16.3.1平方差公式（大单元教学课件）数学人教版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦平方差公式教学，通过纸片剪拼的几何面积问题导入，从具体图形面积的不同表示抽象出公式，结合公式变形、正误辨析等学习支架，帮助学生逐步理解公式结构与应用逻辑。 其亮点在于以几何直观培养数学眼光，通过判断练习和错误分析发展推理思维，借助环形面积计算、数字规律探究等例题提升应用意识。采用探究式引导和分层练习，学生能提升抽象与运算能力，教师可直接利用系统资源高效开展教学。

人教版 八年级上册 16.3.1 第十六章 整式的乘法 平方差公式 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 记忆口诀 多乘多，来计算， 多项式各项都见面， 乘后结果要相加， 化简、排列才算完. 复习回顾 FU XI HUI GU 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 边长为a的正方形纸片，剪去边长为b（b<a）的正方形，剩余纸片的面积为多少？ b a a b a2−b2 剩余纸片的面积为 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 还有别的计算方法吗？ b a a b a b a-b a2−b2 剩余纸片的面积为 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 还有别的计算方法吗？ b a a b 剩余纸片的面积为 b a b 1 2 (a+b)(a-b) 1 2 (a+b)(a-b) (a+b)(a-b) 当堂练习 QING JING YIN RU 平方差公式 (a + b)(a − b) = a2 − b2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： 1. (a – b)(a + b) = a2 – b2； 2. (b + a)(–b + a) = a2 – b2. 由于剩余纸片面积相等，于是有： 当堂练习 QING JING YIN RU 对平方差公式的理解 注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等． (a + b)(a - b) = a2 - b2 相同为 a 相反为 b 顺序可以不同，只关注相同的符号 可以合理加括号，只关注相反的符号 字母不对应 符号都是相反 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 判断下列式子是否可用平方差公式？ (1)(-a+b)(a+b) (2) (-a+b)(a-b) (3)(a+b)(a-c) (4)(2+a)(a-2) (5) (6) (1-x)(-x-1) (7) (-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 常见的平方差公式及其变形 新知探究 XIN ZHI TAN JIU (l) (－a + b)(a + b) =_________. (2) (a－b)(b + a) = _________. (3) (－a－b)(－a + b) = ________. (4) (a－b)(－a－b) = _________. a2－b2 a2－b2 b2－a2 b2－a2 关注字母（或多项式）的符号 与顺序无关！ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ 两个字母符号相同， 不能运用公式 公式运用错误 符号识别错误 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 0.3x 1 (0.3x)2－12 (a + b)(a - b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (0.3x - 1)(1 + 0.3x) (1 + a)(-1 + a) 根据平方差公式填表： 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 (1)(a+3b)(a– 3b)； =4p2–9； =16x4–y2. 原式=(2p+3)(2p–3) =a2–9b2 ； =(2p)2–32 原式=(–4x2 )2–y2 原式=(a)2–(3b)2 (2)(3+2p)(–3+2p)； (3)(–4x2–y)(–4x2+y). 计算： (4) (－7m＋8n)(－8n－7m)． 原式＝(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 归纳总结 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同， 另一项互为相反数； (2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 归纳总结 ①位置变化 ②符号变化 ③系数变化 ④指数变化 ⑤增项变化 ⑥连用公式变化 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 观察是否满足使用平方差公式的条件 计算： (1) (a+3b)(a － 3b); (2) (3+2a)(－ 3+2a); (3) 51 × 49; (4) (3x+4)(3x－4)－(2x+3)(2x－3). (1) 原式=a2－9b2； (2) 原式=4a2－9； (3) 原式=(50+1)×(50-1)=502-12=2499； (4) 原式=(3x)2－42－[(2x)2－32]=5x2－7. 解： 可使用平方差公式快速计算 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 计算： (1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) . 解： (1)原式=a2(a2－b2)+a2b2 =a4－a2b2+a2b2 =a4; (2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x－25. 典例精析 DIAN LI JING XI 可以写成(2025－1)×(2025 + 1) 进而使用平方差公式 例3 (3) 20252－2024×2026; 解： 20252－2024×2026 = 20252－(2025－1)×(2025 + 1) = 20252 －(20252－12 ) = 20252－20252 + 12 = 1. 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 观察：哪些代数式可以使用平方差公式简便运算？ 解方程或不等式: （1）(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)=(7x+1)(x-1) （2）求(x+5)(x+2)-(x+2)(x-2)<28的正整数解. 解:(1) 4x2-1+3(x2-4)=7x2-6x-1 4x2-1+3x2-12= 7x2-6x-1 6x=12 x=2 (2) x2+7x+10-x2+4 <28 7x +14<28 x <2 因为x为正整数， 所以不等式的解取1. 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：   ； 图②阴影部分面积为：   ； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式 为    . a2－b2 (a+b)(a－b) (a2－b2)=(a+b)(a－b) 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 思考哪些部分可以使用平方差公式 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝，y＝2. 原式＝5×2－5×22＝－10. 解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2. 当 x＝，y＝2 时， 典例精析 DIAN LI JING XI 连续使用平方差公式 例7 果果同学在计算时，把3写成4-1，发现可以连续运用平方差公式计算： = = = 请你借鉴果果同学的经验， 计算： 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 计算： = = = = 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 某公园的环形绿化带的外圆半径为 a米，内圆半径为b米． (1)用关于 a，b的代数式表示这个环形绿化带的面积； (2)若 a=6.25，b=4.25（单位：米），求这个环形绿化带的面积． 解：(1)由题意得，环形绿化带的面 积为πa2-πb2（平方米）； (2)当 a=6.25，b=4.25时， πa2-πb2=π(a2-b2)=π(a+b)(a－b) =(6.25+4.25)×(6.25-4.25)π=10.5×2π=21π（平方米）， 答：这个环形绿化带的面积为21π平方米． 典例精析 DIAN LI JING XI 例9 已知 x≠1，计算： (1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3， (1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4…… (1) 观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________ ( n 为正整数)； (2) 根据你的猜想计算： ① (1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝______； ② 2＋22＋23＋…＋2n＝__________ (n 为正整数)； ③ (x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________； 1－xn+1 －63 2n＋1－2 x100－1 (3) 通过以上规律请你进行下面的探索： ① (a－b)(a＋b)＝_______； ② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝________； a2－b2　 a3－b3　 课堂小结 QING JING YIN RU 内容 分类 1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2 2.抓住 “一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 当堂练习 QING JING YIN RU 1. 计算(3x+1)(3x–1)等于(　　) A．9x2–1 B．6x2–1 C．9x–1 D．9x2+1 A 2. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________． 10 3．计算：118×122＝________． 14396 4. 下列运算中，可用平方差公式计算的是 (　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) C 当堂练习 QING JING YIN RU 5.为了运用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1)时，变形正确的是（　　） A.[x-(2y+1)]2 B.[x+(2y+1)]2 C.[(x+2y)-1)][(x-2y)+1] D.[x+(2y-1)][x-(2y-1)] D 6.如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一 个大平行四边形．剪拼前后的两个图形 可以验证的乘法公式是（    ） A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a－b)2=a2－2ab+b2 C.a2－b2=(a+b)(a－b) D.a2+b2=(a+b)2－2ab C 把(a+b)看作整体：(a+b)2-1=63 (a+b)2=64 a+b=±8 当堂练习 QING JING YIN RU 9.若（a+b+1)(a+b-1)=63,则a+b= . 7.若a2－b2=8，且a+b=4，则a－b= . 2 8.填空： (1)( )(x-4)=x2-16; (2)(mn+3)(mn-3)= . x+4 m2n2-9 ±8 当堂练习 QING JING YIN RU 10. 利用平方差公式计算： （1）(－a－5b)(－a+5b) (2)(m2－2n3) (－m2－2n3) 解：原式 = (－a)2－(5b)2 = a2－25b2 解：原式 = －(m2－2n3) (m2+2n3) = －[(m2) 2－(2n3) 2] =－(m4－4n6) =－m4+4n6 （4）(a－2)(a＋2)(a2＋4)； (3) (x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4). 解：原式 = (x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4) = (x4－y4)(x4＋y4) = x8－y8. 解：原式 = (a2－4)(a2＋4) = a4－16. 当堂练习 QING JING YIN RU 11．先化简，再求值： (1)(3x－y)(y＋3x)－(3y＋x)(3y－x)，其中x＝1，y＝2； 解：原式＝10x2－10y2. 当x＝1，y＝2时， 原式＝－30； (2)－4x(x2－2x－1)＋x(2x＋5)(2x－5)，其中x＝－1. 解：原式＝8x2－21x. 当x＝－1时，原式＝29. 当堂练习 QING JING YIN RU 12.对于任意的正整数 n，整式 (3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 的值一定是 10 的整数倍吗？ 即整式 (3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 的值一定是 10 的整数倍. 解：原式＝9n2－1－(9－n2) ＝10n2－10. ∵ (10n2－10)÷10＝n2－1， n 为正整数， ∴ n2－1 一定为整数. $