专题07 等腰三角形 4大高频考点（期中真题汇编）八年级数学上学期人教版2024

专题07 等腰三角形 4大高频考点概览 考点01 等腰（边）三角形的性质 考点02 等腰（边）三角形的判定 考点03 等腰（边）三角形的判定与性质 考点04 含30°角的直角三角形 地 城 考点01 等腰（边）三角形的性质 一、选择题 1．（24-25八上•江苏无锡•滨湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，BD＝4，则BC＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25八上•江苏南京•鼓楼区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠DEC等于（　　） A．90° B．95° C．100° D．110° 3．（24-25八上•四川自贡•期中）如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为（　　） A．4 B． C．15 D．8 4．（24-25八上•重庆九龙坡区•期中）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 5．（24-25八上•广西南宁•青秀区期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 6．（24-25八上•江苏扬州•仪征市期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE长为（　　） A．7 B．8 C． D．9 7．（24-25八上•北京朝阳区•期中）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的大小为（　　） A．32° B．58° C．74° D．106° 8．（24-25八上•河南周口•川汇区期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，……在射线ON上，点B1，B2，B3，……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 9．（24-25八上•黑龙江哈尔滨•南岗区期中）如图，△ABC是等边三角形，在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝80°，∠BAD＝15°，则∠CDE＝（　　） A．30° B．20° C．35° D．25° 10．（24-25八上•云南昆明•西山区期中）如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（24-25八上•广东佛山•顺德区期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为　 　． 12．（24-25八上•湖南湘潭•雨湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于点E．若BC＝4，△DBC的周长为10，则AE的长为　 　． 13．（24-25八上•重庆江津区•期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝114°，点D在BC上，连接AD，若BA＝BD，DA＝DC，则∠B的度数为　 　． 14．（24-25八上•福建泉州•南安市期中）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为　 　． 15．（24-25八上•浙江绍兴•诸暨市期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE的度数为　 　． 16．（24-25八上•广东河源•期中）如图，等边△ABC，E为△ABC外一点，AE＝AC，连接BE，若∠EBC＝15°，△ACE的面积等于9，则BC的长为　 　． 三、解答题 17．（24-25八上•广东江门•期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数； （2）求证：FB＝FE． 18．（24-25八上•福建厦门•思明区期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD，过D作DF⊥BE于F． （1）求证：BD＝DE； （2）请猜想FC与BF间的数量关系，并证明． 19．（24-25八上•江苏南京•秦淮区期中）如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F，过点B作BP∥AC交EF于点P． （1）若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数． （2）求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP． 20．（24-25八上•陕西渭南•临渭区期中）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD． （1）如图1，求∠BAC的度数； （2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC． 地 城 考点02 等腰（边）三角形的判定 一、选择题 21．（24-25八上•广东广州•期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 22．（24-25八上•广东广州•荔湾区期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，且，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 23．（24-25八上•广东惠州•惠城区期中）如图，下列哪个条件能推出△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，BD＝CD C．AD⊥BC，BD＝CD，∠BAD＝30° D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD 24．（24-25八上•河南焦作•期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，AD、CE相交于点H，则图中的等腰三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 25．（24-25八上•上海长宁区•期中）已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 26．（24-25八上•江苏南京•期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨100米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长200米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 27．（24-25八上•江西南昌•青山湖区期中）在△ABC中，∠B＝∠C，若添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是　 　．（写出一个即可） 28．（24-25八上•辽宁营口•期中）已知A（0，2）、B（4，0），点C在x轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足这样条件的C有　 　个． 29．（24-25八上•山东淄博•博山区期中）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中能判定是等边三角形的是　 　． 30．（24-25八上•北京朝阳区•期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是　 　． 三、解答题 31．（24-25八上•广东珠海•期中）如图，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点D在线段AB的垂直平分线上，∠ABC＝87°，∠ACB＝33°，∠CAE＝27°．求证：△ABD是等边三角形． 32．（24-25八上•吉林长春•期中）已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D． （1）如图1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数； （2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF． 地 城 考点03 等腰（边）三角形的判定与性质 一、选择题 33．（24-25七上•湖北武汉•江汉区期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D．若BD＝1，AB＝3，则BC的长（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 34．（24-25七上•四川泸州•江阳区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是（　　） A．15 cm B．13 cm C．11 cm D．9 cm 35．（24-25七上•重庆九龙坡区•期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C＝60°，AD平分∠BAC交BC于D，AC＝a，AB＝b，BP⊥AD于P，则BP的长为（　　） A．a﹣b B． C． D． 36．（24-25七上•广东江门•期中）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，已知AB＝3，AC＝4，BC＝4.5，则△AMN的周长为（　　） A．6 B．7 C．7.5 D．8.5 37．（24-25七上•福建宁德•蕉城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为（　　） A．12 B．9 C．10 D．11 38．（24-25七上•广东东莞•期中）如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8cm，DE＝2.5cm，则CE的长为（　　）cm． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 39．（24-25七上•海南海口•美兰区期中）如图，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC的垂线MG、MN、NG，三条垂线围成△MNG，若AM＝2，则△MNG的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 40．（24-25七上•山东枣庄•薛城区期中）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，则∠BAE的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 二、填空题 41．（24-25七上•江苏无锡•江阴市期中）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，AD＝2，则AB的长为　 　． 42．（24-25七上•广东云浮•罗定市期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD部分的长度与支杆BC的长度相等，且∠BCD＝60°．若CD的长度为40cm，则此时B、D两点之间的距离为　 　cm． 43．（24-25七上•河北唐山•丰南区期中）已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝　 　． 44．（24-25七上•内蒙古呼和浩特•玉泉区期中）如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E，BF平分∠ABC交DE于点F，若EC＝3EF＝6，则BD＝　 　． 45．（24-25七上•陕西咸阳•秦都区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB＝6，则DE＝　 　． 46．（24-25七上•江苏镇江•丹徒区期中）如图，在△ABC中，AD为∠CAB平分线，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE＝∠C＝15°，AB＝8，则AF＝　 　． 三、解答题 47．（24-25七上•湖南湘西•花垣县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长． 48．（24-25七上•广东惠州•惠城区期中）如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，且AC⊥CB． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝120°，求∠B的度数； （3）当BC＝3，AC＝4，AB＝5时，求点C到直线AB的距离． 49．（24-25七上•河南商丘•夏邑县期中）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 50．（24-25七上•浙江杭州•西湖区期中）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 地 城 考点04 含30°角的直角三角形 一、选择题 51．（24-25七上•四川成都•双流区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°，DE＝2，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．6 52．（24-25七上•北京朝阳区•期中）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC＝3，则DC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 53．（24-25七上•辽宁鞍山•岫岩县期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 54．（24-25七上•广东深圳•罗湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 二、填空题 55．（24-25七上•四川成都•成华区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，DC＝3，则BD的长度为　 　． 56．（24-25七上•福建福州•台江区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长为　 　． 57．（24-25七上•陕西宝鸡•金台区期中）如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为　 　． 58．（24-25七上•四川达州•通川区期中）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM＝10，则DE+DF＝　 　． 三、解答题 59．（24-25七上•广东广州•海珠区期中）如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处．求：此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？ 60．（24-25七上•广东佛山•南海区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，问当t为何值时，△DEC为等边三角形． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 等腰三角形 4大高频考点概览 考点01 等腰（边）三角形的性质 考点02 等腰（边）三角形的判定 考点03 等腰（边）三角形的判定与性质 考点04 含30°角的直角三角形 地 城 考点01 等腰（边）三角形的性质 一、选择题 1．（24-25八上•江苏无锡•滨湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，BD＝4，则BC＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝4， ∴BC＝BD+CD＝8． 答案：D． 2．（24-25八上•江苏南京•鼓楼区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠DEC等于（　　） A．90° B．95° C．100° D．110° 解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线， ∴∠DAC＝∠BAC＝40°， ∵AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED＝＝70°， ∴∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣70°＝110°， 答案：D． 3．（24-25八上•四川自贡•期中）如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为（　　） A．4 B． C．15 D．8 解：连接AO，如图， ∵AB＝AC＝5， ∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC＝AB•OE+AC•OF＝12， ∵AB＝AC， ∴AB（OE+OF）＝12， ∴OE+OF＝． 答案：B． 4．（24-25八上•重庆九龙坡区•期中）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝α， ∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α， ∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC， ∴BN平分∠NDM， ∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α， ∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α， ∴∠C＝2α﹣90°， 答案：D． 5．（24-25八上•广西南宁•青秀区期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 解：∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， 又∵点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 答案：D． 6．（24-25八上•江苏扬州•仪征市期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE长为（　　） A．7 B．8 C． D．9 解：由题意可知：BC＝AB＝AC＝6， ∵BD是∠ABC的平分线，CE＝CD， ∴， ∴BE＝BC+CE＝9． 答案：D． 7．（24-25八上•北京朝阳区•期中）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的大小为（　　） A．32° B．58° C．74° D．106° 解： ∵CA＝CB， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠CBA＝74°． 答案：C． 8．（24-25八上•河南周口•川汇区期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，……在射线ON上，点B1，B2，B3，……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 解：∵△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝∠B2A2A3＝∠B3A3A4＝60°，…，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，… ∵∠MON＝30°， ∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，∠OB2A2＝∠B2A2A3﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，∠OB3A3＝∠B3A3A4﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，…， ∴△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3、…均为等腰三角形， ∴OA1＝A1B1＝2，，…， ∴△A1B1A2的边长为：2＝21，△A2B2A3的边长为：4＝22，△A3B3A4的边长为：8＝23，…， ∴△A5B5A6的边长为：25＝32， 答案：B． 9．（24-25八上•黑龙江哈尔滨•南岗区期中）如图，△ABC是等边三角形，在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝80°，∠BAD＝15°，则∠CDE＝（　　） A．30° B．20° C．35° D．25° 解：∵∠DAE＝80°，AD＝AE， ∴∠ADE＝（180°﹣80°）＝50°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°， 又∵∠ADE＝50°， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°． 答案：D． 10．（24-25八上•云南昆明•西山区期中）如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①∵D是BC的中点，AB＝AC， ∴AD⊥BC，故①正确； ②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC＝CE， ∴无法证明CF⊥AE，故②错误； ③无法证明∠1＝∠2，故③错误； ④∵D是BC的中点， ∴BD＝DC， ∵AB＝CE， ∴AB+BD＝CE+DC＝DE，故④正确． 故其中正确的结论有①④，共两个． 答案：B． 二、填空题 11．（24-25八上•广东佛山•顺德区期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为 　30°　 ． 解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°． 答案：30°． 12．（24-25八上•湖南湘潭•雨湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于点E．若BC＝4，△DBC的周长为10，则AE的长为 　3　 ． 解：∵BC＝4，且△BDC的周长为10， ∴BD+CD＝10﹣4＝6， ∵AD＝BD， ∴AD+DC＝6， ∴AC＝6， ∵AB＝AC， ∴AB＝6， ∵AD＝DB，DE⊥AB， ∴． 答案：3． 13．（24-25八上•重庆江津区•期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝114°，点D在BC上，连接AD，若BA＝BD，DA＝DC，则∠B的度数为 　28°　 ． 解：设∠B＝x，∠C＝y， ∵DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C＝y， ∵∠ADB＝∠C+∠DAC＝2y， ∵BA＝BD， ∴∠ADB＝∠BAD＝2y， ∴∠BAD+∠DAC＝2y+y＝3y＝114°， ∴y＝38°＝∠C， ∴∠B＝180°﹣114°﹣38°＝28°， 答案：28°． 14．（24-25八上•福建泉州•南安市期中）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为 　9　 ． 解：过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F， ∵AB＝AC，BC＝6， ∴BH＝HC＝3， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACH+∠ECF＝90°， ∵∠CAH+∠ACH＝90°， ∴∠ECF＝∠CAH， 在△ACH与△CEF中， ， ∴△ACH≌△CEF（AAS）， ∴EF＝CH＝3， ∴△BCE的面积． 答案：9． 15．（24-25八上•浙江绍兴•诸暨市期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE的度数为 　105°　 ． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD是BC边上的中线， ∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC， ∴∠CDE＝90°， ∵DE＝BC， ∴DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE＝45°， ∴∠AEF＝∠DEC＝45°， ∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF ＝180°﹣30°﹣45° ＝105°， 答案：105°． 16．（24-25八上•广东河源•期中）如图，等边△ABC，E为△ABC外一点，AE＝AC，连接BE，若∠EBC＝15°，△ACE的面积等于9，则BC的长为 　6　 ． 解：过点C作CD⊥AD于点D，设CD＝x，如图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵∠EBC＝15°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°﹣15°＝45°， ∵AE＝AC， ∴AE＝AB＝BC， ∴∠AEB＝∠ABE＝45°， ∴∠BAE＝180°﹣（∠AEB+∠ABE）＝90°， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∵CD⊥AD于点D， 在Rt△ACD中，∠CAE＝30°，CD＝x， ∴AC＝BC＝2x， ∴AE＝AC＝2x， ∴S△ACE＝AE•CD＝9， ∴×2x•x＝9， 解得：x＝3，舍去负值， ∴BC＝2x＝6． 答案：6． 三、解答题 17．（24-25八上•广东江门•期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数； （2）求证：FB＝FE． （1）解：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵∠C＝36°， ∴∠ABC＝36°， ∵BD＝CD，AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°． （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC， ∵EF∥BC， ∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠FEB， ∴FB＝FE． 18．（24-25八上•福建厦门•思明区期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD，过D作DF⊥BE于F． （1）求证：BD＝DE； （2）请猜想FC与BF间的数量关系，并证明． （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD⊥AC， ∴AD＝CD，∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CDE+∠E， ∴∠E＝30°， ∴∠DBE＝∠E， ∴BD＝DE； （2）BF＝3FC； 证明：∵DF⊥BE，∠BCD＝60°， ∴DC＝2FC， ∵BD⊥AC，∠DBC＝30°， ∴BC＝2DC， ∴BC＝4FC， ∴BF＝3FC． 19．（24-25八上•江苏南京•秦淮区期中）如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F，过点B作BP∥AC交EF于点P． （1）若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数． （2）求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP． 解：（1）∵∠A＝∠ABC＝70°，BP∥AC， ∴∠ABP＝∠A＝70°＝∠ABC， ∴∠PBF＝180°﹣2×70°＝40°， ∴∠BPD＝∠F+∠PBF＝25°+40°＝65°； （2）∵∠F+∠FEC＝180°﹣∠C，∠A+∠ABC＝180°﹣∠C， ∴∠F+∠FEC＝2∠A＝2∠ABP． 20．（24-25八上•陕西渭南•临渭区期中）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD． （1）如图1，求∠BAC的度数； （2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC． （1）解：设∠ABD＝x°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝x°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝2x°， 又∵BD＝AD， ∴∠A＝x°， 又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°， ∴∠BDC＝∠C＝2x°， ∴BD＝BC， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴x+2x+2x＝180， 解得x＝36， ∴∠A＝36°， ∴∠BAC的度数为36°； （2）∵E是AB的中点，BD＝AD， ∴EF是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠FBA＝∠FAB＝72°， ∴∠AFB＝∠FAC＝36°， ∴CA＝CF， ∴AB＝AC＝CF， ∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC． 地 城 考点02 等腰（边）三角形的判定 一、选择题 21．（24-25八上•广东广州•期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 解：如图：分情况讨论． ①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 答案：C． 22．（24-25八上•广东广州•荔湾区期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，且，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解：根据非负性得，a﹣b＝0，b﹣c＝0， 解得：a＝b，b＝c， ∴△ABC的形状是等边三角形． 答案：B． 23．（24-25八上•广东惠州•惠城区期中）如图，下列哪个条件能推出△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，BD＝CD C．AD⊥BC，BD＝CD，∠BAD＝30° D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD 解：A、∠B＝∠C，告诉一对内角相等，只能说明△ABC是等腰三角形，该选项不符合题意； B、AD⊥BC，BD＝CD，根据等腰三角形的性质只能说明△ABC是等腰三角形，该选项不符合题意； C、∵BD＝CD，AD⊥BC， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形，该选项符合题意； D、∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，只能说明△ABC是等腰三角形，该选项不符合题意； 答案：C． 24．（24-25八上•河南焦作•期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，AD、CE相交于点H，则图中的等腰三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解： ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵AD是角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴AD＝BD． ∴△ABD是等腰三角形． ∵AD是角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝ED ∴AC＝AE ∴△CDE、△ACE是等腰三角形； 又△CEB也是等腰三角形 显然此图中有4个等腰三角形． 答案：C． 25．（24-25八上•上海长宁区•期中）已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 解：选②AD＝BE；③AF＝BF，不能证明△ADF与△BEF全等，所以不能证明∠1＝∠2， 故不能判定△ABC是等腰三角形． 答案：C． 26．（24-25八上•江苏南京•期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨100米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长200米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：当车长为底时，AB＝AC， 得到的等腰三角形是△ABC； 当车长为腰时，B1C1＝C1A，C1A＝C1B2，C2A＝B3C2，AC2＝C2B4，分别得到的等腰三角形是△AB1C1，△AB2C1， △AB3C2，△AC2B4． 故得到的等腰三角形共有5个． 答案：D． 二、填空题 27．（24-25八上•江西南昌•青山湖区期中）在△ABC中，∠B＝∠C，若添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 　∠B＝∠A（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 解：添加∠B＝∠A． ∵∠A＝∠B，∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形． 答案：∠B＝∠A．（答案不唯一） 28．（24-25八上•辽宁营口•期中）已知A（0，2）、B（4，0），点C在x轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足这样条件的C有 　4　 个． 解：以A为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C1点，此时AC＝AB； 以B为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C2，C3两点，此时BC＝AB； 作AB的垂直平分线交x轴于C4，此时AC＝BC， 即1+2+1＝4， 答案：4． 29．（24-25八上•山东淄博•博山区期中）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中能判定是等边三角形的是 　①②③　 ． 解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确； ②这是等边三角形的判定2，故正确； ③根据等边三角形三线合一性质，故正确． 所以能判定是等边三角形的是①②③． 答案：①②③． 30．（24-25八上•北京朝阳区•期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是 　11　 ． 解：∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC， ∴MB＝MO，NO＝NC， ∵AB＝6，AC＝5， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+MO+ON+AN ＝AM+MB+CN+AN ＝AB+AC ＝6+5 ＝11， 答案：11． 三、解答题 31．（24-25八上•广东珠海•期中）如图，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点D在线段AB的垂直平分线上，∠ABC＝87°，∠ACB＝33°，∠CAE＝27°．求证：△ABD是等边三角形． 解： ∵∠ACB＝33°，∠CAE＝27°，∠AEB是△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝60°， 在△ABE中，∠ABC＝87°， ∴∠BAE＝180°﹣（∠ABC+∠AEB）＝180°﹣（87°+60°）＝33°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝33°+27°＝60°， ∵点D在线段AB的垂直平分线上， ∴DA＝DB， ∴△ABD是等边三角形． 32．（24-25八上•吉林长春•期中）已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D． （1）如图1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数； （2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF． （1）解：∵∠C＝3∠B，∠C＝75°， ∴∠B＝25°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC＝40°， ∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝65°， ∵AE⊥BC， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°， （2）证明：设∠B＝α，则∠C＝3α，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣4α， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC， ∵DF⊥AD， ∴∠ADF＝90°， ∴∠AFD＝90°﹣∠BAD＝2α， ∵∠AFD＝∠B+∠BDF， ∴∠BDF＝α＝∠B， ∴BF＝DF． 地 城 考点03 等腰（边）三角形的判定与性质 一、选择题 33．（24-25七上•湖北武汉•江汉区期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D．若BD＝1，AB＝3，则BC的长（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 解：在DC上截取DE＝BD＝1，连接AE，如图所示： ∵AD⊥BC， ∴AD是BE的垂直平分线， ∴AB＝AE＝3， ∴∠1＝∠B， 又∵∠B＝2∠C，∠1＝∠C+∠2， ∴2∠C＝∠C+∠2， ∴∠2＝∠C， ∴CE＝AE＝3， ∴BC＝BD+DE+CE＝1+1+3＝5． 答案：D． 34．（24-25七上•四川泸州•江阳区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是（　　） A．15 cm B．13 cm C．11 cm D．9 cm 解：∵DE∥AB，BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠ABD＝∠EDB， ∴DE＝BE＝5cm， ∵AB＝AC，DE∥AB， ∴∠C＝∠ABE＝∠DEC， ∴DC＝DE＝5cm，且CE＝3cm， ∴DE+EC+CD＝5cm+3cm+5cm＝13cm， 即△CDE的周长为13cm， 答案：B． 35．（24-25七上•重庆九龙坡区•期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C＝60°，AD平分∠BAC交BC于D，AC＝a，AB＝b，BP⊥AD于P，则BP的长为（　　） A．a﹣b B． C． D． 解：延长BP交AC于点E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵BP⊥AD， ∴∠BPA＝∠APE＝90°， 在△ABP与△AEP中， ， ∴△ABP≌△AEP（ASA）， ∴∠ABP＝∠AEP，BP＝EPBE，AB＝AE＝b， ∵AC＝a， ∴EC＝AC﹣AE＝a﹣b， ∵∠AEB是△BEC的一个外角， ∴∠AEB＝∠EBC+∠C， ∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝∠AEB+∠EBC＝2∠EBC+∠C， ∵∠ABC＝3∠C， ∴∠EBC＝∠C， ∴EB＝EC＝a﹣b， ∴BP＝EPBE（a﹣b）， 答案：C． 36．（24-25七上•广东江门•期中）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，已知AB＝3，AC＝4，BC＝4.5，则△AMN的周长为（　　） A．6 B．7 C．7.5 D．8.5 解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠∠MOB，∠ACO＝∠NOC， ∴MO＝MB，NO＝NC， ∵AB＝3，AC＝4， ∴△AMN的周长＝AM+AN+MN ＝AM+AN+MO+ON， ＝AM+AN+MB+CN ＝AB+AC ＝3+4 ＝7， 答案：B． 37．（24-25七上•福建宁德•蕉城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为（　　） A．12 B．9 C．10 D．11 解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵MN⊥BC， ∴∠MNC＝∠MNB＝90°， ∴∠B+∠BON＝90°，∠C+∠M＝90°， ∴∠M＝∠BON， ∵∠BON＝∠MOA， ∴∠M＝∠MOA， ∴AM＝AO＝3， ∵BO＝4， ∴AB＝AC＝AO+BO＝7， ∴MC＝AM+AC＝10， 答案：C． 38．（24-25七上•广东东莞•期中）如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8cm，DE＝2.5cm，则CE的长为（　　）cm． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 解：∵∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F， ∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG， ∵DF∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG， ∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC， ∴BD＝FD，EF＝CE， ∴△BDF和△CEF为等腰三角形， ∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE， ∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝5.5cm， ∴EC＝5.5cm 答案：C． 39．（24-25七上•海南海口•美兰区期中）如图，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC的垂线MG、MN、NG，三条垂线围成△MNG，若AM＝2，则△MNG的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 解：∵AB⊥MG， ∴∠BAG＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠CAG＝∠BAG﹣∠BAC＝30°， ∴∠G＝60°， 同理：∠M＝∠N＝60°， ∴△MNG是等边三角形． ∴MG＝MN＝NG． 在Rt△ABM中，∠M＝60°， ∴∠MBA＝30°， ∴MB＝2MA＝4， ∵AC⊥NG， ∴∠ACG＝90°， 在△ABM与△CAG中， ， ∴△ABM≌△CAG（AAS）， ∴GA＝MB＝4， ∴MG＝GA+AM＝6， ∴△MNG的周长为MG+MN+NG＝3MG＝18． 答案：B． 40．（24-25七上•山东枣庄•薛城区期中）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，则∠BAE的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 解：由题意可知，AP是EC的垂直平分线， ∴AD⊥BC，DE＝CD， ∴△ADE≌△ADC（SAS）， ∴∠EAD＝∠CAD，∠C＝∠AED， ∴∠EAC＝2∠CAD， ∵∠C＝2∠CAD， ∴∠C＝∠EAC＝∠AED， ∴△AEC是等边三角形， ∴∠C＝∠EAC＝∠AED＝60°， 在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴∠BAE＝75°﹣60°＝15°． 答案：A． 二、填空题 41．（24-25七上•江苏无锡•江阴市期中）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，AD＝2，则AB的长为 　2　 ． 解：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，AD＝2， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD＝2， 答案：2． 42．（24-25七上•广东云浮•罗定市期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD部分的长度与支杆BC的长度相等，且∠BCD＝60°．若CD的长度为40cm，则此时B、D两点之间的距离为 　40　 cm． 解：连接BD， ∵∠BCD＝60°，CD＝BC， ∴△BCD为等边三角形， ∴CD＝BD＝40cm， 答案：40． 43．（24-25七上•河北唐山•丰南区期中）已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝ 　2　 ． 解：如图，连OQ， ∵点P关于直线OB的对称点是Q， ∴OB垂直平分PQ， ∴∠POB＝∠QOB＝30°，OP＝OQ， ∴∠POQ＝60°， ∴△POQ为等边三角形， ∴PQ＝PO＝2． 答案：2． 44．（24-25七上•内蒙古呼和浩特•玉泉区期中）如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E，BF平分∠ABC交DE于点F，若EC＝3EF＝6，则BD＝ 　4　 ． 解：∵EC＝3EF＝6， ∴EF＝2， ∵CD平分∠ACB，BF平分∠ABC， ∴∠ACD＝∠DCB，∠ABF＝∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EDC＝∠DCB， ∴∠ACD＝∠EDC，∠ABF＝∠DFB， ∴ED＝EC＝6，DB＝DF， ∴DF＝DB＝DE﹣EF＝6﹣2＝4， 答案：4． 45．（24-25七上•陕西咸阳•秦都区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB＝6，则DE＝　3　 ． 解：∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵DE∥AC， ∴∠EDA＝∠CAD， ∴∠EDA＝∠EAD， ∴AE＝DE， ∵AD⊥BD， ∴∠EDA+∠EDB＝90°＝∠EBD+∠EAD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝DE， ∴BE＝DE＝AE， ∴， 答案：3． 46．（24-25七上•江苏镇江•丹徒区期中）如图，在△ABC中，AD为∠CAB平分线，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE＝∠C＝15°，AB＝8，则AF＝ 　2　 ． 解：∠DBE＝15°，∠BED＝90°， ∴∠BDA＝75°， ∵∠BDA＝∠DAC+∠C，而∠C＝15°， ∴∠DAC＝60°， ∵AD为∠CAB平分线， ∴∠BAD＝∠DAC＝60°， ∵EF⊥AB于F，BE⊥AD于E， ∴∠FEA＝∠ABE＝30°， ∵AB＝8， ∴AE＝4， ∴AFAF＝2． 答案：2． 三、解答题 47．（24-25七上•湖南湘西•花垣县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长． （1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵FE⊥BC， ∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°， ∴∠F＝∠BDE， ∵∠BDE＝∠FDA， ∴∠F＝∠FDA， ∴AF＝AD， ∴△ADF是等腰三角形； （2）解：∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∵∠F＝30°， ∴∠BDE＝30°， ∵BD＝4， ∴， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝BE+EC＝8， 48．（24-25七上•广东惠州•惠城区期中）如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，且AC⊥CB． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝120°，求∠B的度数； （3）当BC＝3，AC＝4，AB＝5时，求点C到直线AB的距离． （1）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠D＝120°，AB∥CD， ∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠3＝30°， ∵AC⊥CB， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠3﹣∠ACB＝60°； （3）解：过C作CH⊥AB于H， ∵AC⊥CB， ∴∠ACB＝90°， ∴S△ACB， ∴CH， 故点C到直线AB的距离为． 49．（24-25七上•河南商丘•夏邑县期中）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． （1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB， ∵EF⊥AB， ∴∠ABC+∠E＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：AD＝CE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°， ∴∠CDE＝30°＝∠E， ∴CD＝CE， ∵点D是AC边的中点， ∴AD＝CD， ∴AD＝CE． 50．（24-25七上•浙江杭州•西湖区期中）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． （1）解：△DEF是等边三角形，理由如下； ∵AB＝AD，∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°， ∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE， ∴△DEF是等边三角形； （2）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD， ∵AB＝AD， ∴AC平分∠DAB； （3）解：∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴AE＝CE＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4， ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝4， ∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4． 地 城 考点04 含30°角的直角三角形 一、选择题 51．（24-25七上•四川成都•双流区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°，DE＝2，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．6 解：∵DE垂直平分AB，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC， ∴EC＝ED＝2， ∵DE垂直平分AB， ∴∠BDE＝90°． 在△BDE 中， ∵∠BDE＝90°．∠B＝30°． ∴BE＝2DE＝4． ∴BC＝BE+EC＝4+2＝6， 答案：D． 52．（24-25七上•北京朝阳区•期中）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC＝3，则DC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴ECDC， ∴CD＝2EC， ∵EC＝3， ∴CD＝2×3＝6． 答案：C． 53．（24-25七上•辽宁鞍山•岫岩县期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2， ∵DF⊥AC，FE⊥BC， ∴∠AFD＝∠CEF＝90°， ∴∠ADF＝∠CFE＝30°， ∴AFAD，CECF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝1， ∴AF，CF，CE， ∴BE＝BC﹣CE＝2， 答案：C． 54．（24-25七上•广东深圳•罗湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠DAE＝∠EAB＝30°． ∵DF∥AB， ∴∠F＝∠BAE＝30°． ∴∠DAF＝∠F＝30°， ∴AD＝DF． ∵AB＝11，∠B＝30°， ∴AD＝5.5， ∴DF＝5.5 答案：C． 二、填空题 55．（24-25七上•四川成都•成华区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，DC＝3，则BD的长度为 　6　 ． 解：∵∠B＝30°，∠ADC＝60°， ∴∠DAB＝∠ADC﹣∠B＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DAB＝∠B， ∴BD＝AD． 在Rt△ACD中，∠C＝90°，∠ADC＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴AD＝2DC＝2×3＝6， ∴BD＝AD＝6． 答案：6． 56．（24-25七上•福建福州•台江区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长为 　2　 ． 解：过点E作EF⊥BC于F． 在Rt△BEF中，∵∠BFE＝90°，∠B＝60°， ∴∠BEF＝30°， ∵AB＝3，AE＝5， ∴， ∵BC＝6， ∴CF＝BC﹣BF＝6﹣4＝2． ∵ED＝EC，EF⊥BC于F， ∴DC＝2CF＝4， ∴BD＝BC﹣DC＝6﹣4＝2． 答案：2． 57．（24-25七上•陕西宝鸡•金台区期中）如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为 　10　 ． 解：AC与DE相交于G，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵DE⊥AE， ∴∠AGE＝30°， ∴∠CGD＝30°， ∵∠ACB＝∠CGD+∠D， ∴∠D＝30°， ∴CG＝CD， 设AE＝x，则CD＝3x，CG＝3x， 在Rt△AEG中，AG＝2AE＝2x， ∴AB＝BC＝AC＝5x， ∴BE＝4x，BF＝5x﹣6， 在Rt△BEF中，BE＝2BF， 即4x＝2（5x﹣6），解得x＝2， ∴AC＝5x＝10． 答案：10． 58．（24-25七上•四川达州•通川区期中）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM＝10，则DE+DF＝ 　10　 ． 解：如图所示．连接AD， 由条件可知AB＝AC＝BC． ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴， 即， ∴DE+DF＝10． 答案：10． 三、解答题 59．（24-25七上•广东广州•海珠区期中）如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处．求：此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？ 解：（1）据题意得，∠CBM＝60°，∠BAM＝30°， 因为∠CBM＝∠BAM+∠BMA， 所以∠BMA＝30°， 所以∠BMA＝∠BAM， 所以 AB＝BM， AB＝28×0.5＝14， BM＝14， 答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里； （2）∵BC＝14，BM＝BC 且∠CBM＝60° 所以△BMC是等边三角形， 所以 CM＝BC，∠BCM＝60°， 所以CM＝14， 答：轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向． 60．（24-25七上•广东佛山•南海区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，问当t为何值时，△DEC为等边三角形． 解：依题意得：AD＝t cm，CE＝2t cm， 在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm， ∴CD＝AC﹣AD＝（6﹣t）cm，∠C＝60°， ∴当CD＝CE时，△DEC为等边三角形， ∴6﹣t＝2t， 解得：t＝2， 故当t＝2秒时，△DEC为等边三角形． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $