第二章 平面向量（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的考点梳理卷，主要梳理和考查了向量的运算及向量内积运算等常见考点。 第二章 平面向量 目录 考点一 向量的定义与向量的模 1 考点二 相等向量、相反向量、平行向量、零向量 2 考点三 向量的加法运算 2 考点四 向量的减法运算 3 考点六 向量内积的概念与性质 4 考点七 向量内积的运算律及应用 4 考点八 向量的坐标表示 5 考点九 向量线性运算的坐标表示 5 考点十 向量内积的坐标表示 6 考点一 向量的定义与向量的模 1. 已知向量的坐标为(3,4)，求||的值。 2. 在平面直角坐标系中，点A (1,2)和点(4,6)，求向量的模 3. 若向量的模为5，且方向与x轴正方向相同，写出向量的坐标。 考点二 相等向量、相反向量、平行向量、零向量 4. 下列关于相等向量的说法正确的是（ ） A. 长度相等的向量是相等向量 B. 方向相同的向量是相等向量 C. 长度相等且方向相同的向量是相等向量 D. 零向量与任意向量相等 5. 已知向量=(2,3)，则其相反向量-的坐标为（ ） A. (2,-3) B. (-2,3) C. (-2,-3) D. (3,2) 6. 若向量=(m,2)与向量=(3,6)平行，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 考点三 向量的加法运算 7.已知向量=(1,2)，=(3,4)，求+的坐标。 8.若向量表示“向东走3km”，向量表示“向北走3km”，则+表示什么方向的位移？ 9.在平行四边形ABCD中， = ，= ，用、表示向量。 考点四 向量的减法运算 10.已知向量=(5,7)，=(2,3)，求-的坐标。 11.若向量=(1,2)，=(4,6)，求向量。 12.在三角形ABC中，= ， = ，用、 表示向量。 考点五 向量的数乘运算 13.已知向量=(2,3)，求3的坐标及模长。 14.若向量的模为4，方向水平向右，求-2的模及方向。 15.已知向量=(1,2)，=(3,6)，判断是否为的数乘向量，并说明理由。 考点六 向量内积的概念与性质 16.已知向量=(2,3)，=(4,-1)，求·的值，并判断向量与是否垂直。 17.已知向量，满足||=4，||=5，|+|=6。 求：(1)·的值； (2)向量与的夹角θ（精确到cos97°≈-0.125）。 考点七 向量内积的运算律及应用 18.利用内积运算律计算：(2+3)·(4-5) 19.已知向量=(1,2)，=(3,4)，求(2)·及·(2)，并比较结果。 考点八 向量的坐标表示 20.已知点A(1,2)，B(4,6)，求向量的坐标。 21.已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求顶点D的坐标。 考点九 向量线性运算的坐标表示 22.若向量=(2,3)，=(1,1)，求3-2b的坐标。 23.已知向量=(x,2)，=(3,y)，且2+=(7,5)，求x,y的值。 24. 已知向量=(3,-1)，=(-2,5)，求4-2的坐标。 考点十 向量内积的坐标表示 25. 已知向量=(m,3)，=(2,m-1)，且·=12，求m的值。 26. 已知A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的考点梳理卷，主要梳理和考查了向量的运算及向量内积运算等常见考点。 第二章 平面向量 目录 考点一 向量的定义与向量的模 1 考点二 相等向量、相反向量、平行向量、零向量 2 考点三 向量的加法运算 3 考点四 向量的减法运算 3 考点五 向量的数乘运算 4 考点六 向量内积的概念与性质 4 考点七 向量内积的运算律及应用 5 考点八 向量的坐标表示 5 考点九 向量线性运算的坐标表示 6 考点十 向量内积的坐标表示 6 考点一 向量的定义与向量的模 1. 已知向量的坐标为(3,4)，求||的值。 【答案】：5 【解析】：根据向量模的计算公式，若向量=(x,y)，则||=。代入x=3，y=4，可得||===5。 2.在平面直角坐标系中，点A (1,2)和点(4,6)，求向量的模 【答案】：5 【解析】：向量的坐标为()=(4-1,6-2)=(3,4)，则||===5。 3. 若向量的模为5，且方向与x轴正方向相同，写出向量的坐标。 【答案】：(5,0) 【解析】：方向与x轴正方向相同的向量，其纵坐标为0，横坐标等于模长。因为向量的模为5，所以向量的坐标为(5,0)。 考点二 相等向量、相反向量、平行向量、零向量 4. 下列关于相等向量的说法正确的是（ ） A. 长度相等的向量是相等向量 B. 方向相同的向量是相等向量 C. 长度相等且方向相同的向量是相等向量 D. 零向量与任意向量相等 【答案】：C 【解析】：相等向量必须同时满足长度相等和方向相同两个条件，选项A、B仅满足一个条件，选项D零向量的方向是任意的，与任意向量不相等，故正确答案为C。 5. 已知向量=(2,3)，则其相反向量-的坐标为（ ） A. (2,-3) B. (-2,3) C. (-2,-3) D. (3,2) 【答案】：C 【解析】：相反向量的坐标是原向量对应坐标的相反数，所以-=(-2,-3)，故正确答案为C。 6. 若向量=(m,2)与向量=(3,6)平行，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】：A 【解析】：两向量平行则坐标对应成比例，即 = ，解得m=1，故正确答案为A。 考点三 向量的加法运算 7. 已知向量=(1,2)，=(3,4)，求+的坐标。 【答案】：(4,6) 【解析】：向量加法坐标运算为对应分量相加，+=()=(1+3,2+4)=(4,6)。 8. 若向量表示“向东走3km”，向量表示“向北走3km”，则+表示什么方向的位移？ 【答案】：东偏北45°方向，位移大小3km 【解析】：根据勾股定理，合位移大小为=3km，方向为东北方向（东偏北45°）。 9. 在平行四边形ABCD中， = ，= ，用、表示向量。 【答案】：+ 【解析】：平行四边形法则中，对角线向量=+=+ 考点四 向量的减法运算 10. 已知向量=(5,7)，=(2,3)，求-的坐标。 【答案】：(3,4) 【解析】：向量减法坐标运算为对应分量相减， -=()=(5-2,7-3)=(3,4)。 11. 若向量=(1,2)，=(4,6)，求向量。 【答案】：(-3,-4) 【解析】：向量 = -= (1-4,2-6)=(-3,-4)。 12. 在三角形ABC中，= ， = ，用、 表示向量。 【答案】：- 【解析】：由向量减法法则(三角形法则)，= -= - 考点五 向量的数乘运算 13. 已知向量=(2,3)，求3的坐标及模长。 【答案】：坐标(6,9)，模长3 【解析】：3=(3×2,3×3)=(6,9)，模长|3|===3。 14. 若向量的模为4，方向水平向右，求-2的模及方向。 【答案】：模长8，方向水平向左 【解析】：数乘向量的模为|k|·||，故|-2|=2×4=8；负号表示方向相反，即水平向左。 15. 已知向量=(1,2)，=(3,6)，判断是否为的数乘向量，并说明理由。 【答案】：是，=3 【解析】：因为3=(3×1,3×2)=(3,6)=，所以是的数乘向量，数乘系数为3。 考点六 向量内积的概念与性质 16. 已知向量=(2,3)，=(4,-1)，求·的值，并判断向量与是否垂直。 【答案】：5，不垂直 【解析】：·=2×4+3×(-1)=8-3=5；因为·=5≠0，所以向量与不垂直。 17.已知向量，满足||=4，||=5，|+|=6。 求：(1)·的值； (2)向量与的夹角θ（精确到cos97°≈-0.125）。 【答案】：(1)-2.5；(2)97° 【解析】 (1)由|+|²=(+)·(+)=||²+2·+||²，代入得6²=16+2·+25，即36=16+25+2·，解得2·=-5，故·=-2.5；(2)由·=||||cosθ，得cosθ=-2.5/(4×5)=-0.125，θ≈97°。 考点七 向量内积的运算律及应用 18.利用内积运算律计算：(2+3)·(4-5) 【答案】：8+2·-15 【解析】 展开得2·4 + 2·(-5) + 3·4 + 3·(-5)=8· -10· +12· -15·=8·+2·-15·=8+2·-15。 19. 已知向量=(1,2)，=(3,4)，求(2)·及·(2)，并比较结果。 【答案】：均为22，结果相等 【解析】：2=(2,4)，(2)·=2×3+4×4=6+16=22；2=(6,8)，·(2)=1×6+2×8=6+16=22，二者相等。 考点八 向量的坐标表示 20. 已知点A(1,2)，B(4,6)，求向量的坐标。 【答案】：(3,4) 【解析】：向量=终点坐标-起点坐标=(4-1,6-2)=(3,4)。 21. 已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求顶点D的坐标。 【答案】：(3,-2) 【解析】：在平行四边形中， = 。向量=(3-1,4-2)=(2,2)，设D(x,y)，则向量=(5-x,0-y)=(5-x,-y)。由=得：2=5-x且2=-y，解得x=3，y=-2，故D(3,-2)。 考点九 向量线性运算的坐标表示 22. 若向量=(2,3)，=(1,1)，求3-2b的坐标。 【答案】：(4,7) 【解析】：3=(6,9)，2=(2,2)，3-2=(6-2,9-2)=(4,7)。 23. 已知向量=(x,2)，=(3,y)，且2+=(7,5)，求x,y的值。 【答案】：x=2，y=1 【解析】：2=(2x,4)，2+=(2x+3,4+y)=(7,5)，故2x+3=7→x=2；4+y=5→y=1。 24. 已知向量=(3,-1)，=(-2,5)，求4-2的坐标。 【答案】：(16,-14) 【解析】：4=(12,-4)，2=(-4,10)，4-2=(12-(-4),-4-10)=(16,-14)。 考点十 向量内积的坐标表示 25. 已知向量=(m,3)，=(2,m-1)，且·=12，求m的值。 【答案】：m=3或m=-2 【解析】：·=m×2+3×(m-1)=2m+3m-3=5m-3，由5m-3=12解得5m=15→m=3。 26. 已知A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由。 【答案】：非直角三角形 【解析】：向量=(2,2)，=(2,-4)，=(4,-2)。 ·=2×2+2×(-4)=4-8=-4≠0，·=2×4+2×(-2)=8-4=4≠0，·=2×4+(-4)×(-2)=8+8=16≠0，为非直角三角形。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $