2.5.1 课时1 直线与圆的位置关系 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1 课时1 直线与圆的位置关系 【基础巩固】 1．直线和圆的位置关系为（ ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 2．已知直线与圆交于两点，若，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．已知圆上恰有两个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为，则弦长的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的有（ ） A．若，则与圆相切 B．若与圆相交，则 C．圆可能关于对称 D．若，则被圆截得的弦长为 6．已知直线与圆相交于、两点，则___________． 7．已知，，若在以原点为圆心的单位圆上存在两个不同的点满足，则实数的取值范围是___________． 8．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【能力拓展】 9．为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青少年机器人设计大赛．在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直角坐标系中，直线为竞技区与安全区的分界线，机器人甲在点处，机器人乙在竞技区内的点处，点在第一象限，且直线的倾斜角为．已知机器人甲的速度是机器人乙的倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段长度的最大值是（ ） A． B． C． D． 10．（多选）已知圆：（）， 直线，则（ ） A．对任意满足条件的实数与，直线与圆始终相切 B．对任意满足条件的实数与，直线与圆有公共点 C．对任意实数，必存在满足条件的实数，使得直线与圆相切 D．对任意满足条件的实数，必存在实数，使得直线与圆相切 11．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是___________． 【素养提升】 12．已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； (3)判断是否存在斜率为的直线与圆交于点，与圆交于点，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 课时1 直线与圆的位置关系 【基础巩固】 1．直线和圆的位置关系为（ ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【解析】的圆心和半径分别为，则圆心到直线的距离为，故直线与圆相交但不经过圆心. 故选：A. 2．已知直线与圆交于两点，若，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 3．已知圆上恰有两个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得圆，则圆心，半径， 则圆心到直线的距离. 因为圆上恰有两个点到直线的距离为， 所以，即，又， 解得：. 故选：B. 4．已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为，则弦长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离为， 在直角三角形中，， 所以，由于， 所以可得，则， 因为，所以与互补， 所以当时，弦长最小，此时，弦长. 故选：C. 5．（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的有（ ） A．若，则与圆相切 B．若与圆相交，则 C．圆可能关于对称 D．若，则被圆截得的弦长为 【答案】AD 【解析】直线过定点，圆：，所以圆心为，半径为 对于A，若，则圆心到直线的距离，所以与圆相切，故A正确； 对于B，依题意，由圆心到直线的距离，解得或，故B错误； 对于C，将到代入的方程，得不成立，故不能经过圆心，则圆不可能关于对称，故C 错误； 对于D，若，圆心到直线的距离为，则弦长为，故D正确． 故选：AD. 6．已知直线与圆相交于、两点，则___________． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：. 7．已知，，若在以原点为圆心的单位圆上存在两个不同的点满足，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】由题意，设点，因为，， 则， 所以，即， 因为以原点为圆心的单位圆上存在两个不同的点， 所以与以原点为圆心的单位圆有两个交点， 所以，解得， 故答案为：. 8．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】见解析 【解析】(1)由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即， 半径， 所以圆的标准方程为. (2)当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得， 此时切线的方程为：， 即， 综上所述：过的切线方程为或. (3)圆心到直线的距离为， 所以弦长. 【能力拓展】 9．为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青少年机器人设计大赛．在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直角坐标系中，直线为竞技区与安全区的分界线，机器人甲在点处，机器人乙在竞技区内的点处，点在第一象限，且直线的倾斜角为．已知机器人甲的速度是机器人乙的倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段长度的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为在第一象限，且直线的倾斜角为，所以， 设机器人甲在点处追上机器人乙，由机器人甲的速度是机器人乙的倍，得， 所以，化简可得， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则圆在竞技区（含直线）内，即直线与圆相切或相离， 又点到直线的距离， 所以，解得或， 当时，在安全区，不满足要求， 所以，即长度的最大值是. 故选：B. 10．（多选）已知圆：（），直线，则（ ） A．对任意满足条件的实数与，直线与圆始终相切 B．对任意满足条件的实数与，直线与圆有公共点 C．对任意实数，必存在满足条件的实数，使得直线与圆相切 D．对任意满足条件的实数，必存在实数，使得直线与圆相切 【答案】BD 【解析】因为圆：（）的标准方程为，圆心为，半径为， 又圆心到直线的距离为，其中， 因为，所以选项A错误，选项B正确， 若直线与圆相切，则有，得到，则， 对于选项C，当，显然不存在实数，使，所以选项C错误， 对于选项D，因为对任意满足条件的实数，总有确定的角，使， 则必然实数存在，使，所以选项D正确， 故选：BD. 11．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】若关于的方程有且只有两个不同的实数根， 则函数的图象与的图象有且只有两个交点， 由得， 所以是以为圆心，为半径的圆在轴及轴上方的部分， 又因为的图象恒过定点， 故在同一坐标系中作出函数的图象与的图象， 当直线与半圆相切时，可得，解得， 当过点时，可得，解得， 又函数的图象与的图象有且只有两个交点， 可得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【素养提升】 12．已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； (3)判断是否存在斜率为的直线与圆交于点，与圆交于点，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； (2)设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或（舍去）， 故，所以， 故的斜率为； (3)不存在斜率为的直线与圆交于点,与圆交于点，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得， 解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为的直线与圆交于点,与圆交于点,且. 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $