专题03 整式及其加减（期中复习讲义）（知识必备+13大核心题型+分层验收）七年级数学上学期新教材北师大版

专题03 整式及其加减（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的概念与书写规则 能判断代数式，规范书写含字母的式子 小题必考，易错书写不规范（如数字放字母后） 单项式与多项式的辨析及相关量判断 能辨单项式/多项式，算系数、次数、项数 高频小题，易错漏负号或算错次数 整式的概念与分类 能判断整式，区分整式与非整式 基础送分题，易错误判分式为整式 同类项的判断与合并 能判同类项，按法则正确合并 易错错判或合并时变字母 知识点01 用含字母的数字表示数——代数式 1.定义：用运算符号将数字或字母连接起来的式子，单个字母或数字也是代数式； 2.书写规则 （1）字母与字母，或数字与字母相乘，通常将乘号写作“·”或者直接省略，但数字必须写在字母的前面，字母按26个字母的顺序从左到右来写； （2）带分数与字母相乘时，要化成假分数；“÷”可以改成分数线； （3）数值为“1”或“”时，通常省略“1”； 知识点02 单项式 1. 定义：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，它可以是一个数字，也可以是一个字母，例如：，，0，a，…… 2. 单项式的系数与次数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如：的系数是3，次数是4。 【特别提示】 ①单项式的系数是带分数，要化作假分数； ②单项式的系数包括前面的符号； ③单项式中不含有加减运算，只含有乘法和数字作为分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式； ④若字母的指数是1，书写时可以省略，但在计算次数时，不能丢掉。 知识点03 多项式 1.定义：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； 2.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，例如有三项，次数最高的是，则此多项式的次数为2 【特别提示】 （1）多项式每一个都要包括它前面的符号；（2）多项式的次数不是所有项的次数和； （3）多项式的项数是指多项式中包含单项式的个数；（4）无论是多项式还是单项式，分母中都不能出现字母。 知识点04 整式 1.定义：单项式与多项式统称为整式； 2.单项式、多项式和整式的联系 （1）各单项式的最高次数决定整个多项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应全部写出； （3）所有单项式和多项式都是整式，如果一个式子既不是单项式是，也不是多项式，那么它一定不是整式。 示例：不是整式，分母中含有未知数，属于分式，既不是单项式也不是多项式，因此不是整式。 知识点05 同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项. （2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变. （3）合并同类项步骤： ①准确的找出同类项；②逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变；③写出合并后的结果. （4）在掌握合并同类项时注意： ①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. ②不要漏掉不能合并的项. ③只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）. 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项. 知识点06 去括号及整式的加减 1.去括号 （1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 ； （2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 2.整式加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接. （2）按去括号法则去括号. （3）合并同类项. 题型一 代数式书写方法 【例1】下列式子中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、应写成，该选项错误，不符合题意； B、应写成，该选项错误，不符合题意； C、应写成，该选项错误，不符合题意； D.、该选项正确，符合题意； 故选：D． 【例2】对于式子：①；②；③；④；⑤米．符合代数式书写的是 （填序号）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查代数式的写法；在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“⋅”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号；据上逐一判断即可，解题的关键是掌握代数式的书写要求． 【详解】解：①，书写规范，符合代数式的书写； ②应写成或，原写法不规范，不符合代数式的书写； ③应写成，原写法不规范，不符合代数式的书写； ④，书写规范，符合代数式的书写； ⑤米，应写成米，原写法不规范，不符合代数式的书写； 故答案为：①④． 【变式1-1】在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】此题考查了代数式的书写，根据书写规则，代数式书写中分数应为假分数而非带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案，掌握代数式的书写规则是解题的关键． 【详解】解：符合代数式书写要求； 应改为； 符合代数式书写要求； 符合代数式书写要求； 应改为； 综上可知符合代数式书写要求的有，，，共个， 故选：． 【变式1-2】下列各式 ①：；②：；③：；④：中最符合书写规范的是 . 【答案】②， 【分析】代数式的书写要求：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解， 本题考查了代数式，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键. 【详解】解：①：中的乘号应省略不写，且写在前面， 故①错误，不符合题意； ②：符合书写规范，故②正确，符合题意； ③：应按照分数的写法来写， 故③错误，不符合题意； ④：中带分数要写成假分数的形式， 故④错误，不符合题意； 故答案为：②．. 【变式1-3】下列代数式书写正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“⋅”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号，逐一判断即可，解题的关键是正确理解代数式的书写要求． 【详解】解：①应写成； ②书写正确； ③书写正确； ④应写成； ⑤，书写正确． 正确的有②③⑤，共3个， 故选：C． 题型二 单项式、多项式的判断 【例3】下列哪个是单项式？（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的定义，掌握单项式的定义“单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）”是解题的关键．根据单项式的定义判定即可． 【详解】单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）．A和C是多项式，D分母中含有未知数，只有B符合单项式定义． 故选：B． 【例4】把下列代数式分别填入下表适当的位置： ，，，，，，． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 【答案】单项式：，，；多项式：，；非整式：， 【分析】本题考查了整式，需要根据整式、非整式、单项式和多项式的定义求解；单项式是指数字与字母或字母与字母相乘的代数式，多项式是几个单项式的和，从而找出其中的多项式和单项式；再根据整式包含单项式和多项式，代数式中除了整式就是非整式，即可确定其中的非整式． 【详解】解： 代数式 整式 单项式 ，， 多项式 ， 非整式 ， 故答案为：单项式：，，；多项式：，；非整式：，． 【变式2-1】下列式子：中，整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的定义， 根据整式包括单项式和多项式解答即可. 【详解】解：因为是多项式，是单项式，都是整式， 所以整式有4个. 故选：B. 【变式2-2】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入下列所属框中． ，，0，，，，m． 单项式：{                        …}； 多项式：{                        …}； 整式：{                            …}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了单项式、多项式和整式的判断，解题的关键是熟练掌握定义． 利用单项式、多项式和整式的定义进行分类即可． 【详解】解：单项式：{，，0，，m，…}； 多项式：{，，…}； 整式：{，，0，，，，m，…}． 【变式2-3】下列式子中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． 【答案】单项式：；多项式： 【分析】本题主要考查了单项式、多项式及整式的定义．根据单项式、多项式及整式的概念来分类：单项式：数与字母的乘积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．（1）数字与字母的乘积的形式叫做单项式；（2）单个字母也是单项式；（3）单个数字是单项式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．据此解答即可． 【详解】解：单项式：； 多项式：． 题型三 单项式、多项式的系数和次数 【例5】关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次六项式 B．它的最高次项是 C．它的一次项是 D．关于的二次项系数是 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式的项与次数的含义，根据多项式的项和次数的定义，确定各个项和各个项的系数，注意要带有符号． 【详解】解：A、多项式是四次六项式，故本选项错误. B、多项式的最高次项是，故本选项错误. C、多项式的一次项是和，故本选项错误. D、多项式的二次项系数是，故本选项正确． 故选：D． 【例6】若单项式是关于的九次单项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式的次数的定义即可求解，掌握单项式的次数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式是关于的九次单项式， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】已知关于x，y的多项式与多项式的次数相同，那么n的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数，正确理解多项式的次数的概念是解题的关键．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式次数的概念，列方程求解即可． 【详解】解：关于x，y的多项式与多项式的次数相同， ， 解得． 故选：C． 【变式3-2】下列说法正确的是（     ） A．是三次三项式 B．是单项式 C．的系数是 D．的次数是0 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式、单项式的相关定义，熟练掌握多项式的次数、项数，单项式的系数、次数以及单项式的定义是解题的关键．根据多项式、单项式的相关定义，对每个选项进行分判断． 【详解】解：∵的次数是，且该多项式有、、三项， ∴是三次三项式，故A项正确． ∵的分母含有字母，不是数与字母的积， ∴不是单项式，故B项错误． ∵的数字因数是， ∴的系数是，故C项错误． ∵中的次数是， ∴的次数是，故D项错误． 故选：A． 【变式3-3】有一单项式的系数是2，次数为3，且只含有，，则这个单项式可能是 【答案】或 【分析】本题考查单项式． 根据单项式的定义写出符合条件的单项式即可． 【详解】解：系数是2，次数为3，且只含有，的单项式可能是或． 故答案为：或． 题型四 多项式系数、指数中字母求值 【例7】已知多项式是关于的三次三项式，则m的值等于（   ） A． B．1 C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查整式中的多项式的有关概念．根据多项式中的每个单项式叫做多项式的项、这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数解答即可． 【详解】解：因为多项式是关于，的三次三项式， 所以，， 所以． 故选：B． 【例8】已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了多项式和代数式求值，能理解多项式的系数、次数、项的概念是解题的关键．根据多项式的有关定义求出a、b的值，然后代入即可求出答案． 【详解】解：多项式是五次三项式， ， 解得， 又该多项式二次项为， ∴二次项的系数为，则， ， 故答案为：10． 【变式4-1】如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解，代数式求值，根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【详解】解：多项式是关于的三次三项式， ，， ，， ． 故选：B． 【变式4-2】若多项式是关于x的三次二项式，则 ， ． 【答案】 3 2 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数．根据多项式的性质进行解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的三次二项式， ∴，， ∴，． 故答案为：3；2． 【变式4-3】多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式次数和项的定义，根据多项式是关于的二次三项式，得出，求出结果即可． 【详解】解：多项式是关于的二次三项式， ， ． 故答案为：． 题型五 合并同类项 【例9】下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、不是同类项，不能合并，故不符合题意； D、，计算错误，故不符合题意； 故选：B． 【例10】化简 (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式5-1】下列各式的计算，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则对各选项计算后利用排除法求解，掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【变式5-2】下列去括号、添括号的结果中，正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的去括号、添括号，熟练掌握整式的去括号、添括号法则是解题关键．根据整式的去括号、添括号法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误； B、，则此项正确； C、，则此项错误； D、，则此项错误； 故选：B． 【变式5-3】先去括号，再合并同类项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型六 已知同类项求指数中字母或代数式的值 解｜题｜技｜巧 先明确哪几项是同类项，圈出它们共有的字母及对应指数，然后对相同字母，令其指数相等，列方程（组）求解指数中的字母。 【例11】已知和是同类项，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个单项式叫同类项，可得，进而求得． 【详解】解：因为和是同类项， ， 解得：． 故答案为：2． 【例12】若单项式与的差是单项式，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同类项的定义，解题关键是熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数相同的两个单项式是同类项． 根据同类项的定义求出，即可得答案． 【详解】解：单项式与的差是单项式， 与是同类项，     ， ， 故答案为：6． 【变式6-1】如果和是同类项，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合和是同类项得，即可求解． 【详解】解：∵和是同类项， ∴， 解得， 故答案为：1 【变式6-2】若与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义列方程求解即可． 【详解】解：由同类项的定义可知，解得． 故答案为：． 【变式6-3】若与的和是单项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的概念，求代数式的值，掌握同类项的概念是解题的关键；由题意知，这两个单项式是同类项，由同类项概念可求得a、b的值，再代入即可求值． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型七 整式的加减运算 【例13】如果A是一个五次整式，B是一个四次整式，则一定是（    ） A．次数大于五次的整式 B．五次整式 C．九次整式 D．次数小于五次的整式. 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减.多项式的次数由最高次项决定. 【详解】解：∵整式相减后的次数不超过原式中较高的次数， 又∵A是五次整式，B是四次整式， ∴的次数至多为五次， 并且A的五次项系数在减法中不会被B影响，因为B最高为四次项， ∴中仍存在五次项， ∴一定是五次整式. 故选：B. 【例14】一个多项式加得，则这个多项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，根据合并同类项法则求解即可． 【详解】解： 故选：C． 【变式7-1】已知一个整式与的和是，则这个整式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据加减法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴整式与的和是， 故答案为：． 【变式7-2】长方形的一边长等于，另一边比它小，那么这个长方形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是先求另一边长，再利用长方形的周长（长宽），代入化简即可． 【详解】解：由题意可得：另一边长：， 所以长方形的周长是：， 故答案为：． 【变式7-3】已知．求． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，先理解题意，再整理，然后去括号，合并同类项，即可作答． 【详解】，， ． 题型八 整式的加减中的化简求值 【例15】代数式化简 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算：化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， ， 将代入得，， ， ， ． 【例16】已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 【变式8-1】化简求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先计算乘方，再去括号，计算加减，最后将代入化简结果即可． 【详解】 ， 当时，原式． 【变式8-2】先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【详解】（1）解： ， 当时，原式. （2）解：∵， ∴，即， ； 当时，原式． 【变式8-3】观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 【分析】本题主要考查了新定义问题、有理数的混合运算、整式加减中的化简求值，解题时要熟练掌握并能读懂新定义是关键． 依据题意，“方和有理数对”的定义逐个判断可以得解； 依据题意，由“方和有理数对”满足，则当时，，则此时，进而可以得解； 依据题意，由是“方和有理数对”，则，又，从而代入计算可以得解． 【详解】（1）由题意，， 数对不是“方和有理数对”． ， 数对是“方和有理数对”． 故答案为：． （2）由题意， “方和有理数对”满足， 当时，，则此时． 故答案为：（答案不唯一）． （3）由题意，是“方和有理数对”， ． ． 又 ， ． 题型九 整式加减中的无关型问题 解｜题｜技｜巧 先确定题目中“无关的字母”（如“与x无关”则锁定x的项）；对整式去括号、合并同类项，整理成“含无关字母的项+其余项”的形式；提取含无关字母项的系数，令其等于0，列方程求解参数值；化简时需正确处理符号，合并同类项避免漏项，确保系数提取准确。 【例17】要使多项式化简后不含有x的二次项，则m等于（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，先将多项式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为0，解方程即可． 【详解】解： ， 多项式化简后不含有的二次项， ∴令二次项系数为0，即， 解得， 故选：D． 【例18】若多项式与多项式的和不含二次项，则等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算整式的加减可得两个多项式的和为，再根据二次项的系数等于0求解即可得． 【详解】解： ， ∵多项式与多项式的和不含二次项， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式9-1】已知多项式不含项和项，则的值为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式的相关概念解答即可． 【详解】解：项系数为，项合并同类项后系数为， ∵多项式不含项和项， ∴， ∴，， 则． 故选：D． 【变式9-2】当 时，关于、的整式中不含项． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，整式加减中的无关型问题，先整理原式等于，再结合“不含项”，得，再解得，即可作答． 【详解】解： ∵整式中不含项， ∴含项的系数必须为0，即． ∴ 解得． 故答案为：． 【变式9-3】有一道题：“先化简，再求值：，其中．”小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因 【答案】 见解析 【分析】本题考查整式的化简，通过去括号、合并同类项来化简式子，若化简后的式子中含有的项与正负无关，就是小明抄错的值但结果仍正确的原因． 【详解】解： ∵，即， ∴小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的． 题型十 整式的加减运算与应用 【例19】年4月1日，高明区调整了居民生活用水第三阶梯的价格．以下是调整后的居民生活用水价格表：已知小丽家9月份用水量为（），则小丽家9月份应缴纳水费 元． 水价类别 单价（元/立方米） 第一阶梯 每户每月用水量不超过的部分      第二阶梯 每户每月用水量超过且不超过的部分      第三阶梯 每户每月用水量超过的部分      【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，理解居民生活用水标准是解题关键． 根据题目中调整后的居民生活用水价格表，可知不超过部分费用为元，超过但不超过部分费用为元，然后求和并化简，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知小丽家9月份应缴纳水费为 （元）． 故答案为：． 【例20】阅读材料：已知一个两位数，十位数字为，个位数字，那么我们可以用表示这个数字．依据上面的材料，回答下题：一个三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字是． (1)请用含的式子表示这个数； (2)现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数，请用含的式子表示； (3)请用含的式子表示，并回答能被11整除吗？ 【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用，熟练掌握整式的加减法则是解题关键． （1）将百位数字乘以100、十位数字乘以10，再与个数数字相加即可得； （2）先得出百位数字为，十位数字为，个位数字是，再将百位数字乘以100、十位数字乘以10，然后与个数数字相加即可得； （3）根据（1）和（2）的结果，计算整式的加减法即可得，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：． （2）解：由题意得：． （3）解：由题意得： ， 因为是两个不同的三位数， 所以， 所以， 又因为， 所以能被11整除． 【变式10-1】某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），再依次完成以下三个步骤： 第一步，A 同学拿出二张扑克牌给B 同学； 第二步，C同学拿出三张扑克牌给B 同学； 第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学． 请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减．设每人有牌x张，可得B同学有张牌，A同学有张牌，再根据第三步列出算式进行计算即可求解． 【详解】解：设每人有牌x张， ∵B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后， ∴B同学有张牌，A同学有张牌， ∴给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：． 故答案为：7． 【变式10-2】如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示） (2)用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当米时，喷泉的周长． 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式并求值，整式加减运算，列出代数式是解题的关键． （1）列出长为：，宽为：，即可求解； （2）可求周长为，化简代值计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：长为：（米）， 宽为：（米）， 答：喷泉的长为米，宽为米； （2）由题意得： 喷泉的周长为： 当时，原式． 故当米时，喷泉的周长为米． 【变式10-3】学习《整式及其加减》后，在一次数学活动中，乐乐对东东说：“你在心里想好一个两位数，将十位数字乘5，然后加4，再将所得新数乘2，最后将得到的数加个位数字，把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数．”通过两人的对话，你能判断乐乐说得对吗？请你说明原因． 我的结果是85．   你心里想的是77．   我的结果是27．    你心里想的是19．            【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是理解题意，正确表示出原两位数及新两位数．设所想两位数的十位数字为a，个位数字为b，表示出原两位数及新两位数，通过作差可得两者的差为常数，再进行验证即可． 【详解】解：乐乐说得对，理由如下： 设所想两位数的十位数字为a，个位数字为b，则原两位数为，根据题意得：， 所以，即结果比原数大8，把计算结果减去8就是心里所想的数， 所以当结果是85时，心里所想的数为， 当结果是27时，心里所想的数是． 题型十一 与单项式有关的规律探究问题 【例21】按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给单项式，发现其系数及次数的变化规律是解题的关键．观察所给单项式的系数及次数，发现规律：第个单项式的系数为；第个单项式的次数为，即可解决问题． 【详解】解：根据前几项单项式排列可知：各单项式的系数可表示为：，，，，，， 各单项式字母的部分规律为：． 第个单项式是． 故选：A． 【例22】有一组单项式：，，，···，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第20个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式规律问题，通过观察找出该组单项式系数、字母次数的变化规律，利用规律求解． 【详解】解：由题意知，第n个单项式为， 所以第20个单项式为，即， 故答案为：． 【变式11-1】按一定规律排列的代数式：，，，，…，其中第n个代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式规律题，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键． 在这列数中分母是都2；分子，，，，中系数由3逐渐增大的连续奇数；分子中的次数由1逐渐增大的连续自然数； 【详解】解：∵，，，，…， ∴分子系数的规律为3，5，7，…，； 指数的规律为1，2，3，4，…，n， 则这列数的第个数为， 故选：C． 【变式11-2】已知，，，，，…请你根据以上规律写出第2024个式子是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是单项式规律探索，根据题意找出规律，根据此规律进行解答是解答此题的关键．根据题意找出规律为当n为奇数时，第n个单项式为；当n为偶数时，第n个单项式为；根据此规律即可得出结论． 【详解】解：已知，，，，，…， 根据以上规律第2024个式子是， 故答案为：． 【变式11-3】观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 题型十二 与图形有关的规律探究问题 【例23】棱长为的小正方体按照如图所示的规律摆放，从上面看第100个图，得到的平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，图形类规律探索．先探究第100个图形从上面看时所看到的小正方形的个数，再结合每个小正方形的面积为， 从而可得答案． 【详解】解：第1个图有1层，共1个小正方体， 第2个图有2层，第2层正方体的个数为， 第3个图有3层，第3层正方体的个数为， ．．． 第n层时，正方体的个数为， 当时，第100层的正方体的个数为， 从上面看第100个图，看到了5050个小正方形，所以面积为：． 故选：D． 【例24】用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子 枚（用含的多项式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形找出一般规律是解题关键．观察已知图形的棋子枚数，得出第个图形需棋子枚，即可得解． 【详解】解：由图形可知，第1个图形需棋子4枚，， 第2个图形需棋子7枚，， 第3个图形需棋子10枚， …… 观察发现，第个图形需棋子枚， 故答案为：． 【变式12-1】如图，用火柴棍搭三角形，搭一个三角形用3根火柴棍，搭两个三角形用5根火柴棍，搭三个三角形用7根火柴棍…依此类推，那么搭6个三角形需要火柴棍 根． 【答案】13 【分析】本题是一道较为简单的找规律题，找到规律并把规律用代数式表示出来是解题的关键． 先观察图形的变化规律，发现每后一个图形比前一个图形多两根火柴捧，用代数式表示发现的规律即可． 【详解】解：观察图形发现： 时，共3根火柴棒； 时，共有5根火柴棒，即根； 时，共有7根火柴捧，即根； 时，共有9根火柴棒，即根； ...... 由此得到规律，第n个图形有即根火柴棒． ∴搭6个三角形需要火柴棍， 故答案为：13． 【变式12-2】在平面上有10条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，这些直线能把平面分成 部分． 【答案】56 【分析】本题考查计数推理． 首先判断1条直线，将平面分成2个区域；2条直线，将平面分成个区域；3条直线，将平面分成个区域；4条直线，将平面分成个区域；得出规律，进而计算即可． 【详解】解：1条直线，将平面分成2个区域； 2条直线，将平面分成个区域； 3条直线，将平面分成个区域； 4条直线，将平面分成个区域； …… n条直线，将平面分成个区域； 10条直线，将平面分成个区域； 故答案为：． 【变式12-3】当砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；… 【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】(1)60，5 (2)，n (3)23400元 【分析】本题主要考查图形的规律，有理数混合运算的应用，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据已知图形进行推理即可得到答案； （2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形； （3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行计算即可． 【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． （2）解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数，曲线围成的封闭图形有个； （3）解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，地砖的总数为（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 题型十三 与数字有关的规律探究问题 【例25】观察下列各式：，若，则 ．（结果得数要算出） 【答案】10200 【分析】确定分子，分母与加号前面的数的关系，解得即可． 本题考查了规律探索，正确发现规律是解题的关键． 【详解】解： 由此得， 故， 解得， 故答案为：10200． 【例26】观察下列各式的特征： ； ； ； ． 根据规律，解决以下问题： (1)表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． A．            B．            C．            D． (2)计算：． 【答案】(1)C (2) 【分析】（1）由规律可知，较小数减较大数差的绝对值等于它的相反数，根据有理数的点在数轴上的位置可知，，由规律即可求得结果； （2）根据规律化简绝对值，然后进行加减法计算即可． 【详解】（1）解：由规律可知，较小数减较大数差的绝对值等于它的相反数，较大数减较小数差的绝对值等于它本身， 由有理数的点在数轴上的位置可知，， ∴， 故选：C； （2）解： ， ， ． 【点睛】本题考查规律探索，绝对值化简，利用数轴比较大小，有理数的加减法，掌握相关知识是解决问题的关键． 【变式13-1】七年级学生小明是一个喜欢思考问题而又乐于助人的好学生，一天邻居家读小学的小李，请他帮忙检查作业： ；； ；； ；； ；； ；； ， ；； 小明仔细检查后，夸小李聪明，作业全对了！小明还从这几题中发现了一个规律，请你用含有字母的等式表示小明发现的这一规律为： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据已知等式可得两个相间隔数的乘积等于这两个数之间的数的平方减去，据此即可求解，由已知等式发现规律是解题的关键． 【详解】解：由已知等式可得，两个相间隔数的乘积等于这两个数之间的数的平方减去， ∴用含有字母的等式表示小明发现的这一规律为：， 故答案为：． 【变式13-2】先阅读并填空，再解答问题： 我们知道，，，那么 ， ，用含有（为正整数）的式子表示你发现的规律： ，并依此完成以下计算： （1）． （2）． 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 根据分数的乘法与加减法法则可得，，据此归纳类推出一般规律即可； （1）先将原式改写成，再将每一项拆分成两项，然后计算加减法即可； （2）先将原式变形为，再将括号内的每一项拆分成两项，然后计算括号内的加减法，最后计算乘法即可． 【详解】解：由题意得：，， 用含有（为正整数）的式子表示你发现的规律：， 故答案为：，，． （1） ． （2） ． 【变式13-3】观察下列等式： ①；②；③；④；， 请解答以下问题： (1)填空： ； (2)归纳：若n是正整数，则 ； (3)计算：． 【答案】(1)2500 (2) (3)7500 【详解】（1）解：①；②；③；④； ， ∴． （2）解：由（1）归纳可得： ． （3）解： 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为百位上的数字是，表示个百，即， 因为十位上的数字是，表示个十，即， 因为个位上的数字是，表示个一，即， 所以表示这个三位数的式子应该是． 故选：D． 2．若单项式与的和是单项式，则的值（    ） A．16 B．48 C．64 D．−12 【答案】C 【详解】解：单项式与的和是单项式， 与是同类项， ， 解得， 则， 故选：C． 3．若，则的值为 ． 【答案】2020 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2020． 4．如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片逐渐加1的规律拼成如图图案．按照这样的规律，如果一个图案白色纸片有70张，那么这个图案中有黑色纸片 张． 【答案】23 【详解】解：对于第一个图，黑色纸片有1个、白色纸片有个； 对于第二个图，黑色纸片有2个、白色纸片有个； 对于第三个图，黑色纸片有3个、白色纸片有个； 对于第个图，黑色纸片有个、白色纸片有个； 如果一个图案白色纸片有70张，则， 解得， 即如果一个图案白色纸片有70张，那么这个图案中有黑色纸片23张， 故答案为：23． 5．整式的加减，要求写出计算步骤 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．先化简，再求值：，其中，是最大的负整数，． 【答案】， 【详解】解： ， ∵是最大的负整数， ∴， 当，时，原式． 7．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个二次三项式，形式如下： (1)求所挡的二次三项式； (2)若，求所挡的二次三项式的值． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）解：由题意得：所挡的二次三项式为 ． （2）解：将代入得：． 8．若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： ＝ ＝， ∵原代数式的值与的取值无关， ∴，， ∴，； （2）解： ， ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知与是同类项，则 ． 【答案】 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．计算： 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 3．已知，，． (1)化简； (2)在(1)的结果中，若取最大负整数，结果是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）取最大负整数， ， ． 4．小明在做一道题，由于粗心，将墨水洒在了作业上盖住“”．另外又将“”看成“”，他凭着印象求出了解：． (1)求多项式； (2)当，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：依题意， ∴ ∴ （2）解：，， ∴ 当时， 5．【教材呈现】下题是某版七年级上册数学教材的一道练习题目内容． C组17．代数式：的值为9．则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下∶ 由题意得，则有． ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，则= ． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由得：， 则； （2）解：由得：， 则； 6．小颖某天在一本资料书上看到一个如图所示的流程图，她按照这个流程写下了几个三位数验证了一下，结果都正确，她觉得很神奇，想弄清楚原因，请你借助代数式来帮她解释一下这其中的原因． 【答案】见解析 【详解】解：假设写的三位数为，即它百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是． 根据题意，得 ， 所以按照这个流程最终得到的三位数就是小颖在纸上写的三位数． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式及其加减（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的概念与书写规则 能判断代数式，规范书写含字母的式子 小题必考，易错书写不规范（如数字放字母后） 单项式与多项式的辨析及相关量判断 能辨单项式/多项式，算系数、次数、项数 高频小题，易错漏负号或算错次数 整式的概念与分类 能判断整式，区分整式与非整式 基础送分题，易错误判分式为整式 同类项的判断与合并 能判同类项，按法则正确合并 易错错判或合并时变字母 知识点01 用含字母的数字表示数——代数式 1.定义：用运算符号将数字或字母连接起来的式子，单个字母或数字也是代数式； 2.书写规则 （1）字母与字母，或数字与字母相乘，通常将乘号写作“·”或者直接省略，但数字必须写在字母的前面，字母按26个字母的顺序从左到右来写； （2）带分数与字母相乘时，要化成假分数；“÷”可以改成分数线； （3）数值为“1”或“”时，通常省略“1”； 知识点02 单项式 1. 定义：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，它可以是一个数字，也可以是一个字母，例如：，，0，a，…… 2. 单项式的系数与次数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如：的系数是3，次数是4。 【特别提示】 ①单项式的系数是带分数，要化作假分数； ②单项式的系数包括前面的符号； ③单项式中不含有加减运算，只含有乘法和数字作为分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式； ④若字母的指数是1，书写时可以省略，但在计算次数时，不能丢掉。 知识点03 多项式 1.定义：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； 2.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，例如有三项，次数最高的是，则此多项式的次数为2 【特别提示】 （1）多项式每一个都要包括它前面的符号；（2）多项式的次数不是所有项的次数和； （3）多项式的项数是指多项式中包含单项式的个数；（4）无论是多项式还是单项式，分母中都不能出现字母。 知识点04 整式 1.定义：单项式与多项式统称为整式； 2.单项式、多项式和整式的联系 （1）各单项式的最高次数决定整个多项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应全部写出； （3）所有单项式和多项式都是整式，如果一个式子既不是单项式是，也不是多项式，那么它一定不是整式。 示例：不是整式，分母中含有未知数，属于分式，既不是单项式也不是多项式，因此不是整式。 知识点05 同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项. （2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变. （3）合并同类项步骤： ①准确的找出同类项；②逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变；③写出合并后的结果. （4）在掌握合并同类项时注意： ①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. ②不要漏掉不能合并的项. ③只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）. 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项. 知识点06 去括号及整式的加减 1.去括号 （1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 ； （2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 2.整式加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接. （2）按去括号法则去括号. （3）合并同类项. 题型一 代数式书写方法 【例1】下列式子中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【例2】对于式子：①；②；③；④；⑤米．符合代数式书写的是 （填序号）． 【变式1-1】在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-2】下列各式 ①：；②：；③：；④：中最符合书写规范的是 . 【变式1-3】下列代数式书写正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 单项式、多项式的判断 【例3】下列哪个是单项式？（ ） A． B． C． D． 【例4】把下列代数式分别填入下表适当的位置： ，，，，，，． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 【变式2-1】下列式子：中，整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2-2】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入下列所属框中． ，，0，，，，m． 单项式：{                        …}； 多项式：{                        …}； 整式：{                            …}． 【变式2-3】下列式子中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． 题型三 单项式、多项式的系数和次数 【例5】关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次六项式 B．它的最高次项是 C．它的一次项是 D．关于的二次项系数是 【例6】若单项式是关于的九次单项式，那么 ． 【变式3-1】已知关于x，y的多项式与多项式的次数相同，那么n的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-2】下列说法正确的是（     ） A．是三次三项式 B．是单项式 C．的系数是 D．的次数是0 【变式3-3】有一单项式的系数是2，次数为3，且只含有，，则这个单项式可能是 题型四 多项式系数、指数中字母求值 【例7】已知多项式是关于的三次三项式，则m的值等于（   ） A． B．1 C． D．以上都不对 【例8】已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 【变式4-1】如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】若多项式是关于x的三次二项式，则 ， ． 【变式4-3】多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 题型五 合并同类项 【例9】下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例10】化简 (1) (2) 【变式5-1】下列各式的计算，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列去括号、添括号的结果中，正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式5-3】先去括号，再合并同类项． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 已知同类项求指数中字母或代数式的值 解｜题｜技｜巧 先明确哪几项是同类项，圈出它们共有的字母及对应指数，然后对相同字母，令其指数相等，列方程（组）求解指数中的字母。 【例11】已知和是同类项，则的值是 ． 【例12】若单项式与的差是单项式，则 ． 【变式6-1】如果和是同类项，则 ． 【变式6-2】若与是同类项，则 ． 【变式6-3】若与的和是单项式，则的值为 ． 题型七 整式的加减运算 【例13】如果A是一个五次整式，B是一个四次整式，则一定是（    ） A．次数大于五次的整式 B．五次整式 C．九次整式 D．次数小于五次的整式. 【例14】一个多项式加得，则这个多项式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知一个整式与的和是，则这个整式是 ． 【变式7-2】长方形的一边长等于，另一边比它小，那么这个长方形的周长是 ． 【变式7-3】已知．求． 题型八 整式的加减中的化简求值 【例15】代数式化简 先化简，再求值：，其中． 【例16】已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【变式8-1】化简求值：，其中 【变式8-2】先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【变式8-3】观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 题型九 整式加减中的无关型问题 解｜题｜技｜巧 先确定题目中“无关的字母”（如“与x无关”则锁定x的项）；对整式去括号、合并同类项，整理成“含无关字母的项+其余项”的形式；提取含无关字母项的系数，令其等于0，列方程求解参数值；化简时需正确处理符号，合并同类项避免漏项，确保系数提取准确。 【例17】要使多项式化简后不含有x的二次项，则m等于（　　） A．0 B．3 C． D． 【例18】若多项式与多项式的和不含二次项，则等于 ． 【变式9-1】已知多项式不含项和项，则的值为（　 ） A． B． C． D． 【变式9-2】当 时，关于、的整式中不含项． 【变式9-3】有一道题：“先化简，再求值：，其中．”小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因 题型十 整式的加减运算与应用 【例19】年4月1日，高明区调整了居民生活用水第三阶梯的价格．以下是调整后的居民生活用水价格表：已知小丽家9月份用水量为（），则小丽家9月份应缴纳水费 元． 水价类别 单价（元/立方米） 第一阶梯 每户每月用水量不超过的部分      第二阶梯 每户每月用水量超过且不超过的部分      第三阶梯 每户每月用水量超过的部分      【例20】阅读材料：已知一个两位数，十位数字为，个位数字，那么我们可以用表示这个数字．依据上面的材料，回答下题：一个三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字是． (1)请用含的式子表示这个数； (2)现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数，请用含的式子表示； (3)请用含的式子表示，并回答能被11整除吗？ 【变式10-1】某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），再依次完成以下三个步骤： 第一步，A 同学拿出二张扑克牌给B 同学； 第二步，C同学拿出三张扑克牌给B 同学； 第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学． 请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为 ． 【变式10-2】如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示） (2)用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当米时，喷泉的周长． 【变式10-3】学习《整式及其加减》后，在一次数学活动中，乐乐对东东说：“你在心里想好一个两位数，将十位数字乘5，然后加4，再将所得新数乘2，最后将得到的数加个位数字，把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数．”通过两人的对话，你能判断乐乐说得对吗？请你说明原因． 我的结果是85．   你心里想的是77．   我的结果是27．    你心里想的是19．            题型十一 与单项式有关的规律探究问题 【例21】按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【例22】有一组单项式：，，，···，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第20个单项式为 ． 【变式11-1】按一定规律排列的代数式：，，，，…，其中第n个代数式为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知，，，，，…请你根据以上规律写出第2024个式子是 ． 【变式11-3】观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 题型十二 与图形有关的规律探究问题 【例23】棱长为的小正方体按照如图所示的规律摆放，从上面看第100个图，得到的平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【例24】用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子 枚（用含的多项式表示）． 【变式12-1】如图，用火柴棍搭三角形，搭一个三角形用3根火柴棍，搭两个三角形用5根火柴棍，搭三个三角形用7根火柴棍…依此类推，那么搭6个三角形需要火柴棍 根． 【变式12-2】在平面上有10条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，这些直线能把平面分成 部分． 【变式12-3】当砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；… 【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 题型十三 与数字有关的规律探究问题 【例25】观察下列各式：，若，则 ．（结果得数要算出） 【例26】观察下列各式的特征： ； ； ； ． 根据规律，解决以下问题： (1)表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． A．            B．            C．            D． (2)计算：． 【变式13-1】七年级学生小明是一个喜欢思考问题而又乐于助人的好学生，一天邻居家读小学的小李，请他帮忙检查作业： ；； ；； ；； ；； ；； ， ；； 小明仔细检查后，夸小李聪明，作业全对了！小明还从这几题中发现了一个规律，请你用含有字母的等式表示小明发现的这一规律为： ． 【变式13-2】先阅读并填空，再解答问题： 我们知道，，，那么 ， ，用含有（为正整数）的式子表示你发现的规律： ，并依此完成以下计算： （1）． （2）． 【变式13-3】观察下列等式： ①；②；③；④；， 请解答以下问题： (1)填空： ； (2)归纳：若n是正整数，则 ； (3)计算：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ）A． B． C． D． 2．若单项式与的和是单项式，则的值（    ） A．16 B．48 C．64 D．−12 3．若，则的值为 ． 4．如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片逐渐加1的规律拼成如图图案．按照这样的规律，如果一个图案白色纸片有70张，那么这个图案中有黑色纸片 张． 5．整式的加减，要求写出计算步骤 (1) (2) (3) (4) 6．先化简，再求值：，其中，是最大的负整数，． 7．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个二次三项式，形式如下： (1)求所挡的二次三项式； (2)若，求所挡的二次三项式的值． 8．若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知与是同类项，则 ． 2．计算： 3．已知，，． (1)化简； (2)在(1)的结果中，若取最大负整数，结果是多少？ 4．小明在做一道题，由于粗心，将墨水洒在了作业上盖住“”．另外又将“”看成“”，他凭着印象求出了解：． (1)求多项式； (2)当，求的值． 5．【教材呈现】下题是某版七年级上册数学教材的一道练习题目内容． C组17．代数式：的值为9．则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下∶ 由题意得，则有． ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，则= ． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 6．小颖某天在一本资料书上看到一个如图所示的流程图，她按照这个流程写下了几个三位数验证了一下，结果都正确，她觉得很神奇，想弄清楚原因，请你借助代数式来帮她解释一下这其中的原因． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $