专题11 角平分线的性质和判定期中复习课讲义2025-2026学年八年级数学上册【提优专题+重点题型+单元试卷 】典例剖析及举一反三训练（新教材人教版）

专题11 角平分线的性质和判定期中复习课讲义 第一部分 典例剖析+变式训练 知识点一 角的平分线的尺规作图 题型1 根据尺规作图痕迹，进行推理或计算 【典例1】（2024•雨花台区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD＝∠B． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得， ∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线， ∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°， ∴∠BDE＝∠BAC， 在Rt△AED和Rt△ACD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）， ∴AE＝AC， ∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B， 综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线． 【变式训练】 1．（2025春•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以同样的长度（大于为半径画弧，两弧相交于点P，连接AP，则射线AP是∠BAC的角平分线，连接MP，NP，可以先证明△ANP≌△AMP，进而推出AP是∠BAC的角平分线，判定△ANP≌△AMP的依据（　　） A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS 【分析】由作图过程可得，AM＝AN，NP＝MP，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，AM＝AN，NP＝MP， ∵AP＝AP， ∴△ANP≌△AMP（SSS）， ∴判定△ANP≌△AMP的依据是SSS． 故选：D． 【点睛】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 2．（2025春•苏州期中）如图，AB∥CD，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线AP交CD于点E．若∠AEC＝55°，则∠C的大小为（　　） A．70° B．75° C．80° D．60° 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可解答． 【详解】解：由题意得：AE平分∠BAC， ∴∠CAB＝2∠BAE， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠AEC＝55°， ∴∠CAB＝110°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝180°﹣∠BAC＝70°， 故选：A． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的尺规作图，以及平行线的性质，根据题意得出AE平分∠BAC是解题关键． 题型2 角的平分线的尺规作图 【典例2】（2024秋•溧水区期中）如图，已知∠AOB，用两种不同的方法作∠AOB的平分线． 要求：（1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【分析】方法一利用角平分线的尺规作图即可； 方法二分别以点O为圆心、OC、OE长度为半径画弧，交OB于点D、F，连接DE、CF，交于点P，作射线OP即可． 【详解】解：方法一：如图1，由作图知，OM＝ON，MQ＝NQ， 又OQ＝OQ， 所以△OMQ≌△ONQ（SSS）， ∴∠MOQ＝∠NOQ， ∴OQ平分∠AOB； 方法二：如图2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF， ∴△DOE≌△COF（SAS）， ∴∠PEC＝∠PFD， ∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF， ∴△CPE≌△DPF（AAS）， ∴PE＝PF， ∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF， ∴△OPE≌△OPF（SAS）， ∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB， ∴射线OP是∠AOB的平分线． 【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及全等三角形的判定与性质． 【变式训练】 1．（2014秋•北塘区期中）如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【分析】到两条公路的距离相等，在这两条公路的夹角的平分线上；到两所大学的距离相等，在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上，所画两条直线的交点即为所求的位置． 【详解】解： 则点P为所求． 【点睛】用到的知识点为：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 题型3 先尺规作图再计算或推理 【典例3】（2024秋•兴化市期末）如图，∠BAD、∠ABE是△ABC的两个外角． （1）用无刻度直尺和圆规分别作∠BAD和∠ABE的平分线，两线交于点O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接CO，求证：CO平分∠ACB． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）过点O作OH⊥CD于点H，OM⊥AB于点M，ON⊥CE于点N．证明OH＝ON即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：过点O作OH⊥CD于点H，OM⊥AB于点M，ON⊥CE于点N． ∵AO平分∠BAD，OB平分∠ABE， ∴OH＝OM，OM＝ON， ∴OH＝ON， ∴OC平分∠ACB． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质和判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式训练】 1．（2025春•工业园区校级期中）如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的平分线． （1）仅利用直尺与圆规，作出∠BOC的平分线，记为OE．（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：OD⊥OE． 【分析】（1）利用基本作图作∠BOC的平分线即可； （2）根据角平分线的定义得到∴∠COD∠AOC，∠COE∠BOC，再根据平角的定义得∠COD+∠COE∠AOB＝90°，从而得到OD⊥OE． 【详解】（1）解：如图，OE为所作； （2）证明：∵OD是∠AOC的平分线，OE平分∠BOC， ∴∠COD∠AOC，∠COE∠BOC， ∴∠COD+∠COE∠AOC∠BOC∠AOB180°＝90°， ∴OD⊥OE． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的定义． 知识点二 角的平分线的性质 【典例4】（2025•新蔡县三模）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN． 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【详解】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中，， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•中山市校级开学）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD＝（　　） A．56 B．28 C．14 D．12 【分析】过点D作DE⊥AB，利用角平分线的性质先求出DE的长，再利用三角形的面积公式计算出△ABD的面积． 【详解】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E． ∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD是∠ABC的平分线， ∴DE＝DC＝4． ∴S△ABDAB•DE 14×4 ＝28． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解决本题的关键． 2．如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠C＝∠D＝90°，AD平分∠CAB，BC平分∠ABD，AD、BC相交于点O，求证：OC＝OD． 【分析】作OE⊥AB，垂足为E，根据角平分线的性质即可证明OC＝OD． 【详解】证明：作OE⊥AB，垂足为E， ∵∠C＝∠D＝90°，AD平分∠CAB，BC平分∠ABD， ∴OC＝OE＝OD， 即OC＝OD． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，通过作OE⊥AB，构造角平分线上的点到角两边的距离相等解决问题． 知识点三 角的平分线的判定 【典例5】（2022秋•武城县期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC． （2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC； （2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE． 【详解】证明：（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠E＝∠DFC＝90°， ∴△BDE与△CDE均为直角三角形， ∵在Rt△BDE与Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， ∴AD平分∠BAC； （2）AB+AC＝2AE． 理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵∠E＝∠AFD＝90°， ∴∠ADE＝∠ADF， 在△AED与△AFD中， ∵， ∴△AED≌△AFD（ASA）， ∴AE＝AF， ∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE． 【点睛】本题考查的是角平分线的判定及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋•建邺区校级期中）如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上． 【分析】过点P分别作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC垂足分别为D，F，E，利用角平分线的性质推出PD＝PF，由角平分线性质定理的逆定理，即可证明P点在∠BAC的角平分线上． 【详解】证明：过点P分别作PD⊥AB于D，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E， ∵BM平分∠ABC，CN平分∠ACB， ∴PD＝PE，PF＝PE， ∴PD＝PF， ∵PD⊥AB，PF⊥AC， ∴P点在∠BAC的角平分线上． 【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线性质定理的逆定理，关键是由角平分线性质得到PD＝PF． 知识点四 角的平分线的性质和判定的综合运用 【典例6】（2023春•富平县期末）已知：如图，CP、BP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，∠BAC＝44°．求∠BAP的度数． 【分析】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PD＝PM，PD＝PN得到PN＝PM，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】解：作PD⊥BC于点D，如图所示， ∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC， ∴PD＝PM， 同理PD＝PN， ∴PN＝PM， 又∵PM⊥AB，PN⊥AC， ∴PA平分∠BAC， ∵∠BAC＝44°， ∴∠BAP＝22°． 【点睛】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024秋•杨浦区期末）如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证： （1）AM平分∠DAB； （2）DM⊥AM． 【分析】（1）过点M作ME⊥AD，垂足为E，先求出ME＝MC，再求出ME＝MB，从而证明AM平分∠DAB； （2）利用两直线平行同旁内角互补可得∠1+∠3＝90°，所以两直线垂直 【详解】（1）AM平分∠DAB． 证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E， ∵DM平分∠ADC， ∴∠1＝∠2， ∵MC⊥CD，ME⊥AD， ∴ME＝MC（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵MC＝MB， ∴ME＝MB， ∵MB⊥AB，ME⊥AD， ∴AM平分∠DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2）DM⊥AM． 证明：∵∠B＝∠C＝90°， ∴DC⊥CB，AB⊥CB， ∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠CDA+∠DAB＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 又∵∠1∠CDA，∠3∠DAB（角平分线定义） ∴2∠1+2∠3＝180°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠AMD＝90度．即DM⊥AM． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 2．（2024秋•余姚市期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：AE平分∠FAD． （2）求证：DE平分∠ADC． （3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【分析】（1）由直角三角形的性质求出∠EAF＝40°，由平角定义即可求出∠DAE的度数，再根据角平分线定义即可得证； （2）过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，由角平分线的性质推出EF＝EN，FE＝EM，得到EM＝EN，于是推出DE平分∠ADC； （3）由△ACD的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积，得到AD•EM+CD•EN＝18，即可求出EM＝3，得到EF＝3，由三角形面积公式即可求出△ABE的面积． 【详解】（1）证明：∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∵∠AEF＝50°， ∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠DAE＝180°﹣100°﹣40°＝40°＝∠EAF， ∴AE平分∠FAD； （2）证明：过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N， ∵BE平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EF＝EN， ∵AE平分∠DAF，EF⊥AB， ∴FE＝EM， ∴EM＝EN， ∵EM⊥AD，EN⊥CD， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵△ACD的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积， ∴AD•EMCD•EN＝15， ∴（AD+CD）•EM＝15， ∴（4+8）×EM＝15， ∴EM， ∴EF， ∴△ABE的面积AB•EF7． 【点睛】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理及其逆定理． 知识点五 三角形的内角平分线的性质 【典例7】（2024秋•虎丘区校级期中）如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　） A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定 【分析】过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，再利用三角形面积公式得到S1•AB•OD，S2+S3OD•（BC+AC），然后根据三角形三边的关系得到S1＜S2+S3． 【详解】解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图， ∵O是△ABC的三条角平分线的交点， ∴OD＝OE＝OF， ∵S1•AB•OD，S2+S3•BC•OE•AC•OFOD•（BC+AC）， 而AB＜BC+AC， ∴S1＜S2+S3． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 【变式训练】 1．（2023秋•庆安县期末）三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【分析】根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案． 【详解】解：三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 2．（2022秋•江阴市校级月考）如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 　27　 ． 【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质得出OE＝OD＝OF＝3，求出△ABC的面积S＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，再求出答案即可． 【详解】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，OD＝3， ∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3， ∵△ABC的周长为18， ∴AB+BC+AC＝18， ∴△ABC的面积S＝S△AOB+S△BOC+S△AOC AB×3BC×3 （AB+BC+AC） 18 ＝27， 故答案为：27． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 3．（2024秋•靖江市月考）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝8，BC＝12，△ABD的面积为16，则△CBD的面积为 　24　 ． 【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据△ABD的面积为16求出DE，求出DF＝4，再根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， 设DE＝DF＝a， ∵△ABD的面积为16，AB＝8， ∴16， ∵AB＝8， ∴DE＝4， ∴DF＝4， ∵BC＝12， ∴24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DE＝DF是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 第二部分 专题提优训练 1．（2025春•江阴市期末）如图，已知∠AOB，按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径作弧，与OA，OB分别交于点C，D； ②分别以点C，D为圆心，取大于长为半径作弧，交于点E； ③作射线OE，连接CE，DE，CD． 下列结论中不一定成立的是（　　） A．∠OCE＝∠ODE B．∠ECD＝∠OCD C．∠AOE＝∠BOE D．CD⊥OE 【分析】由作图过程可知，OC＝OD，CE＝DE，证明△COE≌△DOE，可得∠OCE＝∠ODE，∠COE＝∠DOE，由OC＝OD，CE＝DE，可知OE为线段CD的垂直平分线，可得CD⊥OE，即可得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，OC＝OD，CE＝DE， ∵OE＝OE， ∴△COE≌△DOE（SSS）， ∴∠OCE＝∠ODE，∠COE＝∠DOE， 故A，C选项正确，不符合题意； ∵OC＝OD，CE＝DE， ∴OE为线段CD的垂直平分线， ∴CD⊥OE， 故D选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出∠ECD＝∠OCD， 故B选项不正确，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查作图—基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．如图，在直线MN上找一点P，使点P到∠AOB两边所在的直线的距离相等，符合条件的点有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】∠AOB的平分线或补角的角平分线与直线MN的交点，即为符合条件的点P． 【详解】解：作∠AOB的平分线，∠AOB的平分线与直线MN交于一点P． 或∠AOB的补角的角平分线，∠AOB的补角的角平分线与直线MN交于一点P′，P′也符合条件， 故选：C． 【点睛】此题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3．（2024秋•铜官区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④AD平分∠CDE；⑤S△ABD：S△ACD＝AB：AC，其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①正确，因为角平分线上的点到两边的距离相等知； ②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC+BE＝AB； ③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的补角相等，所以∠BDE＝∠BAC； ④正确，因为由△ADC≌△ADE可知，∠ADC＝∠ADE，所以AD平分∠CDE； ⑤正确，因为CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△ABD：S△ACD＝AB：AC． 所以正确的有五个，故选：A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要结合已知条件与各种相关知识对选项进行逐一验证． 4．（2024秋•蒙城县期末）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 　30　 ． 【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝4，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD可求出四边形ABCD的面积． 【详解】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示． ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DC＝4， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD， AB•DEBC•CD， 6×49×4， ＝30． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝4是解题的关键． 5．（2024秋•东港区期末）如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E．若△ABC的周长为11，PE＝2，S△BPC＝2，则S△ABC＝　7　 ． 【分析】过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP，根据角平分线的性质得到PF＝PG＝PE＝2，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP， ∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AB，PE＝2， ∴PF＝PG＝PE＝2， ∵S△BPC＝2， ∴BC×2＝2， 解得：BC＝2， ∵△ABC的周长为11， ∴AC+AB＝11﹣2＝9， ∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BPCAC•PEAB•PG﹣S△BPC9×2﹣2＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 6．（2023秋•潮州期末）如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝13cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 　3　 cm． 【分析】作CF⊥AB交AB的延长线于点F，由角平分线的性质得CF＝CE，再根据同角的补角相等证明∠CBF＝∠D，即可证明△CBF≌△CDE，得BF＝DE，再证明Rt△ACF≌Rt△ACE，得AF＝AE，于是得7+BF＝13﹣DE，所以7+DE＝13﹣DE，即可求得DE的长为3cm． 【详解】解：∵作CF⊥AB交AB的延长线于点F， ∵AC平分∠BAD，CF⊥AB，CE⊥AD， ∴CF＝CE，∠F＝∠DEC＝∠AEC＝90°， ∵∠ABC+∠CBF＝180°，∠ABC+∠D＝180°， ∴∠CBF＝∠D， 在△CBF和△CDE中， ， ∴△CBF≌△CDE（AAS）， ∴BF＝DE， 在Rt△ACF和Rt△ACE中， ， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL）， ∴AF＝AE， ∵AD＝13cm，AB＝7cm， ∴7+BF＝13﹣DE， ∴7+DE＝13﹣DE， ∴DE＝3， ∴DE的长为3cm， 故答案为：3． 【点睛】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明△CBF≌△CDE及Rt△ACF≌Rt△ACE是解题的关键． 7．（2022秋•抚远市期末）如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝　150°　 ． 【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC， ∴AD是∠BAC的平分线， ∵∠BAC＝40°， ∴∠CAD∠BAC＝20°， ∴∠DGF＝∠CAD+∠ADG＝20°+130°＝150°． 故答案为：150° 【点睛】本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键． 8．（2024秋•城厢区校级月考）如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，求△ABC的面积． 【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到OE＝OF＝OD＝2，再由S△ABC＝S△OBC+S△OAB+S△OAC得到，根据三角形周长计算公式得到BC+AB+AC＝10，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OD⊥BC，OE⊥AB，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点， ∴OE＝OD， 同理，OF＝OD， ∵OD＝2， ∴OD＝OE＝OF＝2， ∴S△ABC＝S△OBC+S△OAB+S△OAC， ， ， ∵△ABC的周长是10， ∴BC+AB+AC＝10， ∴， ∴△ABC的面积为10． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，熟记角平分线的性质定理是解题的关键． 9．（2023春•子洲县校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB＝30°． （1）求∠PAD的度数； （2）试说明：PD＝PC． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的定义，即可作答； （2）过点P作PE⊥AB于点E，再根据角平分线的性质定理即可证明． 【详解】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°． ∵∠CPB＝30°， ∴∠PBC＝90°﹣∠CPB＝60°． ∵PB平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠PBC＝120°． ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°． ∵AP平分∠DAB， ∴． （2）如图．过点P作PE⊥AB于点E． ∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB， ∴PE＝PD． ∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB， ∴PE＝PC， ∴PD＝PC． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质定理的等知识，掌握角平分线的性质定理，是解答本题的关键． 10．（2024•天宁区校级模拟）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE． 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明△BAE≌△DAE（SAS），即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵AB＝AD，AE＝AE， ∴△BAE≌△DAE（SAS）， ∴DE＝BE． 【点睛】本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 角平分线的性质和判定期中复习课讲义 第一部分 典例剖析+变式训练 知识点一 角的平分线的尺规作图 题型1 根据尺规作图痕迹，进行推理或计算 【典例1】（2024•雨花台区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 【变式训练】 1．（2025春•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以同样的长度（大于为半径画弧，两弧相交于点P，连接AP，则射线AP是∠BAC的角平分线，连接MP，NP，可以先证明△ANP≌△AMP，进而推出AP是∠BAC的角平分线，判定△ANP≌△AMP的依据（　　） A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS 2．（2025春•苏州期中）如图，AB∥CD，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线AP交CD于点E．若∠AEC＝55°，则∠C的大小为（　　） A．70° B．75° C．80° D．60° 题型2 角的平分线的尺规作图 【典例2】（2024秋•溧水区期中）如图，已知∠AOB，用两种不同的方法作∠AOB的平分线． 要求：（1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【变式训练】 1．（2014秋•北塘区期中）如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 题型3 先尺规作图再计算或推理 【典例3】（2024秋•兴化市期末）如图，∠BAD、∠ABE是△ABC的两个外角． （1）用无刻度直尺和圆规分别作∠BAD和∠ABE的平分线，两线交于点O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接CO，求证：CO平分∠ACB． 【变式训练】 1．（2025春•工业园区校级期中）如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的平分线． （1）仅利用直尺与圆规，作出∠BOC的平分线，记为OE．（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：OD⊥OE． 知识点二 角的平分线的性质 【典例4】（2025•新蔡县三模）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN． 【变式训练】 1．（2024•中山市校级开学）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD＝（　　） A．56 B．28 C．14 D．12 2．如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠C＝∠D＝90°，AD平分∠CAB，BC平分∠ABD，AD、BC相交于点O，求证：OC＝OD． 知识点三 角的平分线的判定 【典例5】（2022秋•武城县期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC． （2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（2023秋•建邺区期中）如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上． 知识点四 角的平分线的性质和判定的综合运用 【典例6】（2023春•富平县期末）已知：如图，CP、BP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，∠BAC＝44°．求∠BAP的度数． 【变式训练】 1．（2024秋•杨浦区期末）如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证： （1）AM平分∠DAB；（2）DM⊥AM． 2．（2024秋•余姚市期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：AE平分∠FAD． （2）求证：DE平分∠ADC． （3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，S△ACD＝15，求△ABE的面积． 知识点五 三角形的内角平分线的性质 【典例7】（2024秋•虎丘区校级期中）如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　） A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定 【变式训练】 1．（2023秋•庆安县期末）三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 2．（2022秋•江阴市校级月考）如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 　 　 ． 3．（2024秋•靖江市月考）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝8，BC＝12，△ABD的面积为16，则△CBD的面积为 　 　 ． 第二部分 专题提优训练 1．（2025春•江阴市期末）如图，已知∠AOB，按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径作弧，与OA，OB分别交于点C，D； ②分别以点C，D为圆心，取大于长为半径作弧，交于点E； ③作射线OE，连接CE，DE，CD． 下列结论中不一定成立的是（　　） A．∠OCE＝∠ODE B．∠ECD＝∠OCD C．∠AOE＝∠BOE D．CD⊥OE 2．如图，在直线MN上找一点P，使点P到∠AOB两边所在的直线的距离相等，符合条件的点有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2024秋•铜官区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④AD平分∠CDE；⑤S△ABD：S△ACD＝AB：AC，其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（2024秋•蒙城县期末）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 　 　 ． 5．（2024秋•东港区期末）如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E．若△ABC的周长为11，PE＝2，S△BPC＝2，则S△ABC＝　 　 ． 6．（2023秋•潮州期末）如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝13cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 　 cm． 7．（2022秋•抚远市期末）如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝　 ． 8．（2024秋•城厢区校级月考）如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，求△ABC的面积． 9．（2023春•子洲县校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB＝30°． （1）求∠PAD的度数； （2）试说明：PD＝PC． 10．（2024•天宁区校级模拟）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE． 1 学科网（北京）股份有限公司 $