专题04 方程与不等式、尺规作图（西藏专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题04 方程与不等式、尺规作图 考点1 不等式组的解法 1．（2021•西藏）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式2x+3＞1，得：x＞﹣1， 解不等式，得：x≤2， 则不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2．（2023•西藏）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可． 【解答】解：， 由①x≤2， 由②得x＞﹣1， 不等式组的解集为﹣1＜x≤2． 故选：C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 3．（2024•西藏）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并按要求将解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：， 解不等式①得，x＞1； 解不等式②得，x＜5， 所以不等式组的解集为：1＜x＜5． 数轴表示如下： ． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 4．（2025•西藏）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】先解不等式组，再表示解集． 【解答】解：， 由①得：x＞﹣2， 由②得：3x﹣6＜x+2， 2x＜8， x＜4， ∴﹣2＜x＜4， 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解法是解题的关键． 考点2 一元二次方程的判别式 1．（2021•西藏）已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　） A．6 B．10 C．12 D．24 【分析】法1：利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可； 法2：利用根与系数的关系求出两根之积，再根据对角线乘积的一半求出菱形面积即可． 【解答】解：法1：方程x2﹣10x+24＝0， 分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0， 可得x﹣4＝0或x﹣6＝0， 解得：x＝4或x＝6， ∴菱形两对角线长为4和6， 则这个菱形的面积为4×6＝12； 法2：设a，b是方程x2﹣10x+24＝0的两根， ∴ab＝24， 则这个菱形的面积为ab＝12． 故选：C． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及菱形的性质，熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 2．（2022•西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1 【分析】利用一元二次方程有实数根的条件得到关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根， ∴， 解得：m且m≠1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于m的不等式组是解题的关键． 3．（2023•西藏）已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1、x2，则的值为（　　） A．﹣3 B． C．1 D． 【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可． 【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系得， x1+x2＝3，x1x2＝2， ∴ ， 故选：D． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 4．（2025•西藏）关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 　 　 ． 【分析】利用根的判别式解答． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个相等的实数根， ∴（﹣1）2﹣4×1×2m＝0， m． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式． 考点3 不等式组与一次方程综合应用 1．（2021•西藏）列方程（组）解应用题 为振兴农村经济，某县决定购买A，B两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元．问每棵A种药材幼苗和每棵B种药材幼苗的价格分别是多少元？ 【分析】设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元，根据“购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元， 依题意得：， 解得：． 答：每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元． 2．（2023•西藏）列方程（组）解应用题 如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成． （1）求一块长方形墙砖的长和宽； （2）求电视背景墙的面积． 【分析】（1）首先设一块长方形墙砖的长为x，宽为y，然后用x，y的代数式分别表示出长方形的两条长边分别为2x，x+4y，宽为x+y，进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案； （2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案． 【解答】解：（1）设一块长方形墙砖的长为x m，宽为y m． 依题意得：，解得：， 答：一块长方形墙砖的长为1.2m，宽为0.3m． （2）求电视背景墙的面积为：2×1.2×1.5＝3.6（m2）． 答：电视背景墙的面积为3.6m2． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解答此题的关键． 3．（2024•西藏）列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【分析】（1）设商场投入资金的月平均增长率为x，利用六月份投入资金＝四月份投入资金×（1+年平均增长率）2，即可得出x的关于一元二次方程，解之取正值即可； （2）由题意列式计算即可． 【解答】解：（1）设商场投入资金的月平均增长率为x， 依题意得：20（1+x）2＝24.2， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）， 答：商场投入资金的月平均增长率为10%； （2）由题意得：24.2×（1+10%）＝26.62（万元）． 答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2025•西藏）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2） 工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【分析】（1）通过设生产甲、乙服装的数量为未知数，结合总件数和总投入资金的条件，列二元一次方程组求解； （2）先根据甲、乙数量关系设未知数并列出不等式确定甲的数量范围，再分别算出甲、乙的单件利润，得出总利润关于甲数量的函数，根据函数单调性确定利润最大时的生产安排． 