专题02 二次函数（期中复习讲义）九年级数学上学期人教版

专题02 二次函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的定义及其一般表达式 ①准确判断二次函数 ②根据二次函数的定义求值 常考小题 二次函数的图图象与性质 会用描点法画图；掌握抛物线（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）与系数a， b，c的关系 基础必考点，二次函数的考题中均涉及该考点（重点） 二次函数的几何变换 确定二次函数平移前后的函数解析式以及平移的过程 常考小题与综合题 待定系数法求函数解析式 ①二次函数的三种形式及其转换 ②根据不同的已知条件选择合适的函数解析式求解 ①二次函数形式之间的转换考小题 ②待定系数法求函数解析式考大题（必考点） 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 常考小题与综合题 二次函数的综合应用 ①二次函数实际应用的各种类型 ②抛物线型问题 ③二次函数与几何：最值问题；存在性问题；与一次函数的交点问题 综合题（难点） 知识点01二次函数的定义及其一般表达式 1. 二次函数的定义： 形如的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。 其中：是自变量，是函数解析式的二次项系数；是函数解析式一次项系数；是函数解析式的常数项。又是二次函数的一般形式。 判断二次函数时，把二次函数化为一般形式，右边一定要是整式，最高次数是2且二次项系数不等于0。 知识点02 二次函数的图象与性质 二次函数形式 一般式 （a≠0） 顶点式 （a≠0） 两点式 （a≠0） 开口方向 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 开口大小 的绝对值越大，开口越小 的绝对值越小，开口越大 顶点坐标 对称轴（函数值相等的两个点一定关于对称轴对称） 离对称轴越远函数值越大； 离对称轴越近函数值越小 离对称轴越远函数值越小； 离对称轴越近函数值越大 离对称轴越远函数值越大； 离对称轴越近函数值越小 离对称轴越远函数值越小； 离对称轴越近函数值越大 离对称轴越远函数值越大； 离对称轴越近函数值越小 离对称轴越远函数值越小； 离对称轴越近函数值越大 增减性 对称轴右边y随x的增大而增大。 对称轴左边y随x的增大而减小。 对称轴右边y随x的增大而减小。 对称轴左边y随x的增大而增大。 对称轴右边y随x的增大而增大。 对称轴左边y随x的增大而减小。 对称轴右边y随x的增大而减小。 对称轴左边y随x的增大而增大。 对称轴右边y随x的增大而增大。 对称轴左边y随x的增大而减小。 对称轴右边y随x的增大而减小。 对称轴左边y随x的增大而增大。 最值 函数有最小值，这个值是。 函数有最大值这个值是。 函数有最小值，这个值是。 函数有最大值这个值是。 与y轴交点坐标 （0，c） 知识点03 二次函数的几何变换 1. 函数平移规律： 函数分为左右平移和上下平移；左右平移在自变量上进行加减，规律为左加右减；上下平移在函数解析式整体上进行加减，规律为上加下减。 2. 与之间的平移： 可将进行上下平移个单位同时再左右平移h个单位得到函数。 知识点04 待定系数法求二次函数解析式 1. 二次函数的三种形式： （1） 一般式： 由定义可知，二次函数的一般式为。 （2） 顶点式： 能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。 即。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为。 （3） 两点式（交点式）： 能直接得到二次函数与轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交点式。即。此时二次函数与轴的两个交点坐标分别为与。二次函数的对称轴为。函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 （4） 二次函数的一般式转化为顶点式： 利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下： ＝ →第一步：提二次项系数； ＝ →第二步：配方：配一次项系数的一半的平方； ＝ →第三步：写成完全平方形式； ＝ →第四步：写成顶点式形式。 2. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为。 （2） 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 （4） 反带：将未知系数反带入函数解析式。 知识点05 二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与轴的交点（二次函数与一元二次方程）： 与轴有两个交点有2个不相等的实数根根的判别式＞0。 与轴有1个交点有2个相等的实数根根的判别式=0。 与轴没有交点没有实数根根的判别 ＜0。 二次函数图象与x轴的交点横坐标即为一元二次方程的解。 2. 与（m为常数且不为0）的交点： ①若与有两个交点，则方程的根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根。 ②若与有一个交点，则方程的根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根。 ③若与没有交点，则方程的根的判别式小于0，方程没有实数根。 3. 与（m为常数且不为0）的交点： ①若与有两个交点，则方程的根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根。 ②若与有一个交点，则方程的根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根。 ③若与没有交点，则方程的根的判别式小于0，方程没有实数根。 知识点06 二次函数的综合应用 1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式． ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题． ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论． ⑥答：写出答案。 2. 二次函数与图形面积问题： 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 3. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题： （1） 建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。 （2） 从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。 （3） 利用待定系数法求函数表达式。 （4） 运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 4. 二次函数与等腰（或直角）三角形的存在性问题： （1） 明确构成三角形的三个点； （2） 利用两点间的距离公式表示出三边的距离； （3） 若构成等腰三角形，则利用两两相等建立方程求解；若构成直角三角形，则利用勾股定理建立方程求解。 5. 二次函数与平行四边形的存在性问题： （1） 明确构成平行四边形的四个点及其相应的对角线； （2） 利用相应的对角线的端点坐标结合中点坐标公式建立方程求解。 题型一 判断二次函数以及利用二次函数的定义求未知系数 解｜题｜技｜巧 根据二次函数的最高次数是2以及二次项系数不等于0建立等量关系或不等关系进行求解 【典例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．s＝2t2﹣2t+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y 【变式1】若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≠0 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠2 【变式2】（2025春•丰城市校级期中）若y＝（m+2）（m﹣2）x+m是关于x的二次函数，则m的值为 　 　 ． 题型二 二次函数的图象与性质 解｜题｜技｜巧 ①函数图象的共存问题：假设其中一个函数成立来推导字母系数的取值，在利用推导出来的字母系数带入另一个函数，看看另一个函数是否满足； ②函数图象上的点的特征：先判断函数的开口方向与对称轴，在判断每一个点到对称轴的距离，再根据点到对称轴的距离来判断函数值的大小； 【典例1】（2025春•鄞州区校级期中）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+5，下列结论正确的是（　　） A．其图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣1 C．函数的最大值为3 D．当x≥1时，y随x的增大而增大 【变式1】（2024秋•东胜区期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 5 7 … y … ﹣4 4 5 4 ﹣4 … 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝5 C．当x＞5时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为（5，4） 【典例2】（2025春•电白区期中）如图，函数y＝ax2+3x+2和y＝﹣ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025春•张家港市校级期中）已知二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝2x的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【典例3】（2025春•冷水江市期中）若二次函数y＝ax2﹣3ax+c（a＞0）的图象经过点A（0，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【变式1】（2025春•集美区校级期中）已知抛物线y＝mx2+2mx+1，m＞0上有点A（t﹣2，y1），B（t，y2），C（t+1，y3），D（t+2，y4），则下列结论正确的是（　　） A．若y2＞0，总有y1＞0 B．若y2＜0，总有y3＞0 C．若y1y2＜0，总有y4＞0 D．若y3y4＞0，总有y2＞0 【变式2】（2025春•鄞州区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（5，0），图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）．若当x1＜﹣1＜x2＜5＜x3时，均有y1＞y3＞y2，则下列说法中正确的是（　　） A．a＜0 B．x＝2时，y有最大值 C．y1y2y3＜0 D．|x1﹣2|＜|x3﹣2| 题型三 二次函数的平移 解｜题｜技｜巧 按照平移规律在自变量或函数解析式后进行加减，若有需要时，把函数解析式化为一般形式。 【典例1】（2025春•田阳区期中）把抛物线y＝﹣2x2先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+6）2+2 B．y＝﹣2（x+6）2﹣2 C．y＝﹣2（x﹣6）2+2 D．y＝﹣2（x﹣6）2﹣2 【变式1】抛物线y＝x2+2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+2）2﹣6 B．y＝（x+2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2﹣6 D．y＝（x﹣2）2﹣2 【变式2】二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象可以由y＝2x2的图象平移得到：先向__平移2个单位，再向___平移1个单位．（　　） A．右，上 B．右，下 C．左，上 D．左，下 题型四 二次函数与一元二次方程 解｜题｜技｜巧 结合交点数量与∆的取值范围的关系解决问题。 【典例1】（2025春•丰城市校级期中）若关于x的函数y＝（a+2）x2+4x﹣4的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．﹣3或﹣2 【变式1】（2025春•长沙期中）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（　　） A．k B．k C．k D．k 且k≠0 【变式2】（2025春•长沙期中）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8 题型五 二次函数图象与系数的关系 解｜题｜技｜巧 ①利用二次函数的基本性质； ②对称轴与±1的关系； ③函数的交点与∆的取值范围的关系； ④自变量等于±1、±2及±3时的函数值； ⑤函数的最值； ⑥一元二次方程根于系数的关系。 易｜错｜点｜拨 在遇到非常规式子的考核时，需要用基本式子进行转换得到。 【典例1】（2025春•鼓楼区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下说法：①a＞0；②4a+2b+c＞0；③4a+b＝0；④当x＜2时，y随x的增大而减小．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b≥n（an+b），⑤2c＜3b．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六 二次函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 ①利润问题：结合一元二次方程的利润问题解决； ②面积问题：结合一元二次方程的面积问题解决； ③抛物线型问题：建立合适的坐标系，求函数解析式，再利用函数的性质解决问题； 易｜错｜点｜拨 在解决抛物线型问题时，首先要弄清楚实际问题转换成数学问题时所对应的二次函数的性质 【典例1】（2025春•慈溪市期中）在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕，当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元． （1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为8.64元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少． （2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元． （3）要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元？并求出最大销售额． 【典例2】（2025春•海曙区校级期中）综合与实践 矩形菜园最大面积探究 情境 数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题．若校园空地上有一面墙（长度12m），用22m长的篱笆围出一个矩形菜园． 问题初探 如图1，兴趣小组利用墙（不超过墙长）和22m长的篱笆围出矩形菜园ABCD，设CD＝x m，矩形菜园的面积为Sm2．完成下题： （1）BC＝　 　 m．（用含x的代数式表示） （2）若矩形菜园面积为56m2时，则AB的长为多少米？ 问题续探 矩形菜园面积能否超过56m2？如果能，请在图2中画出矩形菜园面积最大的方案示意图（标注边长）． 【典例3】（2025春•新野县期中）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系h＝20t﹣5t2． （1）当小球的飞行时间为1.5s时，小球的飞行高度是多少m？ （2）若小球的飞行高度不低于10m的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长． （3）在小球的飞行过程中，先后有两个时刻小球高度相同，这两个时刻的时间间隔为2s，求这两个时刻小球的飞行高度． 【变式1】（2025春•兖州区期中）某施工队要建立一个高速公路隧道，施工前利用软件作出一个横断面的隧道工程图（如图1所示），并且知道抛物线经过原点． （1）求抛物线解析式（不必写出取值范围），求出其顶点坐标； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2米、高1.8米的车辆？请通过计算说明； （3）工程队在施工时，需要在隧道门口搭建一个矩形施工架EFGH，使点E，H在抛物线上．点F，G在地面OM线上（如图2所示）．为了准备工程材料，需计算施工架三根钢杆EF，EH，HG的长度之和的最大值是多少，请你帮工程队计算一下． 题型六 二次函数的综合应用 解｜题｜技｜巧 ①求函数解析式时，若已知任意的三个点则选择一般式；若已知顶点则选择顶点式；若已知与x轴的交点则用交点式。 ②动轴动区间最值问题：确定二次函数的开口方向与对称轴，在利用自变量取值范围端点值与对称轴的距离建立不等式进行求解。 ③线段面积最值问题：（1）线段最值问题：过动点作平行于y轴的垂线，找到另一个交到，用两点之间的距离公式表示出线段的距离，再根据距离表达式求出最值； （2）面积最值问题：在线段最值问题的基础上，把线段当做三角形的底，另两个点的水平距离当做三角形的高表示出三角形的面积，再求出面积最值。 ④三角形的存在性质问题：明确三角形的三个点，再用两点之间的距离公式表示出三边的距离，再根据满足的三角形的性质建立方程求解。 ⑤平行四边形的最值问题：明确构成平行四边形的四个点及其坐标，再利用两两作为对角线求出中点坐标，利用中点坐标相等建立方程求解。 【典例1】已知y＝x2﹣4x+3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值． 【变式1】已知抛物线y＝x2+ax+a+1经过点A（﹣2，3）． （1）求a的值； （2）已知点P（m，yP），Q（m﹣4，yQ）均在该抛物线上． ①若m＝0，请直接比较yP与yQ的大小关系； ②当﹣3≤x≤m时，函数y的最大值是6，最小值是2，求m的取值范围． 【典例2】（2025春•丰城市校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（﹣2，0），点B（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当S△MBC取得最大值时，求点M的坐标； （3）在抛物线上是否存在点P，使三角形ABP的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例3】如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0），与直线y＝x﹣4交于B，D两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若△AMN是等腰直角三角形，求点M的坐标． 【典例4】抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数解析式和直线AC的解析式； （2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．若点P的横坐标为x，请用x的式子表示PE，并求PE的最大值； （3）如图2，点M是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点M的坐标． 题型三（跨章节/学科题型） 易｜错｜点｜拨 解决跨学科题型时，一定要结合相应学科相应知识点，不能单一的只考虑数学问题 【典例1】某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（　　） A．160W B．180W C．200W D．220W 【典例2】综合与实践 【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题． （1）通过观察以下一位数的积：1×9，2×8，…，8×2，9×1．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 　 　 ．（只需填符合的算式，不需要算出结果） （2）通过观察以下两位数的积：11×19，12×18，…，18×12，19×11．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 　 　 ．（只需填符合的算式，不需要算出结果） 【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想． 【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，R1＝2Ω，R2＝3Ω，滑动变阻器的最大电阻R3＝5Ω，其等效电路图如图2所示，其中Rap+Rbp＝R3，在滑片从a端滑到b端的过程中，设Rap＝xΩ，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值． 【典例3】九年级学生小林进行跨学科自主学习活动，他利用函数的相关知识在实验场景A和实验场景B下做对比，研究某种化学试剂的挥发情况．若当实验过程中该试剂挥发时间为x分钟时，在实验场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2 （单位：克）．记录y1，y2与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 10 15 20 … y1（克） 25 23.5 20 14.5 7 … y2（克） 25 20 15 10 5 … 请你协助小林将探究过程补充完整： （1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象； （2）进一步探究发现，实验场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足二次函数：y1＝ax2﹣0.1x+c；实验场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足一次函数y2＝kx+25，则a＝　 　 ，c＝　 　 ，k＝　 　 ； （3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于5克时，才能发挥有效作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥有效作用的时间分别为xA，xB，则xA　 　 xB（填“＞”，“＝”或“＜”）． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．二次函数y＝2（x﹣2）2﹣1图象的顶点坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 2．将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（　　） A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+3）2+1 D．y＝（x+3）2﹣5 3．对于二次函数y＝﹣x2+2x+3，下列说法不正确的是（　　） A．当x＝1时，y有最大值2 B．当x≥1时，y随x的增大而减小 C．开口向下 D．函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0） 4．设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y＝﹣2x2+m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3 5．（2025春•北林区校级期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y，则他将铅球推出的距离为（　　） A．3m B．4m C．7m D．10m 6．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 8．老师给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是（　　） x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．x＝3是方程ax2+bx+c+5＝0的一个根 C．当﹣2＜x＜4时，y＜0 D．若A（x1，5），B（x2，6）是该抛物线上的两点，则x1＜x2 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫作“鹊桥”函数．某同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），则下列结论错误的是（　　） A．图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3） B．图象的对称轴是直线x＝1 C．当﹣1≤x≤1和x≥3时，函数值y随x的增大而增大 D．函数的最小值是0，最大值是4 10．关于x的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．（2025春•濉溪县期中）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0）．将二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3，则n的值是（　　） A．或 B．或 C．1 D． 12．（2025春•东台市期中）若实数x，y，m满足x+y＝2，2xy+m＝6，则代数式8xy+10的最大值为　 　 ． 13．已知点A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为 　 　 ． 14．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c． （1）若该函数的图象经过点A（﹣1，2），B（1，﹣2）． ①求该函数的表达式及顶点坐标． ②当﹣1≤x≤m时，该函数的最大值与最小值的差为3，求m的值． （2）若点P（﹣2，s），Q（n﹣4，r）都在该函数图象上，且s＞r，求n的取值范围． 15．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B、点C在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．（2025春•招远市期中）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： （1）【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为OH＝1.6m，把绿化带截面抽象为矩形DEFG，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度DE＝2m，竖直高度EF＝1m，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段OD的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为y1，y2．上边缘抛物线y1的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，求上边缘抛物线y1的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程OC； ②下边缘抛物线y2可以看作由上边缘抛物线y1向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B的坐标； （2）【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFG位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），利用上述信息直接写出OD的取值范围． 18．（2025春•冷水江市期中）已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线Q1上一点． （1）求抛物线Q1的表达式； （2）如图，连接BC，交抛物线Q1的对称轴于点D，连接AC，CP，AD，DP，求四边形ACPD面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的情况下，将抛物线Q1向右平移个单位长度，得到抛物线Q2，M为抛物线Q2对称轴上一点，N为抛物线Q2上一点，若以A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点N的坐标． 15/15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的定义及其一般表达式 ①准确判断二次函数 ②根据二次函数的定义求值 常考小题 二次函数的图图象与性质 会用描点法画图；掌握抛物线（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）与系数a， b，c的关系 基础必考点，二次函数的考题中均涉及该考点（重点） 二次函数的几何变换 确定二次函数平移前后的函数解析式以及平移的过程 常考小题与综合题 待定系数法求函数解析式 ①二次函数的三种形式及其转换 ②根据不同的已知条件选择合适的函数解析式求解 ①二次函数形式之间的转换考小题 ②待定系数法求函数解析式考大题（必考点） 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 常考小题与综合题 二次函数的综合应用 ①二次函数实际应用的各种类型 ②抛物线型问题 ③二次函数与几何：最值问题；存在性问题；与一次函数的交点问题 综合题（难点） 知识点01二次函数的定义及其一般表达式 1. 二次函数的定义： 形如的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。 其中：是自变量，是函数解析式的二次项系数；是函数解析式一次项系数；是函数解析式的常数项。又是二次函数的一般形式。 判断二次函数时，把二次函数化为一般形式，右边一定要是整式，最高次数是2且二次项系数不等于0。 知识点02 二次函数的图象与性质 二次函数形式 一般式 （a≠0） 顶点式 （a≠0） 两点式 （a≠0） 开口方向 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 开口大小 的绝对值越大，开口越小 的绝对值越小，开口越大 顶点坐标 对称轴（函数值相等的两个点一定关于对称轴对称） 离对称轴越远函数值越大； 离对称轴越近函数值越小 离对称轴越远函数值越小； 离对称轴越近函数值越大 离对称轴越远函数值越大； 离对称轴越近函数值越小 离对称轴越远函数值越小； 离对称轴越近函数值越大 离对称轴越远函数值越大； 离对称轴越近函数值越小 离对称轴越远函数值越小； 离对称轴越近函数值越大 增减性 对称轴右边y随x的增大而增大。 对称轴左边y随x的增大而减小。 对称轴右边y随x的增大而减小。 对称轴左边y随x的增大而增大。 对称轴右边y随x的增大而增大。 对称轴左边y随x的增大而减小。 对称轴右边y随x的增大而减小。 对称轴左边y随x的增大而增大。 对称轴右边y随x的增大而增大。 对称轴左边y随x的增大而减小。 对称轴右边y随x的增大而减小。 对称轴左边y随x的增大而增大。 最值 函数有最小值，这个值是。 函数有最大值这个值是。 函数有最小值，这个值是。 函数有最大值这个值是。 与y轴交点坐标 （0，c） 知识点03 二次函数的几何变换 1. 函数平移规律： 函数分为左右平移和上下平移；左右平移在自变量上进行加减，规律为左加右减；上下平移在函数解析式整体上进行加减，规律为上加下减。 2. 与之间的平移： 可将进行上下平移个单位同时再左右平移h个单位得到函数。 知识点04 待定系数法求二次函数解析式 1. 二次函数的三种形式： （1） 一般式： 由定义可知，二次函数的一般式为。 （2） 顶点式： 能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。 即。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为。 （3） 两点式（交点式）： 能直接得到二次函数与轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交点式。即。此时二次函数与轴的两个交点坐标分别为与。二次函数的对称轴为。函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 （4） 二次函数的一般式转化为顶点式： 利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下： ＝ →第一步：提二次项系数； ＝ →第二步：配方：配一次项系数的一半的平方； ＝ →第三步：写成完全平方形式； ＝ →第四步：写成顶点式形式。 2. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为。 （2） 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 （4） 反带：将未知系数反带入函数解析式。 知识点05 二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与轴的交点（二次函数与一元二次方程）： 与轴有两个交点有2个不相等的实数根根的判别式＞0。 与轴有1个交点有2个相等的实数根根的判别式=0。 与轴没有交点没有实数根根的判别 ＜0。 二次函数图象与x轴的交点横坐标即为一元二次方程的解。 2. 与（m为常数且不为0）的交点： ①若与有两个交点，则方程的根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根。 ②若与有一个交点，则方程的根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根。 ③若与没有交点，则方程的根的判别式小于0，方程没有实数根。 3. 与（m为常数且不为0）的交点： ①若与有两个交点，则方程的根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根。 ②若与有一个交点，则方程的根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根。 ③若与没有交点，则方程的根的判别式小于0，方程没有实数根。 知识点06 二次函数的综合应用 1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式． ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题． ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论． ⑥答：写出答案。 2. 二次函数与图形面积问题： 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 3. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题： （1） 建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。 （2） 从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。 （3） 利用待定系数法求函数表达式。 （4） 运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 4. 二次函数与等腰（或直角）三角形的存在性问题： （1） 明确构成三角形的三个点； （2） 利用两点间的距离公式表示出三边的距离； （3） 若构成等腰三角形，则利用两两相等建立方程求解；若构成直角三角形，则利用勾股定理建立方程求解。 5. 二次函数与平行四边形的存在性问题： （1） 明确构成平行四边形的四个点及其相应的对角线； （2） 利用相应的对角线的端点坐标结合中点坐标公式建立方程求解。 题型一 判断二次函数以及利用二次函数的定义求未知系数 解｜题｜技｜巧 根据二次函数的最高次数是2以及二次项系数不等于0建立等量关系或不等关系进行求解 【典例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．s＝2t2﹣2t+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y 【答案】A 【解答】解：A、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故A正确； B、y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误； C、y＝3x﹣1是一次函数，故C错误； D、y＝x2不是二次函数，故D错误； 故选：A． 【变式1】若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≠0 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠2 【答案】D 【解答】解：由题意得：a﹣2≠0， 解得：a≠2， 故选：D． 【变式2】（2025春•丰城市校级期中）若y＝（m+2）（m﹣2）x+m是关于x的二次函数，则m的值为 　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得：m+2≠0且m2﹣2＝2， 解得：m＝2， 故答案为：2． 题型二 二次函数的图象与性质 解｜题｜技｜巧 ①函数图象的共存问题：假设其中一个函数成立来推导字母系数的取值，在利用推导出来的字母系数带入另一个函数，看看另一个函数是否满足； ②函数图象上的点的特征：先判断函数的开口方向与对称轴，在判断每一个点到对称轴的距离，再根据点到对称轴的距离来判断函数值的大小； 【典例1】（2025春•鄞州区校级期中）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+5，下列结论正确的是（　　） A．其图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣1 C．函数的最大值为3 D．当x≥1时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解答】解：∵y＝3（x﹣1）2+5， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，5）， ∴抛物线对称轴为直线x＝1，函数最小值为5， ∴x≥1时，y随x增大而增大． 故选：D． 【变式1】（2024秋•东胜区期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 5 7 … y … ﹣4 4 5 4 ﹣4 … 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝5 C．当x＞5时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为（5，4） 【答案】C 【解答】解：由图表函数值相等可知：对称轴为直线x＝4，顶点坐标为（4，5）， 由条件可知该抛物线有最大值，即抛物线开口向下，当x＞5时，y随x的增大而减小， ∴四个选项中，只有C选项说法正确，符合题意； 故选：C． 【典例2】（2025春•电白区期中）如图，函数y＝ax2+3x+2和y＝﹣ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：当a＞0时，则﹣a＜0， ∴一次函数y＝﹣ax+a的图象经过第一、二、四象限； 二次函数y＝ax2+3x+2的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在y轴的左边，当x＝0时，y＝2，即与y轴交于点（0，2）； A、B、C、D选项均不符合该种情况； 当a＜0时，﹣a＞0， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限； 二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在y轴右边，与y轴交于点（0，2）； 如图所示， ∴D选项的图符合题意， 故选：D． 【变式1】（2025春•张家港市校级期中）已知二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝2x的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象可知，a＜0，c＞0，二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+c与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，与y轴交于正坐标，二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝2x的交点的横坐标为﹣3，1， 故选：B． 【典例3】（2025春•冷水江市期中）若二次函数y＝ax2﹣3ax+c（a＞0）的图象经过点A（0，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【答案】A 【解答】解：由题意得，抛物线对称轴为直线， 由条件可知抛物线开口向上，有最小值，且离对称轴越远，函数值越大， ∵点A（0，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），， ∴y3＜y1＜y2， 故选：A． 【变式1】（2025春•集美区校级期中）已知抛物线y＝mx2+2mx+1，m＞0上有点A（t﹣2，y1），B（t，y2），C（t+1，y3），D（t+2，y4），则下列结论正确的是（　　） A．若y2＞0，总有y1＞0 B．若y2＜0，总有y3＞0 C．若y1y2＜0，总有y4＞0 D．若y3y4＞0，总有y2＞0 【答案】C 【解答】解：将抛物线y＝mx2+2mx+1（m＞0）化为顶点式y＝m（x+1）2﹣m+1， ∴对称轴为x＝﹣1， 点A（t﹣2，y1） 到对称轴直线x＝﹣1的距离，d1＝|（t﹣2）﹣（﹣1）|＝|t﹣1|， 点B（t，y2） 到对称轴直线x＝﹣1的距离，d2＝|t﹣（﹣1）|＝|t+1|， 点C（t+1，y3） 到对称轴直线x＝﹣1的距离，d3＝|t+1﹣（﹣1）|＝|t+2|， 点D（t+2，y4） 到对称轴直线x＝﹣1的距离，d3＝|t+2﹣（﹣1）|＝|t+3|， ∵m＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大，且点到对称轴越远，函数值越大． 分析选项A，若y2＞0，仅知道点B的函数值大于0，但点A到对称轴的距离与点B到对称轴的距离关系不确定，不能得出总有y1＞0，所以A选项错误， 分析选项B，若y2＜0，不能确定点C的函数值一定大于0，因为不知道点B、C与对称轴的具体位置关系以及函数的具体形态，所以B选项错误， 分析选项C，若y1y2＜0，则y1与y2异号，说明A点和B点一个在x轴上方，一个在x轴下方，点D到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，且抛物线开口向上 ，所以y4＞y2，又因为y1与y2异号，所以y2＜0时，y4＞0，C选项正确． 分析选项D，若y3y4＞0，说明y3与y4同号，但不能确定y2的正负，所以D选项错误． 故选：C． 【变式2】（2025春•鄞州区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（5，0），图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）．若当x1＜﹣1＜x2＜5＜x3时，均有y1＞y3＞y2，则下列说法中正确的是（　　） A．a＜0 B．x＝2时，y有最大值 C．y1y2y3＜0 D．|x1﹣2|＜|x3﹣2| 【答案】C 【解答】解：由题意得抛物线开口向上，对称轴为直线x2， ∴a＞0，当x＝2时，y有最小值， 且y1＞0，y2＜0，y3＞0， ∴y1y2y3＜0， ∵y1＞y3， ∴（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x3，y3）到对称轴的距离， 即|x1﹣2|＞|x3﹣2|， 综上所述，选项A，B，D错误，不符合题意． 故选：C． 题型三 二次函数的平移 解｜题｜技｜巧 按照平移规律在自变量或函数解析式后进行加减，若有需要时，把函数解析式化为一般形式。 【典例1】（2025春•田阳区期中）把抛物线y＝﹣2x2先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+6）2+2 B．y＝﹣2（x+6）2﹣2 C．y＝﹣2（x﹣6）2+2 D．y＝﹣2（x﹣6）2﹣2 【答案】D 【解答】解：把抛物线y＝﹣2x2先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为：y＝﹣2（x﹣6）2﹣2． 故选：D． 【变式1】抛物线y＝x2+2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+2）2﹣6 B．y＝（x+2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2﹣6 D．y＝（x﹣2）2﹣2 【答案】B 【解答】解：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为y＝（x+1+1）2﹣4+2＝（x+2）2﹣2， 故选：B． 【变式2】二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象可以由y＝2x2的图象平移得到：先向__平移2个单位，再向___平移1个单位．（　　） A．右，上 B．右，下 C．左，上 D．左，下 【答案】D 【解答】解：∵抛物线y＝2x2的顶点为（0，0），抛物线y＝2（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）， 二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象可以由y＝2x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到； 故选：D． 题型四 二次函数与一元二次方程 解｜题｜技｜巧 结合交点数量与∆的取值范围的关系解决问题。 【典例1】（2025春•丰城市校级期中）若关于x的函数y＝（a+2）x2+4x﹣4的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．﹣3或﹣2 【答案】D 【解答】解：关于x的函数y＝（a+2）x2+4x﹣4的图象与x轴只有一个交点，分两种情况讨论： 当函数为二次函数时，得：y＝（a+2）x2+4x﹣4， ∴Δ＝16﹣4（a+2）×（﹣4）＝0， ∴a＝﹣3； 当函数为一次函数时，得：a+2＝0， 解得：a＝﹣2； 综上所述，a的值为﹣3或﹣2； 故选：D． 【变式1】（2025春•长沙期中）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（　　） A．k B．k C．k D．k 且k≠0 【答案】D 【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有两个交点， ∴， ∴k且k≠0． 故选：D． 【变式2】（2025春•长沙期中）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8 【答案】C 【解答】解：对称轴为直线x1， 解得b＝﹣2， 所以二次函数解析式为y＝x2﹣2x， y＝（x﹣1）2﹣1， x＝1时，y＝﹣1， x＝4时，y＝16﹣2×4＝8， ∵x2+bx﹣t＝0的解相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标， ∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解． 故选：C． 题型五 二次函数图象与系数的关系 解｜题｜技｜巧 ①利用二次函数的基本性质； ②对称轴与±1的关系； ③函数的交点与∆的取值范围的关系； ④自变量等于±1、±2及±3时的函数值； ⑤函数的最值； ⑥一元二次方程根于系数的关系。 易｜错｜点｜拨 在遇到非常规式子的考核时，需要用基本式子进行转换得到。 【典例1】（2025春•鼓楼区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下说法：①a＞0；②4a+2b+c＞0；③4a+b＝0；④当x＜2时，y随x的增大而减小．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解答】解：由函数图象可知，抛物线开口向上， ∴a＞0，故①正确； 由图象可知x＝2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0，故②错误： ∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴2， ∴4a+b＝0，故③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2， ∴当x＜2时，y随x的增大而减小，故④正确． 故选：C． 【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b≥n（an+b），⑤2c＜3b．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①由条件可知：a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②∵a＜0，b＞0， ∴b﹣2a＞0，故②错误； ③由图象，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③错误； ④当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，当x＝n时，y＝an2+bn+c， ∴a+b+c≥an2+bn+c， ∴a+b≥n（an+b），故④正确； ⑤由对称性可知：x＝3和x＝﹣1的函数值相同， ∴9a+3b+c＜0， ∵， ∴， ∴2c＜3b；故⑤正确； 故选：B． 题型六 二次函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 ①利润问题：结合一元二次方程的利润问题解决； ②面积问题：结合一元二次方程的面积问题解决； ③抛物线型问题：建立合适的坐标系，求函数解析式，再利用函数的性质解决问题； 易｜错｜点｜拨 在解决抛物线型问题时，首先要弄清楚实际问题转换成数学问题时所对应的二次函数的性质 【典例1】（2025春•慈溪市期中）在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕，当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元． （1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为8.64元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少． （2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元． （3）要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元？并求出最大销售额． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设涨价的百分率是x， 由题意得：6（1+x）2＝8.64， 解得：x1＝20%，x2＝﹣220% （不合题意，舍去）， 答：涨价的百分率是20%； （2）设小蛋糕的售价提高a元，则每小时的销售数量就会减少2a个， 由题意得：（6+a）（30﹣2a）＝216， 整理得：a2﹣9a+18＝0， 解得：a1＝3，a2＝6， ∴小蛋糕的售价为：6+3＝9（元）或6+6＝12（元）， ∵售价不能超过10元， ∴小蛋糕的售价为9元， 答：此时小蛋糕的售价定为9元． （3）设小蛋糕的售价为m元， ∴平均每小时的销售总额为：m[（30﹣2（m﹣6）] ＝﹣2m2+42m ＝﹣2（m﹣10.5）2+220.5 ∵售价不能超过10元， ∴小蛋糕的售价为10元， 当m＝10时，平均每小时的销售总额最大，最大销售额为﹣2（m﹣10.5）2+220.5＝220元 答：此时小蛋糕的售价定为10元，最大销售额为220元． 【典例2】（2025春•海曙区校级期中）综合与实践 矩形菜园最大面积探究 情境 数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题．若校园空地上有一面墙（长度12m），用22m长的篱笆围出一个矩形菜园． 问题初探 如图1，兴趣小组利用墙（不超过墙长）和22m长的篱笆围出矩形菜园ABCD，设CD＝x m，矩形菜园的面积为Sm2．完成下题： （1）BC＝　 　 m．（用含x的代数式表示） （2）若矩形菜园面积为56m2时，则AB的长为多少米？ 问题续探 矩形菜园面积能否超过56m2？如果能，请在图2中画出矩形菜园面积最大的方案示意图（标注边长）． 【答案】（1）（22﹣2x）； （2）AB的长为7米； （3）矩形菜园面积能否超过56m2.矩形菜园面积最大的方案见解析． 【解答】解：（1）设CD＝x m，则AB＝BC＝（22﹣2x）m， 故答案为：（22﹣2x）； （2）根据题意得：x（22﹣2x）＝56， 整理得：x2﹣11x+28＝0， 解得：x1＝4，x2＝7， ∵22﹣2x≤12， ∴x≥5， ∴x＝7， 答：AB的长为7米； （3）由题意得：S＝x（22﹣2x）＝﹣2x2+22x＝﹣2（x2﹣11x）＝﹣2（x﹣5.5）2+60.5， ∵﹣2＜0， ∴当x＝5.5时，S有最大值，最大值为60.5， 此时AB＝22﹣2×5.5＝11（m）， 矩形菜园面积最大的方案示意图： ∴矩形菜园面积能否超过56m2． 【典例3】（2025春•新野县期中）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系h＝20t﹣5t2． （1）当小球的飞行时间为1.5s时，小球的飞行高度是多少m？ （2）若小球的飞行高度不低于10m的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长． （3）在小球的飞行过程中，先后有两个时刻小球高度相同，这两个时刻的时间间隔为2s，求这两个时刻小球的飞行高度． 【答案】（1）18.75m；（2）2s；（3）这两个时刻小球的飞行高度为15m． 【解答】解：（1）由题意，∵h＝20t﹣5t2， ∴当t＝1.5s时，h＝20×1.5﹣5×1.52＝18.75（m）． （2）由题意，∵h＝20t﹣5t2， ∴令h＝10，则10＝20t﹣5t2． ∴t＝2或t＝2． 又∵对于h＝20t﹣5t2，﹣5＜0， ∴小球的飞行高度不低于10m的时间段为2t≤2． ∴小球可被该设备清晰捕捉的时长为：2（2）＝2（s）． 答：小球可被该设备清晰捕捉的时长为2s． （3）由题意，设t1，t2两个时刻小球高度相同， ∵h＝20t﹣5t2， ∴5t2﹣20t+h＝0． ∴t1+t2＝4，t1•t2． 又∵两个时刻的时间间隔为2s， ∴|t1﹣t2|＝2． ∴（t1﹣t2）2＝（t1+t2）2﹣4t1t2＝16h＝4． ∴h＝15． ∴这两个时刻小球的飞行高度为15m． 【变式1】（2025春•兖州区期中）某施工队要建立一个高速公路隧道，施工前利用软件作出一个横断面的隧道工程图（如图1所示），并且知道抛物线经过原点． （1）求抛物线解析式（不必写出取值范围），求出其顶点坐标； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2米、高1.8米的车辆？请通过计算说明； （3）工程队在施工时，需要在隧道门口搭建一个矩形施工架EFGH，使点E，H在抛物线上．点F，G在地面OM线上（如图2所示）．为了准备工程材料，需计算施工架三根钢杆EF，EH，HG的长度之和的最大值是多少，请你帮工程队计算一下． 【答案】（1）抛物线的函数解析式为，顶点坐标为（4，4）；（2）不能同时并行两辆宽2米、高1.8米的车辆，理由见解析；（3）三根木杆EF，EH，HG的长度和的最大值是10米． 【解答】解：（1）由图象是经过原点的一条抛物线的一部分， ∴设抛物线解析式为y＝ax2+bx， 把（1，1.75），（8，0），代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴这条抛物线的函数解析式为， ∴顶点坐标为（4，4）； （2）该双车道不能同时并行两辆宽2米、高1.8米的车辆，理由如下： 当时，， ∴不能同时并行两辆宽2米、高1.8米的车辆， （3）四边形EFGH是矩形， ∴EF＝GH，EF∥GH，EH∥FG， 设OF＝m米，则FG＝（8﹣2m） 米，米， 设w＝EF+EH+HG，则， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为：（米）， 答：三根木杆EF，EH，HG的长度和的最大值是10米． 题型六 二次函数的综合应用 解｜题｜技｜巧 ①求函数解析式时，若已知任意的三个点则选择一般式；若已知顶点则选择顶点式；若已知与x轴的交点则用交点式。 ②动轴动区间最值问题：确定二次函数的开口方向与对称轴，在利用自变量取值范围端点值与对称轴的距离建立不等式进行求解。 ③线段面积最值问题：（1）线段最值问题：过动点作平行于y轴的垂线，找到另一个交到，用两点之间的距离公式表示出线段的距离，再根据距离表达式求出最值； （2）面积最值问题：在线段最值问题的基础上，把线段当做三角形的底，另两个点的水平距离当做三角形的高表示出三角形的面积，再求出面积最值。 ④三角形的存在性质问题：明确三角形的三个点，再用两点之间的距离公式表示出三边的距离，再根据满足的三角形的性质建立方程求解。 ⑤平行四边形的最值问题：明确构成平行四边形的四个点及其坐标，再利用两两作为对角线求出中点坐标，利用中点坐标相等建立方程求解。 【典例1】已知y＝x2﹣4x+3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值． 【答案】或． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝2， 当x＝2时，取得最小值为﹣1， ①当m+2＜2时，即m＜0时， x＝m+2时，最小值是， ∴（m+2﹣2）2﹣1＝m2﹣1， ∴或舍去）， ②当m＞2时， 当x＝m时，最小值取， ∴（m﹣2）2﹣1， ∴或 （舍去）， 综上所述，或． 【变式1】已知抛物线y＝x2+ax+a+1经过点A（﹣2，3）． （1）求a的值； （2）已知点P（m，yP），Q（m﹣4，yQ）均在该抛物线上． ①若m＝0，请直接比较yP与yQ的大小关系； ②当﹣3≤x≤m时，函数y的最大值是6，最小值是2，求m的取值范围． 【答案】（1）2； （2）①yP＜yQ； ②﹣1≤m≤1． 【解答】解：（1）将点（﹣2，3）代入y＝x2+ax+a+1中， 得3＝4﹣2a+a+1 解得a＝2； （2）解：①∵a＝2， ∴抛物线为y＝x2+2x+3， 当m＝0时，点P（m，yP），Q（m﹣4，yQ）为P（0，yP），Q（﹣4，yQ）， ∴yP＝0+0+3＝3，yQ＝16﹣8+3＝11， ∴yP与yQ的大小关系为yP＜yQ； ②y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2．当x2+2x+3＝6时，x1＝﹣3，x2＝1． 根据图象和题意可得m的取值范围是﹣1≤m≤1． 【典例2】（2025春•丰城市校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（﹣2，0），点B（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当S△MBC取得最大值时，求点M的坐标； （3）在抛物线上是否存在点P，使三角形ABP的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）M（2，4）； （3）（0，4）或（2，4）或或． 【解答】解：（1）将（0，4），（﹣2，0），（4，0）代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴； （2）过点M作MD∥y轴交BC于D，交OB于E，过C作CF⊥DM于F，如图所示： ∴OCFE为矩形， ∴OE＝CF， 设直线BC的解析式为：y＝kx+b， 将点（0，4）、（4，0）代入得：， 解得：， 则直线BC的解析式为：y＝﹣x+4， 设，则D（m，﹣m+4）， ∴， S△BCM＝S△CMD+S△BDM ， ∴， ∵点M在直线BC的上方， ∴0＜m＜4， ∴当m＝2 时，S△BCM最大，此时， ∴M（2，4）； （3）设点P的纵坐标为y， ∵△ABP的面积为12， ∴， 解得：y＝±4， 当y＝4时，， 解得：x1＝0，x2＝2， ∴此时点P的坐标为（0，4）或（2，4）； 当y＝﹣4时，， 解得：，， ∴此时点P的坐标为或； 综上分析可知，点P的坐标为（0，4）或（2，4）或或． 【典例3】如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0），与直线y＝x﹣4交于B，D两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若△AMN是等腰直角三角形，求点M的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣8；点D的坐标是（﹣1，﹣5）； （2）△BDP的面积的最大值为；P（，）； （3）点M的坐标为（5，7）或（3，﹣5）． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0），将点A，点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴设该抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣8， 联立方程组：， 解得（舍去）或， 即点D的坐标是（﹣1，﹣5）； （2）如图1：过点P作PE∥y轴，交BD于点E， 设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）． ∴PE＝x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）＝﹣x2+3x+4． ∴S△BDP＝S△DPE+S△BPEPE•（xp﹣xD）PE••（xB﹣xE）PE•（xB﹣xD）（﹣x2+3x+4）（x）2． ∴当x时，△BDP的面积的最大值为． ∴P（，）． （3）如图2， ∵MN⊥x轴于N， ∴∠MNA＝90°， ∵△AMN是等腰直角三角形， ∴AN＝MN， ∵点P在抛物线y＝x2﹣2x﹣8上， ∴设点N的坐标为（m，0）则点M（m，m2﹣2m﹣8）， ∴AN＝|m﹣（﹣2）|＝|m+2|，MN＝|m2﹣2m﹣8|， ∴|m+2|＝|m2﹣2m﹣8|， ∴m+2＝m2﹣2m﹣8或m+2＝﹣（m2﹣2m﹣8）， 即m2﹣3m﹣10＝0或m2﹣m﹣6＝0， 当m2﹣3m﹣10＝0时， 解得m＝5或m＝﹣2（舍去）， 此时M（5，7）； 当m2﹣m﹣6＝0时， 解得m＝3或m＝﹣2（舍去）， 此时M（3，﹣5）， 综上，点M的坐标为（5，7）或（3，﹣5）． 【典例4】抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数解析式和直线AC的解析式； （2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．若点P的横坐标为x，请用x的式子表示PE，并求PE的最大值； （3）如图2，点M是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1）∴y＝﹣x2﹣2x+3；y＝x+3；（2）PE；最大值为；（3）点M的坐标为（﹣1，﹣8）或（﹣1，0）或（﹣1，﹣2）． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），代入得： ， 解得：， ∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3， ∴y＝﹣x2﹣2x+3； 设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，3），代入得： ， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x+3； （2）设P（x，﹣x2﹣2x+3），则E（x，x+3）， ∴PE＝﹣x2﹣3x＝﹣（x）2 依据二次函数的性质可知，PE存在最大值，最大值为； （3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN＝AC，如图3，过点N作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H， 则∠AHG＝∠ACO＝∠NMG， 在△NMG和△ACO中， ， ∴△NMG≌△ACO（AAS）， ∴NG＝AO＝3， ∴点N到对称轴的距离为3， 又∵y＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， 设点N（x，y），则NG＝|x+1|＝3， 解得：x＝2 或x＝﹣4， 当x＝2时，代入y＝﹣（x+1）2+4，得：y＝﹣5， 当 x＝﹣4时，代入y＝﹣（x+1）2+4，y＝﹣5， ∴点N坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）； ∴M（﹣1，﹣8）； ②当AC为平行四边形的对角线时，如图4，设AC的中点为T， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴T（，）， ∵点M在对称轴上， ∴点M的横坐标为﹣1， 设点N的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（）＝﹣3， ∴x＝﹣2， 此时 y＝3， ∴N（﹣2，3）， ∴M（﹣1，0）． 当点N是抛物线顶点时，即N（﹣1，4）时，M的坐标为（﹣1，﹣2），此时，也满足点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 综上所述，点M的坐标为（﹣1，﹣8）或（﹣1，0）或（﹣1﹣2）． 题型三（跨章节/学科题型） 易｜错｜点｜拨 解决跨学科题型时，一定要结合相应学科相应知识点，不能单一的只考虑数学问题 【典例1】某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（　　） A．160W B．180W C．200W D．220W 【答案】D 【解答】解：由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛物线解析式为P＝aI2+bI， 把（1，165），（4，0）代入得： ， 解得： ∴抛物线解析式为P＝﹣55I2+220I＝﹣55（I﹣2）2+220， ∵﹣55＜0， ∴当I＝2时，P取最大值220， ∴变阻器R消耗的电功率P最大为220W； 故选：D． 【典例2】综合与实践 【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题． （1）通过观察以下一位数的积：1×9，2×8，…，8×2，9×1．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 　 　 ．（只需填符合的算式，不需要算出结果） （2）通过观察以下两位数的积：11×19，12×18，…，18×12，19×11．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 　 　 ．（只需填符合的算式，不需要算出结果） 【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想． 【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，R1＝2Ω，R2＝3Ω，滑动变阻器的最大电阻R3＝5Ω，其等效电路图如图2所示，其中Rap+Rbp＝R3，在滑片从a端滑到b端的过程中，设Rap＝xΩ，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值． 【答案】【问题背景】（1）5×5；（2）15×15； 【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大，证明见解答； 【实践应用】（3）2A． 【解答】解：【问题背景】（1）5×5＝25为最大， 故答案为：5×5； （2）15×15＝225为最大， 故答案为：15×15； 【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大． 证明：设第一个数为x，则另一个数为30﹣x，它们的积为y， 则有y＝x（30﹣x）＝﹣（x﹣15）2+225， ∵﹣1＜0，则抛物线开口向下， ∴当x＝15时，y取最大值，为225， 此时这两数分别为15及30﹣15＝15，两数相等， ∴当这两数相等时，它们的乘积最大； 【实践应用】（3）设Rap＝xΩ，则Rbp＝（5﹣x）Ω，0≤x≤5，设总电流为I，则 ， 由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小． 设W＝（2+x）（8﹣x）＝﹣（x﹣3）2+25． ∵﹣1＜0，则抛物线W开口向下，且0≤x≤5， ∴当x＝3时，W取最大值为25，此时I取最小值为（A），两支路电阻分别为2+3＝5（Ω）和8﹣3＝5（Ω），两支路电阻相等， ∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A． 【典例3】九年级学生小林进行跨学科自主学习活动，他利用函数的相关知识在实验场景A和实验场景B下做对比，研究某种化学试剂的挥发情况．若当实验过程中该试剂挥发时间为x分钟时，在实验场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2 （单位：克）．记录y1，y2与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 10 15 20 … y1（克） 25 23.5 20 14.5 7 … y2（克） 25 20 15 10 5 … 请你协助小林将探究过程补充完整： （1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象； （2）进一步探究发现，实验场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足二次函数：y1＝ax2﹣0.1x+c；实验场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足一次函数y2＝kx+25，则a＝　 　 ，c＝　 　 ，k＝　 　 ； （3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于5克时，才能发挥有效作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥有效作用的时间分别为xA，xB，则xA　 　 xB（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】（1）见解析； （2）﹣0.04，25，﹣1； （3）＞． 【解答】解：（1）由题意，作图如图． （2）由题意，y1与x之间近似满足函数关系， ∵点（0，25），（10，20）在函数图象上， ∴， 解得， ∴， 对于实验场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝kx+c， ∵（0，25），（10，15）在函数图象上， ∴，解得， ∴y2＝﹣x+25， 故答案为：﹣0.04，25，﹣1； （3）由题意，当y＝5时，实验场景A中，xA＞20，实验场景B中，xB＝20， ∴xA＞xB 故答案为：＞． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2024秋•重庆期中）二次函数y＝2（x﹣2）2﹣1图象的顶点坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 【答案】C 【解答】解：二次函数y＝2（x﹣2）2﹣1图象的顶点坐标为（2，﹣1）， 故选：C． 2．（2024秋•香洲区校级期中）将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（　　） A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+3）2+1 D．y＝（x+3）2﹣5 【答案】D 【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的函数解析式是y＝（x+1+2）2﹣2﹣3，即y＝（x+3）2﹣5． 故选：D． 3．（2021秋•廉江市校级期中）对于二次函数y＝﹣x2+2x+3，下列说法不正确的是（　　） A．当x＝1时，y有最大值2 B．当x≥1时，y随x的增大而减小 C．开口向下 D．函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0） 【答案】A 【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4）， 当x＝1时，y有最大值4； 当x≥1时，y随x的增大而减小， 当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， 故选：A． 4．（2024秋•杭锦后旗期中）设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y＝﹣2x2+m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3 【答案】D 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣2x2+m， ∴对称轴为y轴 ∵（﹣1，y1）关于对称轴y轴对称点为（1，y1）， ∴（1，y1）是抛物线y＝﹣2x2+m上点， 又∵a＝﹣2＜0， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小， ∵1＜2＜3，点（1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y＝﹣2x2+m上的三点， ∴y1＞y2＞y3， 故选：D． 5．（2025春•北林区校级期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y，则他将铅球推出的距离为（　　） A．3m B．4m C．7m D．10m 【答案】D 【解答】解：令函数式y中，y＝0， 即0， 解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去）， 即铅球推出的距离是10m． 故选：D． 6．（2024秋•红旗区校级期中）在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由一次函数y＝﹣kx+2可知，直线与y轴的交点为（0，2），故选项A、D不符合题意； 当k＞0时，二次函数y＝x2+k的顶点在y轴正半轴，﹣k＜0，一次函数y＝﹣kx+2经过一、二、四象限，选项C不符合题意； 当k＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，﹣k＞0，一次函数y＝﹣kx+2经过一、二、三象限，选项B符合题意． 故选：B． 7．（2024秋•余姚市期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 【答案】C 【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x）， 故选：C． 8．（2024秋•中山市期中）老师给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是（　　） x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．x＝3是方程ax2+bx+c+5＝0的一个根 C．当﹣2＜x＜4时，y＜0 D．若A（x1，5），B（x2，6）是该抛物线上的两点，则x1＜x2 【答案】D 【解答】解：A、由表格可知：抛物线的对称轴为直线x1，故此选项正确，不符合题意； B、当x＝3时，y＝﹣5，则x＝3是方程ax2+bx+c+5＝0的一个根，故此选项正确，不符合题意； C、由表格可得：抛物线开口向上，由对称得：抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以当﹣2＜x＜4时，y＜0，故此选项正确，不符合题意； D、抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，若A（x1，5），B（x2，6）是该抛物线上的两点，分多种情况：其中当A与B在对称轴左侧时，则x1＞x2，当A与B在对称轴右侧时，则x1＜x2，故此选项不正确，符合题意； 故选：D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（2024秋•岷县期中）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫作“鹊桥”函数．某同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），则下列结论错误的是（　　） A．图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3） B．图象的对称轴是直线x＝1 C．当﹣1≤x≤1和x≥3时，函数值y随x的增大而增大 D．函数的最小值是0，最大值是4 【答案】D 【解答】解：当x＝0时，y＝3； 当y＝0时，|x2﹣2x﹣3|＝0，解得x＝﹣1或x＝3； ∴交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）， ∴选项A是正确的，不符合题意； 对称轴是直线x＝1， ∴选项B是正确的，不符合题意； 根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大， ∴选项C是正确的，不符合题意； 函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，最小值为y＝0， 不存在最大值， ∴选项D是错误的，符合题意； 故选：D． 10．（2024秋•龙马潭区校级期中）关于x的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx0有一个根是﹣1， ∴二次函数y＝ax2+bx的图象过点（﹣1，0）， ∴a﹣b0， ∴b＝a， 而t＝2a+b， ∴t＝2a+a3a， ∵二次函数y＝ax2+bx的图象的顶点在第一象限， ∴a＜0，Δ＝b2﹣4ac＝a2a﹣2a＝（a）2≥0，0， ∴b＞0， ∴a0， ∴a， ∴a＜0， ∴﹣1＜3a， ∴﹣1＜t， 故选：D． 11．（2025春•濉溪县期中）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0）．将二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3，则n的值是（　　） A．或 B．或 C．1 D． 【答案】A 【解答】解：由题意，二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴可设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4． 又∵二次函数的图象过点（3，0）， ∴0＝4a﹣4， ∴a＝1， ∴二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4． 将二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位后，图象所对应的函数表达式为y＝（x﹣1﹣m）2﹣4． 又∵图象过点， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴平移后的函数表达式为， ∴对称轴是直线，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，当时，y取最小值一4． ∵当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3， ∴①当时，即， ∴当x＝n+1时，y取最小值， ∴或（舍去）， ∴． ②当时，即， ∴当x＝n﹣2时，y取最小值， ∴或（舍去）， ∴， 综上，或． 故选：A． 12．（2025春•东台市期中）若实数x，y，m满足x+y＝2，2xy+m＝6，则代数式8xy+10的最大值为　18　 ． 【答案】18． 【解答】解：∵x+y＝2，2xy+m＝6， ∴y＝2﹣x， ∴m＝6﹣2xy＝6﹣2x（2﹣x）＝2（x﹣1）2+4， ∴m的最小值为4， ∵2xy+m＝6， ∴2xy＝6﹣m， ∴代数式8xy+10＝4（6﹣m）+10＝﹣4m+34， ∵m≥4， ∴代数式8xy+10的最大值为18． 故答案为：18． 13．（2024秋•杭州期中）已知点A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点， ∴A（x1，n）和B（x2，n）关于抛物线y＝x2+bx+4的对称轴对称， ∴， ∴x1+x2＝﹣b， ∵点（x1+x2，m），即（﹣b，m）在抛物线上， ∴m＝b2+b•（﹣b）+4＝4． 故答案为：4． 14．（2024秋•上城区校级期中）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c． （1）若该函数的图象经过点A（﹣1，2），B（1，﹣2）． ①求该函数的表达式及顶点坐标． ②当﹣1≤x≤m时，该函数的最大值与最小值的差为3，求m的值． （2）若点P（﹣2，s），Q（n﹣4，r）都在该函数图象上，且s＞r，求n的取值范围． 【答案】（1）①该函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣1；顶点坐标为（1，﹣2）；②m＝0； （2）当a＞0时，2＜n＜8；当a＜0时，n＞8或n＜2． 【解答】解：（1）①把点A（﹣1，2），B（1，﹣2）代入y＝ax2﹣2ax+c， 则， 解得， ∴该函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣1； ∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， ∴顶点坐标为（1，﹣2）； ②∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， ∴该函数图象的对称轴为直线x＝1，最小值为﹣2， 当x＝﹣1时，y＝2，当x＝m时，y＝m2﹣2m﹣1， ∵当﹣1≤x≤m时，该函数的最大值与最小值的差为3， ∴m＜1， ∴2﹣（m2﹣2m﹣1）＝3， 解得m1＝0，m2＝2（舍去）， ∴m＝0； （2）∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c， ∴该抛物线的对称轴为直线x1， ∴点P（﹣2，s）关于对称轴对称点的坐标为（4，s）， 当a＞0时，如图所示： ∵s＞r， ∴﹣2＜n﹣4＜4， 解得2＜n＜8； 当a＜0时，如图所示： ∵s＞r， ∴n﹣4＞4或n﹣4＜﹣2， 解得n＞8或n＜2． 综上所述，当a＞0时，2＜n＜8；当a＜0时，n＞8或n＜2． 15．（2024秋•赛罕区校级期中）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得： ， 解得x＝26， 经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意， ∴x+9＝26+9＝35， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对． （2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470， 答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470． ②∵a＝﹣2＜0， ∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x17， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ∴x+50≤65， ∴x≤15， ∵x＜17时，y随x的增大而增大， ∴当x＝15时，y最大＝2040． 15+50＝65． 答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 16．（2022秋•寿县校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B、点C在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：∵x2， ∴4a+b＝0，故①正确． 由函数图象可知：当x＝﹣3时，y＜0，即9a﹣3b+c＜0， ∴9a+c＜3b，故②错误． ∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0 又∵b＝﹣4a， ∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a， ∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴8a+7b+2c＞0，故③正确； ∵抛物线的对称轴为x＝2，C（，y3）， ∴（，y3）． ∵﹣3，在对称轴的左侧， ∴y随x的增大而增大， ∴y1＜y2＜y3，故④错误． 方程a（x+1）（x﹣5）＝0的两根为x＝﹣1或x＝5， 过y＝﹣3作x轴的平行线，直线y＝﹣3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根， 依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2， 故⑤正确． ∴正确的为①③⑤． 故选：B． 17．（2025春•招远市期中）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： （1）【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为OH＝1.6m，把绿化带截面抽象为矩形DEFG，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度DE＝2m，竖直高度EF＝1m，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段OD的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为y1，y2．上边缘抛物线y1的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，求上边缘抛物线y1的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程OC； ②下边缘抛物线y2可以看作由上边缘抛物线y1向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B的坐标； （2）【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFG位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），利用上述信息直接写出OD的取值范围． 【答案】（1）①洒水车喷出水的最大射程OC为（2+2）m； ②点B坐标为（，0）； （2）OD的取值范围为． 【解答】解：（1）①根据题意得，上边缘抛物线y1的最高点A的坐标为（2，2），且经过点H（0，1.6）， 设上边缘抛物线y1的解析式为，（a≠0）， ∴4a+2＝1.6， 解得a＝﹣0.1， ∴上边缘抛物线y1的函数解析式为， 令y1＝0得：﹣0.1（x﹣2）2+2＝0， 解得：， ∴点C坐标为（2+2，0）， ∴洒水车喷出水的最大射程OC为（2+2）m； ②令y1＝1.6得：﹣0.1（x﹣2）2+2＝1.6， 解得：x1＝0，x2＝4， ∴根据题意可得，上边缘抛物线y1向左平移4个单位得到下边缘抛物线y2， ∴上边缘抛物线y1与x轴交点C向左平移4个单位到下边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B处， ∴点B坐标为（，0）； （2）由题意可得，当点D与B重合时，OD最小，最小值为， ∵OD＝OE﹣DE，DE＝2m， 当点F在抛物线y1上时，OE最大， ∵矩形DEFG的竖直高度EF＝1m， ∴令y1＝1得：﹣0.1（x﹣2）2+2＝1， 解得：， ∴OE最大值为2， ∴OD最大值为， ∴OD的取值范围为． 18．（2025春•冷水江市期中）已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线Q1上一点． （1）求抛物线Q1的表达式； （2）如图，连接BC，交抛物线Q1的对称轴于点D，连接AC，CP，AD，DP，求四边形ACPD面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的情况下，将抛物线Q1向右平移个单位长度，得到抛物线Q2，M为抛物线Q2对称轴上一点，N为抛物线Q2上一点，若以A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点N的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4； （2），（2，﹣6）； （3）或或． 【解答】解：（1）由条件可得1+3+c＝0， 解得c＝﹣4， ∴y＝x2﹣3x﹣4； （2）在y＝x2﹣3x﹣4中标，当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴点B的坐标为（4，0）， 当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4， ∴点C的坐标为（0，﹣4）． 设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0）， 由条件可得， 解得， ∴直线BC的表达式为y＝x﹣4， ∵抛物线表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在y＝x﹣4中，当时，， ∴点D的坐标为， ∴． 如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E． 设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4）（0＜m＜4），则点E的坐标为（m，m﹣4）， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴当m＝2时，S四边形ACPD取最大值， 当m＝2时，y＝m2﹣3m﹣4＝﹣6， ∴四边形ACPD面积的最大值为，此时点P的坐标为（2，﹣6）； （3）∵Q1：， ∴Q2：， ∴抛物线Q2的对称轴为直线x＝3， ∴点M的横坐标为3， 设， 由（2）得，P（2，﹣6）， 分以下三种情况讨论： ①当AP为▱AMPN的对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ∴， 解得n＝﹣2， ∴， ∴； ②当AP为▱APMN的边，且AM为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ∴﹣1+3＝2+n， 解得n＝0， ∴，∴； ③当AP为▱APNM的边，且AN为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ∴﹣1+n＝2+3， 解得n＝6， ∴， ∴． 综上所述，点N的坐标为或或． 2/49 学科网（北京）股份有限公司 $