14.2三角形全等的判定 讲义 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

14.2 三角形全等的判定 学习目标 1. 理解并掌握三角形全等的“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）判定方法。 2. 能运用三角形全等的判定方法解决简单的推理证明问题。 3. 体会分类讨论及转化的数学思想，培养逻辑推理能力和空间想象能力。 知识点讲解 一、全等三角形的定义与性质回顾 1. 全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 即：若△ABC ≌ △DEF，则有 AB = DE，AC = DF，BC = EF， ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。 二、三角形全等的判定方法 判定两个三角形全等，并非需要定义中的“所有对应边相等，所有对应角相等”这六个条件。我们可以通过特定的几个条件组合来判定。 1. “边边边”（SSS）判定公理 文字语言：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。 符号语言： 在△ABC 和△DEF 中， 若 AB = DE， AC = DF， BC = EF， 则△ABC ≌ △DEF (SSS)。 2. “边角边”（SAS）判定公理 文字语言：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 符号语言： 在△ABC 和△DEF 中， 若 AB = DE， ∠A = ∠D， AC = DF， 则△ABC ≌ △DEF (SAS)。 注意：这里的角必须是两组对应边的夹角。 3. “角边角”（ASA）判定公理 文字语言：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 符号语言： 在△ABC 和△DEF 中， 若 ∠A = ∠D， AB = DE， ∠B = ∠E， 则△ABC ≌ △DEF (ASA)。 4. “角角边”（AAS）判定定理 文字语言：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 符号语言： 在△ABC 和△DEF 中， 若 ∠A = ∠D， ∠B = ∠E， BC = EF， 则△ABC ≌ △DEF (AAS)。 5. 直角三角形全等的特殊判定（HL） 文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 符号语言： 在Rt△ABC 和Rt△DEF 中， ∠C = ∠F = 90°， 若 AB = DE（斜边相等）， BC = EF（直角边相等）， 则Rt△ABC ≌ Rt△DEF (HL)。 注意： · HL 判定只适用于直角三角形。 · 使用 HL 时，要先明确指出两个三角形是直角三角形。 例题解析 例题1（SSS判定的应用） 已知：在△ABC 和△ADC 中，AB = AD，CB = CD。求证：△ABC ≌ △ADC。 证明： 在△ABC 和△ADC 中， AB = AD （已知）， CB = CD （已知）， AC = AC （公共边）， 所以 △ABC ≌ △ADC (SSS)。 例题2（SAS判定的应用） 已知：在△ABC 和△DEF 中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF。求证：△ABC ≌ △DEF。 证明： 在△ABC 和△DEF 中， AB = DE （已知）， ∠A = ∠D （已知）， AC = DF （已知）， 所以 △ABC ≌ △DEF (SAS)。 例题3（ASA判定的应用） 已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E。求证：△ABC ≌ △DEF。 证明： 在△ABC 和△DEF 中， ∠A = ∠D （已知）， AB = DE （已知）， ∠B = ∠E （已知）， 所以 △ABC ≌ △DEF (ASA)。 例题4（AAS判定的应用） 已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A = ∠D，∠C = ∠F，BC = EF。求证：△ABC ≌ △DEF。 证明： 在△ABC 和△DEF 中， ∠A = ∠D （已知）， ∠C = ∠F （已知）， BC = EF （已知）， 所以 △ABC ≌ △DEF (AAS)。 例题5（HL判定的应用） 已知：在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，AB = DE，AC = DF。求证：Rt△ABC ≌ Rt△DEF。 证明： 因为 ∠C = ∠F = 90°， 所以 △ABC 和△DEF 都是直角三角形。 在Rt△ABC 和Rt△DEF 中， AB = DE （已知，斜边相等）， AC = DF （已知，直角边相等）， 所以 Rt△ABC ≌ Rt△DEF (HL)。 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列各组条件中，不能判定△ABC ≌ △DEF 的是（ ） A. AB = DE，BC = EF，AC = DF B. AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF C. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F D. ∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E 2. 在△ABC 和△A'B'C' 中，AB = A'B'，∠A = ∠A'，要使△ABC ≌ △A'B'C'，还需添加一个条件，这个条件不能是（ ） A. AC = A'C' B. BC = B'C' C. ∠B = ∠B' D. ∠C = ∠C' 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 三个角对应相等的两个三角形全等 B. 