昼批次合格品的概率为0.9，不合格品的概率 为0.1,1000件产品中合格品的均值为900件，不合 格品的均值为100件，∴.利润为900×10-100×5=8500 (元)；夜批次合格品的概率为0.8，不合格品的概率为 0.2,∴1000件产品中合格品的均值为800件，不合格 品的均值为200件，∴.利润为800×10-200×5=7000 (元)..这台车床一天的总利润的平均值为8500+7000= N 高中数学必修第二册人教B版 15500(元). 10.解：(1)根据频率和为1，得2×(0.02+0.095+ 0.11+0.125+x+0.05+0.025)=1,解得x=0.075;由图可知 最高矩形的数据组为[6,8)，众数为宁×(648)-7 (2)[0,6)内的频率之和为(0.02+0.095+0.11) ×2=0.45；设中位数为y,则0.45+(y-6)×0.125=0.5,解 得y=6.4,∴.中位数为6.4；平均数为2×(1×0.02+3× 0.095+5×0.11+7×0.125+9x0.075+11×0.05+13x0.025)=6.56. (3)月平均用电量为「10,12)的用户在四组用户 0.05 中所占的比例为0.125+0.075+.05+0.025斤，月平均 用电量在[10,12)的用户中应销取1山x号2（户）. (4)月平均用电量在[12,14]的用户中应抽取 11x号1（户），月平均用电量在[10,12)的用户设为 A,B,月平均用电量在[12,14]的用户设为C,从 [10,12),[12,14]这两组中随机抽取2户共有AB, AC,BC三种情况，其中，抽取的2户不是来自同一个 组的有AC,BC两种情况，.抽取的2户不是来自同一 个组的概率为号 提升练习 11.4【解析】 交6-rar-a n -（aG-2+元2)+(5-2x+2++(G-2x元+ =（i++…+2)-2x(xt++x)+x2 =1∑x-2xmt n n =1∑-21∑-1.614， n n i=l 1∑=1.6+144=4. n 12.BC【解析】车速在[70,75)的频率为1- (0.01+0.02+0.06+0.05+0.02)×5=0.2,故A错误； (0.01+0.02)×5×n=45,∴.n=300,.车速超过80km/h 的车辆数为(0.05+0.02)×5×300=105，故B正确： [75,80)这一组数据的频率最大，.估计众数 72 为77.5，故C正确； .(0.01+0.02+0.04)×5=0.35<0.5,(0.01+0.02+0.04+ 0.06)x5=0.65>0.5,.中位数在区间[75,80)内，.该 样奉的中位数为5碧二<门5，放D错灵放选BC m5.2概 率 5.2.1样本空间与事件 效果评价 1.C【解析】A.标准大气压下，水加热到100℃后， 持续加热必会沸腾，是必然事件；B.长和宽分别为a,b 的矩形，其面积为ab,是必然事件：C.走到十字路口， 遇到红灯，是随机事件：D.三角形内角和为180°，是必 然事件.故选C. 2.C【解析】对于①，3个球全部放人2个盒子，有 两种情况：1+2和3+0，故必有1个盒子有1个以上的 球，.该事件是必然事件，①正确；对于②，当x=0时， x2=0,∴.该事件不是不可能事件，②错误；对于③， “明天天津市要下雨”是偶然事件，.该事件是随机事 件，③错误；对于④，“从100个灯泡（含有10个次 品)中取出5个，5个全是次品”发生与否是随机的， 该事件是随机事件，④正确.故正确命题有2个，故选C 3.C【解析】从中选出数学、物理、化学成绩优秀 者各1名的基本事件有(AB,C),(AB,C2),(ABC), (AiB2C2),(ABC),(AB C2),(ABC),(ABC2), (ABC),(ABC2),(AB,C),(ABC2),共12种，其中 符合条件的基本事件有6种.故选C. 4.C【解析】对于①，当x是实数时，x-lx=2,方 程无解，故①是不可能事件；对于②，某班一次数学测 试，及格率低于75%是随机事件；对于③，从分别标有 0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个，取 出的纸团中标的数字是偶数是随机事件：对于（④，体育 彩票号码为某期的特等奖号码是随机事件.故选C 5.9【解析】记4听合格的饮料分别为A,A2,A, A4,2听不合格的饮料分别为B,B2,:从中随机抽取2 听的样本点有(A,A2),(A,A),（A,A4), (A,B1),(A,B2),(A,A),(A2,A),(A2, B1),(A,B2),(A,A4),(A,B1),(A,B2), (A4,B1),(A,B2),(B1,B2),共15个.至少有1