【解答】解：（1）设生产甲款服装x件，生产乙款服装y件， 根据生产甲、乙两款服装共300件，可得x+y＝300， 又∵投入230000元且资金刚好用完， ∴700x+800y＝230000， 将x+y＝300变形为x＝300﹣y，代入700x+800y＝230000中， 700（300﹣y）+800y＝230000， 210000﹣700y+800y＝230000， 100y＝20000， y＝200， 把y＝200代入x＝300﹣y， 得x＝300﹣200＝100， ∴可以生产甲款服装100件，乙款服装200件； （2）设生产甲款服装m件，则生产乙款服装（500﹣m）件， ∵甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍， ∴m≥2（500﹣m）， m≥1000﹣2m， m+2m≥1000， 3m≥1000， m333.33， ∵m为服装件数， ∴m取整数，m≥334， 甲的利润为（1000﹣700）＝300元/件，乙的利润为（1200﹣800）＝400元/件， 总利润＝300m+400（500﹣m）＝300m+200000﹣400m＝﹣100m+200000， ∵﹣100＜0， ∴总利润随m的增大而减小， ∴当m＝334时，W有最大值，此时500﹣m＝500﹣334＝166， ∴生产甲款服装334件，乙款服装166件时，能获得最大利润． 【点评】本题考查了一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程求解即可；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式． 考点4 尺规作图 1．（2021•西藏）如图．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4．按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BM长为半径画弧，交线段CB于点D；（3）以点D为圆心，MN长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点E；（4）过点E画射线CE，与AB相交于点F．当AF＝3时，BC的长是 　 　 ． 【分析】利用基本作图得到∠FCB＝∠B，则FC＝FB，再利用勾股定理计算出CF＝5，则AB＝8，然后利用勾股定理可计算出BC的长． 【解答】解：由作法得∠FCB＝∠B， ∴FC＝FB， 在Rt△ACF中，∵∠A＝90°，AC＝4，AF＝3， ∴CF5， ∴BF＝5， ∴AB＝AF+BF＝8， 在Rt△ABC中，BC4． 故答案为4． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质作图，逐步操作即可． 2．（2022•西藏）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹： （1）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF； （2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为 　 　 ． 【分析】根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠AOB的平分线，利用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质的求解即可． 【解答】解：如图所示： 根据题意可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠BAC的平分线， ∵AB＝6，∠BAC＝60°， ∴∠BAO＝∠CAO∠BAC＝30°，ADAB＝3， ∴AM＝2MD， 在Rt△ADM中，（2MD）2＝MD2+AD2， 即4MD2＝MD2+32， ∴MD， ∵AM是∠AOB的平分线，MD⊥AB， ∴点M到射线AC的距离为． 故答案为：． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意灵活运用基本作图的知识解决问题． 3．（2023•西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为 　 　 ． 【分析】连接CE，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：连接CE， 由作图知，直线MN是线段BC的垂直平分线， ∴CE＝BE， ∵∠A＝90°，AE＝5，AC＝12， ∴BE＝CE13， 故答案为：13． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是证明CE＝BE． 4．（2024•西藏）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF＝3，AF＝5，则BF的长为 　 　 ． 【分析】作GF⊥BA于点G，因为∠C＝90°，所以CF⊥BC，由作图得BF平分∠ABC，所以GF＝CF＝3，而AF＝5，则AG4，再证明BG＝BC，则AB•GFAF•BC＝S△ABF，得3（BG+4）5BG，求得BG＝6，则BF3，于是得到问题的答案． 【解答】解：作GF⊥BA于点G，则∠AGF＝∠BGF＝90°， ∵∠C＝90°， ∴CF⊥BC， 由作图得BF平分∠ABC， ∴GF＝CF＝3， ∵AF＝5， ∴AG4， ∵BG，BC， ∴BG＝BC， ∵AB•GFAF•BC＝S△ABF， ∴3（BG+4）5BG， 解得BG＝6， ∴BF3， 故答案为：3． 【点评】此题重点考查尺规作图、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 5．（2025•西藏）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（1，0），交y轴于点B（0，2），以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线OE交AB于点F，则点F的坐标是 　 　 ． 【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据作图步骤确定OE是∠AOB的平分线，联立方程组求出F坐标即可． 【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+2，将点（1，0）代入解析式可得： k+2＝0， 解得k＝﹣2， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2， 由作图可知OE是∠AOB的平分线， ∴直线OE的解析式为y＝x， ∴， 解得x＝y． ∴点F的坐标是（，）． 故答案为：（，）． 【点评】本题考查了基本作图、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 1．（2024•西藏三模）解不等式组，并把其解集表示在数轴上． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式3﹣x≥2（x﹣3），得：x≤3， 解不等式1，得：x＞﹣1， 则不等式组的解集为﹣1＜x≤3， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2．（2025•西藏押题）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解，并按要求将解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：由题知， 解不等式4x≥3x﹣1得，x≥﹣1； 解不等式得，x＞﹣4， 所以不等式组的解集为：x≥﹣1． 数轴表示如下： ． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式组的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 3．（2025•当雄县一模）解不等式组：． 【分析】先分别求出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可求出不等式组的解集． 【解答】解：解不等式3x﹣5＜x+1得x＜3； 解不等式2（2x﹣1）≥5x﹣4得x≤2． 所以不等式组的解集为：x≤2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键． 4．（2025•西藏一模）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　 　 ． 【分析】根据当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根可得Δ＝9﹣4k＞0，再解即可． 【解答】解：由题意得： Δ＝9﹣4k＞0， 解得：k， 故答案为：k． 【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 5．（2025•西藏三模拟）若x1，x2是方程x2+5x﹣6＝0的两个根，则（　　） A．x1x2＝﹣6 B．x1x2＝6 C．x1+x2＝5 D．x1+x2＝7 【分析】直接利用根与系数的关系进行判断． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣6． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2． 6．（2025•西藏押题）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m B．m且m≠1 C．m D．m且m≠1 【分析】根据二次项系数不为0，根的判别式△≥0，构建不等式求解即可． 【解答】解：因为关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根， 所以， 解得m且m≠1． 故选：D． 【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义等知识，解题的关键是学会构建不等式组解决问题． 7．（2025•西藏二模）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【分析】计算方程根的判别式进行判断即可． 【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 8．（2025•林周县一模）已知x＝1是一元二次方程x2+2x﹣k＝0的一个根，则k的值为 　 　 ． 【分析】把x＝1代入方程x2+2x﹣k＝0得1+2﹣k＝0，然后解关于k的方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+2x﹣k＝0得1+2﹣k＝0， 解得k＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 9．（2025•城关区一模）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　） A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6 【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即Δ＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论． 【解答】解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， ∴当m＝4或n＝4时，即x＝4， ∴方程为42﹣6×4+k+2＝0， 解得：k＝6，此时有x2﹣6x+8＝0， 解得x＝4或x＝2，∵2+4＝6＞4，能构成等腰三角形， ∴k＝6符合题意； 当m＝n时， 即Δ＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0， 解得：k＝7，此时有x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， ∵3+3＝6＞4，能构成等腰三角形， ∴k＝7符合题意． 综上所述，k的值等于6或7，故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键． 10．（20252•西藏一模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2x m，长为（8﹣x） m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2； （2）设矩形养殖场的总面积是y m2，根据墙的长度为10，可得0＜x，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质即得当x时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2． 【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2x m，长为（8﹣x） m， ∴（x+2x）×（8﹣x）＝36， 解得x＝2或x＝6， 经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去， ∴x＝2， 答：此时x的值为2； （2）设矩形养殖场的总面积是y m2， ∵墙的长度为10m， ∴0＜x， 根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵﹣3＜0， ∴当x时，y取最大值，最大值为﹣3×（4）2+48（m2）， 答：当x时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2． 【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式． 11．（2025•西藏二模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的A、B两种书籍．若购买2本A种书籍和3本B种书籍需用160元；若购买6本A种书籍与购买7本B种书籍的费用相同．求每本A种书籍和每本B种书籍的价格各为多少元． 【分析】设每本A种书籍的价格为x元，每本B种书籍的价格为y元，根据“购买2本A种书籍和3本B种书籍需用160元；购买6本A种书籍与购买7本B种书籍的费用相同”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设每本A种书籍的价格为x元，每本B种书籍的价格为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本A种书籍的价格为35元，每本B种书籍的价格为30元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 12．（2025•西藏三模）某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件39元． （1）若降价2元，每星期可以卖出多少件该商品？ （2）若要每星期获利6480元，应该涨价多少元？ 【分析】（1）根据某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件；每降价1元，每星期可多卖出20件，列式计算即可； （2）设应该涨价x元，则每星期可以卖出（300﹣10x）件该商品，根据要每星期获利6480元，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）由题意可知，300+2×20＝340（件）， 答：若降价2元，每星期可以卖出340件该商品； （2）设应该涨价x元，则每星期可以卖出（300﹣10x）件该商品， 由题意得：（60+x﹣39）（300﹣10x）＝6480， 整理得：x2﹣9x+18＝0， 解得：x1＝3，x2＝6， 答：要每星期获利6480元，应该涨价3元或6元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（2025•西藏押题）“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化环境，醴陵市政府聘用了甲乙两个施工队承担“渌江”河道的清理任务，已知甲乙两个施工队每天一共可以清理河道1500米，且甲施工队清理3600米河道所用的时间与乙施工队清理2400米河道所用的时间相等． （1）求甲施工队每天可以清理河道多少米？ （2）考虑到施工成本问题，市政府要求甲施工队工作的天数是乙施工队天数的2倍，且清理河道的长度不小于36000米，请问乙施工队至少要工作多少天？ 【分析】（1）设甲施工队每天可以清理河道x米，则乙施工队每天可以清理河道（1500﹣x）米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲施工队清理3600米河道所用的时间与乙施工队清理2400米河道所用的时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设乙施工队工作y天，则甲施工队工作2y天，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合市政府要求甲施工队清理河道的长度不小于36000米，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲施工队每天可以清理河道x米，则乙施工队每天可以清理河道（1500﹣x）米， 根据题意得：， 解答：x＝900， 经检验，x＝900是所列方程的解，且符合题意． 答：甲施工队每天可以清理河道900米； （2）设乙施工队工作y天，则甲施工队工作2y天， 根据题意得：900×2y≥36000， 解得：y≥20， ∴y的最小值为20． 答：乙施工队至少要工作20天． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 14．（2025•曲水县一模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 【分析】（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，根据该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）需要购买甲型自行车m台，则需要购买乙型自行车（20﹣m）台，根据资金不超过13000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元， 由题意得：， 解得：， 答：该公司销售一台甲型自行车的利润是150元，一台乙型自行车的利润是100元； （2）需要购买甲型自行车m台，则需要购买乙型自行车（20﹣m）台， 由题意得：500m+800（20﹣m）≤13000， 解得：m≥10， 答：最少需要购买甲型自行车10台． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 15．（2025•西藏一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交NC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点P，射线AP交边BC于点D．若CD＝8，，则AB的长为 　 　 ． 【分析】过点D作PE⊥AB于E，根据角平分线的性质求得DE＝8，在Rt△BDE中，解直角三角形求得BD＝10，cosB，在Rt△ABC中，解直角三角形即可求出AB． 【解答】解：过点D作PE⊥AB于E， ∵AP平分∠BAC，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝8， 在Rt△BED中，tanB， 设DE＝4x，则BE＝3x， ∴BD5x， ∴cosB， ∴4x＝8， ∴x＝2， ∴BD＝10， ∴BC＝18， 在Rt△ABC中，cosB， ∴AB30． 故答案为：30． 【点评】本题考查作图﹣基本作图以，解直角三角形，角平分线的性质，解答本题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等及灵活解直角三角形． 16．（2025•西藏二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，与BC交于点E，则ED的长为 　 　 ． 【分析】先利用勾股定理得到AC＝3，再利于基本作图得到DE垂直平分AC，所以∠EDC＝90°，CD，接着证明△CDE∽△CBA，然后利用相似比可求出DE的长． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝6， ∴AC3， 由作法得DE垂直平分AC， ∴∠EDC＝90°，CDAC， ∵∠EDC＝∠B，∠DCE＝∠BCA， ∴△CDE∽△CBA， ∴DE：AB＝CD：CB，即DE：3：6， 解得DE， 即DE的长为． 故答案为：． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 17．（2025•西藏三模）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为 　 　 ． 【分析】连接CE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD＝6，则利用勾股定理可计算出AD＝8，设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△DEC中利用勾股定理得到x2+62＝（8﹣x）2，然后解方程即可． 【解答】解：连接CE，如图， 由作法得MN垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴AD⊥BC，BD＝CDBC＝6， 在Rt△ACD中，AD8， 设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x， 在Rt△DEC中，x2+62＝（8﹣x）2， 解得x， 即DE的长为． 故答案为：． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 18．（2025•曲水县一模）如图，▱ABCD中，BD为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AD于点E，交AB于点F，若AD⊥BD，BD＝4，BC＝8，则AE的长为 　 　 ． 【分析】根据平行四边形 性质得到AD＝BC＝8，根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，由作图知，MN垂直平分AB，求得AFAB＝2，EF⊥AB，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝8， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∴4， 由作图知，MN垂直平分AB， ∴AFAB＝2，EF⊥AB， ∴∠AFE＝∠ADB＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ABD， ∴， ∴， ∴AE＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 19．（2025•当雄县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（　　） A．BP是∠ABC的平分线 B．S△CBD：S△ABD＝1： C．AD＝BD D．CDBD 【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；计算出∠ABD＝30°＝∠A，则可对B选项进行判断；利用∠CBD∠ABC＝30°得到BD＝2CD，则可对D选项进行判断；由于AD＝2CD，则可根据三角形面积公式对C选项进行判断． 【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确； ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝30°＝∠A， ∴AD＝BD，所以C选项的结论正确； ∵∠CBD∠ABC＝30°， ∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确； ∴AD＝2CD， ∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误． 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 方程与不等式、尺规作图 考点1 不等式组的解法 1．（2021•西藏）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 2．（2023•西藏）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•西藏）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 4．（2025•西藏）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 考点2 一元二次方程的判别式 1．（2021•西藏）已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　） A．6 B．10 C．12 D．24 2．（2022•西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1 3．（2023•西藏）已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1、x2，则的值为（　　） A．﹣3 B． C．1 D． 4．（2025•西藏）关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 　 　 ． 考点3 不等式组与一次方程综合应用 1．（2021•西藏）列方程（组）解应用题 为振兴农村经济，某县决定购买A，B两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元．问每棵A种药材幼苗和每棵B种药材幼苗的价格分别是多少元？ 2．（2023•西藏）列方程（组）解应用题 如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成． （1）求一块长方形墙砖的长和宽； （2）求电视背景墙的面积． 3．（2024•西藏）列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 4．（2025•西藏）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 考点4 尺规作图 1．（2021•西藏）如图．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4．按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BM长为半径画弧，交线段CB于点D；（3）以点D为圆心，MN长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点E；（4）过点E画射线CE，与AB相交于点F．当AF＝3时，BC的长是 　 　 ． 2．（2022•西藏）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹： （1）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF； （2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为 　 　 ． 3．（2023•西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为 　 　 ． 4．（2024•西藏）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF＝3，AF＝5，则BF的长为 　 　 ． 5．（2025•西藏）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（1，0），交y轴于点B（0，2），以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线OE交AB于点F，则点F的坐标是 　 　 ． 1．（2024•西藏三模）解不等式组，并把其解集表示在数轴上． 2．（2025•西藏押题）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 3．（2025•当雄县一模）解不等式组：． 4．（2025•西藏一模）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　 　 ． 5．（2025•西藏三模拟）若x1，x2是方程x2+5x﹣6＝0的两个根，则（　　） A．x1x2＝﹣6 B．x1x2＝6 C．x1+x2＝5 D．x1+x2＝7 6．（2025•西藏押题）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m B．m且m≠1 C．m D．m且m≠1 7．（2025•西藏二模）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 8．（2025•林周县一模）已知x＝1是一元二次方程x2+2x﹣k＝0的一个根，则k的值为 　 　 ． 9．（2025•城关区一模）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　） A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6 10．（20252•西藏一模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 11．（2025•西藏二模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的A、B两种书籍．若购买2本A种书籍和3本B种书籍需用160元；若购买6本A种书籍与购买7本B种书籍的费用相同．求每本A种书籍和每本B种书籍的价格各为多少元． 12．（2025•西藏三模）某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件39元． （1）若降价2元，每星期可以卖出多少件该商品？ （2）若要每星期获利6480元，应该涨价多少元？ 13．（2025•西藏押题）“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化环境，醴陵市政府聘用了甲乙两个施工队承担“渌江”河道的清理任务，已知甲乙两个施工队每天一共可以清理河道1500米，且甲施工队清理3600米河道所用的时间与乙施工队清理2400米河道所用的时间相等． （1）求甲施工队每天可以清理河道多少米？ （2）考虑到施工成本问题，市政府要求甲施工队工作的天数是乙施工队天数的2倍，且清理河道的长度不小于36000米，请问乙施工队至少要工作多少天？ 14．（2025•曲水县一模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 15．（2025•西藏一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交NC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点P，射线AP交边BC于点D．若CD＝8，，则AB的长为 　 　 ． 16．（2025•西藏二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，与BC交于点E，则ED的长为 　 　 ． 17．（2025•西藏三模）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为 　 　 ． 18．（2025•曲水县一模）如图，▱ABCD中，BD为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AD于点E，交AB于点F，若AD⊥BD，BD＝4，BC＝8，则AE的长为 　 　 ． 19．（2025•当雄县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（　　） A．BP是∠ABC的平分线 B．S△CBD：S△ABD＝1： C．AD＝BD D．CDBD / 学科网（北京）股份有限公司 $