4.1整式讲义　2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

4.1 整式 学习目标 1. 知识与技能：理解单项式、多项式、整式的概念；能准确确定单项式的系数和次数，多项式的项、常数项及次数；能区分整式与非整式。 2. 过程与方法：通过具体实例抽象出整式的相关概念，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。 3. 情感态度与价值观：感受数学概念的严谨性，体会代数式在描述数量关系中的作用。 知识点讲解 1. 单项式 · 定义：由数或字母的积组成的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 ▶ 注意：形如（商）、（和）的式子不是单项式。 · 系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。 ▶ 注意：① 系数包含符号，如的系数是；② π是常数（不是字母），如的系数是π；③ 单独字母（如a）的系数是1（省略不写），的系数是。 · 次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 ▶ 注意：① 单独的数字（常数项）次数是0，如的次数是0；② 单独字母（如b）的次数是1；③ 指数相加，如的次数是。 2. 多项式 · 定义：几个单项式的和组成的式子叫做多项式。 · 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 ▶ 注意：项包含符号，如的项是、、1，常数项是1。 · 次数：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数。 ▶ 命名：按“次数+项数”命名，如（最高次项的次数是4，共3项）叫做四次三项式。 3. 整式 · 定义：单项式和多项式统称为整式。 ▶ 区分：分式（如）、根号式（如）不是整式。 例题解析 例题1：识别单项式 下列式子中，哪些是单项式？ ① 5x；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ a。 解析： · ①是数与字母的积，是单项式； · ②是和，是多项式，不是单项式； · ③单独的数，是单项式； · ④是商，不是单项式； · ⑤π是常数，是数与字母的积，是单项式； · ⑥单独的字母，是单项式。 答案：①③⑤⑥。 例题2：单项式的系数与次数 指出下列单项式的系数和次数： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 8。 解析： (1) 系数是，次数是； (2) 系数是，次数是； (3) 系数是（省略的“1”），次数是1； (4) 系数是8，次数是0（常数项次数为0）。 例题3：多项式的项、次数与命名 已知多项式，回答下列问题： (1) 写出多项式的各项；(2) 指出常数项；(3) 说明它是几次几项式。 解析： (1) 各项：、、5x、； (2) 常数项：（不含字母的项）； (3) 最高次项是，次数是，共4项，故是三次四项式。 例题4：识别整式 下列式子中，哪些是整式？ ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 。 解析： · ①是多项式，是整式；②是商（分式），不是整式；③是单项式，是整式；④是多项式，是整式；⑤是商（分式），不是整式。 答案：①③④。 巩固练习 （一）选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 的系数是1 B. 的次数是2 C. 是单项式 D. 5的次数是1 2. 单项式的次数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 3. 多项式的次数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 下列式子中，是整式的是（ ） A. B. C. D. 5. 多项式的项数和常数项分别是（ ） A. 3，1 B. 2， C. 3， D. 2，1 （二）填空题 1. 单项式的系数是______，次数是______。 2. 多项式是______次______项式，常数项是______。 3. 若单项式的次数是4，则______。 4. 写出一个只含字母a、b的四次单项式：______。 5. 若式子+ 2x - 1 是关于x的一次多项式，则______。 （三）解答题 1. 指出下列单项式的系数和次数： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 2. 已知多项式，，求，并说明是几次几项式。 3. 把下列式子填入相应的括号（填序号）： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 。 单项式：{ }；多项式：{ }；整式：{ }。 五、巩固练习答案 （一）选择题 1. B（解析：A. 系数是；C. 是多项式；D. 次数是0） 2. C（解析：次数是） 3. B（解析：最高次项、、的次数均为3） 4. B（解析：A、D是分式，C不是整式） 5. A（解析：项是、、1，共3项，常数项1） （二）填空题 1. ，5（解析：系数是数字因数，次数是） 2. 五，三，（解析：最高次项次数，项数3，常数项） 3. 2（解析：次数，解得） 4. （答案不唯一，如、等，次数4即可） 5. 3（解析：一次多项式需二次项系数为0，，） （三）解答题 1. 解析： (1) 系数，次数； (2) 系数5π，次数2； (3) 系数（省略的1），次数； (4) 系数，次数0（常数项次数为0）。 2. 解析： 。 最高次项次数，共3项，故是四次三项式。 3. 解析： 单项式：{①③④}（单独的数、数与字母的积）； 多项式：{②⑥}（单项式的和）； 整式：{①②③④⑥}（单项式和多项式统称整式）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 整式 学习目标 1. 知识与技能：理解单项式、多项式、整式的概念；能准确确定单项式的系数和次数，多项式的项、常数项及次数；能区分整式与非整式。 2. 过程与方法：通过具体实例抽象出整式的相关概念，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。 3. 情感态度与价值观：感受数学概念的严谨性，体会代数式在描述数量关系中的作用。 知识点讲解 1. 单项式 · 定义：由数或字母的积组成的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 ▶ 注意：形如（商）、（和）的式子不是单项式。 · 系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。 ▶ 注意：① 系数包含符号，如的系数是；② π是常数（不是字母），如的系数是π；③ 单独字母（如a）的系数是1（省略不写），的系数是。 · 次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 ▶ 注意：① 单独的数字（常数项）次数是0，如的次数是0；② 单独字母（如b）的次数是1；③ 指数相加，如的次数是。 2. 多项式 · 定义：几个单项式的和组成的式子叫做多项式。 · 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 ▶ 注意：项包含符号，如的项是、、1，常数项是1。 · 次数：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数。 ▶ 命名：按“次数+项数”命名，如（最高次项的次数是4，共3项）叫做四次三项式。 3. 整式 · 定义：单项式和多项式统称为整式。 ▶ 区分：分式（如）、根号式（如）不是整式。 例题解析 例题1：识别单项式 下列式子中，哪些是单项式？ ① 5x；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ a。 例题2：单项式的系数与次数 指出下列单项式的系数和次数： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 8。 例题3：多项式的项、次数与命名 已知多项式，回答下列问题： (1) 写出多项式的各项；(2) 指出常数项；(3) 说明它是几次几项式。 例题4：识别整式 下列式子中，哪些是整式？ 1 ；② ；③ ；④ ；⑤ 。 巩固练习 （一）选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 的系数是1 B. 的次数是2 C. 是单项式 D. 5的次数是1 2. 单项式的次数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 3. 多项式的次数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 下列式子中，是整式的是（ ） A. B. C. D. 5. 多项式的项数和常数项分别是（ ） A. 3，1 B. 2， C. 3， D. 2，1 （二）填空题 1. 单项式的系数是______，次数是______。 2. 多项式是______次______项式，常数项是______。 3. 若单项式的次数是4，则______。 4. 写出一个只含字母a、b的四次单项式：______。 5. 若式子+ 2x - 1 是关于x的一次多项式，则______。 （三）解答题 1. 指出下列单项式的系数和次数： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 2. 已知多项式，，求，并说明是几次几项式。 3. 把下列式子填入相应的括号（填序号）： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 。 单项式：{ }；多项式：{ }；整式：{ }。 学科网（北京）股份有限公司 $