26.2.3求二次函数的表达式 课件-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

第 1 页：封面 标题：26.2.3 求二次函数的表达式 副标题：基于三种形式的全场景求解方法 落款：初中数学教研组 第 2 页：学习目标与知识回顾 一、学习目标 掌握根据不同已知条件（如三点坐标、顶点与一点、与 x 轴交点与一点）求二次函数表达式的方法 理解二次函数三种形式（一般式、顶点式、交点式）的适用场景，能灵活选择形式求解 提升利用待定系数法解决函数表达式问题的能力，深化方程思想 二、知识回顾（二次函数的三种形式） 函数形式 解析式 关键特征 适用场景 一般式 \( y = ax^2 + bx + c \)（\( a eq 0 \)） 含三个待定系数\( a, b, c \) 已知函数图象上任意三点坐标 顶点式 \( y = a(x - h)^2 + k \)（\( a eq 0 \)） 含三个待定系数\( a, h, k \)，\( (h, k) \)为顶点 已知函数顶点坐标（或对称轴、最值）及另一点坐标 交点式 \( y = a(x - x_1)(x - x_2) \)（\( a eq 0 \)） 含三个待定系数\( a, x_1, x_2 \)，\( x_1, x_2 \)为与 x 轴交点横坐标 已知函数图象与x 轴的两个交点坐标及另一点坐标 第 3 页：方法一：已知三点坐标，用一般式求解（待定系数法） 一、核心原理 一般式 \( y = ax^2 + bx + c \) 含三个待定系数 \( a, b, c \)，需三个独立条件（三点坐标）列三元一次方程组，求解得到系数后确定表达式。 二、求解步骤 设表达式：设二次函数的一般式为 \( y = ax^2 + bx + c \)（\( a eq 0 \)）； 列方程组：将三点 \( (x_1, y_1) \)、\( (x_2, y_2) \)、\( (x_3, y_3) \) 分别代入一般式，得到关于 \( a, b, c \) 的三元一次方程组：\( \begin{cases} ax_1^2 + bx_1 + c = y_1 \\ ax_2^2 + bx_2 + c = y_2 \\ ax_3^2 + bx_3 + c = y_3 \end{cases} \) 解方程组：通过消元法（代入消元、加减消元）求解方程组，得到 \( a, b, c \) 的值； 写表达式：将 \( a, b, c \) 的值代入一般式，得到二次函数的表达式。 三、实例解析 例：已知二次函数图象经过 \( (0, 1) \)、\( (1, 3) \)、\( (-1, 1) \) 三点，求其表达式。 设表达式：\( y = ax^2 + bx + c \)； 列方程组： 代入 \( (0, 1) \)：\( a \times 0^2 + b \times 0 + c = 1 \) → \( c = 1 \)； 代入 \( (1, 3) \)：\( a \times 1^2 + b \times 1 + c = 3 \) → \( a + b + 1 = 3 \)（即 \( a + b = 2 \)）； 代入 \( (-1, 1) \)：\( a \times (-1)^2 + b \times (-1) + c = 1 \) → \( a - b + 1 = 1 \)（即 \( a - b = 0 \)）； 解方程组： 联立 \( \begin{cases} a + b = 2 \\ a - b = 0 \end{cases} \)，解得 \( a = 1 \)，\( b = 1 \)； 写表达式：\( y = x^2 + x + 1 \)。 第 4 页：方法二：已知顶点（或对称轴、最值）与一点，用顶点式求解 一、核心原理 顶点式 \( y = a(x - h)^2 + k \) 中，\( (h, k) \) 是顶点坐标（已知顶点则 \( h, k \) 确定），仅需一个待定系数 \( a \)，代入另一点坐标即可求解。 二、求解步骤 设表达式：设二次函数的顶点式为 \( y = a(x - h)^2 + k \)（\( a eq 0 \)），其中 \( (h, k) \) 为已知顶点坐标； （若已知对称轴 \( x = m \)，则 \( h = m \)；若已知最值为 \( n \)，则 \( k = n \)，需结合开口方向确定 \( (h, k) \)） 求系数\( a \)：将已知的另一点 \( (x_0, y_0) \) 代入顶点式，得到关于 \( a \) 的一元一次方程：\( y_0 = a(x_0 - h)^2 + k \)，解出 \( a \) 的值； 写表达式：将 \( a, h, k \) 的值代入顶点式，可根据需求化为一般式。 三、实例解析 例 1：已知二次函数的顶点为 \( (2, 5) \)，且经过点 \( (3, 7) \)，求其表达式。 设表达式：顶点 \( (2, 5) \)，故设 \( y = a(x - 2)^2 + 5 \)； 求\( a \)：代入 \( (3, 7) \)，得 \( 7 = a(3 - 2)^2 + 5 \) → \( 7 = a + 5 \) → \( a = 2 \)； 写表达式：\( y = 2(x - 2)^2 + 5 \)（或化为一般式 \( y = 2x^2 - 8x + 13 \)）。 例 2：已知二次函数的对称轴为 \( x = -1 \)，最大值为 \( 4 \)，且经过点 \( (0, 3) \)，求其表达式。 设表达式：对称轴 \( x = -1 \) 则 \( h = -1 \)，最大值 \( 4 \) 则 \( k = 4 \)（开口向下，\( a < 0 \)），设 \( y = a(x + 1)^2 + 4 \)； 求\( a \)：代入 \( (0, 3) \)，得 \( 3 = a(0 + 1)^2 + 4 \) → \( a = -1 \)； 写表达式：\( y = -(x + 1)^2 + 4 \)（或化为一般式 \( y = -x^2 - 2x + 3 \)）。 第 5 页：方法三：已知与 x 轴交点及另一点，用交点式求解 一、核心原理 交点式 \( y = a(x - x_1)(x - x_2) \) 中，\( x_1, x_2 \) 是函数与 x 轴交点的横坐标（已知交点则 \( x_1, x_2 \) 确定），仅需一个待定系数 \( a \)，代入另一点坐标即可求解。 二、求解步骤 设表达式：设二次函数的交点式为 \( y = a(x - x_1)(x - x_2) \)（\( a eq 0 \)），其中 \( (x_1, 0) \)、\( (x_2, 0) \) 为已知的与 x 轴交点； 求系数\( a \)：将已知的另一点 \( (x_0, y_0) \) 代入交点式，得到关于 \( a \) 的一元一次方程：\( y_0 = a(x_0 - x_1)(x_0 - x_2) \)，解出 \( a \) 的值； 写表达式：将 \( a, x_1, x_2 \) 的值代入交点式，可根据需求化为一般式或顶点式。 三、实例解析 例：已知二次函数图象与 x 轴交于 \( (1, 0) \) 和 \( (3, 0) \) 两点，且经过点 \( (2, -1) \)，求其表达式。 设表达式：交点横坐标 \( x_1 = 1 \)，\( x_2 = 3 \)，故设 \( y = a(x - 1)(x - 3) \)； 求\( a \)：代入 \( (2, -1) \)，得 \( -1 = a(2 - 1)(2 - 3) \) → \( -1 = a \times 1 \times (-1) \) → \( a = 1 \)； 写表达式：\( y = (x - 1)(x - 3) \)（或化为一般式 \( y = x^2 - 4x + 3 \)，顶点式 \( y = (x - 2)^2 - 1 \)）。 第 6 页：方法选择与综合应用（如何选最优形式） 一、方法选择技巧 已知条件 优先选择的函数形式 理由 任意三点坐标 一般式 三点可列三元方程组，直接求解\( a, b, c \) 顶点（或对称轴、最值）+ 另一点 顶点式 仅需求一个系数\( a \)，计算量小 与 x 轴两交点 + 另一点 交点式 仅需求一个系数\( a \)，无需解多元方程组 条件不明确（如已知两点 + 对称轴） 结合顶点式分析 两点 + 对称轴可确定顶点，再用顶点式求解 二、综合应用实例 例：已知二次函数经过 \( (2, 0) \)、\( (0, -6) \) 两点，且对称轴为 \( x = 1 \)，求其表达式。 分析：已知两点 + 对称轴，优先用顶点式（对称轴 \( x = 1 \) 即 \( h = 1 \)）。 设表达式：\( y = a(x - 1)^2 + k \)； 列方程： 代入 \( (2, 0) \)：\( 0 = a(2 - 1)^2 + k \) → \( a + k = 0 \)； 代入 \( (0, -6) \)：\( -6 = a(0 - 1)^2 + k \) → \( a + k = -6 \)； 联立解得 \( a = 2 \)，\( k = -2 \)； 写表达式：\( y = 2(x - 1)^2 - 2 \)（或化为一般式 \( y = 2x^2 - 4x \)）。 第 7 页：常见错误与避坑技巧 一、常见错误 形式选择不当：如已知顶点却用一般式，增加计算量（需解三元方程组）； 交点式符号错误：误将交点式写成 \( y = a(x + x_1)(x + x_2) \)，忽略 “\( x - x_1 \)” 中的减号（如交点 \( (-2, 0) \) 应写为 \( (x + 2) \)，即 \( x - (-2) \)）； 遗漏\( a eq 0 \)：求解后未验证 \( a \) 是否为 0（若 \( a = 0 \)，则为一次函数，不符合二次函数定义）； 计算错误：解三元一次方程组时，消元步骤出错；代入点坐标时，横坐标或纵坐标代入错误。 二、避坑技巧 “先定形式，再求系数”：拿到题目先分析已知条件，根据条件确定最优函数形式，再动手计算； 交点式 “符号验证”：代入交点坐标验证，如交点 \( (x_1, 0) \) 代入交点式，需满足 \( y = 0 \)； 结果 “回代验证”：求出表达式后，将已知点坐标代入验证，确保所有点都满足表达式； 复杂计算 “分步来”：解方程组时，先消去易消的未知数（如一般式中若有一点是 \( (0, c) \)，可先求出 \( c \)），减少计算步骤。 第 8 页：课堂练习与作业布置 一、课堂练习 基础题（一般式）：已知二次函数过 \( (1, 2) \)、\( (2, 5) \)、\( (-1, 0) \)，求表达式（答案：\( y = x^2 + 2x - 3 \)）； 基础题（顶点式）：已知二次函数顶点 \( (-3, 4) \)，过 \( (-2, 6) \)，求表达式（答案：\( y = 2(x + 3)^2 + 4 \)）； 基础题（交点式）：已知二次函数与 x 轴交于 \( (-1, 0) \)、\( (4, 0) \)，过 \( (0, -8) \)，求表达式（答案：\( y = 2(x + 1)(x - 4) \)）； 提升题（综合）：已知二次函数过 \( (1, 3) \)、\( (3, 3) \) 两点，且最大值为 5，求表达式（答案：\( y = -0.5(x - 2)^2 + 5 \) 或 \( y = -0.5x^2 + 2x + 3.5 \)）。 二、作业布置 必做：教材中求二次函数表达式的基础习题，完成 3 道不同形式的题目（一般式、顶点式、交点式各 1 道）； 选做：已知二次函数图象经过 \( (2, -1) \)，且与 x 轴的两个交点距离为 4，对称轴为 \( x = 1 \)，求其表达式（提示：先确定与 x 轴交点坐标）。 第 9 页：课堂小结 三种核心方法： 一般式：三点定系数，列三元方程组求解； 顶点式：顶点 + 一点，求一个系数\( a \)； 交点式：两交点 + 一点，求一个系数\( a \)。 关键思想：待定系数法（根据未知数个数找对应条件，列方程 / 方程组求解）； 核心技巧：“看条件选形式”，优先选择计算量小的形式，结果需回代验证。 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 26.2.3求二次函数的表达式 第26章　二次函数 a i T u j m i a N g 复习引入 1. 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2. 求一次函数表达式的方法是什么？一般步骤有哪些？ 2 个 2 个 待定系数法 (1) 设：表达式 (2) 代：坐标代入 (3) 解：方程（组） (4) 还原：写表达式 情景导入 { ∴ 典例精析 例1 已知二次函数 y＝ax2＋c 的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式． 解：∵该图象经过点 (2，3) 和 (－1，－3) ， 3 = 4a + c， －3 = a + c， ∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－5. a = 2， c = －5. 解得 关于 y 轴对称 { 特殊条件的二次函数的表达式 探究新知 1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx 的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 解：∵该图象经过点 (-2，8) 和 (-1，5)， 针对训练 图象经过 原点 ∴ 8 = 4a - 2b， 5 = a - b， 解得 ∴ y = -x2 - 6x. { { a = -1， b = -6. 探究新知 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 + k，把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 + k 得 y = a(x + 2)2 + 1， 再把点 (1，-8) 代入上式得 a(1 + 2)2 + 1 = -8， 解得 a = -1. ∴所求的二次函数的表达式是y= -(x+2)2+1或y= -x2-4x-3. 顶点法求二次函数的表达式 探究新知 归纳总结 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是： ① 设函数表达式是 y = a(x + h)2 + k； ② 先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程； ③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 的值； ④ 将 a 用数值换掉，写出函数表达式，然后化为一 般式. 探究新知 例2 一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8，9)，所以可设其表达式为 y = a(x - 8)2 + 9. 又因为它的图象经过点 (0，1)， 所以 1 = a(0 - 8)2 + 9，解得 故所求的二次函数的表达式是 y = (x - 8)2 + 9，即 y = x2 + 2x + 1. 探究新知 解：∵ (-3，0)，(-1，0) 是抛物线与 x 轴的交点， ∴可设其表达式为 y = a(x + 3)(x + 1). 代入点 (0，-3)，得 a(0 + 3)(0 + 1) = -3， 解得 a = -1. ∴ 所求表达式为 y = -(x + 3)(x + 1)，即 y = -x2 - 4x - 3. 选取二次函数图象上的三点 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -2 -4 -3 1 交点法求二次函数的表达式 探究新知 归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法 这种已知抛物线与 x 轴的交点坐标，求表达式的方法叫做交点法. 其一般步骤是： ① 设其表达式是 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分别是两交点的横坐标)； ② 将抛物线经过的第三点的坐标代入表达式，得到关于 a 的一元一次方程； ③ 解方程得出 a 值； ④ 写出表达式，并化为一般式. 探究新知 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？ 这三点不能在同一条直线上（其中两点的连线可垂直于 y 轴，但不可以垂直于 x 轴）. 探究新知 合作探究 一般式法二次函数的表达式 问题1 （1）二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中有几个待定系数？需要抛物线上的几个点的坐标才能求出系数？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象时所列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 探究新知 ① 选取图象经过的三点 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式为 y = ax2 + bx + c，把 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 代入表达式，得 9a - 3b + c = 0， a - b + c = 0， c = -3， 解得 a = -1， b = -4， c = -3. ∴ 所求的二次函数的表达式为 y = -x2 - 4x - 3. 待定系数法 步骤: 1.设：表达式 2.代：坐标代入 3.解：方程(组) 4.还原：写解析式 探究新知 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其一般步骤是： ① 设函数表达式为 y = ax2 + bx + c； ② 代入三点的坐标后得到一个三元一次方程组； ③ 解方程组得到 a，b，c 的值； ④ 把待定系数用求得的值换掉，写出函数表达式. 归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法 探究新知 1. 如图，在平面直角坐标系中，该抛物线的表达式应是 . 注 y = ax2 与 y = ax2 + k，y = a(x + h)2，y = a(x + h)2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式. 注意 x y O 2 -2 -4 2 -2 4 课堂练习 2. 过点 (2，4)，且当 x = 1 时，y 有最值为 6，则其表达式是 . y = -2x2 + 4x + 4 顶点坐标是 (1，6) 课堂练习 3. 已知二次函数的图象经过点 (－1，－5)，(0，－4)和 (1，1)，求这个二次函数的表达式． 解：设这个二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c. 依题意得 ∴ 这个二次函数的表达式为 y＝2x2＋3x－4. a＋b＋c＝1， c＝－4， a－b＋c＝－5， 解得 b＝3， c＝－4. a＝2， 课堂练习 4. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A (－1，0)，B (1，0)，且过点 M (0，1)，求此抛物线的表达式． 解：由于点 A(－1，0)，B (1，0) 是抛物线与 x 轴的交点，故可设该抛物线的表达式为 y＝a(x＋1)(x－1). 又因为抛物线过点 M (0，1)， ∴ 1＝a(0＋1)(0－1)，解得 a＝－1. ∴所求抛物线的表达式为 y＝－(x＋1)(x－1)， 即 y＝－x2＋1. 课堂练习 5. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A (－4，－3)，与 y轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题： (1) 求抛物线的表达式； 解：把点 A (－4，－3) 代入 y＝x2＋bx＋c 得 16－4b＋c＝－3，即 c＝4b－19. ∵ 对称轴是 x＝－3，∴ ＝－3. ∴ b＝6. ∴ c＝4b－19＝5. ∴ 该抛物线的表达式为 y＝x2＋6x＋5. 课堂练习 (2) 若与 x 轴平行的直线和抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求△BCD 的面积． 解：∵ CD∥x 轴，∴ 点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称. ∵ 点 C 在对称轴左侧，且CD＝8， ∴ 点 C 的横坐标为－7. ∴ 点 C 的纵坐标为 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12. 易得点 B 的坐标为 (0，5)， ∴ △BCD 中 CD 边上的高为12－5＝7. ∴ △BCD 的面积为 ×8×7＝28. 课堂练习 返回 C 考试考法 20 A 返回 考试考法 21 返回 B 3．[2024宁波月考]有一个二次函数，已知其图象过(2，0)，(5，0)两点，且与y＝2x2的形状一致，那么该二次函数的表达式为(　　) A．y＝x2＋14x＋10 B．y＝2x2－14x＋20 C．y＝2x2＋14x＋20 D．y＝x2－14x＋10 考试考法 22 4. 一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是_______________________． y＝－x2＋1(答案不唯一) 返回 考试考法 23 5．[2024三门峡期中]如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，OB＝OC＝3OA，则该抛物线的表达式是___________． y＝x2－2x－3 考试考法 24 返回 考试考法 6．[2024丽水期末]已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)的图象如图所示． (1)求c的值； 【解】∵二次函数y＝ax2＋2x＋c (a≠0)的图象经过点(0，3)， ∴将点(0，3)的坐标代入y＝ ax2＋2x＋c(a≠0)，得c＝3. 考试考法 26 返回 (2)求函数的表达式． 【解】∵函数图象经过点A(3，0)， ∴把点A(3，0)的坐标代入y＝ax2＋2x＋3，解得a＝－1. ∴函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3. 考试考法 27 7. 小明在用“描点法”探究二次函数图象的性质时，画出了以下表格： x … －1 0 1 2 3 … y … a b －4 －3 c … 考试考法 28 B 返回 考试考法 29 8． 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，－4)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过x轴上的点A，B，则抛物线的表达式为_________________． 返回 y＝(x－4)2－4 考试考法 30 考试考法 31 ③已知三点坐标 ①已知顶点坐标或对称轴或最值 ②已知抛物线与x 轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y = ax2 + bx + c 用顶点法：y = a(x - h)2 + k 用交点法：y = a(x - x1)(x - x2) (x1，x2 为交点的横坐标) 待定系数法 求二次函数解析式 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，4)，B(1，－2)和C(2，－6)，则这条抛物线所对应的二次函数的表达式为(　　) A．y＝－x2＋3x＋ B．y＝x2＋3x＋ C．y＝－x2－3x＋ D．y＝x2－3x＋ 2．已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的表达式为(　　) A．y＝x2＋2x B．y＝－x2＋2x C．y＝x2－2x D．y＝－x2－2x 【点拨】当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3)． ∴OC＝3.又∵OB＝OC＝3OA， ∴OB＝3，OA＝1.∴B(3，0)，A(－1，0)． 将B(3，0)，A(－1，0)的坐标代入y＝ax2＋bx－3， 得解得 ∴该抛物线的表达式是y＝x2－2x－3. 遗憾的是，部分数据已经遗忘，小明只记得遗忘的三个数a，b，c中有两个数相同．根据以上信息，小明探究的二次函数表达式可能是(　　) A．y＝x2－3x－2 B．y＝x2＋x－ C．y＝2x2－5x－1 D．y＝x2－x－3 m＝n2－n 9．[2024金乡期末]如图，已知抛物线y＝x2－3x与直线y＝2x交于O，A两点．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴，y轴的平行线，与直线OA交于点C，E，以BC，BE为边构造矩形BCDE， 设点D的坐标为(m，n)，则m关于n的 函数关系式是______________． $