1.5 第2课时 二次函数与利润问题及几何问题 课件-2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数与利润问题及几何面积最值的应用，通过“商家如何定价获最大利润”的情境导入，衔接二次函数性质，以建立函数模型、分析自变量取值范围、求最值为支架，帮助学生掌握实际问题的解决方法。 其亮点在于结合玩具销售、矩形围栏等生活实例与变式训练，培养学生用数学眼光观察现实世界的数量关系，通过推理取值范围、运算求最值发展数学思维。课堂小结系统归纳步骤强化模型意识，学生能提升应用能力，教师可高效开展教学。

第 1 页：封面 标题：1.5 第 2 课时 二次函数与利润问题及几何问题 副标题：湘教版九年级数学下册 配图：左侧为利润问题示意图（商品定价与销量关系表），右侧为几何问题示意图（矩形围栏与面积关系图），中间标注 “二次函数最值应用” 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识与技能 能根据利润问题中的数量关系，建立二次函数模型并求出最大利润 能根据几何图形的边长、面积等关系，建立二次函数模型并求出最值（如最大面积、最短长度） 掌握利用二次函数顶点坐标求实际问题最值的方法，明确自变量的取值范围对实际问题的影响 过程与方法 通过 “问题分析 — 变量设定 — 模型建立 — 求解验证”，经历 “实际问题→二次函数模型→解决实际问题” 的完整过程 培养数学建模能力与逻辑推理能力，提升运用二次函数性质解决实际问题的能力 情感态度 感受二次函数在经济生活与几何计算中的实用价值，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识 第 3 页：情境引入 —— 两类典型问题 利润问题情境（配图 + 文字）： 某商店销售一种文具，每件进价为 10 元。经市场调查发现，若每件售价为 15 元，每天可销售 200 件；售价每上涨 1 元，每天销量减少 10 件。如何定价才能使每天的销售利润最大？ 几何问题情境（配图 + 文字）： 用一段长为 30m 的篱笆，靠墙围成一个矩形菜园（墙足够长，可作为矩形的一边）。如何确定矩形的边长，才能使菜园的面积最大？ 问题链： 这两个问题的核心需求是什么？（求 “最大利润”“最大面积”，即最值） 之前学过的哪种数学知识可以解决 “最值” 问题？（二次函数，当\(a＜0\)时，顶点纵坐标为最大值） 解决这类问题的关键步骤是什么？（建立二次函数表达式，确定自变量取值范围，求顶点坐标） 第 4 页：探究 1—— 二次函数与利润问题（核心：建立利润函数，求最大利润） 问题：某服装店销售一批 T 恤，每件进价为 80 元。若按每件 100 元出售，每天可售出 20 件；若售价每降低 2 元，每天可多售出 4 件。设每件售价为\(x\)元（\(x\)为偶数），每天的销售利润为\(y\)元。 步骤 1：分析数量关系，设定变量 关键公式：总利润 = 单件利润 × 销售量 单件利润：售价 - 进价 =\(x - 80\)（元 / 件） 销售量：原销量 + 因降价增加的销量 售价从 100 元降到\(x\)元，降价金额为\(100 - x\)（元） 每降价 2 元，销量多 4 件，故增加的销量为\(\frac{100 - x}{2}×4 = 2(100 - x)\)（件） 总销售量：\(20 + 2(100 - x) = 220 - 2x\)（件） 自变量取值范围：售价不能低于进价，且销量不能为负，故\(x ≥ 80\)，且\(220 - 2x ≥ 0\)→\(x ≤ 110\)，即\(80 ≤ x ≤ 110\)（\(x\)为偶数） 步骤 2：建立二次函数表达式 代入利润公式： \(y=(x - 80)(220 - 2x)\) 展开整理： \(y=-2x^2 + 220x + 160x - 17600 = -2x^2 + 380x - 17600\) 步骤 3：求最大利润（利用顶点坐标） 二次函数一般式：\(y=ax^2 + bx + c\)，其中\(a=-2＜0\)，抛物线开口向下，顶点为最大值点 顶点横坐标（即最优售价）：\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{380}{2×(-2)}=95\)（元） （验证：95 在\(80 ≤ x ≤ 110\)范围内，且为整数，符合实际） 顶点纵坐标（即最大利润）：将\(x=95\)代入表达式 \(y=-2×95^2 + 380×95 - 17600 = -2×9025 + 36100 - 17600 = 450\)（元） 结论：当每件 T 恤售价为 95 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 450 元。 第 5 页：利润问题方法总结 核心公式： 单件利润 = 售价 - 进价（或成本） 总利润 = 单件利润 × 销售量（或销量） 销售量通常与售价相关：售价上涨，销量减少；售价下降，销量增加（需根据题目条件确定具体关系） 建模步骤： 设自变量（通常设售价、涨价 / 降价金额为\(x\)）； 用自变量表示 “单件利润” 和 “销售量”； 代入总利润公式，建立二次函数表达式； 确定自变量的取值范围（结合实际，如售价≥成本、销量≥0）； 求二次函数的最大值（\(a＜0\)时，顶点纵坐标为最大值），验证顶点横坐标是否在取值范围内。 注意事项： 若顶点横坐标不在自变量取值范围内，需根据二次函数增减性，在取值范围的端点处求最值； 实际问题中，自变量可能为整数（如售价、件数），需验证计算结果是否符合实际意义。 第 6 页：探究 2—— 二次函数与几何问题（核心：建立面积 / 长度函数，求最值） 问题：用长为 40m 的篱笆围成一个矩形花园，其中一边靠墙（墙足够长，可作为矩形的一边，不需要篱笆），另外三边用篱笆围成。设矩形垂直于墙的边长为\(x\)m，花园的面积为\(y\)m²。 步骤 1：分析图形关系，设定变量 图形结构：矩形一边靠墙（设为 “长”），另外两边中，垂直于墙的为 “宽”（设为\(x\)），平行于墙的为 “长”（设为\(l\)） 篱笆长度关系：\(2x + l = 40\)→\(l = 40 - 2x\) 自变量取值范围：边长为正数，故\(x＞0\)，且\(l=40 - 2x＞0\)→\(x＜20\)，即\(0＜x＜20\) 步骤 2：建立二次函数表达式（面积函数） 矩形面积公式：\(y=长×宽=x×l\) 代入\(l=40 - 2x\)： \(y=x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x\) 步骤 3：求最大面积（利用顶点坐标） 二次函数：\(y=-2x^2 + 40x\)，\(a=-2＜0\)，开口向下，顶点为最大值点 顶点横坐标（最优宽）：\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-2)}=10\)（m） （验证：10 在\(0＜x＜20\)范围内，符合实际） 顶点纵坐标（最大面积）：将\(x=10\)代入表达式 \(y=-2×10^2 + 40×10 = -200 + 400 = 200\)（m²） 此时平行于墙的边长：\(l=40 - 2×10=20\)（m） 结论：当矩形垂直于墙的边长为 10m，平行于墙的边长为 20m 时，花园的面积最大，最大面积为 200m²。 第 7 页：几何问题拓展 —— 动态几何与最值 问题：在平面直角坐标系中，已知点 A (0,3)、B (4,0)，点 P 在 x 轴上（P 与 B 不重合），连接 AP，过点 P 作 PQ⊥AP，交 y 轴于点 Q。设点 P 的坐标为\((t,0)\)，求线段 PQ 长度的最小值。 步骤 1：求 PQ 的函数表达式 先求直线 AP 的解析式：A (0,3)、P (t,0)，斜率\(k_{AP}=-\frac{3}{t}\)，解析式为\(y=-\frac{3}{t}x + 3\) 因 PQ⊥AP，故直线 PQ 的斜率\(k_{PQ}=\frac{t}{3}\)（负倒数），又过 P (t,0)，解析式为\(y=\frac{t}{3}(x - t)\) 求 Q 点坐标：Q 在 y 轴上（x=0），代入 PQ 解析式得\(y=-\frac{t^2}{3}\)，故 Q (0, \(-\frac{t^2}{3}\)) 用两点间距离公式求 PQ：P (t,0)、Q (0, \(-\frac{t^2}{3}\)) \(PQ=\sqrt{(t - 0)^2 + (0 + \frac{t^2}{3})^2} = \sqrt{t^2 + \frac{t^4}{9}}\) 设\(y=PQ^2\)（因 PQ 为正数，求 PQ 最小值即求\(y\)最小值），则\(y=\frac{t^4}{9} + t^2\) 步骤 2：求最小值（换元法转化为二次函数） 设\(u=t^2\)（\(u≥0\)），则\(y=\frac{1}{9}u^2 + u\)（二次函数，\(a=\frac{1}{9}＞0\)，开口向上，顶点为最小值点） 顶点横坐标：\(u=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×\frac{1}{9}}=-\frac{9}{2}\)（不在\(u≥0\)范围内） 因\(a＞0\)，当\(u≥0\)时，\(y\)随\(u\)增大而增大，故最小值在\(u=0\)时取得 当\(u=0\)（即\(t=0\)）时，\(y=0\)→\(PQ=0\)（此时 P 与原点重合，Q 与 P 重合，需结合实际判断是否有效，题目中 P 与 B 不重合，故该情况有效） 结论：线段 PQ 长度的最小值为 0。 第 8 页：几何问题方法总结 常见类型： 矩形、正方形的面积最值（利用篱笆、铁丝等围成图形）； 三角形的面积最值（动点在坐标轴或直线上运动）； 线段长度的最值（两点间距离、点到直线的距离）。 建模步骤： 设自变量（通常设边长、动点坐标为\(x\)或\(t\)）； 利用几何公式（面积、周长、距离公式），用自变量表示相关量（如另一边长度、面积、线段长度）； 建立二次函数表达式（面积函数、长度平方函数，避免根号简化计算）； 确定自变量取值范围（结合图形边长为正、点的位置限制等）； 求二次函数的最值（\(a＜0\)求最大值，\(a＞0\)求最小值），验证是否符合几何意义。 关键技巧： 动态几何问题中，通过设动点坐标，利用坐标公式（如两点间距离、中点公式）建立函数关系； 求线段长度最值时，可先求长度的平方的最值，减少根号运算。 第 9 页：典例精析 典例 1：利润问题（涨价型） 某商场销售一种空调，每台进价为 2500 元。当售价为 3000 元时，每天可售出 10 台；售价每上涨 100 元，每天销量减少 1 台。求每台空调的售价定为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润为多少？ 解答： 设每台涨价\(x\)个 100 元，售价为\(3000 + 100x\)元，销量为\(10 - x\)台； 单件利润：\((3000 + 100x) - 2500 = 500 + 100x\)； 总利润\(y=(500 + 100x)(10 - x) = -100x^2 + 500x + 5000\)； 自变量范围：\(10 - x ≥ 0\)→\(x ≤ 10\)，即\(0 ≤ x ≤ 10\)（\(x\)为整数）； 顶点横坐标\(x=-\frac{500}{2×(-100)}=2.5\)，故取\(x=2\)或\(x=3\)； \(x=2\)时，售价 3200 元，利润\(y=-100×4 + 500×2 + 5000=5600\)元； \(x=3\)时，售价 3300 元，利润\(y=-100×9 + 500×3 + 5000=5600\)元； 结论：售价定为 3200 元或 3300 元时，最大利润为 5600 元。 典例 2：几何问题（三角形面积最值） 在平面直角坐标系中，点 A (2,0)、B (0,3)，点 C 在 x 轴上（C 与 A 不重合），求△ABC 面积的最大值。 解答： 设 C 点坐标\((x,0)\)，AC 长度为\(|x - 2|\)； △ABC 的高为 B 点纵坐标 3（以 AC 为底，高为 y 轴方向）； 面积\(y=\frac{1}{2}×|x - 2|×3 = \frac{3}{2}|x - 2|\)； （转化为二次函数：令\(u=x - 2\)，则\(y=\frac{3}{2}|u|\)，无最大值？修正题目：点 C 在直线\(y=x\)上） 修正后：点 C 在直线\(y=x\)上，设 C\((t,t)\)，用面积公式（割补法）： 面积\(y=\frac{1}{2}×2×3 - \frac{1}{2}×2×t - \frac{1}{2}×3×t - \frac{1}{2}×|2 - t|×|3 - t|\)（化简后）→\(y=-\frac{1}{2}t^2 + \frac{5}{2}t\)； \(a=-\frac{1}{2}＜0\)，顶点\(t=\frac{5}{2}\)，最大面积\(y=\frac{25}{8}\)； 结论：△ABC 的最大面积为\(\frac{25}{8}\)。 第 10 页：课堂练习 利润问题：某文具店销售笔记本，每件进价 4 元，售价 6 元时每天售 100 本。售价每涨 0.5 元，销量减 5 本。求售价定为多少元时，每天利润最大？（答案：售价 8 元，最大利润 360 元） 几何问题：用长 24m 的篱笆围成一个矩形，求矩形面积的最大值。（答案：边长 6m 的正方形，最大面积 36m²） 综合问题：已知点 A (0,0)、B (6,0)，点 P 在抛物线\(y=-x^2 + 4x\)上，求△PAB 面积的最大值。（答案：当 P (2,4) 时，最大面积 12） 第 11 页：课堂小结 知识梳理（思维导图）： 二次函数应用→ 利润问题（总利润 = 单件利润 × 销量→ 求最大利润）→ 几何问题（面积 / 长度函数→ 求最值）→ 核心方法（建模→ 求顶点→ 结合自变量 2025-2026学年湘教版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.5 第2课时 二次函数与利润问题及几何问题 第1章 二次函数 a i T u j m i a N g 情境引入 商品买卖过程中，作为商家利润最大化是永恒的追求.如果你是商家，如何定价才能获得最大利润呢？ 情景导入 例1 某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元出售，那么一个月内售出 180 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少 10 件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 典例精析 二次函数与利润最大问题 探究新知 ① 每件商品的销售单价上涨 x 元，一个月内获取的商品总利润为 y 元，填空： 单件利润(元) 销售量(件) 每月利润(元) 正常销售 涨价销售 10 180 10 + x 180 -10x y = (10+x)(180-10x) 1800 建立函数关系式 y = (10+x)(180 -10x)， 即：y = -10x2 + 80x + 1800. 探究新知 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 180 -10x ≥0，因此自变量的取值范围是 x ≤18. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y = -10x2 + 80x + 1800 = -10(x - 4)2 + 1960. 当 x = 4 时，即销售单价为 34 元时，y 取最大值 1960 元. 答：当销售单价为 34 元时，该店在一个月内能获得最 大利润 1960 元. ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 探究新知 知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或 “总利润=单件利润×销售量” (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出 函数图象的简图，利用简图和性质求解. 探究新知 例2 一工艺师生产的某种产品按质量分为 9 个档次.第1 档次(最低档次)的产品一天能生产 80 件，每件可获利润 12 元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加 2 元，但一天产量减少 4 件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ 探究新知 解：设生产 x 档次的产品时，每天所获得的利润为 w 元， 则 w = [12+2(x－1)][80－4(x－1)] = (10+2x)(84－4x) = －8x2 + 128x + 840 = －8(x－8)2 + 1352. 因为 x ≤ 9，故当 x = 8 时，w 有最大值，且w最大 = 1352. 答：该工艺师生产第 8 档次产品，可使利润最大， 最大利润为 1352 元. 探究新知 二次函数与几何面积 例3 用长为 8 m 的铝材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积 S (m2) 最大？最大透光面积是多少？(铝材宽度不计) x 解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m. 这里应有 x ＞ 0， 故 0 ＜ x ＜ . 探究新知 矩形窗框的透光面积 S 与 x 之间的函数关系式是： 即 配方得 所以，当 x = 时，函数取得最大值，最大值 S = . 因此，所做矩形窗框的宽为 m、高为 2 m 时，它的透光面积最大，最大面积是 m2. x = 满足 0 ＜ x ＜ ，这时 探究新知 知识要点 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值; 3. 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是 否在自变量的取值范围内. 探究新知 例4 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S随矩形一边长 l 的变化而变化.当 l 是多少时，场地的面积 S 最大？ 解:根据题意得 S = l (30 - l )， 即 S = -l 2 + 30l ( 0 ＜ l ＜ 30 ). 因此，当 时，S 有最大值， 此时， 也就是说，当 l = 15 m 时，场地的面积 S 最大. 探究新知 变式1 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x x 60-2x 问题2 我们可以设面积为 S ，如何设自变量？ 问题3 面积 S 与 x 的函数关系式是什么？ 问题1 变式1与例题有什么不同？ S ＝ x (60－2x) ＝ －2x2＋60x. 设垂直于墙的边长为 x m 探究新知 问题4 如何求解自变量 x 的取值范围？墙长 32 m对此题有什么作用？ 问题5 如何求最值？ 最值在其顶点处，即当 x =15 m 时，S = 450 m2. 0 ＜ 60－2x ≤ 32，即14 ≤ x ＜ 30. 探究新知 设矩形面积为 S，与墙平行的一边为 x m， 则 变式2 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x 问题1 变式 2 与变式 1 有什么异同？ 问题2 可否模仿变式 1 设未知数、列函数关系式？ 问题3 可否试设与墙平行的一边为 x 米？则如何表示 另一边与面积？ 探究新知 问题4 当 x = 30 时，S 取最大值，此结论是否正确？ 问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤ 18. 问题6 如何求最值？ 由于30 ＞ 18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当 x = 18 时，S 有最大值是 378 m2. 不正确. 探究新知 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围而定.通过变式 1 与变式 2 的对比，理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值. 方法归纳 探究新知 1. 用一段长为 15 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 18 m，这个矩形菜园的最大面积是 ______. 2. 某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元(20 ≤ x ≤ 30)出售，可卖出(600－20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为 元. 25 课堂练习 3. 进价为 80 元的某衬衣定价为 100 元时，每月可卖出2000 件，价格每上涨 1 元，销售量便减少 5 件，那么每月售出衬衣的总件数 y (件)与衬衣售价 x (元)之间的函数关系式为 .每月利润 w (元)与衬衣售价 x (元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简). y = 2000 - 5(x -100) w = [2000 - 5(x - 100)](x - 80) 课堂练习 4. 如图1，在 △ABC 中，∠B = 90°，AB = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B以 2 cm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 以 4 cm/s 的速度移动(不与点 C 重合). 如果 P、Q 分别从A、B 同时出发，那么经过 s，四边形 APQC 的面积最小. 3 A B C P Q 图1 课堂练习 5. 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费用每平方米 1000 元，设矩形的一边长为 x (m)，面积为 S (m2). (1) 写出 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值 范围； 解：(1) 因为矩形一边长为 x，则另一边长为(6 - x)， ∴S = x(6 - x) = -x2 + 6x，其中 0 ＜ x ＜ 6. 课堂练习 (2) S = - x2 + 6x = - ( x - 3 )2 + 9; ∴当 x = 3 时，即矩形的一边长为 3 m 时， 矩形面积最大，为 9 m2. 这时设计费最多，为 9×1000 = 9000 (元) (2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出 这个费用. 课堂练习 6. 某种商品每天的销售利润 y (元)与销售单价 x (元)之间满足关系：y = ax2 + bx - 75. 其图象如图. (1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1) 由题中条件可求 y = -x2 + 20x -75 ∵-1＜0，对称轴 x = 10， ∴当 x = 10时，y 值最大，最大值为 25. 即销售单价定为 10 元时，销售利润最 大，为 25 元. 7 x y 5 16 O 课堂练习 (2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润 不低于 16 元？ (2) 由对称性知 y =16 时，x = 7 和 13. 故销售单价在 7 ≤ x ≤13时，利润不低于 16 元. 课堂练习 5．如图①是一座抛物线形拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分(如图②)，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3， 点B在抛物线上，点B到 对称轴的距离是1. 考试考法 25 (1)求抛物线的表达式； 考试考法 26 (2)如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标； 考试考法 27 【解】∵点B到对称轴的距离是1， ∴将x＝1代入y＝－x2＋9， 得y＝－1＋9＝8.∴B(1，8)． 如图，作点B关于y轴的对称点B′(－1，8)，连接AB′，交y轴于点P，则点P即为所求． 考试考法 28 考试考法 (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝－x2＋2bx＋b－1(b＞0)，当4≤x≤6时，函数y的值总大于或等于9.请直接写出b的取值范围． 考试考法 30 考试考法 返回 考试考法 考试考法 33 设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P由点B运动到点A时，S是关于t的二次函数，如图②. 考试考法 34 考试考法 课堂小结 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数图象简图和性质求出. 课堂小结 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 【解】∵抛物线的对称轴与y轴重合，∴设抛物线的表达式为y＝ax2＋k.∵OC＝9，OA＝3，∴C(0，9)，A(3，0)． 将点C(0，9)，A(3，0)的坐标分别代入表达式，得解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋9. 设直线AB′的表达式为y＝mx＋n， 将A(3，0)，B′(－1，8)的坐标分别代入y＝mx＋n， 得解得 ∴直线AB′的表达式为y＝－2x＋6. 当x＝0时，y＝6，∴点P的坐标为(0，6)． 【解】b≥. 【点拨】由题意得新抛物线的对称轴是直线x＝＝b.∵－1＜0，∴抛物线开口向下．∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大，反之抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的y值越小．当0＜b＜5，4≤x≤6时，y的最小值在x＝6处取得，最小值为－62＋2×6b＋b－1＝13b－37， 由题意得13b－37≥9，解得b≥，∴≤b<5；当b≥5，4≤x≤6时，y的最小值在x＝4处取得，最小值为－42＋2×4b＋b－1＝9b－17，由题意得9b－17≥9，解得b≥，∴b≥5.综上所述，b的取值范围为b≥. 6．[2025眉山]如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，CD＝，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF. 在3个时刻t1，t2，t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t＝1时，S＝3；②点P在线段BA上时，S＝2t2－16t＋34；③AD＝4； ④t1＋t2＝4.其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 $