26.3.2二次函数与一元二次方程(不等式)的关系 课件-2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过小球飞行高度问题导入，从具体情境抽象出函数值与方程的转化，搭建从实际问题到数学模型的学习支架，衔接判别式、交点个数及不等式等知识点。 其亮点在于以现实情境引导学生用数学眼光观察，通过判别式推理交点个数培养数学思维，用表格和图象系统总结关系发展数学语言。例如例1证明抛物线与x轴总有交点强化推理意识，图象法求近似解提升几何直观。学生能深化知识联系，教师可直接用于课堂教学提高效率。

第 1 页：封面 标题：26.3.2 二次函数与一元二次方程（不等式）的关系 副标题：以形助数，以数解形的深度融合 落款：初中数学教研组 第 2 页：学习目标与核心关联梳理 一、学习目标 明确二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的内在逻辑关联，掌握三者的转化方法 能通过判别式判断二次函数与 x 轴的交点情况，熟练利用函数图象求不等式的解集 提升数形结合思想的应用能力，解决含参数、与几何结合的综合问题 二、核心关联图谱（三者的 “桥梁” 关系） 三、核心概念对应表 研究对象 核心要素 几何意义（二次函数图象视角） 代数意义（方程 / 不等式视角） 二次函数 解析式、顶点、对称轴、开口方向 抛物线的形状、位置、升降趋势 变量 x 与 y 的对应关系 一元二次方程 根的个数、根的值（△、求根公式） 抛物线与 x 轴交点的横坐标 使函数值 y=0 的自变量 x 的值 一元二次不等式 解集（x 的取值范围） 抛物线在 x 轴上方（>0）或下方（<0）对应的 x 取值区间 使函数值满足 y>0 或 y<0 的自变量 x 的集合 第 3 页：基础关联 1：二次函数与一元二次方程的关系 一、核心定理（交点与根的等价关系） 对于二次函数\( y = ax^2 + bx + c \)（\( a eq 0 \)）和一元二次方程\( ax^2 + bx + c = 0 \)： 抛物线与 x 轴的交点横坐标 ⇨ 方程的实数根，二者的对应关系由判别式\( \Delta = b^2 - 4ac \)决定。 二、三种情况全解析（结合图象与代数） 判别式情况 方程根的情况 抛物线与 x 轴的交点情况 图象示意（以 a>0 为例） 关键结论 \( \Delta > 0 \) 两个不相等的实数根\( x_1,x_2 \) 两个不同交点\( (x_1,0),(x_2,0) \) 抛物线与 x 轴相交于两点 对称轴\( x = \frac{x_1+x_2}{2} \)，交点距离\( |x_1-x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} \) \( \Delta = 0 \) 两个相等的实数根\( x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} \) 一个交点（顶点在 x 轴上） 抛物线与 x 轴相切于顶点 顶点坐标为\( (-\frac{b}{2a}, 0) \)，函数有最值 0 \( \Delta < 0 \) 没有实数根 没有交点 抛物线与 x 轴无公共点 函数值恒正（a>0）或恒负（a<0） 三、基础例题应用 例 1：已知二次函数\( y = x^2 - 4x + 3 \)，判断其与 x 轴的交点情况，并求交点坐标。 解：1. 计算判别式：\( \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4 > 0 \)； 2. 方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的根为\( x_1 = 1 \)，\( x_2 = 3 \)； 3. 故抛物线与 x 轴有两个交点，坐标为\( (1, 0) \)、\( (3, 0) \)。 例 2：若二次函数\( y = 2x^2 + kx + 3 \)的图象与 x 轴只有一个交点，求 k 的值。 解：1. 图象与 x 轴只有一个交点 ⇨ \( \Delta = 0 \)； 2. 列方程：\( k^2 - 4 \times 2 \times 3 = 0 \)→\( k^2 = 24 \)； 3. 解得\( k = 2\sqrt{6} \)或\( k = -2\sqrt{6} \)。 第 4 页：基础关联 2：二次函数与一元二次不等式的关系 一、核心原理（图象位置与解集的对应） 一元二次不等式的解集，本质是二次函数图象在 x 轴特定区域（上方或下方）对应的 x 取值范围，开口方向（a 的符号）和交点横坐标（方程的根）是关键判断依据。 二、解集规律全表（分 a>0 和 a<0 两类） 不等式类型 当 a>0 时（抛物线开口向上） 当 a<0 时（抛物线开口向下） 记忆口诀 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 若\( \Delta > 0 \)：\( x < x_1 \)或\( x > x_2 \)（\( x_1 < x_2 \)）；若\( \Delta = 0 \)：\( x eq -\frac{b}{2a} \)；若\( \Delta < 0 \)：全体实数 若\( \Delta > 0 \)：\( x_1 < x < x_2 \)（\( x_1 < x_2 \)）；若\( \Delta = 0 \)：无解；若\( \Delta < 0 \)：无解 上正下负，开口定方向，交点分区间 \( ax^2 + bx + c < 0 \) 若\( \Delta > 0 \)：\( x_1 < x < x_2 \)（\( x_1 < x_2 \)）；若\( \Delta = 0 \)：无解；若\( \Delta < 0 \)：无解 若\( \Delta > 0 \)：\( x < x_1 \)或\( x > x_2 \)（\( x_1 < x_2 \)）；若\( \Delta = 0 \)：\( x eq -\frac{b}{2a} \)；若\( \Delta < 0 \)：全体实数 上正下负，开口定方向，交点分区间 三、基础例题应用 例：已知二次函数\( y = -x^2 + 2x + 3 \)，求不等式\( -x^2 + 2x + 3 > 0 \)的解集。 解：1. 分析函数特征：a = -1 < 0，抛物线开口向下； 2. 求与 x 轴交点：解方程\( -x^2 + 2x + 3 = 0 \)→\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)→根为\( x_1 = -1 \)，\( x_2 = 3 \)； 3. 结合图象：开口向下，抛物线在 x 轴上方的部分对应 x 的范围为\( -1 < x < 3 \)； 4. 故不等式的解集为\( -1 < x < 3 \)。 第 5 页：进阶场景 1：含参数的综合问题 一、核心思路 含参数问题需结合 “判别式与交点的关系”“开口方向与不等式解集的关系”，建立关于参数的方程或不等式，进而求解参数的取值范围。 二、实例解析 例 1：已知二次函数\( y = (m - 1)x^2 + 2mx + m + 3 \)，若其图象与 x 轴有两个不同的交点，求 m 的取值范围。 解：1. 明确条件：图象与 x 轴有两个不同交点 ⇨ ①是二次函数（a≠0）；②\( \Delta > 0 \)； 2. 列不等式组：\( \begin{cases} m - 1 eq 0 \\ (2m)^2 - 4(m - 1)(m + 3) > 0 \end{cases} \) 3. 求解： 由\( m - 1 eq 0 \)得\( m eq 1 \)； 化简第二个不等式：\( 4m^2 - 4(m^2 + 2m - 3) > 0 \)→\( -8m + 12 > 0 \)→\( m < \frac{3}{2} \)； 综上：\( m < \frac{3}{2} \)且\( m eq 1 \)。 例 2：若不等式\( kx^2 - 2x + k > 0 \)对任意实数 x 都成立，求 k 的取值范围。 解：1. 分类讨论： 当 k = 0 时，不等式化为\( -2x > 0 \)，解集为\( x < 0 \)，不满足 “任意实数 x”； 当 k ≠ 0 时，需满足：①开口向上（k > 0）；②与 x 轴无交点（\( \Delta < 0 \)）； 列不等式组：\( \begin{cases} k > 0 \\ (-2)^2 - 4k \times k < 0 \end{cases} \) 求解： 第二个不等式：\( 4 - 4k^2 < 0 \)→\( k^2 > 1 \)→\( k > 1 \)或\( k < -1 \)； 结合 k > 0，得\( k > 1 \)； 综上：k 的取值范围是\( k > 1 \)。 第 6 页：进阶场景 2：与几何图形结合的问题 一、核心思路 先根据几何图形的性质（如线段长度、位置关系、面积）转化为二次函数的图象特征（如交点坐标、函数值范围），再结合方程或不等式求解。 二、实例解析 例：在平面直角坐标系中，二次函数\( y = x^2 - 2x - 3 \)的图象与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C，求△ABC 的面积，并求当 y > 0 时，x 的取值范围。 解：1. 求交点坐标： 与 x 轴交点：解方程\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)→\( x_1 = -1 \)，\( x_2 = 3 \)，故 A (-1, 0)、B (3, 0)； 与 y 轴交点：令 x = 0，得 y = -3，故 C (0, -3)； 计算△ABC 的面积： 底边 AB 长度：\( |3 - (-1)| = 4 \)； 高：点 C 到 x 轴的距离为 | -3 | = 3； 面积：\( \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \)； 求 y > 0 时 x 的取值范围： 函数 a = 1 > 0，开口向上，与 x 轴交点为 - 1 和 3； 故 y > 0 时，x 的取值范围是\( x < -1 \)或\( x > 3 \)。 第 7 页：综合场景：方程、不等式与函数的融合应用 一、核心思路 当题目同时涉及函数图象、方程根、不等式解集时，需以 “图象” 为核心纽带，先明确函数的关键特征（开口、顶点、交点），再逐层转化条件求解。 二、实例解析 例：已知二次函数\( y = ax^2 + bx + c \)的图象经过点 (1, 0)、(0, 3)，且对称轴为直线 x = -1。 （1）求该二次函数的表达式； （2）判断方程\( ax^2 + bx + c = 5 \)的根的情况； （3）求不等式\( ax^2 + bx + c > 3 \)的解集。 解：（1）求表达式： 设顶点式\( y = a(x + 1)^2 + k \)，代入 (1, 0)、(0, 3)：\( \begin{cases} a(1 + 1)^2 + k = 0 \\ a(0 + 1)^2 + k = 3 \end{cases} \) 解得\( a = -1 \)，\( k = 4 \)，表达式为\( y = -(x + 1)^2 + 4 = -x^2 - 2x + 3 \)； （2）判断方程\( -x^2 - 2x + 3 = 5 \)的根的情况： 整理方程：\( -x^2 - 2x - 2 = 0 \)→\( x^2 + 2x + 2 = 0 \)； 计算判别式：\( \Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 2 = 4 - 8 = -4 < 0 \)； 故方程没有实数根； （3）求不等式\( -x^2 - 2x + 3 > 3 \)的解集： 整理不等式：\( -x^2 - 2x > 0 \)→\( x(x + 2) < 0 \)； 函数\( y = -x^2 - 2x + 3 \)与 y = 3 的交点：令\( -x^2 - 2x + 3 = 3 \)→x = 0 或 x = -2； 函数 a = -1 < 0，开口向下，故\( -x^2 - 2x + 3 > 3 \)对应 x 的范围为\( -2 < x < 0 \)； 解集为\( -2 < x < 0 \)。 第 8 页：课堂练习（分层设计） 一、基础巩固题 已知二次函数\( y = 2x^2 - 4x - 6 \)，其与 x 轴的交点坐标为______，不等式\( 2x^2 - 4x - 6 < 0 \)的解集为______（答案：(3,0)、(-1,0)；-1 < x < 3）； 若二次函数\( y = kx^2 + 2x - 1 \)的图象与 x 轴无交点，则 k 的取值范围是______（答案：k < -1）。 二、进阶提升题 已知二次函数\( y = x^2 - (m + 2)x + 2m \)，若其图象与 x 轴的两个交点之间的距离为 2，求 m 的值（答案：m = 0 或 m = 4）； 若不等式\( -x^2 + bx + c > 0 \)的解集为\( -1 < x < 3 \)，求该二次函数的表达式（答案：\( y = -x^2 + 2x + 3 \)）。 三、综合挑战题 二次函数\( y = x^2 - 2x - 3 \)的图象上有一点 P (x, y)，若点 P 在 x 轴上方，且到 y 轴的距离小于 2，求 x 的取值范围（答案：-2 < x < -1 或 1 < x < 2）。 第 9 页：课堂小结与作业布置 一、课堂小结 核心关联：二次函数是 “母体”，一元二次方程是其 y=0 的特殊情况，一元二次不等式是其 y>0 或 y<0 的取值范围问题，三者通过 “图象” 紧密相连； 关键工具：判别式（判断交点 / 根的个数）、开口方向（判断不等式解集的趋势）、交点坐标（划分不等式的解集区间）； 思想方法：数形结合思想是解决此类问题的核心，需养成 “见数想形、见形思数” 的习惯。 二、作业布置 必做：完成教材中 “二次函数与方程、不等式” 的习题，涵盖基础判断与解集求解； 选做：已知二次函数\( y = ax^2 + bx + c \)的图象过点 (2, 5)，且当 x = 1 时，y 有最小值 3，求当 y ≥ 5 时 x 的取值范围（提示：先求表达式，再结合图象求解集）。 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 26.3.2二次函数与一元二次方程 (不等式)的关系 第26章　二次函数 a i T u j m i a N g 情境引入 问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系： h = 20t - 5t2. 考虑以下问题： 情景导入 (1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？ h = 20t - 5t2 二次函数与一元二次方程的关系 O h/m t/s 15 1 3 故当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m. 解：令 15 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t + 3 = 0， 解得 t1 = 1， t2 = 3. 你能结合上图指出为什么在两个时间小球的高度为 15 m 吗？ 探究新知 (2) 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为 20 m 吗？ O h/m t/s 20 2 解：令 20 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t + 4 = 0， 解得 t1 = t2 = 2. 故当小球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m. h = 20t - 5t2 探究新知 解：令 20.5 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t + 4.1 = 0， 因为 Δ = (-4)2 - 4×4.1＜0， 所以方程无解. 故小球的飞行高度达不到 20.5 m. (3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？ O h/m t/s 你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗? 20.5 h = 20t - 5t2 探究新知 (4) 小球从飞出到落地要用多少时间？ O h/m t/s 令 0 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t = 0， 解得 t1 = 0，t2 = 4. 即当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m. 故小球从飞出到落地要用 4 s 时间. h = 20t - 5t2 解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m， 探究新知 从上面发现，二次函数 y = ax2 + bx + c 何时为一元二次方程? 一般地，当因变量 y 取某一个确定值时，二次函数为一元二次方程. 为一个常数 （确定值） 如：y = 5 时，则 5 = ax2 + bx + c 就是一个一元二次方程. 探究新知 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求对应的自变量 x 的值，可以通过解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x＋3 = 0）得到． 反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x＋3 的值为 0，求自变量 x 的值． 探究新知 思考 观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？当 x 取交点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y = x2 + x - 2； （2）y = x2 - 6x + 9； （3）y = x2 - x + 1. 利用二次函数深入探讨一元二次方程 探究新知 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与 x 轴交点个数 交点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2 - x + 1 y = x2 - 6x + 9 y = x2 + x - 2 0 个 1 个 2 个 x2 - x + 1 = 0,无解 3 x2-6x+9=0,x1=x2=3 -2，1 x2+x-2=0,x1=-2,x2=1 探究新知 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点情况 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 b2 - 4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2 - 4ac＞0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2 - 4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2 - 4ac＜0 知识要点 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点情况与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 探究新知 例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0). (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点； 证明：对于一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0(m ≠ 0)， ∵ Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0， ∴ 一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 一定有两个根. ∴ 抛物线 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0) 与 x 轴总有公共点. 探究新知 解：令 y＝0，则 (x－1)(mx－2)＝0， ∴ x－1＝0 或 mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当正整数 m = 1 时，x2 为整数且 x1≠x2，即抛物线与 x 轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数. ∴ 正整数 m 的值为 1. 例2 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0). (2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值． 探究新知 变式 已知抛物线 y＝x2＋ax＋a－2. (1) 求证：不论 a 取何值，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个交点； (2) 设这个抛物线与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1、x2 的平方和为 3，求 a 的值． (1) 证明：∵ a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴ 不论 a 取何值，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个交点. (2) 解：依题意知 x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴ x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3. ∴ a＝1. 探究新知 例2 用图象法求一元二次方程 x² + 2x - 1 = 0 的近似解 (精确到 0.1). 分析：一元二次方程 x² + 2x - 1 = 0 的根就是抛物线 y = x² + 2x - 1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法. 利用二次函数求一元二次方程的近似解 探究新知 解：画出函数 y = x² + 2x - 1 的图象 (如图)，由图象可知，方程 x² + 2x - 1 = 0 有两个实数根，一个在 -3 与 -2 之间，另一个在 0 与 1 之间. x y O 探究新知 先求位于 -3 到 -2 之间的根，由图象可估计这个根是 -2.5 或 -2.4，利用计算器进行探索，见下表： x … -2.5 -2.4 … y … 0.25 -0.04 … 观察上表可以发现，当 x 分别取 -2.5 和 -2.4 时，对应的 y 由正变负，可见在 -2.5 和 -2.4 之间肯定有一个 x 使 y = 0，即有方程 x2 - 2x -1 = 0 的一个根. 题目只要求精确到 0.1，这时取 x = -2.5 和 x = -2.4 作为根都符合要求.但当 x = -2.4 时 y 更接近 0，故 x1≈-2.4. 同理可得另一近似根为 x2≈0.4. 探究新知 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. (1) 用描点法作出二次函数的图象； (2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似根). (3) 确定方程的解. 由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解. 方法归纳 探究新知 解析：由图象可得该抛物线的对称轴为 x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点 到原点的距离约为 0.5，∴ x2≈0.5. 又∵ 对称轴为 x＝－1，∴ ＝－1. ∴ x1≈2×(－1)－0.5＝－2.5. 故选 B. 例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 B 探究新知 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 方法总结 探究新知 一元二次方程 ax2 + bx + c = m 的根就是二次函数 y = ax2 + bx + c 与直线 y = m (m 是实数) 图象交点的横坐标 . 既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根. 说一说 探究新知 二次函数与一元二次不等式的关系 问题1 函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 ； 不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是___________. 3 -1 O x y x1 = −1，x2 = 3 x < −1 或 x > 3 −1 < x < 3 合作探究 探究新知 拓广探索： 函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________； 不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________. O x 2 (4，2) (−2，2) x1 = −2，x2 = 4 x < −2 或 x > 4 −2 < x < 4 y −2 4 探究新知 问题2 如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个交点，坐标是 . 方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 . 1 (2 ，0) x1 = x2 = 2 2 O x y 探究新知 问题3 (1) 如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有_____个交点； (2) 不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是什么？ 0 解：(1) 当 a＞0 时， ax2 + bx + c＜0 无解. (2) a＜0 时，ax2 + bx + c＜0 的解集 是一切实数. O x y 探究新知 x y O 2 O x y -1 2 x y O y = -x2+x+2 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式： (1)① -x2+x+2=0； ② -x2+x+2>0； ③ -x2+x+2<0. (2)① x2-4x+4=0； ② x2-4x+4>0； ③ x2-4x+4<0. (3)① -x2+x-2=0； ② -x2+x-2>0； ③ -x2+x-2<0. y = x2-4x+4 y = - x2+x -2 ①x1 = -1，x2 = 2 ③x＜-1或 x＞2 ① x1 = x2 = 2 ② x ≠ 2 ③ 无解 ① 无解 ② 无解 ③ x 为全体实数 ②-1＜x＜2 探究新知 二次函数 y = ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点 a＞0 a＜0 有两个公共点 (x1，0)，(x2，0) (x1＜x2) 有一个公共点(x0，0) 没有公共点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系 y＜0，x1＜x＜x2； y＞0，x＜x1或x＞x2. y＞0，x1＜x＜x2； y＜0，x＜x1或x＞x2. y＞0，x0之外的所有实数；y＜0，无解. y＜0，x0之外的所有实数；y＞0，无解. y＞0，所有实数；y＜0，无解. y＜0，全体实数；y＞0，无解. 知识要点 探究新知 判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，a，b，c 为常数) 的一个解 x 的范围是 ( ) A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1. 根据下列表格的对应值： 课堂练习 2. 若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 -x2 + 2x + k = 0 的一个解 x1 = 3，则另一个解 x2 = . -1 y O x 1 3 3. 一元二次方程 3x2 + x - 10 = 0 的两个根是 x1 = -2，x2 = ，那么二次函数 y = 3x2 + x - 10 与 x 轴的交点坐标是 . (-2，0) 和 ( ，0) 课堂练习 4. 若一元二次方程 无实根，则抛物线 的图象位于 (　　) A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限 C. x 轴下方 D. 第二、三、四象限 A 课堂练习 5. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围． 解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1，是一次函数． ∵ 直线 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点，∴ k＝3 符合题意. 当 k ≠ 3 时，函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1，是二次函数． ∵ 二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有公共点， ∴ Δ＝22－4(k－3)＝－4k＋16≥0， 即 k≤4 且 k ≠ 3. 综上所述，k 的取值范围是 k≤4. 课堂练习 1. 抛物线y＝－3x2－x＋4与x轴的交点有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 C 考试考法 [变式][2024长春]若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是________． 【点方法】二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点． 返回 考试考法 2. [教材P29做一做] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为(　　) A．x1＝－4，x2＝2 B．x1＝－3，x2＝－1 C．x1＝－4，x2＝－2 D．x1＝－2，x2＝2 A 返回 考试考法 返回 C 3. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴交于点(3，0)，对称轴为直线x＝1，对于整个抛物线来说，当y≤0时，x的取值范围是(　　) A．0＜x≤3 B．－2≤x≤3　 C．－1≤x≤3 D．x≤－1或x≥3 考试考法 4．[2024杭州月考]下表给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个近似解x1的范围为(　　) A．0.6＜x1＜0.7 B．0.7＜x1＜0.8　 C．0.8＜x1＜0.9 D．0.9＜x1＜1 B 返回 x … 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … y … －0.44 －0.11 0.24 0.61 1 … 考试考法 5．[2024信阳月考]如图，将二次函数y＝x2－4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象(图中的实线)． 考试考法 返回 (1)当x＝－3时，新函数值为________，当x＝1时，新函数值为________； (2)当x＝________时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________________； (4)若直线y＝a与新函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是____________． 5 3 －2或2 －2＜x＜0或x＞2 a＞4或a＝0 考试考法 6．[2024宜春期中]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： 考试考法 (1)求该二次函数的表达式； 【解】由题图知该二次函数的图象与x轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)，顶点坐标为(2，－2)， ∴可设该二次函数的表达式为y＝a(x－2)2－2. 把(1，0)的坐标代入上式，得0＝a(1－2)2－2，解得a＝2. ∴该二次函数的表达式为y＝2(x－2)2－2＝2x2－8x＋6. 考试考法 (2)直接写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集； 【解】由函数图象可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜1或x＞3. 考试考法 返回 (3)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 【解】k＞－2 考试考法 7. 将抛物线y＝2x2－12x＋22绕点(5，2)旋转180°后得到的新抛物线与坐标轴的交点个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 考试考法 b2-4ac 的符号 二次函数 y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根 不等式 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 不等式 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x b2-4ac＞0 b2-4ac＝0 b2-4ac＜0 x1，x2 x1 = x2 = 没有实数根 x＜x1 或 x＞x2 x ≠ x1的一切实数 全体实数 x1＜x＜x2 无解 无解 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ c> $