24.4.3利用坡度与坡角解直角三角形（教学课件）数学华东师大版九年级上册

华东师大版·九年级上册 24章解直角三角形 24.4解直角三角形的实际应用 24.4.3利用坡度与坡角解直角三角形 第二十三章 相似三角形 学 习 目 标 1 2 3 理解坡度（坡比）、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系i ==tana，能利用坡度、坡角结合解直角三角形的知识解决实际工程问题。 通过实际工程问题的探究，经历 “实际问题 - 数学建模 - 求解验证” 的过程，培养学生的建模思想、逻辑推理能力和应用意识。 感受数学在工程建设中的应用，体会数学的实用性，激发学生学习数学的兴趣，培养学生分析问题和解决问题的能力。 新知导入 在这些工程设计图纸上，都要注明斜坡的倾斜程度，这个倾斜程度用什么来表示呢？如何利用数学知识来描述和计算斜坡的相关数据呢？今天我们就来学习坡度与坡角的概念及其在解直角三角形实际应用中的作用。 新知探究 探究1 坡度（坡比）、坡角的概念 问题 1：什么是坡度（坡比）和坡角？它们之间有什么关系？ α l h i= h : l 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l . 坡面 水平面 新知探究 探究1 坡度（坡比）、坡角的概念 问题 1：什么是坡度（坡比）和坡角？它们之间有什么关系？ α l h i= h : l 坡面 水平面 3.坡度与坡角的关系： i= tana= tana= a越大，i越大 因此，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡。 新知探究 探究1 坡度（坡比）、坡角的概念 做一做 1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α =___度. 2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____. 3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. α l h 30 1 : 1 新知探究 探究2 利用坡度、坡角解直角三角形的实际应用 问题 2：如何利用坡度、坡角结合解直角三角形的知识解决实际工程问题？ (1) 将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形的问题,也就是建立适当的数学模型); (2) 根据条件的特点,适当选用锐角三角函数,运用直角三角形 的有关性质,解直角三角形; (3) 得到数学问题的答案; (4) 得到实际问题的答案. 典例解析 例4 如图 24. 4. 6,一段路基的横断面是梯形,高 为 4. 2 米,上底宽为 12. 51 米,其坡面的坡角分别是 32° 和 28°. 求路基下底的宽. (精确到 0. 1 米) 过程思路： 1.分析实际问题，构建数学模型： 2.根据已知条件，选择合适的三角函数 在Rt三角形ADE中，已知∠A的对边DE=4.2米 ∠A=32°，求∠A的邻边AE 选择∠A的tan值，tanA=,则AE= 典例解析 例4 如图 24. 4. 6,一段路基的横断面是梯形,高 为 4. 2 米,上底宽为 12. 51 米,其坡面的坡角分别是 32° 和 28°. 求路基下底的宽. (精确到 0. 1 米) 过程思路： 2.根据已知条件，选择合适的三角函数 在Rt三角形BCE中，已知∠B的对边CF=4.2米 ∠B=28°，求∠B的邻边BF 选择∠B的tan值，tanB=,则BF= 典例解析 例4 如图 24. 4. 6,一段路基的横断面是梯形,高 为 4. 2 米,上底宽为 12. 51 米,其坡面的坡角分别是 32° 和 28°. 求路基下底的宽. (精确到 0. 1 米) 过程思路： 3.代入数值，得出数学答案 4.得到实际问题的答案 典例解析 例4 如图 24. 4. 6,一段路基的横断面是梯形,高 为 4. 2 米,上底宽为 12. 51 米,其坡面的坡角分别是 32° 和 28°. 求路基下底的宽. (精确到 0. 1 米) 解题步骤： 解：作DE ⊥AB, CF ⊥ AB,垂足分别为点E、 F. 由题意可知 DE = CF = 4. 2, EF = CD = 12. 51. 在Rt△ADE中, ∵=4A.E2= tan 32°, ∴AE=≈6.72 在Rt△BCF中，同理可得 ∴BF=≈7.90 ∴AB=AE+EF+BF ≈6.72+12.51+7.90 ≈27.1（米） 答：路基下底的宽约为27.1米。 新知探究 探究2 利用坡度、坡角解直角三角形的实际应用 做一做 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)； A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4， 由计算器可算得α≈22°. 故斜坡CD的坡角α 为22°. 新知探究 探究2 利用坡度、坡角解直角三角形的实际应用 解：分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别 为E， F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m. 在Rt△ABE中， (2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m). E F A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 新知探究 探究2 利用坡度、坡角解直角三角形的实际应用 =69+6+57.5=132.5 (m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 在Rt△DCF中，同理可得 故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m. E F A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 课堂练习 1.已知一坡面的坡度i=1∶，则坡角α为（　　） A.15° B.20° C.30° D.45° C 2.如图，C，D分别表示的是一个湖泊的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，村庄D位于村庄C的北偏东30°方向上.若CD=8 km，则该湖泊南北两端的距离AB为　　　　km.  4 课堂练习 3.如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tan α=，在距离山脚C 200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，则小山岗的高AB是　 　米（结果取整数，参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50）.  300 课堂练习 4.如图，在某东西走向的A，B两地之间修一条笔直的公路，在A处测得某农户C在A的北偏东68°方向上.在B处测得该农户C在B的北偏西45°方向上.A，B两地相距2 400米，求农户C到公路AB的距离. 课堂练习 解：作CH⊥AB于点H.设CH=x米， 由已知易得∠CAH=22°，∠CBH=45°. 在Rt△BCH中，BH=CH=x米， 在Rt△HAC中，tan∠HAC=， ∴AH=≈米， ∵AH+HB=AB，∴x+x=2 400， 解得x=，∴农户C到公路AB的距离约为米. 课堂练习 5.如图，湖中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20海里到达C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线BC的距离为　　　　海里.  10 课堂练习 6.某校组织一次定向越野拉练活动.如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A.点B在点A的南偏东25°方向3 km处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC=45°，求检查点B和C之间的距离. 课堂练习 解：如图，过点A作AH⊥BC于点H， 由题意得∠BAC=180°-80°-25°=75°， 由作图得∠AHB=90°，又∠B=45°，∴∠BAH=45°， ∴∠CAH=∠BAC-∠BAH=75°-45°=30°， 在Rt△ABH中，∵∠B=45°， ∴AH=BH=AB=×3=3（km）， 在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，∴CH=AH=×3=（km）， ∴检查点B和C之间的距离BC=BH+CH=（3+）km. 课堂练习 7.如图，建筑物FD在小山上，小山的斜坡AB的坡比为1∶，在建筑物顶部有一座避雷塔EF，在坡底A处测得避雷塔顶端E的仰角为45°，在山顶B处测得建筑物顶端F的仰角为60°，E，F，D在同一条垂直于地面的直线上，BD∥AC， AB=1 000 m，BD=250 m. （1）小山BC的高度为　　　　m； 500 课堂练习 解：如图，过点D作DG⊥AC，垂足为点G， ∴∠DGA=∠BCA=90°，∴BC∥DG， 又∵BD∥AC，∴四边形BCGD是矩形， ∴BC=DG=500 m，CG=BD=250 m， ∵在Rt△ABC中，AC=AB·cos 30°=1 000×=500（m）， ∴AG=（500+250）m， ∵E，F，D在同一条垂直于地面的直线上，∠EAC=45°， ∴EG⊥AC，∴△AGE是等腰直角三角形，∴EG=AG=（500+250）m， ∵在Rt△BDF中，FD=BD·tan 60°=250×=250（m）， ∴EF=EG-FD-DG=500+250-250-500=250（-1）≈182.5（m）， ∴避雷塔EF的高度约为182.5 m.  （2）求避雷塔EF的高度（结果精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73）. 课堂总结 数学思想：建模思想、转化思想 解直角三角形的实际应用——坡度与坡角 概念 坡度（坡比）：坡面铅垂高度(h)与水平长度(l)的比，(i = ) 坡角：坡面与水平面的夹角，记作a关系：(i = tana)，坡度越大，坡角a越大，坡面越陡 解题步骤 画示意图，构建数学模型（直角三角形或矩形与直角三角形的组合） 明确直角三角形中的已知元素（边、角、坡度） 利用三角函数定义或坡度与坡角的关系求解未知元素 结合实际问题，得出最终结果 感谢聆听! $