1.4 二次函数与一元二次方程的联系 课件-2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，通过复习一次函数与一元一次方程的关系（图象与x轴交点横坐标为方程根）类比导入，搭建前后知识支架，引导学生探究二次函数图象与x轴交点和方程根的对应关系。 其亮点是以探究活动为主线，通过画二次函数图象、表格对比交点个数与根的情况，培养几何直观和推理意识，结合铅球运动等实际问题发展模型意识。学生能深化知识联系，教师可高效落实核心素养，提升教学效果。

第 1 页：封面 标题：1.4 二次函数与一元二次方程的联系 副标题：湘教版九年级数学下册 配图：平面直角坐标系中抛物线\(y=x^2-2x-3\)与 x 轴交于 (-1,0)、(3,0)，标注方程\(x^2-2x-3=0\)的根，用虚线连接交点与根的对应关系 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识与技能 理解二次函数图象与 x 轴交点的横坐标和一元二次方程根的关系，掌握 “图象法” 求方程近似根的方法 能通过一元二次方程的判别式判断二次函数图象与 x 轴的交点个数，反之亦然 能运用二者的联系解决函数与方程的综合问题及简单实际问题 过程与方法 通过 “图象观察 — 代数推导 — 归纳验证”，经历从 “形”（函数图象）到 “数”（方程根）的转化过程 强化数形结合思想与转化思想，提升分析问题和解决综合问题的能力 情感态度 感受数学知识的内在统一性，体会 “形数结合” 的直观性与简便性，增强运用数学知识解决综合问题的信心 第 3 页：复习回顾 —— 衔接旧知 回顾提问 二次函数一般式为\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)），其图象与 y 轴的交点坐标是什么？（\((0,c)\)） 一元二次方程的一般形式是\(ax^2+bx+c=0\)（\(a≠0\)），如何判断它的根的情况？（用判别式\(\Delta=b^2-4ac\)：\(\Delta＞0\)有两个不相等实根；\(\Delta=0\)有两个相等实根；\(\Delta＜0\)无实根） 抛物线\(y=ax^2+bx+c\)与 x 轴的交点满足什么条件？（当\(y=0\)时，\(x\)的值即为交点横坐标） 情境引入 我们知道抛物线与 x 轴的交点横坐标需满足\(y=0\)，而\(y=0\)时的式子正是一元二次方程。这两个看似独立的知识之间是否存在必然联系？今天我们就来探究 “二次函数与一元二次方程的联系”。 第 4 页：探究 1—— 核心联系：交点横坐标与方程的根 以二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)）和一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a≠0\)）为例： 图象观察与代数分析 从 “形” 的角度：二次函数图象与 x 轴的交点，本质是当函数值\(y=0\)时对应的点，其横坐标记为\(x_0\)，即\((x_0,0)\)在抛物线上 从 “数” 的角度：将\((x_0,0)\)代入二次函数表达式，得\(ax_0^2+bx_0+c=0\)，这说明\(x_0\)是一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的根 核心结论 二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象与 x 轴交点的横坐标，就是对应的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的实数根 反之，一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的实数根，就是对应的二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象与 x 轴交点的横坐标 即时验证 抛物线\(y=x^2-2x-3\)与 x 轴交于 (-1,0) 和 (3,0)，方程\(x^2-2x-3=0\)的根为\(x_1=-1\)、\(x_2=3\)，二者完全对应； 抛物线\(y=x^2-4x+4\)与 x 轴交于 (2,0)（唯一交点），方程\(x^2-4x+4=0\)的根为\(x_1=x_2=2\)（相等实根），对应关系成立。 第 5 页：探究 2—— 判别式的桥梁作用：交点个数与根的情况 结合判别式\(\Delta=b^2-4ac\)，分析抛物线与 x 轴的交点个数： 分情况讨论（\(a≠0\)） 判别式\(\Delta\)的取值 一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的根的情况 二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象与 x 轴的交点个数 图象示意（以\(a＞0\)为例） \(\Delta＞0\) 两个不相等的实数根\(x_1\)、\(x_2\) 2 个交点（\((x_1,0)\)、\((x_2,0)\)） 抛物线开口向上，与 x 轴相交于两点 \(\Delta=0\) 两个相等的实数根\(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\) 1 个交点（顶点在 x 轴上，\((x_1,0)\)） 抛物线开口向上，顶点恰好落在 x 轴上 \(\Delta＜0\) 没有实数根 0 个交点（抛物线与 x 轴无交点） 抛物线开口向上，整体在 x 轴上方 逆向应用 若抛物线\(y=ax^2+bx+c\)与 x 轴有两个不同交点，则\(\Delta＞0\)，方程有两个不相等实根； 若抛物线与 x 轴只有一个交点，则\(\Delta=0\)，方程有两个相等实根； 若抛物线与 x 轴无交点，则\(\Delta＜0\)，方程无实根。 例题验证 已知二次函数\(y=-2x^2+x+3\)，计算\(\Delta=1^2-4×(-2)×3=1+24=25＞0\)，抛物线与 x 轴有两个交点，对应方程\(-2x^2+x+3=0\)的根为\(x_1=-1\)、\(x_2=\frac{3}{2}\)，符合规律。 第 6 页：探究 3—— 图象法求一元二次方程的近似根 当方程的根不易直接求解时，可通过函数图象估计根的近似值： 方法步骤 第一步：将方程转化为对应的二次函数（如方程\(x^2-2x-1=0\)转化为函数\(y=x^2-2x-1\)）； 第二步：在平面直角坐标系中画出该函数的图象； 第三步：找到图象与 x 轴交点的大致位置，估计交点横坐标的取值范围； 第四步：在取值范围内取更精确的 x 值，计算对应的 y 值，当 y 值接近 0 时，对应的 x 值即为方程的近似根。 实例演示 求方程\(x^2-3x+1=0\)的近似根（精确到 0.1）： ① 对应函数\(y=x^2-3x+1\)； ② 画图发现图象与 x 轴交于 (0.4,0) 和 (2.6,0) 附近； ③ 计算\(x=0.3\)时\(y=0.09-0.9+1=0.19\)，\(x=0.4\)时\(y=0.16-1.2+1=-0.04\)，故一个根在 0.3~0.4 之间，更接近 0.4； ④ 同理可得另一个根约为 2.6。 注意事项：图象画得越精确，估计的近似根越准确；可通过 “夹逼法” 缩小取值范围，提升精度。 第 7 页：典例精析 例题 1：判别式的综合应用 已知二次函数\(y=kx^2-6x+3\)（\(k≠0\)），回答下列问题： （1）当 k 为何值时，抛物线与 x 轴有两个不同的交点？ （2）当 k 为何值时，抛物线与 x 轴只有一个交点？此时交点坐标是什么？ （3）当 k 为何值时，抛物线与 x 轴无交点？ 解答： （1）抛物线与 x 轴有两个不同交点，则\(\Delta＞0\)且\(k≠0\)： \(\Delta=(-6)^2-4×k×3=36-12k＞0\)，解得\(k＜3\)且\(k≠0\)； （2）抛物线与 x 轴只有一个交点，则\(\Delta=0\)且\(k≠0\)： \(36-12k=0\)，解得\(k=3\)；此时函数为\(y=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\)，交点坐标为 (1,0)； （3）抛物线与 x 轴无交点，则\(\Delta＜0\)且\(k≠0\)： \(36-12k＜0\)，解得\(k＞3\)。 例题 2：函数与方程的逆向求解 已知二次函数\(y=x^2+bx+c\)的图象与 x 轴交于 A (1,0)、B (3,0) 两点，求 b、c 的值及函数的最小值。 解答： ∵ 图象与 x 轴交于 (1,0)、(3,0)，∴ 方程\(x^2+bx+c=0\)的根为\(x_1=1\)、\(x_2=3\)； 由根与系数的关系（韦达定理）：\(1+3=-b\)，\(1×3=c\)，解得\(b=-4\)，\(c=3\)； 函数表达式为\(y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1\)，当\(x=2\)时，\(y\)有最小值\(-1\)。 第 8 页：课堂练习 基础题：已知二次函数\(y=2x^2-4x-6\)，（1）求其与 x 轴的交点坐标；（2）判断方程\(2x^2-4x-6=0\)的根的情况（答案：（1）(-1,0)、(3,0)；（2）\(\Delta=16+48=64＞0\)，有两个不相等实根） 提升题：已知二次函数\(y=mx^2+(m-2)x-2\)的图象与 x 轴有交点，求 m 的取值范围（答案：当\(m=0\)时，函数为一次函数\(y=-2x-2\)，与 x 轴交于 (-1,0)；当\(m≠0\)时，\(\Delta=(m-2)^2+8m=(m+2)^2≥0\)，故 m 为任意实数） 拓展题：用图象法估计方程\(x^2-2x-2=0\)的正根（精确到 0.1，答案：约 2.7） 第 9 页：课堂小结 知识梳理（思维导图）： 二次函数与一元二次方程的联系→ 核心对应（交点横坐标↔方程实根）→ 判别式关联（\(\Delta\)→交点个数 / 根的情况）→ 应用（图象法求近似根、综合计算、实际问题） 核心结论： 二者联系的本质是 “\(y=0\)” 的桥梁作用，实现 “形”（函数图象交点）与 “数”（方程根）的转化； 判别式是连接二者的关键工具，可双向判断交点个数与根的情况； 图象法是求解方程近似根的重要手段，体现数形结合的直观优势。 第 10 页：作业布置 基础作业：教材 P42 第 1、3 题（判别式应用 + 交点与根的对应） 提升作业：已知二次函数\(y=-x^2+2x+m\)的图象与 x 轴交于两点 A、B，且 AB=4，求 m 的值 实践作业：在平面直角坐标系中画出函数\(y=x^2-5x+4\)的图象，标出与 x 轴的交点，写出对应方程\(x^2-5x+4=0\)的根，并验证二者的对应关系 2025-2026学年湘教版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 第1章 二次函数 a i T u j m i a N g (1) 一次函数 y＝x＋2 的图象与 x 轴的交点为( ， )， 一元一次方程 x＋2＝0 的根为________. (2) 一次函数 y＝－3x＋6 的图象与 x 轴的交点为( ， )， 一元一次方程 －3x＋6＝0 的根为_______. 问题一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点与一元一次 方程 kx＋b＝0 的根有什么关系？ 一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一 元一次方程 kx＋b＝0 的根. 复习引入 －2 0 －2 2 0 2 情景导入 那么二次函数与一元二次方程有什么关系呢，接下来我们一起探讨. 情景导入 探究 问题1 画出二次函数 的图象： 你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？ (-1,0) 与 (3,0) (-1,0) (3,0) 一 二次函数与 x 轴的交点与一元二次方程的根的关系 探究新知 问题2 二次函数 y = x2-2x-3 与一元二次方程 x2-2x-3 = 0又有怎样的关系？ 当 x = -1时，y = 0，即 x2 - 2x -3 =0，也就是说，x = -1是一元二次方程 x2 -2x-3=0 的一个根； 同理，当 x = 3 时，y = 0，即 x2 - 2x - 3 = 0，也就是说，x = 3 是一元二次方程 x2 - 2x -3 = 0 的一个根. 探究新知 知识要点 一般地，如果二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点( x1，0)，( x2，0 )，那么一元二次方程ax2 +bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1，x2. 探究新知 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 问题3 观察图象，完成下表： 抛物线与 x 轴交点个数 交点的 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 0个 2个重合的点 x2-x+1=0无解 3 x2-6x+9=0，x1=x2=3 探究新知 二次函数 y = ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c = 0 的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2 -4ac＞0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac＜0 二次函数 y = ax2+bx+c 与 x 轴交点与一元二次方程 ax2+bx+c = 0 根的关系 知识要点 探究新知 典例精析 例1 二次函数 y＝kx2－6x＋3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是(　　) A．k＜3 B．k＜3 且 k≠0 C．k≤3 D．k≤3 且 k≠0 D 探究新知 1. 若二次函数 y = ax2 + b 的图象经过点( -2，0)，则关 于 x 的方程 a( x - 2)2 + b = 0 的实数根为 (　　) A．x1 = 0，x2 = 4 B．x1 = -2，x2 = 6 C．x1 = ，x2 = D．x1 = -4，x2 = 0 针对训练 A 探究新知 例2 求一元二次方程 的根的 近似值(精确到 0.1). 分析：一元二次方程 x² -2x-1=0 的根就是抛物线 y = x² -2x-1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 典例精析 利用二次函数确定一元二次方程的近似根 探究新知 解：画出函数 y = x² -2x-1 的图象(如下图)，由图象可知，方程有两个实数根，一个在 -1 与 0 之间，另一个在 2 与 3 之间. 探究新知 先求位于 -1 到 0 之间的根，由图象可估计这个根是 -0.4 或 -0.5，利用计算器进行探索，见下表： x … -0.4 -0.5 … y … -0.04 0.25 … 观察上表可以发现，当 x 分别取 -0.4 和 -0.5 时，对应的 y 由负变正，可见在 -0.5 与 -0.4 之间肯定有一个 x 使 y = 0，即有 y = x2 - 2x -1 的一个根，题目只要求精确到 0.1，这时取 x = -0.4 或 x = -0.5 都符合要求.但当 x = -0.4 时更为接近 0. 故 x1 ≈ -0.4. 同理可得另一近似值为 x2 ≈ 2.4. 探究新知 例3 如图，小丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅 球离地面的高度. 用二次函数与一元二次方程的关系 解决实际问题 典例精析 探究新知 解：(1) 由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为 2.1 m时，它离初始 位置的水平距离是 1 m或 5 m. (1) 当铅球离地面的高度为 2.1 m时，它离初始位置的水平距离是多少？ 探究新知 (2) 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为 2.5 m时，它离初始位 置的水平距离是 3 m. 探究新知 (3) 由抛物线的表达式得 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到 3 m. (3) 铅球离地面的高度能否达到 3 m？为什么？ 探究新知 一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了. 探究新知 判断方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0，a，b，c为常数)一个解 x 的范围是( ) A. 3＜ x ＜ 3.23 B. 3.23 ＜ x ＜ 3.24 C. 3.24 ＜ x ＜ 3.25 D. 3.25 ＜ x ＜ 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1. 根据下列表格的对应值: 课堂练习 2．若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 -x2 + 2x + k = 0 的一个解 x1=3，则另一个解 x2= ； -1 y O x 1 3 3. 一元二次方程 3x2+x－10 = 0 的两个根是 x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y = 3x2+x－10 与 x 轴的交点坐标是 (-2，0)、 ( ，0) . 课堂练习 4. 若一元二次方程 无实根，则抛物线 位于（ ） A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限 C. x 轴下方 D.第二、三、四象限 A 课堂练习 5. 已知二次函数 的图象，利用图象回 答问题： (1) 方程 的解是什么？ (2) x 取什么值时，y ＞ 0 ？ (3) x 取什么值时，y ＜ 0 ？ x y O 2 4 8 解：(1) x1=2，x2=4； (2) x＜2 或 x＞4； (3) 2＜ x ＜4. 课堂练习 6. 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为 7 米，当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面 3 米． (1) 建立如图所示的平面直角坐 标系，问此球能否准确投中？ 课堂练习 解：(1) 由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为 A(0， )，B(4，4)，C(7，3)，其中 B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为 y＝a(x－h)2＋k，将点 A、B 的坐标代入，可得y＝－ (x－4)2＋4. 将点 C 的坐标代入上式，得左边＝3， 右边＝－ (7－4)2＋4＝3， 左边＝右边， 即点 C 在抛物线上．所以此球一定能投中； 课堂练习 (2) 此时，若对方队员乙在甲面前 1 米处跳起盖帽 拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米，那么他能否 获得成功？ (2) 将 x＝1 代入函数关系式，得 y＝3. 因为 3.1＞3， 所以盖帽能获得成功． 课堂练习 返回 B 1．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－2＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，则二次函数y＝2(x＋m－3)2－2的图象的对称轴为(　　) A．直线x＝－4 B．直线x＝4 C．直线x＝1 D．直线x＝－1 考试考法 26 2．下表是二次函数y＝x2－4x＋c的自变量x与函数值y的若干组对应值： 则下面是关于x的方程x2－4x＋c＝0的一个近似根(精确到0.1)的是(　　) A．3.0　 B．3.1 C．3.2 D．3.3 C 返回 x … 0.7 0.8 0.9 1.0 … y … 0.30 0.05 －0.18 －0.39 … 考试考法 27 返回 D 考试考法 28 考试考法 29 【点拨】∵二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴的一个交点为(1，0)，易得对称轴为直线x＝－1，∴二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴的另一个交点为(－3，0)．∴方程ax2＋2ax＋c＝0(a≠0)的解为x1＝1，x2＝－3. 考试考法 【答案】C 返回 考试考法 5. 已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)，则x1，x2，x3，x4的大小关系为___________．(用“<”连接) 返回 x1<x3<x4<x2 考试考法 32 1，0，－1，2 考试考法 33 考试考法 返回 考试考法 7. 我们规定形如y＝|ax2＋bx＋c|(a>0)的函数叫作“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”y＝|x2－4x＋3|的图象， 考试考法 36 根据图象，给出以下结论：①图象关于直线x＝2对称；②关于x的不等式|x2－4x＋3|>0的解集是x<1或x>3； ③当k<1时，关于x的方程|x2－4x＋3|＝k有四个实数解； ④当x<1时，函数y＝|ax2＋bx＋c|(a>0)的y值随x值的增大而减小．其中正确的是________．(填序号) ① 考试考法 37 【点拨】根据函数的特征可知图象关于直线x＝2对称，故①正确，符合题意；由“元宝型函数”y＝|x2－4x＋3|的图象可知，当x≠1且x≠3时，图象位于x轴上方，∴关于x的不等式|x2－4x＋3|>0的解集是x≠1且x≠3，故②错误，不符合题意；当x＝2时，y＝|x2－4x＋3|＝1，由题图可得，当0<k<1时，关于x的方程|x2－4x＋3|＝k有四个实数解，故③错误，不符合题意； 考试考法 返回 由题图可知，函数y＝|ax2＋bx＋c|(a>0)的y值随x值的变化情况取决于函数在x<1时的增减性，并不一定是当x<1时，y值随x值的增大而减小，故④错误，不符合题意．综上所述，正确的是①. 考试考法 8．已知抛物线y＝x2－(m＋n)x＋4m经过定点(4，8)，且当x取任意实数时，y的值始终为正数，则m 的取值范围为________________． 考试考法 40 返回 考试考法 9. 现定义：对于一个数a，我们把{a}称为a的“邻一数”，若a≥0，则{a}＝a－1；若a＜0，则{a}＝a＋1.例如：{1}＝1－1＝0，{－0.5}＝－0.5＋1＝0.5.已知函数y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}，当直线y＝x＋b与该函数的图象有4个交点时，b的取值范围是(　　) A．4≤b＜5 B．4＜b＜5 C．4≤b≤5 D．b＞4 考试考法 42 【点拨】由题知y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}＝－x2－3＋1＋3(|x|＋3－1)＝－x2＋3|x|＋4， 其图象如图． 当x＞0时，y＝－x2＋3x＋4， 令x＝0，则y＝4， 考试考法 43 返回 ∴当直线y＝x＋b过点(0，4)时，与函数y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}的图象有3个交点．令x＋b＝－x2＋3x＋4，即x2－2x－4＋b＝0，当直线y＝x＋b与抛物线y＝－x2＋3x＋4有1个公共点时，(－2)2－4(－4＋b)＝0，解得b＝5.由图象可得当4<b<5时，直线y＝x＋b与函数y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}的图象有4个交点． 【答案】B 考试考法 44 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y = ax2+bx+c(a ≠ 0)，当 y 取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c = 0(a ≠0)，右边换成 y 时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与 x轴的交点个数 一元二次方程根的情况 判别式 的符号 课堂小结 二次函数图象 由图象与 x 轴的交点位置， 判断方程根的近似值 一元二次方程的根 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 3．[2025长沙雨花区模拟]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点A(0，2)，其对称轴是直线x＝，则不等式ax2＋bx＋c≤2的解集是(　　) A．x≤0 B．x≤－1或x≥2 C．0≤x≤1 D．x≤0或x≥1 4． 如图，二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴相交于点(1，0)，则方程cx2＋2ax＋a＝0的根为(　　) A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝－ D．x1＝－1，x2＝ 方程两边同除以x2可得a＋2a·＋c＝0，设＝t，可得ct2＋2at＋a＝0，∴t1＝1，t2＝－.由上可得，方程cx2＋2ax＋a＝0的两个根为x1＝1，x2＝－.故选C. 6． 已知关于x的函数y＝(m－1)x2＋2x＋m的图象与坐标轴有且只有两个交点，则m＝______________. 【点拨】①当m－1＝0，即m＝1时，函数为y＝2x＋1，与坐标轴有两个交点；②当m－1≠0时，若m＝0，则函数为y＝－x2＋2x，函数图象经过坐标原点，与坐标轴有两个交点；若m≠0，顶点在x轴上，则函数图象与坐标轴有两个交点，此时b2－4ac＝(2)2－4m(m－1)＝0，即m2－m－2＝0，解得m1＝－1，m2＝2. 综上所述，函数图象与坐标轴有且只有两个交点时，m＝1，0，－1，2. 6－4<m<6＋4 【点拨】将(4，8)代入抛物线的表达式，得8＝16－(m＋n)×4＋4m, 解得n＝2.∴y＝x2－(m＋n)x＋4m＝x2－mx－2x＋4m.又∵当x取任意实数时，y的值始终为正数，∴(－m－2)2－16m＝m2－12m＋4<0，解得6－4<m<6＋4. $