第1章 反比例函数 章末复习-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（湘教版 湖南专版）

第1章 章末复习 思维导图 构建知识体系 概念-一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成y-(k为常数，k≠0)的形式，那 么称y是x的反比例函数 当>0时，双曲线的两个分支分别位于第 象限 图象 当<0时，双曲线的两个分支分别位于第 象限 反比例函数 当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而 性质 当<0时，在每个象限内，y随x的增大而 用待定系数法确定反比例函数的表达式 实际应用 T考点整合 ◆◆直击核心要点 考点1 反比例函数的图象与性质 A.先增后减 B.先减后增 1,反比例函数y=4的图象一定经过的点是 C.逐渐减小 D.逐渐增大 2 ( A.(-1,4) B.(1,-4) C.(-2,2) D.(2,2) Ox 2.(2024一2025·张家界永定区期中)已知反比例 (第4题图) (第6题图) 函数y一一2，则下列结论正确的是 ( 5.(2024·包头中考)已知反比例函数=2 A.点(1,2)在它的图象上 =- ，当1≤≤3时，函数n的最大值 B.其图象分别位于第一、三象限 是a,函数y2的最大值是b,则a的值是 C.y随x的增大而增大 6.(2024·陕西中考)如图，点A(3,m),B(一5， D.若点P(m,n)在它的图象上，则点Q(n, m)也在它的图象上 m)在同一个反比例函数y一(>0)的图象 3.(2024·天津中考)若点A(x1,-1),B(x2, 上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴.若 1D,C(,5)都在反比例函数y=的图象 △ABC的面积为32，则k的值为 考点2反比例函数与一次函数的综合 上，则x1,x2,x3的大小关系是 7.(2024一2025·邵东期中)一次函数y= A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 kk2x十6(1k2≠0)与反比例函数y=的图 C.x3<x2<x1 D.x2<x1<x3 4.(2024一2025·湘潭雨湖区期中)如图，在平 象在同一平面直角坐标系中的大致图象如 面直角坐标系中，A是x轴负半轴上一个定 图所示，则1，b的取值范围分别是( A.k1>0,b>0 点，P是函数y=-6(x<0)图象上的一个 B.k1<0,b>0 动点，PB⊥y轴于点B.当点P的横坐标逐渐 C.k1<0,b<0 增大时，四边形OAPB的面积将会( D.k1>0,b<0 第1章反比例函数16 8.如图，直线y=1x十b与双曲线y=2(z> 考点3反比例函数的应用 10.物理课上，同学们用自制密度计测量液体 0)交于A,B两点，交点的横坐标分别是1， 的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸 5,则不等式k1x十b<2的解集是 ( 在液体中的高度h(cm)是液体的密度 p(g/cm3)的反比例函数.当密度计悬浮在 A.-5<x<-1或x>0 密度为1g/cm3的水中时，h=20cm.当密 B.0<x<1或x>5 度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm,则 C.1<x<5 01 该液体的密度为 ( D.-5<x<-1 A.2.5g/cm3 B.1.2g/cm3 9.(2024·东营中考改编)如图，一次函数y= C.1 g/cm3 D.0.8g/cm3 m.x十n(m≠0)的图象与反比例函数y=飞 11.在温度不变的条件下，通 Ap/kPa (k≠0)的图象交于点A(一3，a),B(1,3),与 过多次对汽缸顶部的活 100- x轴、y轴分别交于点C,D. 塞加压，加压后气体对汽 (1)求反比例函数和一次函数的表达式； 缸壁所产生的压强p(kPa) 0 100 V/mL (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点 与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例关 P,使得SAOCP=4 SAOBD,求点P的坐标. 系，p关于V的函数图象如图所示.若压强 由75kPa加压到100kPa,则汽缸内气体体 积压缩了mL. 12.(2024-2025·娄底娄星区期中)某工程队 完成一项开挖水渠的任务，所需时间y(天) 是每天完成的工程量x(m/天)的反比例函 数，其图象经过点(24,50)，如图所示， (1)求y与x之间的函数关系式； (2)已知每台挖掘机每天能挖水渠15m,若 要求该工程队恰好20天完成此项任 务，则需要几台这样的挖掘机？ /天 o24x/(m/天) 17数学九年级上册(X) 聚焦课标 。。。强化情境任务 13.学科融合新趋势(2023·郴州中考)在实验课上，小明做了一个试验.如图，在仪器左边托盘A (固定)中放置一个物体，在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器，容器的质 量为5g.在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离 x(cm)(0<x≤60)，记录容器中加人的水的质量，得到部分数据如下表. 托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10 容器与水的总质量y/g 10 12 15 20 30 AC B 加入的水的质量y2/g 5 10 15 25 把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的 曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象 (1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据，解答下列问题： ①猜测y1与x之间的函数关系，并求出y1关于x的函数表达式； ②求y2关于x的函数表达式； ③当0<x≤60时，y1随x的增大而 (填“增大”或“减小”)，y2随x的增大而 (填“增大”或“减小”)，y2的图象可以由y1的图象向 (填“上”“下” “左”或“右”)平移得到； (3)若在容器中加入的水的质量y2(g)满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x(cm)的取 值范围. y/g 30H 25 20 15 5 051015202530x/cm 提示 请完成阶段搬测试（一）[第1章] 第1章反比例函数18的表达式为y=-兰把A(-1,4)代入y=-2x十m,得4=-2×(-1)十 m,解得m=2.∴.一次函数的表达式为y=一2x+2.(2).BC⊥y轴于点 D,BC∥x轴.OD=1,∴点B,C的纵坐标为1.把y=1代入y=-4, x 得x=-4,.B(-4,1).把y=1代入y=-2x十2，得1=-2x十2，解得x =7c(分，1BC=3-(-4)=42 6.号 7.解：(1)把A(1,3)代入为=，得3=，解得m=3.·反比例函数的表 达式为为=兰把B(,-1)代入，得m=号=-3B(-3,-1.把 A(1,3),B(-3,一1)代人y1=x+b,得 (k十b=3, -36+6=-1,解得 (k=1,. 1b=2. 次函数的表达式为y1=x十2.(2)一3<x<0或x>1.(3)连接OA,设直线 AB与x轴的交点为M.在y=x十2中，当y=0时，x=一2，∴.M(一2,0). Sam=5aam十Sa=号×2X3十号X2X1=4.易得点B和点C关 于点O成中心对称，∴.OB=OC..SAABC=2S△0B=8. 1.3反比例函数的应用 名师导学 (1)时间(2)宽(3)面积(4)电阻 【例1】解：1)y-128(2)80(3)当y=50时，128-50，解得=2.56.由 图象可得，当y≤50时，x≥2.56..若要使面条的总长度不大于50m,则 面条最细应为2.56mm. 【例2】D 1.B2.43.F=800 4.4 5.解：1)设这个反比例函数的表达式为1=是把(9,4)代人，得U=9X4 =36,这个反比例函数的表达式为1=治(2)当R=3时，1=9=12(4. 6.C7.2:3:6 8.解：1)设p关于V的函数关系式为p=合.把(0.04,120)代人，得120= 0.4解得=4.8p=当b=150时，48-150，解得V=0.032. k 号X3=0.032,解得=02.：=4.8>0在第一象限内，p随V的 增大而减小..要使气球不会爆炸，则V≥0032，此时r≥0.2..气球的半 径至少为0.2m时气球不会爆炸.(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内 气压增大导致爆胎， ,.解：1)设反比例函数的表达式为y=冬把C(20,45)代入，得45=易 解得k=900.反比例函数的表达式为y=900(20≤x≤45).当x=45时， y=900=20,D(45,20).A(0,20),即点A对应的指标值为20.(2)能. 45 一4 理由如下：由A(0,20),B(10,45),易得线段AB的函数表达式为)=号： 十20(0≤x<10).把y=36代入y=号x+20,得号x+20=36,解得x= 是把y=36代入y-92,得90-36，解得x=25.·当号≤≤25时，注 意力指标都不低于36.：25号=>16，王老师能经过适当的安排 使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 专题二反比例函数中常见的易错问题 1.A【变式题】-22.-13.D4.-1≤x<0或x≥2 5.(1)-4≤y<0(2)y<-1或y>06.m>0或m<-37.C8.D 9.解：1)一2<<0(2)当x=1时，y=;当x=2时，=多分两种情况 讨论：①当一2<k<0时，在1≤<2范围内，y随x的增大面增大，冬 k=1,解得=一2（舍去）；②当k>0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大 而减小长一合-1，解得及=2.综上所述，k的值是2. 第1章章末复习 思维导图 一、三二、四减小增大 考点整合 1 1.D2.D3.B4.D5.26.157.D8.B ,.解：1)把B(1,3)代入y一会，得3=奈，解得=3.反比例函数的表达 式为)=兰把A(-3@)代人，得a=写=-1.A(-3,-10.把A(-3, -1),B1,3)代入y=mx+,得厂3m+n=-1,象 解得m一次函数 m+n=3, n=2. 的表达式为y=x十2.(2)在y=x十2中，当x=0时，y=2;当y=0时，x= -2,C(-2,0),D0,2.5m=号×2X1=1.S6m=45w=4. ÷2X2·m=∴p=士4.：点P在第三象限。=一4.把y=一4 代入y=是得一4=是解得x=是P(一景，一4)， 10.D11.20 12.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=.把(24,50)代入，得50= 会解得=120.y与x之间的函数关系式为y=120(x>0.(2)当 =20时，20=120，解得x=60,60÷15=4(台.答：需要4台这样的挖 掘机. 13.解：(1)函数图象如图所示.(2)①观察图象可知，y1与x成反比例.设 y=(k≠0).把(30,10)代入，得k=30X10=300.y关于x的函数表 达式为=30.②观察图象可知，十5与工成反比例：设为十5=(m 5 ≠0).把(30,5)代人，得0-5+5，解得m=30.·%关于x的函数表达 式为y,=300-5.③减小减小下(3)当=19时，19=300-5，解得 2=25,当2=45时，45=300一5，解得x=6.托盘B与点C的距离 x x(cm)的取值范围是6≤x≤ +y/g 30 25升 20H 15升 10 y y 051015202530x/cm 第2章一元二次方程 2.1一元二次方程 名师导学 二a.x2十bx十c=0常数项 【例1】解：去括号，得2x2十6x-4x-12十3x=7.移项，合并同类项，得2x2 十5x一19=0.其中二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为一19. 【例2】B 【例3】-2 1.A2.B【变式题】-13.D 4.解：(1)2x2=1一3x化为一般形式为2x2+3x-1=0.它的二次项系数为 2,一次项系数为3，常数项为一1.(2)5x(x一2)=4x2一3x化为一般形式为 x2一7x=0.它的二次项系数为1，一次项系数为一7，常数项为0. 5.B 6.解：1)根据题意，得2x(14-x)=24.整理，得x-14x十48=0.(2)根 据题意，得x2+(x十7)2=65.整理，得2x2十14x-16=0. 7.A8.D9.(11-2x)(7-2x)=21 10.解：(1)根据题意，得2一4=0且k一2≠0，解得=-2.∴.当=一2 时，此方程是一元一次方程.(2)根据题意，得2一4≠0，解得k≠士2..当 k≠士2时，此方程是一元二次方程.此时一元二次方程的二次项系数是 一4，一次项系数是一2，常数项是0. 11.解：由题意，得AB=17m,AC=5m,BE=DM=2m,AD=CD'= 25 m,DD'=x m..'AE=AB-BE=15 m,CE=AC+AE=20 m. Rt△AED中，由勾股定理，得DE=√AD-AE=20m,∴.D'E=DE一 DD=(20-x)m.在Rt△CED'中，由勾股定理，得D'E2十CE2=CD'2, .(20-x)2+202=252.化为一般形式为x2-40x+175=0. 2.2一元二次方程的解法 2.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 名师导学 ①相等 【例1】B 【例2】-2 —6