1.1.3两角和与差的正切公式（教案）-人教版《数学 拓展模块一》《上好课》

人教版《数学 拓展模块一》 第1章 三角计算 1.1.3两角和与差的正切公式 一、教材 人民教育出版社《数学》（拓展模块一） 二、教学时长 2课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 《三角计算》是人民教育出版社《数学拓展模块一》中的核心内容，属于三角函数板块的延伸与应用范畴。它建立在学生已学习三角函数的基本定义、同角三角函数基本关系、诱导公式等基础之上，是对三角函数知识从 “概念理解” 向 “实践运算” 与 “综合应用” 的关键过渡。本节课的内容具有承上启下的重要作用。一方面，它是对前期三角函数基础理论的深化；另一方面，它为后续学习更复杂的数学内容奠定基础。同时，它在日常生活、工作以及专业学习中都有着广泛的应用，通过引入生活场景和专业领域案例，让学生体会三角函数的实用价值，打破 “数学抽象难懂” 的认知误区，有助于学生提升逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，培养严谨的思维习惯. 五、学情分析 学生在前面的课程中，学习了三角函数，知道了特殊角的三角函数值、三角函数基本关系式、诱导公式，为本节课的学习打下一定的基础.从学科核心素养来看，学生具备一定的数学抽象和逻辑推理的素养，具备一定的推理能力和运算能力，学生在三角函数的推理和运算方面能力比较薄弱，教学时需注意低起点、慢慢来、多示范、多练习，逐步提升学生的推理和运算能力，本节课先从两角和与差的正切公式的推导入手，便于学生理解，为后续的倍角公式的学习打好基础. 六、教学目标 1.理解并掌握两角和与差的正切公式； 2.学生运用自主探讨、合作学习，理解两角差的正切公式的推导方法，利用两角差的正切公式的推导两角和的正切公式，强调公式中角的任意性，公式的结构特征，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力. 3.通过观察、对比，引导学生体验成功的喜悦；通过教师的启发引导，培养学生不怕困难、勇于探索、勇于创新的求知精神. 七、教学重点 两角和与差的正切公式的推导与应用. 八、教学难点 两角和与差的正切公式的公式变形与知识迁移. 九、教学方法 讲授法：教师通过系统、有条理的口头讲解两角和与差的正切公式，直接向学生传递两角和与差的正切公式及推导过程. 问题驱动教学法：教师围绕教学目标设计 “阶梯式问题链”（从基础到进阶、从具体到抽象），以问题为线索，引导学生主动思考、自主探究，最终通过解决问题掌握知识。 分层教学法：根据学生的数学基础、学习能力将学生分为不同层次（如基础层、提升层、拔尖层），设计不同的 “教学目标、教学内容、作业任务”，确保每个层次的学生都能 “在原有基础上进步”。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 引入 我们已经学习了两角和与差的正、余弦公式。那么我们一起来复习一下吧！ 问题1两角和与差的余弦公式 问题2两角和与差的正弦公式 这节课我们一起来研究来推导并研究一下两角和与差的正切公式. 教师带领学生共同复习两角和与差的正、余弦公式，为本节课的学习内容做铺垫 回忆复习内容，引出新知 探索新知 我们知道，的正弦、余弦都可以用的正弦与余弦表示，那么的正切，即，能否用的正切来表示呢？ 我们知道 把上述后一个分式的分子、分母同时除以 ()，得 把公式中的β换成－β ，得 于是，对于任意角α，β，我们可以得到如下公式： 注意：公式中 我们把上述公式称为两角和与差的正切公式.以上公式中角的取值应使式子有意义.如果已知角的正切值，应用上述公式就可直接求出角和的正切值. 为了方便起见，我们将 统称为和角公式. 公式变形 注意： 学生自学课本内容，标记疑问点 学生小组合作完成两角和与差的正切公式的推导过程 教师巡视课堂，了解小组推导情况，小组讨论结束后，选小组代表进行公式的推导讲解 学生1分钟时间记忆公式 教师提示一下两角和与差的正切公式运用过程中的注意事项 学生自学，教师引导，体现学生的主体地位。 根据已知内容推导未知内容，培养学生的化归转化思想 讲授过程中利用小组讨论，有利于课堂高效 化 例题讲解 题型一：给角求值 例1 利用和角公式求值． （1） tan75°；（2） 解： （1）tan75°=tan(45°+30°) （2） . 强化练习1 （1） （2） 答案：（1）；（2）1 题型二：给值求值 例2已知，求的值. 解：因为，所以 ， 于是 所以. 强化练习2 已知，求的值. 解：因为，所以 ， 于是 所以. 例3 已知，求的值. 解 ： 强化练习3 已知，求的值. 解：因为， 所以 题型三 应用根与系数的关系 例4已知为锐角，是方的两个根.求:的值. 解：是方的两个根， 所以, 所以, 因为为锐角，所以, 所以. 强化练习4 已知是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 解：由题意知，, 所以. 故选：A. 课堂思政 讲解两角和与差的正切公式时，可串联数学家不懈探索的故事，渗透钻研精神；结合古代天文测量用三角知识案例，厚植文化自信，引导用数学服务生活，涵养科学精神. 学生自学，完成例1的学习 教师针对学生的问题进行讲解 学生独立完成强化练习，检测学生的自学情况 学生根据所学的解题方法，解决例2,3 学生独立完成强化练习并选学生代表进行板演 教师对学生的板书进行点评 教师总结题型二：给值求值问题的解法以及拆角与凑角的思路 学生独立完成强化练习 教师抽查，针对学生的易错问题进行讲解 小组讨论解决题型三应用根与系数的关系 教师强调一题多解，使学生理解并掌握解题方法 学生根据例4的解题方法，独立完成变式训练 培养学生自学能力，使学生体会成功的快乐 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 培养学生举一反三的变通思维 通过小组交流，培养学生的合作探究的能力，巩固学生对公式的应用 课堂小结 两角和与差的正切公式 公式变形 基本题型：给角求值、给值求值、应用根与系数的关系 “角变换”规律，用“已知角”表示“未知角” 学生派代表总结本节课的知识点和解题步骤及解题技巧 培养学生总结学习过程能力 当堂检测 1. 计算（ A ） 2. 已知角为锐角，，求的值. 答案： 学生单人单桌进行当堂检测，小组互批，教师抽查，并进行针对性日清 检测学生本节课的知识掌握情况 作业布置 1. 书面作业 （1） 课后习题第×题写到作业本上。 （2） 完成《同步练习》1.1.3； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾 板书设计 1.1.3两角和与差的正切公式 1、 两角和与差的正切公式 练习 小结 二、变形公式 练习 作业 十一、教学反思 教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $