第3章 图形的相似 作业本-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（湘教版 湖南专版）

第3章图形的相似 3.1比例线段 3.1.1 比例的基本性质 1.已知一个比例式的比例外项为m,,比例内项为p,q,则下列比例式正确的是( A.mi n=p:q B.m :p=n:q C.m:g=n:p D.mi p=q:n 2.已知3a=4b(ab≠0)，则下列各式正确的是 ( A号-号 B号- c号-台 D.g-8 3已知号=号，则子的值为 y 4.已知四个数a,b,c,d成比例， (1)若a=5,b=-2,c=4,求d的值； (2)若a=√2，c=2,d=√6，求b的值. 3.1.2成比例线段 1.下列各组长度的线段中，是成比例线段的是 ( A.1 cm,3 cm,4 cm,6 cm B.2 cm,4 cm,0.8 cm,0.6 cm C.3 cm,9 cm,18 cm,6 cm D.3 cm,9 cm,10 cm,4 cm 2.在比例尺为1：500000的地图上，距离为1cm的两地之间的实际距离为km. 3.如图，B是线段AC的黄金分割点，且AB>BC.若AC=2,则AB的长为 4.已知线段a=3cm,b=6cm,c=12cm. (1)求线段a与线段b的比； (2)若线段a,b,c,d成比例，求线段d的长， ·14· 3.2平行线分线段成比例 1.如图，已知l1∥12∥l3,AB=1,BC=2,DE=1.5,则EF的长为 A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 AB (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，在△ABC中，DE∥BC.若AD=2,BD=3,AC=10,则CE的长为 A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G.已知AG=2,DG=1,DF=5,则C定 BC 的 值为 4.如图，AB∥CD,AC与BD相交于点O.已知OA=1,OC=2.5,OD=2,则BD的长为 3.3相似图形 1.下列图形中，不是相似图形的是 画▣ A B D 2.如图，小康利用复印机将一张长为5cm、宽为3cm的矩形图片放大.已知放大后矩形 图片的长为10cm,则放大后矩形图片的宽为 ( ) A.1.5 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm D 放大 (第2题图) (第3题图) 3.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，已知△ADE∽△ABC,AD=BD= 3cm,BC=10cm,∠A=70°，∠B=50°. (1)∠AED的度数为； (2)DE的长为cm. ·15· 3.4相似三角形的判定与性质 3.4.1相似三角形的判定 第1课时利用平行线判定三角形相似 1.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE∥BC架子若DE=4,则BC 的长是 ( A.4 B.8 C.12 D.16 AE B D D E (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，点D,E分别在△ABC的两边BA,CA的延长线上，且DE∥BC,则下列结论不正 确的是 ) A铝跽 B把铝 铝怨 D怨 3.如图，AB∥CD,点E在AB上，点F在CD上，AC,BD,EF相交于点O,则图中的相似 三角形共有 对 4.如图，在□ABCD中，E为AB边的中点，AC,DE交于点O,则的值为 5.如图，在△ABC中，点D,E,N分别在边AB,AC,BC上，DE∥BC,AN交DE于点M. 求证0、 ·16· 第2课时相似三角形的判定定理1 1.已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°， 则这两个三角形 () A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.不能确定 2.下列两个三角形一定相似的是 ( ) A.两个直角三角形 B.两个等腰三角形 C.两个等边三角形 D.两个面积相等的三角形 3.如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD.若∠ABD=∠C,AB=6,AC=9,则 AD的长为 A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 1D 个y B (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.如图，在△ADE和△ABC中，∠1=∠2，请添加一个适当的条件： ,使 △ADEp△ABC.(写出一个即可) 5.如图，BE,CD交于点A,∠C=∠E=90°，AC=3,BC=4,AE=2,则AD的长为 6.如图，在四边形ACBD中，AB平分∠CAD,∠ABC=∠D=90°. (1)求证：△ABC∽△ADB; (2)若AC=6cm,AD=4cm,求AB的长. ·17· 第3课时相似三角形的判定定理2 1.下列条件可以判定△ABC∽△A'B'C'的是 ( A.∠A=∠B'=∠C B带-C且∠A=∠C C0=品且∠A=∠A D.以上都不对 2.如图，线段AC,BD相交于点O,下列条件不能判定△AOB∽△COD的是 A.B-0元 OB OA OA OC B.OBOD c%品 D.AB∥CD B (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 3.如图，在△ABC中，点D在边AB上，如果AC=AD·AB,那么图中一定相似的三角 形是 ( A.△ACD和△BCD B.△ACD和△ABC C.△BCD和△ABC D.无法确定 4.如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,点D在AC上，E为AB的中点.当AD的长为 时，△ABC∽△ADE. 5.如图，∠BAD=∠CAE,AC=2AE,AB=2AD.若BC=3cm,则DE的长为 cm. 6.如图，根据图中所标数据，判断△AEB和△CEF是否相似，并说明理由. 28 32 ·18· 第4课时相似三角形的判定定理3 1.若△ABC的三边长分别为3,5,7，△DEF的三边长分别为6,10,14，则△ABC与 △DEF () A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判定是否相似 2.把一个三角形的三边长都缩小为原来的？，则得到的三角形与原三角形 A.一定相似 B.一定不相似 C.可能相似，也可能不相似 D.以上都不对 3.在△ABC和△DEF中，BC=8cm,AC=4cm,AB=6cm,DE=3cm,EF=4cm,则当 DF的长为cm时，△ABCc∽△DEF. 4如图，在△ABC和△ADE中，铝-AS=胎，∠BAD=20,∠DAE=60,求∠DAC 的度数 5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格 的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由. ·19· 3.4.2相似三角形的性质 第1课时相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 1.若△ABC∽△AB'C,且相似比为号，则对应角平分线的比为 ( ) A号 R号 c号 D25 9 2.已知△ABCB'C,BD和BD'是它们的对应中线.若0-号，BD=4,则BD 的长是 ( A.2 B.4 C.5 D.10 3.如图，已知△ABC△A'B'C',AD,BE分别是△ABC的高和中线，A'D',B'E'分别是 △A'B'C'的高和中线.若AD=4,A'D'=3,BE=6,则BE'的长为 ( A多 B. c n号 4.已知两个相似三角形的一组对应边长分别为5cm和2cm,如果这组对应边上的高相 差2.4cm,那么这两条高的长度和为 cm. 5.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，∠AED=∠B,∠BAC的平分线交 DE于点G,交BC于点r.若A把-号AG=4,求G的长。 ·20· 第2课时 相似三角形面积和周长的性质 L.已知△ABC∽△DEF,且相似比为2，则△ABC与△DEF的面积比为 A B.4 c D.2 2.若两个相似三角形的对应中线的比是1：3，则它们的周长比是 A.1:2 B.1:3 C.1:6 D.1:9 3.如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点.若△ADE的周长是6，则△ABC的周 长是 ( A.6 B.12 C.18 D.24 B (第3题图) (第4题图) (第6题图) 4.如图，在□ABCD中，E是边CD上的点，AE,BD交于点O.若SAOE:S△AoB=1：4, DE=2,则CE的长为 A.2 B.4 C.6 D.8 5,若两个相似三角形的对应高的比为号，且周长的和为50©m,则这两个相似三角形的周 长分别为 6.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE∥BC,AB=9,BD=3,则△ADE 与四边形DBCE的面积比是 7.如图，在△ABC中，D为BC上一点，AC=6,BD=5,CD=4. (1)求证：△ABCp△DAC; (2)若△ABC的面积为18，求△ABD的面积. ·21· 3.5相似三角形的应用 1.如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE的高为1.5m, 测得AB=2m,BC=8m,则建筑物CD的高为 ( ) A.6 m B.6.5m C.7m D.7.5m B (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，为估算某鱼塘的宽AB,在鱼塘一侧的空地上取点C,D,E,使点A,C,D在同一条 直线上，点B,C,E在同一条直线上，且CD= 2AC,CE=BC.若测得DE=15m,则 鱼塘的宽AB为 A.7.5m B.15m C.30m D.45m 3.如图，A,B两点被一条河隔开，小明为了测量A,B两点间的距离，过点B作BF⊥AB, 在BF上取两点C,D,使BC=2CD,过点D作DE⊥BF,使点A,C,E在同一条直线 上.测得DE=20m,则A,B两点间的距离是 m. 4.如图，一束平行的光线从窗户射入教室，已知窗户AB在教室地面上的影长MN=4, 点M到墙角的距离CM=6m,窗户下沿到教室地面的距离BC=1m(,点M,N,C在同 一条直线上)，则窗户AB的高为m. 5.如图，M,N为山两侧的两个村庄，为了方便两村交通，根据国家的惠民政策，政府决定 打通一个直线隧道，工程人员为计算工程量，必须计算M,N两点之间的距离，选择测 量点A,B,C,点B,C分别在AM,AN上.现测得AM=1km,AN=1.8km,AB= 54m,BC=45m,AC=30m,求M,N两点之间的距离. ·22· 3.6位似 第1课时 位似图形的概念及画法 1.下列各组图形不是位似图形的是 → 0 台) A B C D 2.如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，且OB: BE=1:2,则S△ABc:S△DEF= 3.如图，以点O为位似中心，在正方形网格中作出四边形ABCD的位似图形，使新图形与 原图形的相似比为2：1. 第2课时平面直角坐标系中的位似 1.如图，线段AB的两个端点的坐标分别为A(6,6).B(8,2).以原点O为 位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则 点C的坐标为 )0 A.(3,3) B.(4,3) C.(3,1) D.(4,1) 2.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(一6,6)，B(一8,2)， C(-4,0),D(-2,4). (1)在所给的平面直角坐标系中画出一个四边形A'BC'D',使四边形A'BC'D'与四边 形ABCD是以原点O为位似中心，相似比为1：2的位似图形； (2)直接写出点A',B',C,D的坐标 ·23·第3章图形的相似 3.1比例线段 3.1.1比例的基本性质 1D2.A3号 4.解：(1)根据题意，得a:b=c:d,即5：(-2)=4：d.∴.5d=(-2)×4, 解得d=-号.(2)根据题意，得a:b=cd,即2：6=216.26=2X √6，解得b=√3. 3.1.2成比例线段 1.C2.53.√5-1 4.解：(1)由题意，得a:b=3：6=1:2.(2).线段a,b,c,d成比例，∴.3： 6=12：d,解得d=24cm. 3.2平行线分线段成比例 1.D2.D3号42.8 3.3相似图形 1.B2.C3.(1)60°(2)5 3.4相似三角形的判定与性质 3.4.1相似三角形的判定 第1课时利用平行线判定三角形相似 1.C2.B3.34.2 5.证明：DE∥BC,△ADM∽△ABN,△AME∽△ANC.DM- BN 兴兴删-兴别 第2课时相似三角形的判定定理1 1.C2C3A4.∠D=∠B(答案不唯-)5.号 6.(1)证明：.AB平分∠CAD,∴.∠CAB=∠BAD..∠ABC=∠D= 90,△ARCAAD.(20:△ABC△ADB,S-即 AB.B2/6 cm. 第3课时相似三角形的判定定理2 1.C2.C3.B4.号5.1.5 6解：△AEBv0△CBER理由如下：票-器-专，甍-贺-号票 能又：∠AEB=∠CEF,△AEB△CER 第4课时相似三角形的判定定理3 1.A2.A3.2 4熊：8-AS-BS△AC△ADE∠BAC=∠DAE=6O ,∠BAD=20°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=40°. 5.解：△ABC△DEF.理由如下：由勾股定理，得AC=√22+1=√5，AB =√22+4=2√5，BC=√32+4=5，DF=√22+2=2√2，DE= -49 v+=4i.F=√+-2v架-平是-- 4DE4’EF 平品品器△ABC△DER 3.4.2相似三角形的性质 第1课时相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 1.A2.D3.D4.5.6 5.解：，∠AED=∠B,∠EAD=∠BAC,.△ADE∽△ACB.AF平分 ∠BAC,架-0，即OF景Gf-2 第2课时相似三角形面积和周长的性质 1.A2.B3.B4.A5.20cm,30cm6.4:5 7.(1)证明：BD=5,CD=4,BC=BD+CD=9AC=6,六瓷-号， 是-号.C-2∠C=∠C∴MRCOADAC,(2解：△AC DAC.0器=()-专Sae=18,5ae=台s=8 ∴.S△ABD=S△ABC-S△DAC=10. 3.5相似三角形的应用 1.D2.C3.404.2 5解：连接MN.“G=100=品0=100=高-提 “∠A=∠A,△ABC0△ANM÷器=品即点=品MN= 1500m=1.5km.答：M,N两点之间的距离为1.5km. 3.6位似 第1课时位似图形的概念及画法 1.D2.1:9 3.解：如图，四边形A'B'CD'即为所求. 第2课时平面直角坐标系中的位似 1.A 2.解：(1)如图，四边形A'B'CD'即为所求.(2)A'(-3,3),B(一4,1)， C(-2,0),D'(-1,2). 第4章锐角三角函数 4.1正弦和余弦 第1课时锐角的正弦 1.A2.6 -50 3.解：在R△ABC中，AB=8,sinA=号BC=AB·sinA=5.AC= AB-BC-39.'sin B=AC_39 AB8· 第2课时特殊角的正弦值及用计算器求锐角的正弦值 1.B2.C3.40° 4解：1)原式=2×竖-4X9-巨-2.(2)原式=（图+合×9 + 第3课时锐角的余弦 1B2C3岁49 5.解：1原式=()+（停）°=1.（②）原式=2×号-22 6.解：1在R△ABC中，b=6,c=2,c0sA=名=号∴∠A=45 (2)在R△ABC中，c=12,cosB=号a=c·c0sB=6.6=VF-a- 6√3. 4.2正切 1.A2.(1)1.4998(2)12°3.2 1 4.解：1)原式=×，+2×号-3+反.(2)原式=8×（号）°+1-4×号 =7-2√3. 5.解：I)在R△ABC中，BC=4,sinB-7,AC=BC·SinB=Z. .AB=√BC-AC=3.(2)在Rt△ABC中，AB=3,AC=√7，∴.tanC= AB3√7 AC 7. 4.3解直角三角形 1.C2.C3.A4. 3 5.獬：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=4W5,.∠A=90°-∠B =30,AC=8ctmB=12,AB=SB=88. 6解：在R△ACD中，∠C=90,AC=8,AD-16,cos∠CAD AS-∠CAD=30.AD平分∠CAB,∠CAB=2∠CAD=60 ∠B=90°-∠CAB=30,BC-=8V3 4.4解直角三角形的应用 第1课时与仰角、俯角有关的应用问题 1.A2.A3.D 4.解：过点D作DE⊥AB于点E,则四边形BCDE为矩形，∴.DE=BC= 20m,BE=CD=1.6m.在Rt△ADE中，∠ADE=38.5°，∴.AE=DE· -51