27.3.1圆中的计算 –弧长和扇形面积 课件-2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦弧长、扇形及弓形面积的计算，通过合作探究复习圆周长与面积，以圆心角占比问题链搭建学习支架，从180°、90°等具体圆心角入手推导公式，衔接旧知与新知。 其亮点在于以问题驱动探究，结合滑轮起重机、管道展直等现实情境，培养数学眼光中的几何直观与抽象能力。通过切线证明、阴影面积推理，发展数学思维的运算能力与推理意识。用符号表达公式及割补法，强化数学语言的模型意识。学生能理解公式本质，教师可借助分层练习提升教学效率。

第 1 页：封面 标题：27.3.1 圆中的计算 —— 弧长和扇形面积 副标题：从圆的部分到实际应用的量化求解 落款：初中数学教研组 第 2 页：学习目标与知识衔接 一、学习目标 理解弧长、扇形的定义，掌握弧长与扇形面积公式的推导过程 能灵活运用弧长公式\( l = \frac{n\pi r}{180} \)和扇形面积公式\( S = \frac{n\pi r^2}{360} \)、\( S = \frac{1}{2}lr \)解决计算问题 能结合实际场景与组合图形，提升几何量化分析与综合应用能力 二、知识衔接（回顾旧知） 上单元核心：圆的基本性质（半径、直径）、切线相关定理，及三角形与圆的位置关系（内切圆）； 基础公式回顾： 圆的周长：\( C = 2\pi r = \pi d \)（\( r \)为半径，\( d \)为直径） 圆的面积：\( S_{\text{å��}} = \pi r^2 \) 思考提问：圆上两点间的曲线长度如何计算？圆的一部分区域面积又该如何求解？（引出弧长与扇形面积） 第 3 页：一、核心概念：弧与扇形的定义 1. 弧的定义与分类 弧的定义：圆上任意两点之间的曲线部分叫做圆弧，简称弧，用符号 “⌒” 表示，如以\( A \)、\( B \)为端点的弧记为\( \overset{\frown}{AB} \)。 弧的分类： 劣弧：小于半圆的弧（圆心角小于\( 180^\circ \)），直接用端点表示（如\( \overset{\frown}{AB} \)）； 优弧：大于半圆的弧（圆心角大于\( 180^\circ \)），需标注中间一点（如\( \overset{\frown}{ACB} \)）。 2. 扇形的定义 由圆的两条半径和它们所夹的弧所围成的封闭图形叫做扇形。其中，两条半径的夹角叫做圆心角（用\( n^\circ \)表示），扇形的大小由半径\( r \)和圆心角\( n^\circ \)共同决定。 3. 图形示意 画一个圆\( \odot O \)，标注半径\( OA = OB = r \)，圆心角\( \angle AOB = n^\circ \)，阴影标注\( \overset{\frown}{AB} \)（弧）和扇形\( OAB \)，明确 “半径 - 弧 - 圆心角” 构成扇形的三要素。 第 4 页：二、公式推导：弧长与扇形面积的由来 1. 弧长公式的推导（核心：“比例法”） 推导逻辑：弧长是圆周长的一部分，其长度与圆心角占周角的比例成正比。 周角为\( 360^\circ \)，对应圆的周长\( 2\pi r \)； 圆心角为\( n^\circ \)时，弧长占周长的比例为\( \frac{n}{360} \)； 故弧长公式：\( l = \frac{n}{360} \times 2\pi r = \frac{n\pi r}{180} \)。 2. 扇形面积公式的推导（双重路径） 路径 1：基于圆面积的比例推导 推导逻辑：扇形面积是圆面积的一部分，比例同样由圆心角决定。 圆的面积为\( \pi r^2 \)； 扇形面积占圆面积的比例为\( \frac{n}{360} \)； 故扇形面积公式①：\( S = \frac{n}{360} \times \pi r^2 = \frac{n\pi r^2}{360} \)。 路径 2：基于弧长的推导（“底 × 高 ÷2” 类比） 推导逻辑：将扇形近似看作无数个小三角形的组合，小三角形的底之和为弧长\( l \)，高均为半径\( r \)。 单个小三角形面积：\( \frac{1}{2} \times \text{åº�} \times r \)； 所有小三角形面积之和：\( \frac{1}{2} \times ( \text{åº�ä¹�å��} ) \times r = \frac{1}{2}lr \)； 故扇形面积公式②：\( S = \frac{1}{2}lr \)（适用于已知弧长\( l \)和半径\( r \)的场景）。 3. 公式汇总与符号说明 公式类型 表达式 已知条件 备注 弧长公式 \( l = \frac{n\pi r}{180} \) \( n \)（圆心角度数）、\( r \)（半径） 角度单位为 “度” 扇形面积公式① \( S = \frac{n\pi r^2}{360} \) \( n \)、\( r \) 直接关联圆心角与半径 扇形面积公式② \( S = \frac{1}{2}lr \) \( l \)（弧长）、\( r \) 需先求弧长或已知弧长 第 5 页：三、基础应用：单一公式的直接计算 1. 类型 1：已知半径和圆心角，求弧长与面积 例题 1：基础计算 已知扇形的半径\( r = 5cm \)，圆心角\( n = 60^\circ \)，求该扇形的弧长\( l \)和面积\( S \)。 解：1. 计算弧长：由弧长公式\( l = \frac{n\pi r}{180} = \frac{60\pi \times 5}{180} = \frac{5\pi}{3} \approx 5.23cm \)； 2. 计算面积（用公式①）：\( S = \frac{n\pi r^2}{360} = \frac{60\pi \times 5^2}{360} = \frac{25\pi}{6} \approx 13.08cm^2 \)； 3. 验证（用公式②）：\( S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2} \times \frac{5\pi}{3} \times 5 = \frac{25\pi}{6} \)，结果一致。 2. 类型 2：已知弧长和半径，求圆心角与面积 例题 2：逆向求解 已知扇形的弧长\( l = 3\pi cm \)，半径\( r = 2cm \)，求该扇形的圆心角\( n \)和面积\( S \)。 解：1. 求圆心角：由弧长公式变形\( n = \frac{180l}{\pi r} = \frac{180 \times 3\pi}{\pi \times 2} = 270^\circ \)； 2. 计算面积：由公式②\( S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2} \times 3\pi \times 2 = 3\pi \approx 9.42cm^2 \)。 第 6 页：四、进阶应用：组合图形与实际场景 1. 类型 1：组合图形的弧长与面积计算 例题 3：扇形与三角形组合 如图，在\( \text{Rt}\triangle AOB \)中，\( \angle AOB = 90^\circ \)，\( OA = OB = 4cm \)，以\( O \)为圆心、\( OA \)为半径作\( \overset{\frown}{AB} \)，求阴影部分（扇形\( OAB \)减去\( \triangle AOB \)）的面积。 解：1. 计算扇形面积：\( S_{\text{æ��å½¢}} = \frac{90\pi \times 4^2}{360} = 4\pi cm^2 \)； 2. 计算三角形面积：\( S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8cm^2 \)； 3. 阴影面积：\( S_{\text{é�´å½±}} = S_{\text{æ��å½¢}} - S_{\triangle AOB} = (4\pi - 8) \approx 4.56cm^2 \)。 2. 类型 2：实际场景应用 例题 4：建筑与生活中的计算 建筑设计场景：一个圆形柱体的侧面展开图是扇形，已知扇形半径（柱体母线长）为\( 8m \)，圆心角为\( 120^\circ \)，求该柱体底面圆的周长（即扇形弧长）。 解：\( l = \frac{120\pi \times 8}{180} = \frac{16\pi}{3} \approx 16.76m \)，故底面圆周长为\( \frac{16\pi}{3}m \)。 食品制作场景：一块半径为\( 10cm \)的圆形披萨，切出一个圆心角为\( 45^\circ \)的扇形切片，求该切片的面积。 解：\( S = \frac{45\pi \times 10^2}{360} = \frac{25\pi}{2} \approx 39.25cm^2 \)。 第 7 页：五、知识关联与易错点解析 1. 公式间的核心关联 弧长与扇形面积的桥梁：扇形面积公式②\( S = \frac{1}{2}lr \)建立了两者的直接联系，已知其中两个量可求第三个量； 与圆的公式关系：弧长是周长的\( \frac{n}{360} \)，扇形面积是圆面积的\( \frac{n}{360} \)，本质是 “整体到部分” 的比例转化。 2. 常见易错点 易错点 1：单位混淆 —— 未注意圆心角单位为 “度”，误用弧度制公式（初中阶段均用角度制计算）； 易错点 2：公式记错 —— 弧长公式漏乘\( \pi \)或扇形面积公式分母写错（如将\( 360 \)写成\( 180 \)）； 易错点 3：组合图形拆分错误 —— 计算阴影面积时，混淆 “加”“减” 关系（如多算空白部分或漏减重叠部分）； 易错点 4：逆向计算失误 —— 已知弧长求半径时，公式变形错误（正确变形：\( r = \frac{180l}{n\pi} \)）。 3. 避坑技巧 “公式三查法”：用公式前查已知量（\( n \)、\( r \)、\( l \)）、查单位（圆心角是否为度）、查变形（正向 / 逆向是否正确）； “图形分割法”：组合图形先拆分为扇形、三角形、圆等基本图形，标注面积关系（和 / 差）； “双公式验证法”：计算扇形面积时，用两种公式交叉验证（如用公式①算完后，用公式②核对）。 第 8 页：课堂练习（分层设计） 一、基础题 已知扇形半径\( r = 6cm \)，圆心角\( n = 90^\circ \)，则弧长\( l = \)，面积\( S = \)（答案：\( 3\pi cm \)；\( 9\pi cm^2 \)）； 已知扇形弧长\( l = 2\pi cm \)，半径\( r = 3cm \)，则圆心角\( n = \)______（答案：\( 120^\circ \)）。 二、提升题 如图，扇形\( OAB \)的半径为\( 5cm \)，弧长为\( 4\pi cm \)，求该扇形的面积（答案：\( 10\pi cm^2 \)，提示：用公式②）； 一个圆心角为\( 60^\circ \)的扇形，面积为\( 24\pi cm^2 \)，求其半径和弧长（答案：\( r = 12cm \)；\( l = 4\pi cm \)）。 三、拓展题 在边长为\( 4cm \)的正方形中，以四个顶点为圆心、边长为半径作四分之一圆，求中间重叠部分（花瓣形）的面积（提示：用四个扇形面积和减去正方形面积，答案：\( (8\pi - 16)cm^2 \)）。 第 9 页：课堂小结与作业布置 一、课堂小结 核心概念：弧（劣弧 / 优弧）、扇形（由半径和弧围成），圆心角决定图形大小； 关键公式： 弧长：\( l = \frac{n\pi r}{180} \) 扇形面积：\( S = \frac{n\pi r^2}{360} = \frac{1}{2}lr \) 思想方法：比例转化法（推导公式）、图形分割法（组合图形计算）、数形结合法（实际应用）； 应用场景：建筑设计、食品制作、机械工程等领域的长度与面积计算。 二、作业布置 必做：教材中 “弧长和扇形面积” 基础计算题（3 道）、组合图形面积题（1 道）； 选做：测量家中圆形物品（如盘子）的半径，计算圆心角为\( 100^\circ \)的扇形弧长和面积，并说明计算过程； 思考：扇形面积公式\( S = \frac{1}{2}lr \)与三角形面积公式有何相似之处？为什么会有这种联系？ 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 27.3.1圆中的计算 – 弧长和扇形面积 第27章 圆 a i T u j m i a N g 图片欣赏 情景导入 如图，在运动会的 4×100 米比赛中，甲和乙分别在第 1 跑道和第 2 跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 怎样计算弯道的“展直长度”？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 情境引入 图片来源：新浪体育 情景导入 问题1 半径为 r 的圆，周长是多少？ O r 问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别占圆周长的多少? O r 90° O r 45° O r n° 合作探究 O r 180° 与弧长相关的计算 探究新知 (1) 圆心角是 180° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 (2) 圆心角是 90° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 (3) 圆心角是 45° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 (4) 圆心角是 n° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ________. ________. ________. ________. 探究新知 注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的. 知识要点 弧长公式 算一算 已知弧所对的圆心角为 60°，半径是 4，则弧长为 ． 探究新知 · O A 解：设半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的度数为 n°，则 解得 n ≈ 90°. 因此，滑轮旋转的角度约为 90°. 例1 一滑轮起重机装置 (如图)，滑轮的半径 R = 10 cm，当重物上升 15.7 cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 逆时针方向旋转多少度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π 取 3.14) 典例精析 探究新知 练一练 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度 L (单位：mm，精确到 1 mm). 解：弧 AB 的长为 因此所要求的展直长度 L = 2×700 + 500π ≈ 2971 (mm). 答：管道的展直长度约为 2971 mm. 700 mm 700 mm R = 900 mm ( 100° A C B D O 探究新知 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 与扇形面积相关的计算 概念学习 探究新知 判断：下列图形是扇形吗？ √ × × × √ 练一练 探究新知 合作探究 问题1 半径为 r 的圆,面积是多少？ O r 问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几？具体是多少呢? O r 180° O r 90° O r 45° O r n° 探究新知 圆心角占 周角的比例 扇形面积占 圆面积的比例 扇形 的面积 = 探究新知 半径为 r 的圆中，圆心角为 n° 的扇形的面积 ①公式中 n 的意义：n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 注意 知识要点 探究新知 ● O A B D C E F ● O A B C D 问题3 扇形的面积与哪些因素有关？ 大小不变时，对应的扇形面积与 有关， 越长，面积越大. 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大. 圆心角 半径 圆心角 总结：扇形的面积与圆心角、半径有关. 探究新知 问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？ A B O O 类比学习 探究新知 例2 如图，圆心角为 60° 的扇形的半径为 10 cm. 求这个扇形的面积和周长（精确到 0.01 cm2 和 0.01 cm）. O r 60° 解：∵ n = 60，r = 10 cm， ∴ 该扇形的面积为 该扇形的周长为 探究新知 1. 已知扇形的半径为 2 cm，其弧长为 cm，则这个扇形的面积 S = . 2. 已知扇形的圆心角为 120°，半径为 2，则这个扇形的面积 S = . 练一练 探究新知 例3 如图，点 D 在⊙O 的直径 AB 的延长线上，点C 在 ⊙O 上，AC = CD，∠ACD = 120°． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积． （1）证明：连接 OC． ∵ AC = CD，∠ACD = 120°， ∴ ∠A = ∠D = 30°． ∵ OA = OC，∴∠ACO = ∠A = 30°． ∴∠OCD = 180°-∠A -∠D -∠ACO = 90°，即 OC⊥CD， ∴ CD 是⊙O 的切线． 探究新知 (2) ∵∠A = 30°， ∴∠COB = 2∠A = 60°． 在 Rt△OCD 中， 探究新知 例4 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2). (1) O . B A 讨论：(1) 截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 阴影部分. 探究新知 (2) 水面高 0.3 m 是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，并延长 OD 交圆 O 于 C. 则线段 DC 的长为水面高. (3) 要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ S阴影 = S扇形 OAB - S△OAB O. B A D (2) C 探究新知 ∵ OC＝0.6，DC＝0.3， ∴ OD＝OC - DC＝0.3. ∴ OD＝DC. 又 AD⊥OC， ∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线. ∴ AC＝AO＝OC. 从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°. O. B A C D 解：如图，连接 OA、OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交 于点 C，连接 AC. 