专题11 二次函数及其综合应用（压轴题） （西藏专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题11 二次函数及其综合应用 考点1 二次函数与x轴的交点 1．（2024•西藏）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），则下列结论正确的个数是（　　） ①abc＜0； ②3b+2c＞0； ③对任意实数m，am2+bm≥a﹣b均成立； ④若点（﹣4，y1），（，y2）在抛物线上，则y1＜y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2 二次函数的图象与几何变换 1．（2021•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2﹣8x+22 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+10 D．y＝x2+4x+2 2．（2023•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和距离是（　　） A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 3．（2024•西藏）将正比例函数y＝2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 　 　 ． 考点3 二次函数的综合应用（压轴题） 1．（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标； （3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2022•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+（m﹣1）x+2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2023•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标； （3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（2024•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． （1）求抛物线的解析式； （2）如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA﹣PD有最大值？若存在，求出PA﹣PD的最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若tan∠MCN，求点M的坐标． 5．（2025•西藏）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4过点A（﹣1，0），B（m，0），与y轴交于点C．点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D，交BC于点E． （1）当m＝3时，求抛物线的解析式； （2）如图1，在（1）的条件下，若∠CDE＝∠CED，求直线AF的解析式； （3）要使得∠DCE＝∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）； （4）如图2，∠DCE＝∠DEC，当m为何值时，OD的长度等于1？ 1．（2025•西藏一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025•西藏二模）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 3．（2025•西藏三模）小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③4ac﹣b2＞0；④ab；⑤b+2c＞0．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025•西藏押题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有（　　） ①abc＞0； ②b2﹣4ac＜0； ③4a﹣2b+c＜0； ④2b+c＜0； ⑤若（x1，y1）和（x2，y2）是这条抛物线上的两点，则当时，y1＜y2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025•当雄县一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤ 6．（2025•林周县一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小 C．b2﹣4ac＜0 D．函数值有最小值4a﹣2b+c 7．（2025•西藏二模）将直线y＝3x+2向上平移m个单位长度得到新直线y＝3x+6，则m的值为 　 　 ． 8．（2025•曲水县一模）将二次函数y＝（x﹣1）2+3图象水平向左平移2个单位长度后的图象顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3） 9．（2025•林周县一模）将二次函数y＝2x2的图象向左平移3个单位，则平移后二次函数的解析式为　 　 ． 10．（2025•西藏一模）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x，P是第一象限内抛物线上的任一点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由； （3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标． 11．（2025•西藏二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段PE的最大值； （3）是否存在以点C、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2025•西藏三模）如图，二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC、BD． （1）若m＝1，求B点和C点坐标； （2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值； （3）若在第一象限内二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°．请结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 13．（2025•西藏押题）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线． （1）求a的值． （2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 14.（2025•日喀则一模）抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线AC方向平移得到新抛物线y'，新抛物线y'经过点C且与直线AC另一交点为点K，M为新抛物线y'上的一动点，当∠MKC＝∠ACB时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 15．（2025•当雄县一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D连接CD． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求线段PE的长度（用含t的式子表示）； ②当t为何值时，△PBC的面积最大，最大面积是多少？ 16．（2025•城关区一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）． （1）点A的坐标为　 　 ，点B的坐标为　 　 ，线段AC的长为　 　 ，抛物线的解析式为　 　 ． （2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点． ①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标． ②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小． 17．（2025•曲水县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点D在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标； （3）在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2025•林周县一模）抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B．一次函数y＝kx+b经过点A，B． （1）求k，b的值； （2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB，垂足为点F，当DE＝2时，求点F的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，直接写出△MCA的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 二次函数及其综合应用 考点1 二次函数与x轴的交点 1．（2024•西藏）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），则下列结论正确的个数是（　　） ①abc＜0； ②3b+2c＞0； ③对任意实数m，am2+bm≥a﹣b均成立； ④若点（﹣4，y1），（，y2）在抛物线上，则y1＜y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】依据题意，根据抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：∵抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）， ∴对称轴是直线x1． ∴1． ∴b＝2a． 又图象可得，a＞0，c＜0， ∴b＝2a＞0． ∴abc＜0，故①正确． ∵B（1，0）在抛物线上， ∴a+b+c＝0． 又b＝2a， ∴b+c＝0． ∴3b+2c＝0，故②错误． ∵对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线开口向上， ∴当x＝﹣1时，y取最小值为a﹣b+c． ∴对应任意的m，当x＝m时，函数值y＝am2+bm+c≥a﹣b+c． ∴am2+bm≥a﹣b，故③正确． ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又∵|﹣4﹣（﹣1）|＝3＞|（﹣1）|， ∴y1＞y2，故④错误． 综上，正确的有2个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 考点2 二次函数的图象与几何变换 1．（2021•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2﹣8x+22 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+10 D．y＝x2+4x+2 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2，即y＝（x+2）2+2； 再向下平移4个单位为：y＝（x+2）2+2﹣4，即y＝（x+2）2﹣2＝x2+4x+2． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 2．（2023•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和距离是（　　） A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+5的顶点坐标为（1，5），抛物线y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2）， 而点（1，5）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（﹣1，2）， 所以抛物线y＝（x﹣1）2+5向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y＝x2+2x+3． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3．（2024•西藏）将正比例函数y＝2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 　 　 ． 【分析】根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可． 【解答】解：根据题意得：将正比例函数y＝2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为y＝2x+3． 故答案为：y＝2x+3． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． 考点3 二次函数的综合应用（压轴题） 1．（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标； （3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5； （2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，由y＝﹣x2+4x+5可得B（5，0），故OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，可证明△PHQ是等腰直角三角形，即知PH，当PQ最大时，PH最大，设直线BC解析式为y＝kx+5，将B（5，0）代入得直线BC解析式为y＝﹣x+5，设P（m，﹣m2+4m+5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m+5），PQ＝﹣（m）2，故当m时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）； （3）抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2，设M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，可列方程组，即可解得M（3，8），②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，同理可得，解得M（﹣3，﹣16），③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，则，解得M（7，﹣16）． 【解答】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得： ，解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5； （2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图： 在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得﹣x2+4x+5＝0， 解得x＝5或x＝﹣1， ∴B（5，0）， ∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形， ∴∠CBO＝45°， ∵PD⊥x轴， ∴∠BQD＝45°＝∠PQH， ∴△PHQ是等腰直角三角形， ∴PH， ∴当PQ最大时，PH最大， 设直线BC解析式为y＝kx+5，将B（5，0）代入得0＝5k+5， ∴k＝﹣1， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+5， 设P（m，﹣m2+4m+5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m+5）， ∴PQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m）2， ∵a＝﹣1＜0， ∴当m时，PQ最大为， ∴m时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）； （3）存在，理由如下： 抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2， 设M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5）， ①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图： ∴，解得， ∴M（3，8）， ②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图： ∴，解得， ∴M（﹣3，﹣16）， ③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图： ，解得， ∴M（7，﹣16）； 综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 2．（2022•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+（m﹣1）x+2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将B（4，0）代入yx2+（m﹣1）x+2m，求出函数解析式即可求解； （2）作O点关于BC的对称点O'，连接AO'交BC于点M，连接BO'，当A、M、O'三点共线时，AM+OM有最小值，分别求出直线AO'的解析式和直线BC的解析式，两直线的交点即为M点； （3）连接PB，过P点作PG∥y轴交CB于点G，设P（t，t2+t+4），则G（t，﹣t+4），由S△BCP4×PGBC×PF，求出PFt2t，再由PF∥CD，可得，则（t﹣2）2，当t＝2时，有最大值，同时可求P点坐标． 【解答】解：（1）将B（4，0）代入yx2+（m﹣1）x+2m， ∴﹣8+4（m﹣1）+2m＝0， 解得m＝2， ∴yx2+x+4， 令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， 令y＝0，则x2+x+4＝0， 解得x＝4或x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）； （2）存在点M使AM+OM最小，理由如下： 作O点关于BC的对称点O'，连接AO'交BC于点M，连接BO'， 由对称性可知，OM＝O'M， ∴AM+OM＝AM+O'M≥AO'， 当A、M、O'三点共线时，AM+OM有最小值， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， 由对称性可知∠O'BM＝45°， ∴BO'⊥BO， ∴O'（4，4）， 设直线AO'的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx， 设直线BC的解析式为y＝k'x+4， ∴4k'+4＝0， ∴k'＝﹣1， ∴y＝﹣x+4， 联立方程组， 解得， ∴M（，）； （3）存在点P，使得最大，理由如下： 连接PB，过P点作PG∥y轴交CB于点G， 设P（t，t2+t+4），则G（t，﹣t+4）， ∴PGt2+2t， ∵OB＝OC＝4， ∴BC＝4， ∴S△BCP4×（t2+2t）＝﹣t2+4t4PF， ∴PFt2t， ∵CD⊥BC，PF⊥BC， ∴PF∥CD， ∴， ∵， ∴， ∵B、D两点关于y轴对称， ∴CD＝4， ∴（t2﹣4t）（t﹣2）2， ∵P点在第一象限内， ∴0＜t＜4， ∴当t＝2时，有最大值， 此时P（2，4）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，平行线的性质是解题的关键． 3．（2023•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标； （3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，求出b、c，即可得出答案； （2）分别以点D为顶点、以点A为顶点、当以点C为顶点，计算即可； （3）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，设P（﹣1，t），Q（m，n），求出AC2＝18，AP2＝t2+4，PC2＝t2﹣6t+10，分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线， 【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），B（1，0）两点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）令x＝0，y＝3， ∴C（0，3）， 等腰△ACD，如图甲， 当以点D为顶点时，DA＝DC，点D与原点O重合， ∴D（0，0）； 当以点A为顶点时，AC＝AD，AO是等腰△ACD中线， ∴OC＝OD， ∴D（0，﹣3）； 当以点C为顶点时，AC＝CD3， ∴点D的纵坐标为3﹣3或33， ∴D（0，3﹣3）或（0，33）； 综上所述，点D的坐标为（0，0）或（0，﹣3）或（0，3﹣3）或（0，33）； （3）存在，理由如下： 抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为：x＝﹣1， 设P（﹣1，t），Q（m，n）， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， 则AC2＝（﹣3）2+32＝18， AP2＝（﹣1+3）2+t2＝t2+4， PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10， ∵四边形ACPQ是菱形， ∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线， ①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图1， ∴t2﹣6t+10＝18， 解得：t＝3±， ∴P1（﹣1，3），P2（﹣1，3）， ∵四边形ACPQ是菱形， ∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合， 当P1（﹣1，3）时， ∴，， 解得：m＝﹣4，n， ∴Q1（﹣4，）， 当P2（﹣1，3）时， ∴，， 解得：m＝﹣4，n， ∴Q2（﹣4，）； ②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图2， ∴t2﹣6t+10＝t2+4， 解得：t＝1， ∴P3（﹣1，1）， ∵四边形APCQ是菱形， ∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与PQ中点重合， ∴，， 解得：m＝﹣2，n＝2， ∴Q3（﹣2，2）； ③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图3， ∴t2+4＝18， 解得：t＝±， ∴P4（﹣1，），P5（﹣1，）， ∵四边形ACQP是菱形， ∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合， ∴，， 解得：m＝2，n＝3±， ∴Q4（2，3），Q5（2，3）； 综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为：P（﹣1，3），Q（﹣4，）或P（﹣1，3），Q（﹣4，）或P（﹣1，1），Q（﹣2，2）或P（﹣1，），Q（2，3）或P（﹣1，），Q（2，3）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键． 4．（2024•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． （1）求抛物线的解析式； （2）如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA﹣PD有最大值？若存在，求出PA﹣PD的最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若tan∠MCN，求点M的坐标． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）连接AC并延长交直线l于P，在直线l上取点P'，连接CP'，求出C（0，3），由点C关于直线l的对称点为点D，知P'C＝P'D，当P'不与P重合时，P'A﹣P'D＝P'A﹣P'C＜AC，当P'与P重合时，PA﹣PD＝P'A﹣P'D＝P'A﹣P'C＝AC，此时PA﹣PD最大，最大值为AC的长，而AC，故PA﹣PD的最大值为； （3）过M作KT∥y轴，过C作CK⊥KT于K，过N作NT⊥KT于T，设M（m，﹣m2+2m+3），证明△MNT∽△CMK，得，由tan∠MCN，即可得 ，从而解得答案． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）在直线l上存在一点P，使PA﹣PD有最大值，理由如下： 连接AC并延长交直线l于P，在直线l上取点P'，连接CP'，如图： 在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3， ∴C（0，3）， ∵点C关于直线l的对称点为点D， ∴P'C＝P'D， 当P'不与P重合时，P'A﹣P'D＝P'A﹣P'C＜AC， ∴当P'与P重合时，PA﹣PD＝P'A﹣P'D＝P'A﹣P'C＝AC，此时PA﹣PD最大，最大值为AC的长， ∵A（﹣1，0），C（0，3）， ∴AC， ∴PA﹣PD的最大值为； （3）过M作KT∥y轴，过C作CK⊥KT于K，过N作NT⊥KT于T，如图： 设M（m，﹣m2+2m+3）， ∵MN⊥CM， ∴∠NMT＝90°﹣∠CMK＝∠KCM， 又∠T＝∠K＝90°， ∴△MNT∽△CMK， ∴， ∵tan∠MCN， ∴， ∴， 由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知直线l解析式为x＝1， ∴，即||， ∴或， 解得m＝3或m或m＝﹣1或m， ∴M的坐标为（3，0）或（，）或（﹣1，0）或（，）． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形三边的关系，相似三角形判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题． 5．（2025•西藏）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4过点A（﹣1，0），B（m，0），与y轴交于点C．点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D，交BC于点E． （1）当m＝3时，求抛物线的解析式； （2）如图1，在（1）的条件下，若∠CDE＝∠CED，求直线AF的解析式； （3）要使得∠DCE＝∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）； （4）如图2，∠DCE＝∠DEC，当m为何值时，OD的长度等于1？ 【分析】（1）当m＝3时，二次函数y＝ax2+bx﹣﹣4的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），设二次函数的交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），展开后得到﹣3a＝﹣4求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点C（0，﹣4），进而勾股定理求得BC＝5，作∠DCE的角平分线CG交x轴于点G，则∠OCG＝∠BCG，AF⊥CG，进而得出∠OCG＝∠OAD，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点D的坐标，待定系数法求解析式，即可求解； （3）先找到临界值，当m＝4时，OB＝OC＝4，此时得出F，B重合，根据题意可得F是第四象限的点，则当∠OCB＞45°时，m＞4即可求解； （4）根据题意得出△OAD是等腰直角三角形，进而根据已知得出∠OCB＝∠DCE＝∠DEC＝67.5°，取H（4，0）得出△OCH是等腰直角三角形，进而求得，即可得出B的坐标，即可求解． 【解答】解：（1）当m＝3时，二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）， ∴设二次函数的交点式为y＝a（x+1）（x﹣3）， ∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，y＝ax2+bx﹣4， ∴﹣3a＝﹣4， 解得， ∴函数的解析式为； （2）对于二次函数， 令x＝0，可得y＝﹣4， ∴点C的坐标为（0，﹣4），则OC＝4， ∵∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE， ∵OB＝3，OC＝4 ∴， 如图，作∠DCE的角平分线CG交x轴于点G，则∠OCG＝∠BCG，AF⊥CG， ∴， 设G到BC的距离为d，则d＝OG， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵∠OCG＝∠OAD， ∴， ∵A（﹣1，0），则OA＝1， ∴， ∴， 设直线AF的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入A（﹣1，0），， ∴， 解得， ∴直线AF的解析式； （3）当m＝4时，OB＝OC＝4， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OCB＝45°， ∵∠DCE＝∠DEC， ∴∠CDE＝90°，则D，O重合，F，B重合， 又∵F是第四象限的点， ∴当∠OCB＞45°时，则∠CDF＜90°，m＞4， ∴要使得∠DCE＝∠DEC成立，m的取值范围为m＞4； （4）∵OD＝OA＝1， ∴△OAD是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠ADO＝45°， ∴∠OCB＝∠DCE＝∠DEC＝67.5°， 在Rt△OBC中，∠OBC＝22.5°， 如图所示，取H（4，0）， ∴OC＝OH， ∴△OCH是等腰直角三角形， ∴∠OCH＝45°， ∴∠HCB＝∠OBC＝22.5°， ∴， ∴，即． 【点评】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1．（2025•西藏一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题． 【解答】解：①开口向下，a＜0； 对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0； 抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0， ∴abc＜0， 所以①正确，符合题意； ②当x＝﹣1时图象在x轴下方，则y＝a﹣b+c＜0， 即a+c＜b， 所以②不正确，不符合题意； ③对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方， 则y＝4a+2b+c＞0， 所以③正确，符合题意； ④，则，而a﹣b+c＜0， 则，2c＜3b， 所以④正确，符合题意； ⑤开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c； 当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c， 则a+b+c＞am2+bm+c， 即a+b＞m（am+b）（m≠1）， 所以⑤错误，不符合题意． 故①③④正确， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 2．（2025•西藏二模）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【分析】依据题意，根据二次函数的性质可得a＜0，b＝2a＞0，c＞0，可判断结论①；由x＝﹣2处的函数值可判断结论②；由x＝2处函数值可判断结论③；由抛物线与x轴的交点可判断④． 【解答】解：二次函数开口向下，则a＜0， 二次函数对称轴为直线x＝﹣1， ∴1，即b＝2a＜0． 由图象得交y轴的正半轴， ∴c＞0． ∴abc＞0． 故①正确． 由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为（﹣3，0）， ∴由函数图象可得x＝﹣2时，y＞0． ∴4a﹣2b+c＞0． 故②正确． 由函数图象可得x＝2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0，b＝2a代入得：8a+c＜0， 故③错误． 抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0． 故④正确． 综上，正确的有：①②④． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键． 3．（2025•西藏三模）小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③4ac﹣b2＞0；④ab；⑤b+2c＞0．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x＝1或﹣1时y的符号，进而判断得出答案． 【解答】解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴x， ∴3b＝2a，则ab， ∴b＜0， ∵图象与x轴交于y轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故选项①错误；选项④正确； 由图象可得出：当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，故选项②正确； 抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0， 故选项③错误． 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∴b﹣b+c＞0， ∴b+2c＞0，故选项⑤正确； 故正确的有3个． 故选：B． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 4．（2025•西藏押题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有（　　） ①abc＞0； ②b2﹣4ac＜0； ③4a﹣2b+c＜0； ④2b+c＜0； ⑤若（x1，y1）和（x2，y2）是这条抛物线上的两点，则当时，y1＜y2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的增减性和对称性即可解决问题． 【解答】解：由所给函数图象可知， a＞0，b＞0，c＜0， 所以abc＜0． 故①错误． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以b2﹣4ac＞0． 故②错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点横坐标比1大， 所以， 所以抛物线与x轴的另一个交点的横坐标比﹣2小， 则当x＝﹣2时，函数值小于零， 所以4a﹣2b+c＜0． 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线x， 所以，即a＝b． 又因为当x＝1时，函数值小于零， 所以a+b+c＜0， 所以2b+c＜0． 故④正确． 因为抛物线开口向上， 所以抛物线上的点离对称轴越近，其函数值越小， 又因为， 所以y1＞y2． 故⑤错误． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 5．（2025•当雄县一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤ 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∴ac＜0，故①错误； ②由于对称轴可知：1， ∴2a+b＞0，故②正确； ③由于抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故③正确； ④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0， 故④正确； ⑤当x时，y随着x的增大而增大，故⑤错误； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 6．（2025•林周县一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小 C．b2﹣4ac＜0 D．函数值有最小值4a﹣2b+c 【分析】采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x轴的交点情况结合起来分析问题． 【解答】解：∵抛物线的开口方向下， ∴a＜0．故A错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和原点，且顶点在第二象限， 对称轴x2， ∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小， 故B正确； ∵y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故③不正确； ∵a＜0，对称轴x＝﹣2， ∴x＝﹣2时，函数值有最大值4a﹣2b+c， 故④不正确； 故选：B． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用． 7．（2025•西藏二模）将直线y＝3x+2向上平移m个单位长度得到新直线y＝3x+6，则m的值为 　 　 ． 【分析】根据平移的规律得到平移后的直线为y＝3x+2+m，即可得出2+m＝6，解得即可． 【解答】解：将直线y＝3x+2向上平移m个单位长度得到直线y＝3x+2+m， 根据题意2+m＝6， 解得m＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，关键是掌握直线y＝kx+b向上平移a个单位，则解析式为y＝kx+b+a，向下平移a个单位，则解析式为y＝kx+b﹣a． 8．（2025•曲水县一模）将二次函数y＝（x﹣1）2+3图象水平向左平移2个单位长度后的图象顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3） 【分析】二次函数y＝（x﹣1）2+3图象水平向左平移2个单位长度后的函数解析式为y＝（x﹣1+2）2+3即y＝（x+1）2+3，即可得出答案． 【解答】解：二次函数的图象水平向左平移2个单位长度后的函数解析式为y＝（x+1）2+3， 故顶点坐标为（﹣1，3）， 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数图象平移后所得函数图象的顶点坐标，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2025•林周县一模）将二次函数y＝2x2的图象向左平移3个单位，则平移后二次函数的解析式为　 　 ． 10．（2025•西藏一模）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x，P是第一象限内抛物线上的任一点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由； （3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标． 【分析】（1）把点B（2，0）代入y＝﹣2x2+bx+c中，再由对称轴是直线x列方程，两个方程组成方程组可解答； （2）当△POD是等边三角形时，点P在OD的垂直平分线上，所以作OD的垂直平分线与抛物线的交点即为点P，计算OD≠PD，可知△POD不可能是等边三角形； （3）分种情况：①当PC∥x轴时，△CPM∽△BHM时，根据PH的长列方程可解答；②②如图3，△PCM∽△BHM，过点P作PE⊥y轴于E，证明△PEC∽△COB，可得结论． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4； （2）△POD不可能是等边三角形，理由如下： 如图1，取OD的中点E，过点E作EP∥x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO， ∵C（0，4），D是OC的中点， ∴E（0，1）， 当y＝1时，﹣2x2+2x+4＝1， 2x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1，x2（舍）， ∴P（，1）， ∴OD≠PD， ∴△POD不可能是等边三角形； （3）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t， 分两种情况： ①如图2，△CMP∽△BMH， ∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°， ∴tan∠OBC＝tan∠PCM， ∴2， ∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t）， ∵PH＝PM+MH， ∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4， 解得：t1＝0，t2＝1， ∴P（1，4）； ②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°， 过点P作PE⊥y轴于E， ∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°， ∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°， ∴∠BCO＝∠EPC， ∴△PEC∽△COB， ∴， ∴， 解得：t1＝0（舍），t2， ∴P（，）； 综上，点P的坐标为（1，4）或（，）． 【点评】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法，等边三角形的判定，相似三角形性质和判定，三角函数等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似的情况． 11．（2025•西藏二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段PE的最大值； （3）是否存在以点C、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x+4； （2）求出C（0，4），直线BC解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4），可得PE＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，根据二次函数性质可得答案； （3）由B（4，0），C（0，4），可得∠CEP＝∠ABC＝45°，故要使以点C、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，只需或，设P（t，﹣t2+3t+4），可得或，解出t的值即可得到答案． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x+4； （2）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4， ∴C（0，4）， 由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4， 设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4）， ∴PE＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4， ∵﹣1＜0， ∴当m＝2时，PE取最大值4， ∴线段PE的最大值为4； （3）存在以点C、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下： ∵B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵PD⊥x轴， ∴∠BED＝∠OBC＝45°， ∴∠CEP＝∠ABC＝45°， 要使以点C、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，只需或； ∵A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，4）， ∴AB＝5，BC＝4， 设P（t，﹣t2+3t+4），则E（t，﹣t+4）， ∴PE＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，CEt， ∴或， 解得t＝0（P与C重合，舍去）或t或t， ∴P的坐标为（，）或（，）． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 12．（2025•西藏三模）如图，二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC、BD． （1）若m＝1，求B点和C点坐标； （2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值； （3）若在第一象限内二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°．请结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）令y＝0，解方程可得A，B两点坐标，令x＝0，可得点C的坐标； （2）由题意得A（﹣1，0），B（2m+1，0），C（0，﹣2m﹣1），进而可得OB＝OC＝2m+1，推出∠OBC＝45°，连接AE，由AE＝BE，可得∠EAB＝∠OBC＝45°，推出∠ACE＝∠DBF，利用解直角三角形可得tan∠ACE，tan∠DBFm+1，构建方程，求出m即可； （3）设PC交x轴于点Q，证明∠CAO＜60°，推出2m+1，可得结论． 【解答】解：（1）当m＝1 时，y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∵点A在点B的左侧， ∴B（3，0）， 令x＝0，得y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； （2）当y＝0时，x2﹣2mx﹣2m﹣1＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝2m+1， ∵点A在点B的左侧，且m＞0， ∴A（﹣1，0），B（2m+1，0）， ∵当 x＝0时，y＝﹣2m﹣1， ∴C（0，﹣2m﹣1）， ∴OB＝OC＝2m+1， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝45°， 如图1中，连接AE， ∵y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1＝（x﹣m）2﹣（m2+2m+1）， ∴D（m，﹣m2﹣2m﹣1），F（m，0）， ∴DF＝m2+2m+1，OF＝m，BF＝m+1， ∵A、B关于对称轴直线x＝m对称， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠OBC＝45°， ∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC， ∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC， 即∠ACE＝∠DBF， ∵EF∥OC， tan∠ACE， tan∠DBFm+1， ∵∠ACE＝∠DBF， ∴tan∠ACE＝tan∠DBF， ∴m+1， 解得：m＝1或﹣1， 经检验，m＝±1是方程m+1的根， ∵m＞0， ∴m＝1； （3）如图2，设PC交x轴于点Q， 当点P在第一象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°． ∵∠ACQ＝75°， ∴∠CAO＜60°， ∴2m+1， 解得：m， 又∵∠CAQ＞15°， 同法可得m， ∵m＞0， ∴0＜m． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 13．（2025•西藏押题）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线． （1）求a的值． （2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）依据题意，由抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0），从而可得a+2a+3＝0，进而计算可以得解； （2）依据题意，过点D作DE⊥x轴交B′C′于点E，交BC于点G，过点D作DF⊥B′C′于F，由（1）得抛物线的解析式为＝﹣x2+2x+3，从而可得B（3，0），C（0，3），再证△DEF是等腰直角三角形，则DFDE，又设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，进而得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，又直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度得直线B′C′，故可得直线B′C′的解析式为y＝﹣x+3﹣m，再设D（t，﹣t2+3t+3），则E的坐标为（t，﹣t+3﹣m），则DE＝﹣t2+3t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m，从而DFDE（﹣t2+3t+m）（t）2（m），结合二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴a+2a+3＝0． ∴a＝﹣1． （2）存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大． 如图1，过点D作DE⊥x轴交B′C′于点E，交BC于点G，过点D作DF⊥B′C′于F； 由（1）得抛物线的解析式为＝﹣x2+2x+3， 又令y＝﹣x2+2x+3＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3． 令x＝0，则y＝3； ∴B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵DE∥OC，BC∥B′C′， ∴∠DGC＝∠OCB＝45°，∠FED＝∠DGC＝45°， ∴∠FED＝∠D＝45°， 即△DEF是等腰直角三角形，则DFDE． 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有， 解得：． ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3； ∵直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度得直线B′C′， ∴直线B′C′的解析式为y＝﹣x+3﹣m； 设D（t，﹣t2+3t+3），则E的坐标为（t，﹣t+3﹣m）， ∴DE＝﹣t2+3t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m， ∴DFDE（﹣t2+3t+m）（t）2（m）． ∵0， ∴当t时，DF取得最大值，DF的最大值为（m）， 此时点D的坐标为（，）． ∴存在定点D（，），无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 14．（2025•日喀则一模）抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线AC方向平移得到新抛物线y'，新抛物线y'经过点C且与直线AC另一交点为点K，M为新抛物线y'上的一动点，当∠MKC＝∠ACB时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【分析】（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）当点M在AC下方时，∠MKC＝∠ACB，则MK∥BC，则直线MK的表达式为：y＝﹣3（x﹣3）+6＝﹣3x+15，当点M在AC上方时，同理可得：直线MK的表达式为：y（x﹣3）+6x+7，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）， 则﹣3a＝3，则a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）过点Q作QD⊥y轴于点D． ∵A（﹣3，0），C（0，3） ∴OC＝OA，直线AC：y＝x+3， ∴∠ACO＝45°， 在Rt△CDQ中，∠ACO＝45°， ∴， ∴， 设P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3）， ∴， ∵﹣1＜0， ∴当m＝﹣2时，有最大值为4，此时P（﹣2，3）； （3）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣3x+3， 将抛物线沿射线AC方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位， 则y'＝﹣（x﹣m）2﹣2（x﹣m）+3+m， 当x＝0时，y'＝﹣（0﹣m）2﹣2（0﹣m）+3+m＝0，则m＝3， 则y'＝﹣x2+4x+3， 联立上式和直线AC的表达式得：﹣x2+4x+3＝x+3，则x＝0（舍去）或3， 即点K（3，6）， 当点M在AC下方时， ∵∠MKC＝∠ACB，则MK∥BC， 则直线MK的表达式为：y＝﹣3（x﹣3）+6＝﹣3x+15， 当点M在AC上方时， 同理可得：直线MK的表达式为：y（x﹣3）+6x+7， 分别联立MK和新抛物线的表达式得：﹣x2+4x+3＝﹣3x+15或x+7＝﹣x2+4x+3 解得：x＝4或， 故M1（4，3），． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 15．（2025•当雄县一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D连接CD． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求线段PE的长度（用含t的式子表示）； ②当t为何值时，△PBC的面积最大，最大面积是多少？ 【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线，求解即可得出其解析式； （2）①首先求出C（﹣1，0），直线BC的解析式y＝x+1然后得到P（t，t2+6t+50），E（t，t+1），进而求解即可； ②根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝x2+6x+5； （2）①已知抛物线y＝x2+6x+5与x轴的另一个交点为C， 当y＝0时，得：x2+6x+5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣5， ∴C（﹣1，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+m，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得， ∴y＝x+1， ∵P（t，t2+6t+50）， ∴E（t，t+1）， ∴PE＝（t+1）﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4； ② ， 当时，△PBC的面积最大，面积最大值为． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查求二次函数解析式以及三角形面积的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 16．（2025•城关区一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）． （1）点A的坐标为　 　 ，点B的坐标为　 　 ，线段AC的长为　 　 ，抛物线的解析式为　 　 ． （2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点． ①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标． ②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小． 【分析】（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a，即可求解； （2）①分BC是平行四边形的一条边时、BC是平行四边形的对角线时，两种情况分别求解即可． ②证明△EPH∽△CBA，∴，即：，则EPPH，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a， 故抛物线的表达式为：yx2﹣x﹣4， 令y＝0，则x＝4或﹣2，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）， 则AC＝2， 故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2、yx2﹣x﹣4； （2）①当BC是平行四边形的一条边时， 如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B， 设：点P（n，n2﹣n﹣4），点Q（m，0）， 则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q， 即：n+4＝m，n2﹣n﹣4+4＝0， 解得：m＝4或6（舍去4）， 即点Q（6，0）； 当BC是平行四边形的对角线时， 设点P（m，n）、点Q（s，0），其中nm2﹣m﹣4， 由中点公式可得：m+s＝4，n+0＝﹣4， 解得：s＝2或4（舍去4）， 故点Q（2，0）； 故点Q的坐标为（2，0）或（6，0）； ②如图2，针对于抛物线yx2﹣x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4， ∴C（0，﹣4） ∵B（4，0）， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣4， 过点P作PH∥x轴交BC于点H， ∵PE∥AC轴， ∴∠HEP＝∠ACB， ∵PH∥x轴， ∴∠PHE＝∠ABC＝45°， ∴△EPH∽△CAB， ∴，即：， 则EPPH， 设点P（t，yP）， ∵点P在抛物线yx2﹣x﹣4上， ∴yPt2﹣t﹣4 设点H（xH，yP）， ∵点H在直线y＝x﹣4上， ∴yP＝xH﹣4 则t2﹣t﹣4＝xH﹣4， 则xHt2﹣t， fPH[t﹣（t2﹣t）]（t2﹣4t）， 当t＝m时，f1（m2﹣4m）， 当t＝4m时，f2（m2﹣2m）， 则f1﹣f2m（m）， 则0＜m＜2， ∴f1﹣f2＞0， f1＞f2． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏． 17．（2025•曲水县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点D在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标； （3）在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，故抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）过D作DK∥y轴交AC于K，求得直线AC解析式为y＝x+3，设D（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），故DK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，由△ACD的面积为3，得DK•|xA﹣xC|＝3，即（﹣t2﹣3t）×3＝3，解出t的值可得D的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）； （3）求出A（﹣3，0），B（1，0），直线BC解析式为y＝﹣3x+3，设P（m，﹣3m+3），D（n，﹣n2﹣2n+3），过P作PN⊥y轴于N，过D作DM⊥y轴于M，分始终情况分别画出图形根据等腰直角三角形性质和全等三角形判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）过D作DK∥y轴交AC于K，如图： 由A（﹣3，0），C（0，3）得直线AC解析式为y＝x+3， 设D（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3）， ∴DK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∵△ACD的面积为3， ∴DK•|xA﹣xC|＝3，即（﹣t2﹣3t）×3＝3， 解得t＝﹣1或t＝﹣2， ∴D的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）； （3）在直线BC上存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 由B（1，0），C（0，3）得直线BC解析式为y＝﹣3x+3， 设P（m，﹣3m+3），D（n，﹣n2﹣2n+3）， 过P作PN⊥y轴于N，过D作DM⊥y轴于M， ①∵OA＝OC＝3， ∴当P与C重合，D与A重合时，△OPD是等腰直角三角形，如图： 此时P（0，3）； ②当P在第一象限，D在第四象限时， ∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形， ∴OD＝OP，∠POD＝90°， ∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN， ∵∠DMO＝90°＝∠PNO， ∴△DOM≌△OPN（AAS）， ∴DM＝ON，OM＝PN， ∴， 解得（n小于0，舍去）或， ∴﹣3m+3＝﹣33， ∴P的坐标为（，）； ③当P在第四象限，D在第三象限时，如图： ∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形， ∴OD＝OP，∠POD＝90°， ∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN， ∵∠DMO＝90°＝∠PNO， ∴△DOM≌△OPN（AAS）， ∴PN＝OM，ON＝DM， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ∴﹣3m+3＝﹣33， ∴P的坐标为（，）； ④当P在第四象限，D在第一象限，如图： ∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形， ∴OD＝OP，∠POD＝90°， ∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN， ∵∠DMO＝90°＝∠PNO， ∴△DOM≌△OPN（AAS）， ∴PN＝OM，ON＝DM， ∴， 解得（舍去）或， ∴﹣3m+3＝﹣33， ∴P的坐标为（，）； 综上所述，P的坐标为（0，3）或（，）或（，）或（，）． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 18．（2025•林周县一模）抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B．一次函数y＝kx+b经过点A，B． （1）求k，b的值； （2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB，垂足为点F，当DE＝2时，求点F的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，直接写出△MCA的面积． 【分析】（1）先求出C（﹣1，0），A（3，0），B（0，3），将A，B代入y＝kx+b解方程组即可； （2）过点F作FG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥FG于点H，由（1）得一次函数解析式为：y＝﹣x+3，设E（x，﹣x+3），则D（x，﹣x2+2x+3），则DE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，得到﹣x2+3x＝2，可得E（1，2）或E（2，1），得到△DEF为等腰直角三角形，在Rt△DEF中，由勾股定理得，而∠FEH＝∠BAC＝45°，则在Rt△FEH中，由勾股定理得EH＝1，故当E（1，2）时，此时xF＝xH＝1﹣1＝0，F（0，3）；当E（2，1）时，此时xF＝xH＝2﹣1＝1，F（1，2）； （3）当E（1，2）时，则D（1，4），设直线CD解析式为：y＝mx+n，可求直线CD解析式为：y＝2x+2，与直线AB联立得：﹣x+3＝2x+2，求得，那么S△MCAAC•|yM|4；当E（2，1）时，则D（2，3），同理可求S△MCA＝4，综上所述：△MCA的面积为或4． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B， 当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0， 解得：x＝﹣1或x＝3， ∴C（﹣1，0），A（3，0）， 当x＝0，y＝3， ∴B（0，3）， 一次函数y＝kx+b经过点A，B，将点A，点B的坐标代入得： ， 解得：； （2）过点F作FG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥FG于点H， 由（1）得一次函数解析式为y＝﹣x+3， ∵点E在直线AB上， ∴设E（x，﹣x+3），则D（x，﹣x2+2x+3）， ∴DE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x， ∴﹣x2+3x＝2， 解得：x＝1或x＝2， ∴E（1，2）或E（2，1）， ∵B（0，3），A（3，0）， ∴OA＝OB＝3， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OBA＝∠BAO＝45°， ∵DE∥y轴， ∴∠DEB＝∠OBA＝45°， ∵DF⊥AB， ∴△DEF为等腰直角三角形， 在等腰直角△DEF中，DE＝2， 由勾股定理得：EFDE， 又∵EH∥x轴， ∴∠FEH＝∠BAC＝45°， 在等腰直角△FEH中，EF， 由勾股定理得：EHEF＝1， ∴当E（1，2）时，此时xF＝xH＝1﹣1＝0， ∴F（0，3）； 当E（2，1）时，此时xF＝xH＝2﹣1＝1， ∴F（1，2）， 综上所述：F（0，3）或F（1，2）； （3）当E（1，2）时，则D（1，4）， 设直线CD解析式为y＝mx+n，将点C，点D的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线CD解析式为y＝2x+2， 联立得：， 解得：， ∴， ∴S△MCAAC•|yM|4； 当E（2，1）时，则D（2，3），同理可求S△MCA＝4， 综上所述：△MCA的面积为或4． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $