专题08 圆的基本性质与圆的切线问题 （西藏专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题08 圆的基本性质与圆的切线问题 考点1 圆锥的有关计算 1． （2021•西藏）已知一个圆锥的底面圆半径是2，母线长是6．则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是 　 　 ． 【分析】利用圆锥侧面展开扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算． 【解答】解：设圆心角为n， 底面半径是2，母线长是6， 则底面周长＝4π， 解得：n＝120， 故答案为：120°． 【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子． 2．（2023•西藏）圆锥的底面半径是3cm，母线长10cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 　 　 ． 【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•3，然后解关于n的方程即可． 【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°， 根据题意得2π•3， 解得n＝108， 即圆锥的侧面展开图的圆心角为108°． 故答案为：108°． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 考点2 圆的基本性质 1．（2021•西藏）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（　　） A．40° B．55° C．70° D．110° 【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据垂径定理得到∠COA，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：连接OB，OC， ∵∠D＝70°， ∴∠BOC＝2∠D＝140°， ∵OA⊥BC， ∴∠COA， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．（2022•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OCOD，则∠ABD的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．105° 【分析】连接OB，则OCOB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案． 【解答】解：如图： 连接OB，则OB＝OD， ∵OCOD， ∴OCOB， ∵OC⊥AB， ∴∠OBC＝30°， ∵OD∥AB， ∴∠BOD＝∠OBC＝30°， ∴∠OBD＝∠ODB＝75°， ∠ABD＝30°+75°＝105°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键． 3．（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（　　） A．65° B．115° C．130° D．140° 【分析】根据邻补角互补求出∠DCB的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠BOD的度数． 【解答】解：∵∠DCE＝65°， ∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠DCB＝180°， ∴∠BAD＝65°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键． 4．（2024•西藏）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD＝60°，CD＝2，则AD的长为（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 【分析】先利用圆周角定理可得：∠ADC＝90°，∠C＝∠ABD＝60°，由直角三角形的性质可得∠CAD＝30°，再由30°的直角三角形的性质和勾股定理可解答． 【解答】解：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝∠ABD＝60°， ∴∠CAD＝30°， ∵CD＝2， ∴AC＝2CD＝4， ∴AD2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了圆周角，30°的直角三角形的性质和勾股定理，掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 5．（2025•西藏）如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则的长为（　　） A．6π B．4π C．2π D．Π 【分析】连接OC，再用弧长公式计算即可． 【解答】解：连接OC， ∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∵直径AB＝6， ∴r＝3， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 考点3 圆的切线问题 1．（2021•西藏）如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使∠CAD＝∠B． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若AD＝4，tan∠CAD，求BC的长． 【分析】（1）根据AB是⊙O的直径得出∠B+∠BAC＝90°，等量代换得到∠CAD+∠BAC＝90°，即∠BAD＝90°，AD⊥OA，即可判定AD是⊙O的切线； （2）过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，根据锐角三角函数定义求出DM＝2，由等边对等角得出∠OAC＝∠OCA，由平行线的性质得出∠M＝∠OAC，再根据对顶角相等得出∠DCM＝∠M，即得DC＝DM＝2，根据勾股定理求出OA＝3，AB＝6，最后根据勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∵∠CAD＝∠B， ∴∠CAD+∠BAC＝90°， 即∠BAD＝90°， ∴AD⊥OA， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M， ∵tan∠CAD，AD＝4， ∴DM＝2， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AD⊥OA，DM⊥AD， ∴OA∥DM， ∴∠M＝∠OAC， ∵∠OCA＝∠DCM， ∴∠DCM＝∠M， ∴DC＝DM＝2， 在Rt△OAD中，OA2+AD2＝OD2， 即OA2+42＝（OC+2）2＝（OA+2）2， ∴OA＝3， ∴AB＝6， ∵∠CAD＝∠B，tan∠CAD， ∴tanB＝tan∠CAD， ∴BC＝2AC， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2， ∴62＝5AC2， ∴AC， ∴BC． 【点评】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟记切线的判定与性质及锐角三角函数定义时解题的关键． 2．（2022•西藏）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长． 【分析】（1）连接OD，BE，根据“同圆中，等弧所对的圆周角相等”及等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠EBD，进而得到OD∥BE，根据圆周角定理结合题意推出AD⊥OD，即可判定AD是⊙O的切线； （2）根据平行线的性质得到∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，解直角三角形求出OC＝5，OA，根据线段的和差求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OD，BE， ∵点D为的中点， ∴， ∴∠CBD＝∠EBD， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠CBD， ∴∠ODB＝∠EBD， ∴OD∥BE， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠CEB＝90°， ∴CE⊥BE， ∴OD⊥CE， ∵AD∥CE， ∴AD⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：∵DG∥CE， ∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB， ∵tan∠GDB＝2， ∴tan∠BFE＝2， 在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE， ∴BE＝6， ∵EF＝3，CF＝5， ∴CE＝EF+CF＝8， ∴BC10， ∴OD＝OC＝5， 在Rt△BCE中，sin∠ECB， ∴sinA＝sin∠ECB， 在Rt△AOD中，sinA，OD＝5， ∴OA， ∴AC＝OA﹣OC． 【点评】此题是圆的综合题，考查了平行线的性质、切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 3．（2023•西藏）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交⊙O于点E，垂足为点D，AC平分∠BAD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长． 【分析】（1）连接OC，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接BE，交OC于点F，利用圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质和垂径定理解答即可得出结论． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA． ∵AC平分∠BAD， ∴∠OAC＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴OC∥AD． ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD． ∵OC为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连接BE，交OC于点F，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵AD⊥CD，OC⊥CD， ∴四边形EFCD为矩形， ∴EF＝CD，ED＝CF，OF⊥BE， ∴EF＝BF． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AB10． ∴∠ACB＝∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴△DAC∽△CAB， ∴， ∴， ∴CD＝4.8，AD＝6.4． ∴EF＝CD＝4.8， ∴BE＝2EF＝9.6， ∴AE2.8， ∴DE＝AD﹣AE＝6.4﹣2.8＝3.6． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 4．（2024•西藏）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，sinD，求BD的长． 【分析】（1）由OC＝OA，得∠OCA＝∠A，而∠OCA＝∠OCD，∠A＝∠D，则∠OCD＝∠D，所以OC∥DE，则∠OCE＝180°﹣∠E＝90°，即可证明CE是⊙O的切线； （2）由⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，得AB＝10，∠ACB＝90°，由sinA＝sinD，求得BCAB＝6，再证明∠BCE＝∠A，则sin∠BCE＝sinA，求得BEBC，则CE，而AC8，所以tanD＝tanA，求得DECE，则BD＝DE﹣BE． 【解答】（1）证明：∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠A， ∵CO平分∠ACD， ∴∠OCA＝∠OCD， ∵∠A＝∠D， ∴∠OCD＝∠D， ∴OC∥DE， ∵CE⊥DB，交DB延长线于点E， ∴∠E＝90°， ∴∠OCE＝180°﹣∠E＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC， ∴CE是⊙O的切线． （2）． 【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、角平分线的定义、解直角三角形等知识，推导出OC∥DE是解题的关键． 5．（2025•西藏）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝60°，过点C的切线交BA的延长线于点D．求证：CD＝CB． 【分析】连接OC，则OC＝OA，因为∠CAB＝60°，所以△AOC是等边三角形，则∠COD＝60°，所以∠B∠COD＝30°，由切线的性质得∠OCD＝90°，则∠D＝90°﹣∠COD＝30°，所以∠B＝∠D，即可证明CD＝CB． 【解答】证明：连接OC，则OC＝OA， ∵∠CAB＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠B∠COD＝30°， ∵CD与⊙O相切于点C，交BA的延长线于点D， ∴CD⊥OC， ∴∠OCD＝90°， ∴∠D＝90°﹣∠COD＝30°， ∴∠B＝∠D， ∴CD＝CB． 【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、“等角对等边”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 1．（2025•当雄县一模）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为　 　 ． 【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，从而可以计算面积． 【解答】解：扇形的弧长4π， ∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2． ∴面积为：4π， 故答案为：4π． 【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 2．（2025•日喀则一模）如图，圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为 　 　 ． 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×4÷2＝8π， 故答案为：8π． 【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，解题的关键是熟记圆锥的侧面积的计算公式． 3．（2025•西藏一模）圆锥侧面积为8πcm2，侧面展开扇形的半径为4cm，圆锥底圆半径为 　 　 cm． 【分析】设圆锥底圆半径为r cm，根据扇形的面积公式求解即可． 【解答】解：设圆锥底圆半径为r cm， 根据题意得， 解得r＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了圆锥的计算，记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键． 4．（225•西藏一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先根据垂径定理得出DE的长，再利用勾股定理求出OE的长即可解决问题． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴DE． 在Rt△DOE中， OE， ∴BE＝5﹣3＝2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键． 5．（2025•西藏二模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD⊥AB，∠ACD＝60°，OD＝2，那么DC的长等于（　　） A． B． C．2 D．4 【分析】连接OC，AB交CD于E点，如图，利用垂径定理得到，DE＝CE，再利用互余计算出∠A＝30°，则根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，所以∠BOD＝60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出DE，从而得到CD的长． 【解答】解：连接OC，AB交CD于E点，如图， ∵CD⊥AB， ∴，DE＝CE，∠OED＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∵∠BOC＝2∠A＝60°， ∴∠BOD＝60°， 在Rt△ODE中，∵OEOD＝1， ∴DEOE， ∴CD＝2DE＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理． 6．（2025•西藏三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠A＝30°，AB＝8，则CD的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 【分析】先由圆周角定理得出∠BOC＝2∠A＝60°，再根据垂径定理得出CE＝DE，然后由直角三角形的性质得出OE＝2，CE＝2，即可得到结论． 【解答】解：由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝60°， ∵⊙O的直径AB＝8， ∴OCAB＝4， ∵AB⊥CD， ∴CE＝DECD，∠OCE＝90°﹣60°＝30°， ∴OEOC＝2，CEOE＝2， ∴CD＝2CE＝4， 故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理，由垂径定理和直角三角形的性质求出CE是解决问题的关键． 7．（2025•西藏押题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，连结AB，BC，CD．若AB＝8，CD＝5，∠B+∠C＝60°，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D．5 【分析】过A作AE∥BC交⊙O于E，连接BE，CE，AC，过E作EF⊥CD于F，过D作⊙O的直径DH，连接EH，根据∠ABC+∠BCD＝60°得∠ECD＝60°，证明△EBC和△ABC全等得AB＝CE＝8，在Rt△ECF中可分别求出CF＝4，EF，进而得FD＝1，ED＝7，设⊙O半径为R，则DH＝2R，在Rt△DEH中，根据∠H＝∠ECD＝60°，EH＝R，然后由勾股定理即可求出⊙O的半径R． 【解答】解：过点A作AE∥BC交⊙O于点E，连接BE，CE，AC，过点E作EF⊥CD于F，过点D作⊙O的直径DH，连接EH，如图所示： ∴∠AEC＝∠ECB＝∠ABC，∠BEC＝∠CAB，∠H＝∠ECD， ∵∠ABC+∠BCD＝60°， ∴∠ECB+∠BCD＝60°， 即∠ECD＝60°， 在△EBC和△ABC中， ， ∴△EBC≌△ABC（AAS）， ∴AB＝CE＝8， 在Rt△ECF中，∠CEF＝90°﹣∠ECD＝30°， ∴CFCE＝4， 由勾股定理得：EF， ∵CD＝5， ∴FD＝CD﹣CF＝1， 在Rt△EFD中，由勾股定理得：ED7， 设⊙O半径为R， ∵DH是⊙O的直径， ∴∠DEH＝90°，DH＝2R， 在Rt△DEH中，∠H＝∠ECD＝60°， ∴∠EDH＝30°， ∴EHDH＝R， 由勾股定理得：DF， ∴RDE． 故选：B． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，理解圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 8．（2025•当雄县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（　　） A．110° B．120° C．135° D．140° 【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠C+∠A＝180°， ∴∠C＝180°﹣40°＝140°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 9．（2025•城关区一模）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．90° 【分析】首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数，然后由圆周角定理，求得∠BOD的度数． 【解答】解：连接BE， ∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°， ∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°， ∴∠BOD＝2∠BED＝90°． 故选：D． 【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 10．（2025•曲水县一模）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 【分析】由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠BAC＝50°，即得∠ABC＝40°，故∠D＝∠ABC＝40°， 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∵∠BAC＝50°， ∴∠ABC＝40°， ∵， ∴∠D＝∠ABC＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等． 11．（2025•林周县一模）某木工师傅在做一工具时，在一圆形木板⊙O上取了点A、B、C三点，并画出了如图所示的线条，经测量发现∠B＝50°，之后师傅直接标出了∠OAC的度数．∠OAC的度数为（　　） A．100° B．40° C．50° D．20° 【分析】由圆周角定理可得∠AOC＝2∠B＝100°，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得． 【解答】解：由圆周角定理可得，∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°， ∵OA＝OC， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 12．（2025•城关区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求的值． 【分析】（1）如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC＝∠OAC，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD∥OC，由平行线的性质即可得到结论； （2）设BE＝x，则AB＝3x，根据平行线的性质得∠COE＝∠DAB，证明△AHF∽△ACE，根据相似三角形的性质即可得解． 【解答】（1）证明：如图1，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB， 设BE＝x，则AB＝3x， ∴OC＝OB＝1.5x， ∴OE＝2.5x， ∵OC⊥CD， ∴EC2x， ∵FG⊥AB， ∴∠AGF＝90°， ∴∠AFG+∠FAG＝90°， ∵AD∥OC， ∴∠COE＝∠DAB， ∵∠COE+∠E＝90°， ∴∠E＝∠AFH， 又∵∠FAH＝∠CAE， ∴△AHF∽△ACE， ∴， ∵， ∴． 【点评】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键． 13．（2025•西藏一模）如图，四边形ABCD为菱形，⊙O经过A、C两点，且与AD相切于点A，BC与⊙O相交于点E． （1）证明：CD与⊙O相切； （2）若菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2，求CE的长． 【分析】（1）连接OC，OD，利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质得到∠OAD＝∠OCD，利用切线的性质定理得到∠OAD＝90°，则OC⊥CD，利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （2）连接OC，OE，连接DO并延长，利用菱形的性质得到B，O，D在一条直线上，利用切线的性质定理和菱形的性质得到AF⊥BC，利用垂径定理得到EF＝FCEC；利用相似三角形的判定与性质得到2，设CF＝x，则AF＝2x，BF＝BC﹣CF＝4﹣x，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论． 【解答】（1）证明：连接OC，OD，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝CD． 在△AOD和△COD中， ， ∴△AOD≌△COD（SSS）， ∴∠OAD＝∠OCD． ∵⊙O与AD相切于点A， ∴OA⊥AD， ∴∠OAD＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC为⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切； （2）解：连接OC，OE，连接DO并延长，如图， 由（1）知：△AOD≌△COD， ∴∠ADO＝∠CDO， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BA＝BC，BD平分∠ADC， ∴DO的延长线经过点B，即B，O，D在一条直线上， 在△AOB和△COB中， ， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠BAO＝∠BCO． 设AO的延长线交BC于点F， ∵OA⊥AD，BC∥AD， ∴AF⊥BC， ∴EF＝FCEC． ∵∠AFB＝∠OFC＝90°， ∴△ABF∽△COF， ∴， ∵菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2， ∴2． ∴AF＝2CF． 设CF＝x，则AF＝2x，BF＝BC﹣CF＝4﹣x． ∵AF2+BF2＝AB2， ∴（4﹣x）2+（2x）2＝42， 解得：x＝0（不合题意，舍去）或x， ∴CF． ∴EC＝2CF． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，垂径定理，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 14．（2025•西藏二模）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC延长线于E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若AB＝10，sin∠BAC，求CE的长． 【分析】（1）连接OD，则OD＝OA，所以∠ODA＝∠BAD，而∠CAD＝∠BAD，则∠ODA＝∠CAD，所以OD∥AC，由DE⊥AC交AC延长线于E，得∠E＝90°，则∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，即可证明DE为⊙O的切线； （2）连接BC交OD于点L，由AB是⊙O的直径，AB＝10，得∠ACB＝90°，ODAB＝5，由sin∠BAC，求得BCAB＝6，则AC＝8，可证明四边形CLDE是矩形，则OD⊥BC，所以LB＝LC，而OB＝OA，根据三角形中位线定理得OLAC＝4，则CE＝DL＝OD﹣OL＝1． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠BAD， ∵AD平分∠BAC交⊙O于点D， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC交AC延长线于E， ∴∠E＝90°， ∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE为⊙O的切线． （2）解：连接BC交OD于点L， ∵AB是⊙O的直径，AB＝10， ∴∠ACB＝90°，ODAB＝5， ∵sin∠BAC， ∴BCAB10＝6， ∴AC8， ∵∠LDE＝∠E＝∠LCE＝90°， ∴四边形CLDE是矩形， ∴∠CLD＝90°， ∴OD⊥BC， ∴LB＝LC， ∵OB＝OA， ∴OLAC＝4， ∴CE＝DL＝OD﹣OL＝5﹣4＝1， ∴CE的长为1． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的性质、切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 15．（2025•西藏三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是∠CAB的角平分线，以O为圆心，OC为半径作圆O． （1）求证：AB是圆O的切线； （2）已知AO交圆O于点E，延长AO交⊙O于点D，，求sinB的值． 【分析】（1）作OF⊥AB于点F，则∠AFO＝90°，由∠ACB＝90°，AO是∠CAB的角平分线，得∠AFO＝∠ACO，∠OAF＝∠OAC，而AO＝AO，根据“AAS”证明△OAF≌△OAC，得OF＝OC，即可由OF是⊙O的半径，且AB⊥OF，证明AB是⊙O的切线； （2）设OC＝OD＝r，作DH⊥BC于点H，由tan∠ODC＝tan∠ODC，得DHCHOHr，则（OHr）2+OH2＝r2，求得OHr，则cos∠AOC＝cos∠DOH，设OA＝5m，则OF＝OC＝3m，求得AF＝AC＝4m，由sinB，得OBAB，设AB＝4x，则OB＝3x，于是得（3m）2+（4x﹣4m）2＝（3x）2，求得xm，则ABm，所以sinB． 【解答】（1）证明：作OF⊥AB于点F，则∠AFO＝90°， ∵∠ACB＝90°，AO是∠CAB的角平分线， ∴∠AFO＝∠ACO＝90°，∠OAF＝∠OAC， 在△OAF和△OAC中， ， ∴△OAF≌△OAC（AAS）， ∴OF＝OC， ∴点F在⊙O上， ∵OF是⊙O的半径，且AB⊥OF， ∴AB是⊙O的切线． （2）解：设OC＝OD＝OF＝r，作DH⊥BC于点H，则∠CHD＝90°， ∵∠OCD＝∠ODC， ∴tan∠ODC＝tan∠ODC， ∴DHCH（OH+OC）OHr， ∵DH2+OH2＝OD2， ∴（OHr）2+OH2＝r2， 解得OHr或OH＝﹣r（不符合题意，舍去）， ∵∠ACB＝∠OFB＝90°，∠AOC＝∠DOH， ∴cos∠AOC＝cos∠DOH， 设OA＝5m，则OF＝OCOA＝3m， ∴AF＝AC4m， ∵sinB， ∴OB•ABAB， 设AB＝4x，则OB＝3x， ∵OF2+BF2＝OB2，且BF＝4x﹣4m， ∴（3m）2+（4x﹣4m）2＝（3x）2， 解得xm或x＝m， 当x＝m时，则AB＝4m＝AC， ∴x＝m不符合题意，舍去， ∴AB＝4mm， ∴sinB， ∴sinB的值是． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 16．（2025•当雄县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若CE＝2，求⊙D的半径． 【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线； （2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠ADC＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴AC是⊙D的切线； （2）解：连接AE， ∵AD＝DE，∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AE＝DE，∠AED＝60°， ∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°， ∴∠EAC＝∠C， ∴AE＝CE＝2， ∴⊙D的半径AD＝2． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 17．（2025•城关区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长． 【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论； （2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC＝AB＝8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论． 【解答】解：（1）如图， 连接BD，∵∠BAD＝90°， ∴点O必在BD上，即：BD是直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DEC+∠CDE＝90°， ∵∠DEC＝∠BAC， ∴∠BAC+∠CDE＝90°， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BDC+∠CDE＝90°， ∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE， ∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵DE∥AC， ∵∠BDE＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴CB＝AB＝8，AF＝CFAC， ∵∠CDE+∠BDC＝90°，∠BDC+∠CBD＝90°， ∴∠CDE＝∠CBD， ∵∠DCE＝∠BCD＝90°， ∴△BCD∽△DCE， ∴， ∴， ∴CD＝4， 在Rt△BCD中，BD4 同理：△CFD∽△BCD， ∴， ∴， ∴CF， ∴AC＝2CF． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC＝8是解本题的关键． 18．（2025•曲水县一模）如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE． （1）求证：CA是⊙O的切线； （2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长． 【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠BAO，求得∠OAC＝90°，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到BC＝16，求得BE＝BC﹣CE＝12，连接BD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠EAD，求得，得到BD＝DE，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OA， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°， ∴∠BAO+∠OAE＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠ABC＝∠BAO， ∵∠EAC＝∠ABC， ∴∠CAE＝∠BAO， ∴∠CAE+∠OAE＝90°， ∴∠OAC＝90°， ∵OA是⊙O的半径， ∴CA是⊙O的切线； （2）解：∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C， ∴△ABC∽△EAC， ∴， ∴， ∴BC＝16， ∴BE＝BC﹣CE＝12， 连接BD， ∵AD平分∠BAE， ∴∠BAD＝∠EAD， ∴， ∴BD＝DE， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BDE＝90°， ∴DE＝BDBE＝6． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 19．（2025•林周县一模）如图，CD是⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC，BD，过圆心O作OE∥BC，连接EB并延长，交DC延长线于点A，满足∠D＝∠E． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若F是OE的中点，求∠E的度数． 【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到BC⊥BD，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到∠OBE＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接BF，根据直角三角形的性质得到BF＝OF，推出△OBF是等边三角形，得到∠BOF＝60°，从而可得结论． 【解答】（1）证明：连接OB， ∵CD是⊙O的直径， ∴BC⊥BD， ∵OE∥BC， ∴OE⊥BD， ∴∠DGO＝∠BGE＝90°， ∵∠D＝∠E， ∴∠DOE＝∠DBE， ∵OD＝OB， ∴∠D＝∠DBO， ∵∠D+∠DOG＝90°， ∴∠OBD+∠DBE＝90°， ∴∠OBE＝90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴AE是⊙O的切线； （2）解：连接BF， ∵∠OBE＝90°，F是OE的中点， ∴BF＝OF， ∴△OBE是等边三角形， ∴∠BOF＝60°， ∵OB⊥AE， ∴∠E＝30°． 【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆的基本性质与圆的切线问题 考点1 圆锥的有关计算 1．（2021•西藏）已知一个圆锥的底面圆半径是2，母线长是6．则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是 　 　 ． 2．（2023•西藏）圆锥的底面半径是3cm，母线长10cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 　 　 ． 考点2 圆的基本性质 1．（2021•西藏）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（　　） A．40° B．55° C．70° D．110° 2．（2022•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OCOD，则∠ABD的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．105° 3．（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（　　） A．65° B．115° C．130° D．140° 4．（2024•西藏）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD＝60°，CD＝2，则AD的长为（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 5．（2025•西藏）如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则的长为（　　） A．6π B．4π C．2π D．π 考点3 圆的切线问题 1．（2021•西藏）如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使∠CAD＝∠B． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若AD＝4，tan∠CAD，求BC的长． 2．（2022•西藏）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长． 3．（2023•西藏）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交⊙O于点E，垂足为点D，AC平分∠BAD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长． 4．（2024•西藏）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，sinD，求BD的长． 5．（2025•西藏）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝60°，过点C的切线交BA的延长线于点D．求证：CD＝CB． 1．（2025•当雄县一模）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为　 　 ． 2．（2025•日喀则一模）如图，圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为 　 　 ． 3．（2025•西藏一模）圆锥侧面积为8πcm2，侧面展开扇形的半径为4cm，圆锥底圆半径为 　 　 cm． 4．（225•西藏一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025•西藏二模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD⊥AB，∠ACD＝60°，OD＝2，那么DC的长等于（　　） A． B． C．2 D．4 6．（2025•西藏三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠A＝30°，AB＝8，则CD的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 7．（2025•西藏押题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，连结AB，BC，CD．若AB＝8，CD＝5，∠B+∠C＝60°，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D．5 8．（2025•当雄县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（　　） A．110° B．120° C．135° D．140° 9．（2025•城关区一模）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．90° 10．（2025•曲水县一模）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 11．（2025•林周县一模）某木工师傅在做一工具时，在一圆形木板⊙O上取了点A、B、C三点，并画出了如图所示的线条，经测量发现∠B＝50°，之后师傅直接标出了∠OAC的度数．∠OAC的度数为（　　） A．100° B．40° C．50° D．20° 12．（2025•城关区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求的值． 13．（2025•西藏一模）如图，四边形ABCD为菱形，⊙O经过A、C两点，且与AD相切于点A，BC与⊙O相交于点E． （1）证明：CD与⊙O相切； （2）若菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2，求CE的长． 14．（2025•西藏二模）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC延长线于E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若AB＝10，sin∠BAC，求CE的长． 15．（2025•西藏三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是∠CAB的角平分线，以O为圆心，OC为半径作圆O． （1）求证：AB是圆O的切线； （2）已知AO交圆O于点E，延长AO交⊙O于点D，，求sinB的值． 16．（2025•当雄县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若CE＝2，求⊙D的半径． 17．（2025•城关区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长． 18．（2025•曲水县一模）如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE． （1）求证：CA是⊙O的切线； （2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长． 19．（2025•林周县一模）如图，CD是⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC，BD，过圆心O作OE∥BC，连接EB并延长，交DC延长线于点A，满足∠D＝∠E． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若F是OE的中点，求∠E的度数． / 学科网（北京）股份有限公司 $