22.2 二次函数与一元二次方程&22.3 实际问题与二次函数 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 广西专版）

=0,解得c=-3..二次函数的解析式为y=x2十2x-3;(3)把x=0代入y=x2十2x -3,得y=-3,.C(0,-3).易得直线AC的函数解析式为y=-x-3.设Q(m,- 3)(-3≤m≤0).：QD⊥x轴，且点D在抛物线上，.D(m,m2十2m-3)..QD=ya 0=(-m-3)-(m2+2m-3)=-m-3m=-(m+2)'+号”-1<0，-3≤m≤ 2 0,易得当m=-是时，线段QD的长度有最大值，为号.23，解：1)：△ABC △ADE∴8-沿∠BAC=∠DAE把-0∠BAD=∠CAE△ABD △ACE;(2)如图②，连接CE.:∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°， △ABC△ADE同I)易得△ABDn△ACE,铝-82，∠ABD=∠ACE= ∠ADE=0能部-瓜在△ADE中，∠ADE=0是=-万，记 2·能=FX万=3.：∠ADF=∠BCR,∠AFD=∠EC△ADFn△BECF. 8=瓷=3：(8AD=6.[鲜析：如图@.作∠CAE=∠BAD.A5交BD的延长线 于点E,连接CE,则∠BAC=∠DAE.又·∠ADE=∠ABD十∠BAD=∠ABD十 ∠CBD=∠ABC△ABC△ADE.0-由I)易得△ABDn△ACE,8罡 能-寿aE-98∠x-92D-0,acD-古.D-9x ∴.CE=BC.:∠BDC=90,∠CDE=180°-∠BDC=90.∴.CD+DE=CE. e-C又：-器小前C 4=BC,“AD=5时 4 图② 图③ 随堂反馈答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 1.A2.C3.B4.k≠15.解：(1)由题意，得(m十3)(m-3)=0且m十3≠0时，方 程是一元一次方程，所以m-3=0,解得m=3;(2)由题意，得(m十3)(m一3)≠0时，方 程是一元二次方程，所以m≠士3. 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 1.A2.C3D4.3-75解：(1x+1)=号x+1=士子=-号- 3:(2)2x+1=±3，x=-2,x=1. 第2课时用配方法解一元二次方程 1D2.43.士3土号4号具5解：1)泥方，得2+6x十3=-7+3，（十 3=2.由此可得x十3=士Em=-3十E=-3-:(2)移项，得是2十子x= 3.二次项系数化为1，得2十了x=2.配方，得+子x十（合）=2+（日） (+名)-器由此可得x十名=士号=-3=号.6，证明：x-x十1= (仁-)+子.：（仁）≥0，∴()+是>0，“无论x取何值，代数式x 一x十1的值总大于0. 第64页（共72页） 21.2.2公式法 1.C2.A3134.c<-}5解：1方程化为x2-4-4=0.a=1,6=-4,c= 一4，△=-4ac=16-4X1X(-4)=32>0.方程有两个不等的实数根x=4去√厘 2×1 4±4厘，即1=2+22，x=2-2WE;(2)方程化为3x-5x-6=0.a=3,b=-5,c= 2 一6.△=∥-4ac=25-4X3×(-6)=97>0.方程有两个不等的实数根r=5√7， 2X3 即=5+，，=5二√哑.6.解，1D由题意知a≠0，△=6-4a=(a十2)一4a 6 6 =a2十4a十4-4a=a十4.：a2>0,∴△>0，∴.方程有两个不相等的实数根；(2)方程 有两个相等的实数根，.△=b2一4a=0.若b=2,a=1,则方程变形为x2十2x十1=0，解 得x1=x2=-1(答案不唯一). 21.2.3因式分解法 1.C2.C3.D4.x1=3,x2=25.解：(1)移项，得x2-3x-4=0.因式分解，得(x -4)(x十1)=0.于是得x-4=0,或x十1=0，x=4,x2=-1;(2)移项，得x2-4x= -2.配方，得x2-4x十(-2)2=-2十(-2)，(x-2)2=2.由此可得x一2=士2，x1= √2+2，x2=-√2十2：(3)移项，得2(x十1)2-(x十1)=0.因式分解，得(x十1)(2x十1) =0.于是得x+1=0,或2x+1=0,x=-1,m=-分：(40a=5,6=-2,c=-1.△= 6-4ac=(-2)-4×5×(-1)=24>0,方程有两个不等的实数根x=2去√② 2×5 1E,即4=1+5，=1 5 5 5 *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.B2.B3.-24.一15.解：(1)根据题意，得△=(-4)-4(k-1)≥0，解得k 5:(2)根据根与系数的关系，得x1十x2=4,1x2=k-1,:x2十x22=10,.（x1十x2)2 -2x1x2=42-2(-1)=10,解得k=4.:k≤5，.k=4符合题意，故k的值是4. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题与握手问题 1.B2.B3,104.a(1十m)5.解：设应道请x个球队参加比赛.根据题意，得号x(x -1)=15,解得x1=6,x2=-5(舍去).答：应邀请6个球队参加比赛。6.解：设每个 支干长出x个小分支，根据题意，得1十x十x=73,解得x1=8,x2=一9（舍去）.答：每 个支干长出8个小分支. 第2课时平均变化率与销售问题 1.D2.251003.解：(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.根据题 意，得1280(1十x)2=1280+1600,解得x=0.5=50%,x2=-2.5(舍去).答：从 2020年到2022年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；(2)设2022年该地 有a户享受到优先搬迁租房奖励.根据题意，得8×1000×400十5×400(a 1000)≥5000000，解得a≥1900.答：2022年该地至少有1900户享受到优先搬迁租 房奖励.4.解：(1)年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=一10x十900；(2)设 此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(x一30)万元，销售数量为 (-10x十900)台，根据题意，得(x-30)(-10x十900)=8000.整理，得x2一120x十 3500=0,解得x1=50,x2=70.·此设备的销售单价不得高于60万元，∴x=50.答： 该设备的销售单价应是50万元/台. 第3课时几何图形问题 1.C2.B3.(50十2x)(30十2x)=18004.解：(1)(36-2x)(2)由题意可列方程： x(36-2x)=144.解得x1=6,z2=12.当x=6时，36-2x=24>20,不符合题意，舍去. 当x=12时，36-2x=12<20,符合题意.答：当花圃的面积为144m2时，垂直于墙的 一边的长为12m.5.解：设原正方形绿化区域的边长为xm.根据题意，得(x-2)(x 一1)=20.解得：=6，x=一3（不合题意，舍去）.答：原正方形绿化区域的边长是6m 第65页（共72页） 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 1.D2.C3.y=x-14x+480<x<64解：1)S=-2+20x,是二次函数： (2)S=π2，是二次函数：(3)y=x2,是二次函数；(4)C=2πr,不是二次函数. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 1.A2.-903.a>b>dDc4.85.解：(1)把x=3,y=3代入y=ax2,得a×3 =3,解得Q=子，“这个二次函数的解析式为)=子：当x=一2时，y=号×（一2） 4 ：（②）：y=了女a=寸>0，图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 1.B2.C3.B4.D5.解：(1)y=-6x2+4;(2)在对称轴右侧，即当x>0时，y随 x的增大而减小；(3)当x=0时，函数有最大值是4. 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 1.A2.D3下(20）x=号4.为>>5.-326解：如图 (1)当-2≤x≤-1时，y的取值范围是4≤y≤9：(2)当0≤x 4-3-2-101234x -I -2h -3 -4 3时，y的取值范围是0y4. 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 1.A2.D3.B4.D5.3 22.1.4二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 1.C2.D3.74.y=2(x+2)2-3x=-2(-2,-3)5.y=2xr+16.4 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 112 1.A2.D3.y=-4(x+2)2+4(或y=-4x2-16x-12)4.y=-10(x-z）+4 (或y=-10x+10x+）5.解：(1)把点A(0,2),B(1,0)代入y=x+a+c,得 1c=2, {1+b+c=0, 解得2,3这个二次函数的解析式为y=x3x+2:(2):y户 一8江十2=（一号）广-子“这个二次函数图象的对称轴为直线x=名，顶点为 (受，-子)3)把x=-2代入y=-3x+2,得y=(-2-3×(-2)+2=12, .点P(一2,15)不在这个函数的图象上. 22.2二次函数与一元二次方程 1.B2.D3.4或-8或-24.(1)x1=-1,x2=2(2)x≤-1或x≥2 5.解：(1)y=x2-4x十3a十2=(x-2)2+十3a-2,其性质有：①开口向上：②有最小值 3a-2;③对称轴为直线x=2;(答案不唯一)(2)：二次函数的图象在x≤4的部分与一 次函数y=2x-1的图象有两个交点，令x2-4x十3a十2=2x-1,整理为x2-6x十3a +3=0,.△=(-6)2-4×1×(3a十3)=24-12a>0,解得a<2.把x=4代入y=2x -1,解得y=2×4-1=7.把(4,7)代入y=x2-4x十3a十2，得7=16-16+3a十2，解 得a=号，故a的取值范围为号<a<2。 22.3实际问题与二次函数 第1课时二次函数与图形面积问题 1.C2.s=-r+10x5253.38m4.S=92+5x0<r<2) 2 第66页（共72页） 5.解：根据题意，得y=x(90-x)×20,即y=-20(x2-90x)=-20(x-45)2十40500， :-20<0,.当x=45时，y有最大值，y最大值=40500.答：当底面的宽x为45cm时， 抽屉的体积最大，最大值为40500cm3. 第2课时二次函数与商品利润问题 1.C2.205万元3.1214.解：(1)由图象知，图象过点(8,36)，(16,20).设y与x之 间的函数解析式为y=kx十b≠0)，把(8,36)，(16,20)代入，得8十b-36；解得 16k+b=20, 二2y与x之间的函数解析式为y=一2x十52(8≤≤16)：(2)设公司获得利润 b=52. 为w元.根据题意，得w=(x-8)y=(x-8)(-2x十52)=-2x2十68x-416=-2(x 一17)2十162.一20，∴.当8x16时，w随x的增大而增大，∴.当x=16时，w有 最大值，最大值为一2×(16一17)2十162=160（元）.答：当售价为16元时，公司能获得 最大利润，最大利润是160元. 第3课时抛物线形实际问题 1.C2.y=-号(x十6)+43.解：1)由题意，得点B的坐标为0,4)，点C的坐标 4=c, 人号g型 1c=4, 抛物线的函数解析式为y=一6x十2x十4.“y=-6x+2x+4=一6(x-6)”+ 10,.拱顶D到地面OA的距离为10m;(2)由题意，得货运汽车最外侧与地面OA的 点为(2,0)或(10,0).当x=2或x=10时y=号>6，∴这辆货车能安全通更 第二十三章旋转 23.1图形的旋转 第1课时旋转的概念及性质 1.A2.D3.30°4.70°5.2√3 第2课时旋转作图 1.C2.A3.D4.(5,2)5.解：(1)如图， △ABC即为所求； (2)易得四边形ABAB是菱形，Sa,AB=子X6X4=12. 23.2中心对称 23.2.1中心对称 1.D2.B3.64.(41w3)5.解：如图所示.下 23.2.2中心对称图形 1.B2.C3.C4.轴对称一、口、王、田5.解：∠B与∠F相等.理由如下：将 △ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC,∴·∠B=∠DEC.:AF∥ BE,.∠F=∠DEC,∴.∠B=∠F. 23.2.3关于原点对称的点的坐标 1.C2.C3.(1,一5)4.解：(1)如图，△ABC即为所求，其中点C的坐标为 (一2，一1)；(2)如图，△A2B2C即为所求. v -16 456x 第67页（共72页） 23.3课题学习图案设计 1.C2.D3.D4.D 第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 1.B2.B3.10°4.5√35.22° 24.1.2垂直于弦的直径 1.B2.A3.过圆心的直线圆心4.65.解：过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥CD 于点F,连接OD.0B,则AE=BE=AB=×4=2.DF=CF=子CD=号×4=2. 在Rt△OBE中，OB=√5，BE=2,∴.OE=√OB-BE=√/(5)2-22=1.同理可得 OF=1.:AB⊥CD,OE⊥AB,OF⊥CD,.∠EPF=∠PEO=∠OFP=90°，.四边形 OEPF为矩形，∴.OE=PF=1.∴.OP=√OF十PF=√1十1=√2. 24.1.3弧、弦、圆心角 1.B2.A3.67.5°4.①②③④5.证明：DE∥AB,CO⊥AB,∴.DE⊥CO.D是 CO的中点，.DE垂直平分CO,.CE=OE.又OE=OC,∴.OE=OC=CE,∴.△COE 是等边三角形，∴.∠COE=60°.：CO⊥AB,∴∠COB=90°，∠EOB=90°-∠DOE= 90°-60°=30°，∴.∠COE=2∠E0B,.EC=2BE. 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 1.B2.A3.B4.D5.35°6.4 第2课时圆内接四边形 1.C2.B3.B4.D5.160° 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 1.B2.D3.在△ABC中，最多有一个锐角4.点P在⊙O内或⊙O上5.解：易得 OA=√OD+AD=√6+6=6√W2,OB=√OD+BD=√6+82=10，OC= √OD+CD=√6+(5√3)2=√1I.又，OA<r,OB=r,OC>r,∴.点A在⊙O内， 点B在⊙O上，点C在⊙O外. 24.2.2直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系 1.A2.D3.2cm或8cm4.3<≤4或，=25.解：过点0作OD⊥AB于点D. :∠A=90,∠C=60,∠B=30.B0-=,0D=号x,令号x=2,得=4.当0< x<4时，AB所在的直线与⊙O相交：当x=4时，AB所在的直线与⊙O相切；当x>4 时，AB所在的直线与⊙O相离. 第2课时切线的判定与性质 1.A2.A3.49°4.44°5.解：(1)连接OA..O℃=BC,2AC=OB,.OC=BC AC=OA,.△ACO是等边三角形，∴∠O=∠OCA=60°.：AC=BC,∠CAB= ∠B,又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB十∠B=2∠B,∴.∠B=∠CAB= 30°.又∠OAC=60°，.∠OAB=∠CAB+∠OAC=90°.OA是圆的半径，.AB是 ⊙O的切线；(2)过点A作AE⊥CD于点E.:∠O=60°，.∠D=30°.：∠ACD=45°， AC=OC=2,.在Rt△ACE中，CE=AE=√2..在Rt△ADE中，∠D=30°，.AD= 2AE=2√2，∴.DE=√JAD-AE=√/(22)2-(W2)2=√6，∴.CD=DE+CE=√6+√2. 第3课时切线长定理和三角形的内切圆 1.D2.D3.A4.219°5.解：(1).PA,PB切⊙O于A,B,CD切⊙O于E,.PA =PB=6,ED=BD,CE=AC,.△PCD的周长为PD+DE+PC+CE=2PA=12; (2)连接OE,OA,OB..PA,PB切⊙O于A,B,CD切⊙O于E,.∠OAC=∠OEC= ∠OED=∠OBD=90°，∴.∠AOB+∠P=180°，∴.∠AOB=180°-∠P=180°-50°= 130°.由切线长定理，得∠AOC=∠EOC,∠EOD=∠BOD,∴·∠COD=∠EOC+ ∠E0D=(∠A0E+∠EOB)=号∠A0B=号X130=65. 第68页（共72页） 24.3正多边形和圆 1.B2.D3.54°4.解：(1)108°(2)△AMN是正三角形.理由如下：连接ON,NF, 由题意可得：FN=ON=OF,∴.△FON是等边三角形，∴.∠NFA=60°，∴∠NMA= 60°，同理可得：∠ANM=60°，∴∠MAN=60°，.△AMN是正三角形；(3)连接OD, OC.正五边形ABCDE内接于⊙O,∠COD=6=72°.易得AF⊥CD,∠DO万 =36°，∴.∠DON=∠FON-∠DOF=60°-36°=24°.，360°÷24°=15，.n的值是 15. 24.4弧长和扇形面积 第1课时孤长和扇形面积 1.B2.B3.4π4.π5.解：(1)·∠COA+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90°， OA=OB. ∴.∠COA=∠BOD.在△OCA和△ODB中， ∠COA=∠DOB,.△OCA≌△ODB OC-OD, (SAS),.AC=BD:(2)由(1)知△OCA≌△ODB,.∴.S△oCA=SAODB,∴.S阴整=Sm形OAB- am=26-子R-r 第2课时圆锥的侧面积和全面积 1.C2.A3.A4.D5.216°6.102 第二十五章概率初步 25.1随机事件与概率 25.1.1随机事件 1C2.B3.C4C5.号6.蓝 25.1.2概率 1.2.B3C4D5.B6B7吉8 25.2用列举法求概率 第1课时用列表法求概率 1.A2A3C4D5吉6号7号 4 第2课时用树状图法求概率 1C2.A3.行4.解：1片 (2)他们制定的游戏规则是公平的.理由如下：画树 状图，如图所示： 开始 由树状图可知，共有6种机会均等的情况，其中满足 23 12 。>6的有3称，：P(小杨获胜)=号=名P小东获胜)=1-令=？P小杨获胜) =P(小东获胜)，故他们制定的游戏规则是公平的. 25.3用频率估计概率 0D2.C3124.805.解：1)7(2)由题意，得+2X100%=40%,解得n 23. 第二十六章反比例函数 26.1反比例函数 26.1.1反比例函数 1.C2.C3.64.反y=3005.解：设=k1(红+1)，=三.：y=2y-,y x x ,4=4k1一k2, =2k,(x十1)-.“当x=1时，y=4当x=2时，y=3, 3=6,，解得 k2=-3, 第69页（共72页）22.2二次函数与一元二次方程 1.已知二次函数y=x2一3x十m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程x2一3.x十m=0的两个实数根是 () A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3 2.二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y>0时，x的取值范 围是 ) A.x<-1 B.x>3 C.-1x<3 D.x<-1或x>3 (第2题图) ◆（第4题图） 3.已知抛物线y=x2-(a十2)x十9的顶点在坐标轴上，则a的值为 4.如图，抛物线y=ax2+bx十c与直线y=x十交于A,B两点. (1)方程a.x2+bx十c=kx+m的解为 (2)不等式ax2十bx十c≤kx+m的解集为 5.已知二次函数y=x2-4.x十3a十2(a为常数). (1)请写出该二次函数的三条性质； (2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数 y=2x一1的图象有两个交点，求a的取值范围. ·17· 22.3实际问题与二次函数 第1课时二次函数与图形面积问题 1.九年级(2)班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8m长的围栏，准备围成一 边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三 角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是 A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2 LLLDLuLMu2 墙 方案1 方案2 方案3 门 B G (第1题图) (第3题图) (第4题图) 2.已知矩形的周长为20cm,设矩形的一边长为xcm,矩形的面积为S(cm),则S与x 的函数关系式为 ,此时当x=cm时，S最大值= cm2. 3.如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外 用栅栏围成，栅栏总长度为50m,门宽为2m这个矩形花圃的最大面积是 4.如图，矩形ABCD的四个顶点在正三角形EFG的边上，已知△EFG的边长为2，设边 长AB为x,矩形ABCD的面积为S,则S关于x的函数解析式是 S的最大值是 5.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为 180cm,高为20cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？ 最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计） ·18· 第2课时二次函数与商品利润问题 1.某旅行社要组团去外地旅游，经过计算所获营业额y(元)与旅游团人数x(人)之间满足函数 关系式y=一x2十100x十28400，要使所获营业额最大，则此时旅游团人数为 ) A.30人 B.40人 C.50人 D.55人 2.我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该特产的销售 投资与收益的关系为：每投人x万元，可获得利涧P=一(x一60)+41，每年最多 可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 3.某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程 /个 20外- 中，每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示，当10 10----B ≤x≤20时，其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮 01020x/元/个) 产品的最大利润为 元（利润=总销售额一总成本）. 4.某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为8元/kg,已知销售价不低于成本价且物 价部门规定这种产品的销售价不高于16元/kg,市场调查发现，该产品每天的销售量 y(kg)与销售价x(元/kg)之间的函数关系如图所示 (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当售价为多少时，公司能获得最大利润，最大利润是多少？ y/kg 6 O816x/元/kg) ·19· 第3课时抛物线形实际问题 1.为了响应“足球进校园”的号召，兴义市某学校开展了多场足球比赛.在某场比赛中，一 个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h()可以用公式h=-5+ot表示，其 中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，(m/s)是足球被踢出时的速度，如果要求足球 的最大高度达到20m,那么足球被踢出时的速度应该达到 ( A.5 m/s B.10 m/s C.20 m/s D.40 m/s 2.如图是一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m,已 4 m 知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系， 若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=一号（红一6）十4，则选取点B为坐标 原点时的抛物线解析式是 3.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所 示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=一 。x2+b:十c表示，且抛物线上的点C到墙 面OB的水平距离为3m,到地面OA的距离为2 7 m. (1)求该抛物线的函数解析式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向行车道， 那么这辆货车能否安全通过？ B ·20·