周长相等的两个三角形全等 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 4. 在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，下列条件中不能判定这两个直角三角形全等的是（ ） A. AC = DF，BC = EF B. AC = DF，∠A = ∠D C. AB = DE，AC = DF D. AB = DE，∠A = ∠D 二、填空题 1. 已知△ABC ≌ △DEF，∠A = 60°，∠B = 70°，则∠F = ______度。 2. 在△ABC 中，AB = 5，AC = 7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使DE = AD，连接BE，则BE = ______。（提示：可先证△ADC ≌ △EDB） 3. 已知在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，则斜边AB = ______ cm。若另一个Rt△DEF 的斜边DE = AB，一条直角边DF = AC，则Rt△ABC 和Rt△DEF ______（填“全等”或“不全等”）。 三、解答题 1. 已知：点C是线段AB的中点，CD = CE，∠ACD = ∠BCE。求证：△ACD ≌ △BCE。 2. 已知：在△ABC 中，AB = AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD = AE。求证：△ABE ≌ △ACD。 3. 已知：∠1 = ∠2，∠C = ∠D。求证：AC = AD。 （提示：可考虑证明△ABC ≌ △ABD） 4. 已知：在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，AC = DF，BC = EF。求证：△ABC ≌ △DEF。（用两种方法证明，一种用一般三角形全等判定，一种用HL） 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. C 解析：选项C是三个角对应相等（AAA），只能判定三角形相似，不能判定全等。A是SSS，B是SAS，D是ASA，均能判定全等。 2. B 解析：已知AB = A'B'，∠A = ∠A'。选项A 可构成SAS；选项C 可构成ASA；选项D 可构成AAS；选项B是SSA，不能判定全等。 3. D 解析：选项A AAA不行；选项B 周长相等不一定全等；选项C 面积相等不一定全等；选项D SAS可以判定全等。 4. D 解析：选项A：SAS（AC=DF, ∠C=∠F, BC=EF）； 选项B：ASA或AAS； 选项C：HL（AB=DE, AC=DF）； 选项D：SSA（AB=DE, ∠A=∠D, 另一直角边不一定相等），不能判定全等。 二、填空题 1. 50 解析：在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 70°，所以∠C = 180° - 60° - 70° = 50°。因为△ABC ≌ △DEF，所以∠F = ∠C = 50°。 2. 7 解析：因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD。在△ADC 和△EDB中，AD = ED（已知），∠ADC = ∠EDB（对顶角相等），CD = BD（已证）。所以△ADC ≌ △EDB (SAS)。所以BE = AC = 7。 3. 5，全等 解析：根据勾股定理，AB = √ = √ = √(9 + 16) = √25 = 5 cm。 在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，斜边AB = DE = 5 cm，直角边AC = DF = 3 cm，所以根据HL判定，Rt△ABC ≌ Rt△DEF。 三、解答题 1. 证明： 因为点C是线段AB的中点， 所以 AC = BC （中点的定义）。 在△ACD 和△BCE 中， AC = BC （已证）， ∠ACD = ∠BCE （已知）， CD = CE （已知）， 所以 △ACD ≌ △BCE (SAS)。 2. 证明： 在△ABE 和△ACD 中， AB = AC （已知）， ∠A = ∠A （公共角）， AE = AD （已知）， 所以 △ABE ≌ △ACD (SAS)。 3. 证明： 在△ABC 和△ABD 中， ∠C = ∠D （已知）， ∠1 = ∠2 （已知）， AB = AB （公共边）， 所以 △ABC ≌ △ABD (AAS)。 所以 AC = AD （全等三角形的对应边相等）。 4. 证明： 方法一（用SAS判定）： 在△ABC 和△DEF 中， AC = DF （已知）， ∠C = ∠F （已知）， BC = EF （已知）， 所以 △ABC ≌ △DEF (SAS)。 方法二（用HL判定）： 在Rt△ABC 中，AB = √。 在Rt△DEF 中，DE = √。 因为 AC = DF，BC = EF， 所以 AB = DE。 在Rt△ABC 和Rt△DEF 中， ∠C = ∠F = 90°， AB = DE （已证）， AC = DF （已知）， 所以 Rt△ABC ≌ Rt△DEF (HL)。 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2 三角形全等的判定 学习目标 1. 理解并掌握三角形全等的“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）判定方法。 2. 能运用三角形全等的判定方法解决简单的推理证明问题。 3. 体会分类讨论及转化的数学思想，培养逻辑推理能力和空间想象能力。 知识点讲解 一、全等三角形的定义与性质回顾 1. 全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 即：若△ABC ≌ △DEF，则有 AB = DE，AC = DF，BC = EF， ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。 二、三角形全等的判定方法 判定两个三角形全等，并非需要定义中的“所有对应边相等，所有对应角相等”这六个条件。我们可以通过特定的几个条件组合来判定。 1. “边边边”（SSS）判定公理 文字语言：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。 符号语言： 在△ABC 和△DEF 中， 若 AB = DE， AC = DF， BC = EF， 则△ABC ≌ △DEF (SSS)。 2. “边角边”（SAS）判定公理 文字语言：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 符号语言： 在△ABC 和△DEF 中， 若 AB = DE， ∠A = ∠D， AC = DF， 则△ABC ≌ △DEF (SAS)。 注意：这里的角必须是两组对应边的夹角。 3. “角边角”（ASA）判定公理 文字语言：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 符号语言： 在△ABC 和△DEF 中， 若 ∠A = ∠D， AB = DE， ∠B = ∠E， 则△ABC ≌ △DEF (ASA)。 4. “角角边”（AAS）判定定理 文字语言：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 符号语言： 在△ABC 和△DEF 中， 若 ∠A = ∠D， ∠B = ∠E， BC = EF， 则△ABC ≌ △DEF (AAS)。 5. 直角三角形全等的特殊判定（HL） 文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 符号语言： 在Rt△ABC 和Rt△DEF 中， ∠C = ∠F = 90°， 若 AB = DE（斜边相等）， BC = EF（直角边相等）， 则Rt△ABC ≌ Rt△DEF (HL)。 注意： · HL 判定只适用于直角三角形。 · 使用 HL 时，要先明确指出两个三角形是直角三角形。 例题解析 例题1（SSS判定的应用） 已知：在△ABC 和△ADC 中，AB = AD，CB = CD。求证：△ABC ≌ △ADC。 例题2（SAS判定的应用） 已知：在△ABC 和△DEF 中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF。求证：△ABC ≌ △DEF。 例题3（ASA判定的应用） 已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E。求证：△ABC ≌ △DEF。 例题4（AAS判定的应用） 已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A = ∠D，∠C = ∠F，BC = EF。求证：△ABC ≌ △DEF。 例题5（HL判定的应用） 已知：在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，AB = DE，AC = DF。求证：Rt△ABC ≌ Rt△DEF。 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列各组条件中，不能判定△ABC ≌ △DEF 的是（ ） A. AB = DE，BC = EF，AC = DF B. AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF C. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F D. ∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E 2. 在△ABC 和△A'B'C' 中，AB = A'B'，∠A = ∠A'，要使△ABC ≌ △A'B'C'，还需添加一个条件，这个条件不能是（ ） A. AC = A'C' B. BC = B'C' C. ∠B = ∠B' D. ∠C = ∠C' 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 三个角对应相等的两个三角形全等 B. 周长相等的两个三角形全等 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 4. 在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，下列条件中不能判定这两个直角三角形全等的是（ ） A. AC = DF，BC = EF B. AC = DF，∠A = ∠D C. AB = DE，AC = DF D. AB = DE，∠A = ∠D 二、填空题 1. 已知△ABC ≌ △DEF，∠A = 60°，∠B = 70°，则∠F = ______度。 2. 在△ABC 中，AB = 5，AC = 7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使DE = AD，连接BE，则BE = ______。（提示：可先证△ADC ≌ △EDB） 3. 已知在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，则斜边AB = ______ cm。若另一个Rt△DEF 的斜边DE = AB，一条直角边DF = AC，则Rt△ABC 和Rt△DEF ______（填“全等”或“不全等”）。 三、解答题 1. 已知：点C是线段AB的中点，CD = CE，∠ACD = ∠BCE。求证：△ACD ≌ △BCE。 2. 已知：在△ABC 中，AB = AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD = AE。求证：△ABE ≌ △ACD。 3. 已知：∠1 = ∠2，∠C = ∠D。求证：AC = AD。 （提示：可考虑证明△ABC ≌ △ABD） 4. 已知：在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，AC = DF，BC = EF。求证：△ABC ≌ △DEF。（用两种方法证明，一种用一般三角形全等判定，一种用HL） 学科网（北京）股份有限公司 $