探究新知 在 Rt△AOD 中，OA = 0.6 m，OD = 0.3 m， ∴ AD = m. ∴ AB = 2AD = m. ∴ 截面上有水部分的面积为 S = S扇形AOB - SΔOAB O. B A C D 探究新知 左图： S弓形 = S扇形 - S三角形 右图：S弓形 = S扇形 + S三角形 O O 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 知识要点 弓形的面积公式 探究新知 2. 某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 1. 已知弧所对的圆周角为 90°，半径是 4，则弧长为 . B 4π 课堂练习 3.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2 cm，则图中阴影部分的面积是 . A B C D 课堂练习 4.（例题变式题） 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.9 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2）. O A B D C E 解： 课堂练习 5. 如图，一个边长为 10 cm 的等边三角形模板 ABC 在水平桌面上绕顶点 C 按顺时针方向旋转到 △A'B'C 的位置，求顶点 A 从开始到结束所经过的路程. 解：由图可知，由于∠A'CB' = 60°，则等边三角形木板绕点 C 按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' = 120°，这说明顶点 A 经过的路程长等于弧 AA' 的长. ∵ 等边三角形 ABC 的边长为 10 cm， ∴ 弧 AA' 所在圆的半径为 10 cm. ∴ 所求路程为 l弧AA' A B A' B' C 课堂练习 返回 1．[2024常州期末]已知扇形的半径为12，圆心角为60°，则这个扇形的弧长为(　　) A．9π B．6π C．3π D．4π D 考试考法 29 D 返回 考试考法 30 返回 B 3．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 考试考法 31 4．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则该扇形的面积为________． 3π 返回 考试考法 32 8π 考试考法 33 考试考法 返回 考试考法 6．如图，已知AB是⊙O的直径，E为弦CD的中点，连结OC，OD. 考试考法 36 (1)求证：∠BOD＝2∠BAC； 考试考法 37 (2)若CD＝AC＝4，求阴影部分的面积． 考试考法 38 返回 考试考法 弧长 计算公式： 扇形 公式 阴影部分面积 求法：整体思想 弓形 公式 S弓形 = S扇形 - S三角形 S弓形 = S扇形 + S三角形 割补法 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 2．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝10，BC＝6.则线段AB扫过的图形(阴影部分)面积为(　　) A.10π B.π C.π D.π 5．[2024苏州]铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连结而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若 AB＝2，则花窗的周长(图中实线部分 的长度)＝________.(结果保留π) 【点拨】如图，过点C作CM⊥AB于点M. ∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， ∴OA＝OB，∠AOB＝＝60°. ∴△AOB是正三角形． ∵点C是△AOB的内心，∴∠CAB＝ ∠CBA＝×60°＝30°.∴CA＝CB，∠ACB＝120°. 又∵CM⊥AB，∴AM＝BM＝ AB＝. 在Rt△ACM中，AM＝，∠CAM＝30°， ∴AC＝＝2. ∴的长为＝π.∴花窗的周长为π×6＝8π. 【证明】如图，连结AD. ∵AB是⊙O的直径，E为弦CD的中点， ∴＝.∴∠CAB＝∠BAD. 又∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝2∠BAC. 【解】∵AB是⊙O的直径，E为弦CD的中点， ∴AB⊥CD，CE＝CD＝2. ∴AB是CD的垂直平分线．∴AC＝AD. 又∵CD＝AC＝4， ∴CD＝AC＝AD＝4.∴△ACD是等边三角形． ∴∠ADC＝60°，易得OA＝. ∴S△AOC＝AO·CE＝××2＝，∠AOC＝120°. ∴S扇形AOC＝＝. ∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝－. $