精品解析：辽宁省铁岭市开原市2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

2025—2026学年度上学期随堂练习 九年数学（一）北师大 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 关于一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3， B. 3，2 C. 3，5 D. 5，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为，二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c． 【详解】解：关于一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是3，， 故选A． 2. 将多项式进行配方，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，把多项式加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 3. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】B 【解析】 【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 4. 已知2是关于x的方程x2﹣2ax+4=0的一个解，则a的值是（ 　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】把x=2代入方程x2-2ax+4=0，得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】∵x=2是方程x2-2ax+4=0的一个根， ∴4-4a+4=0， 解得a=2． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念，解题时注意：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 5. 观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（  ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A. 1.5＜x＜1.6 B. 1.6＜x＜1.7 C. 1.7＜x＜1.8 D. 1.8＜x＜1.9 【答案】B 【解析】 【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.6＜x＜1.7． 【详解】解：因为x=1.6时，x2-x=0.96， x=1.7时，x2-x=1.19， 所以一元二次方程x2﹣x=1.1的一个解的范围为1.6＜x＜1.7． 故选：B． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点C的坐标是，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，两点之间距离公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形可得，，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴顶点B的坐标是， 故选：A． 7. 已知关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式求解即可，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则为（　　） A. 6 B. 8 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识，由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，由菱形对角线的性质可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴菱形的面积． 故选：C． 9. 某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（ ） A. 每顶帐篷单价为x元 B. 降价后平均每天可出售顶 C. 每顶帐篷单价应降价x元 D. 降价后每顶帐篷利润为元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据所列方程，找出未知数x的含义是解题的关键．利用总利润=每顶帐篷的销售利润×日销售量，可找出及的意义，进而可找出x的意义，再对照四个选项，即可得出结论． 【详解】解：∵每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶，单价每降价10元，每天可多售出4顶， ∴所列方程中表示每顶帐篷的利润，表示平均每天售出帐篷的数量， ∴x表示每顶帐篷单价降低的钱数． 故选：C． 10. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，连接，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，则四边形为矩形 B. 当时，则四边形为矩形 C. 当时，则四边形为矩形 D. 当时，则四边形为菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，求得，得到，推出，当时，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形为矩形，判断A选项；当时，由，得到四边形为平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形为矩形；判断B选项；当时，由，得到，求得，得到四边形为矩形；判断C选项；当时，则是等腰直角三角形，得到，但不能证得四边形是平行四边形，当时，四边形不一定为菱形，判断D选项． 【详解】解：如图，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 当时，， ， ， ， 四边形为矩形，故A选项不符合题意； 当时， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形；故B选项不符合题意； 当时， ， ， ， 四边形为矩形；故C选项不符合题意； 当时，则是等腰直角三角形， ， 但不能证得四边形是平行四边形， 当时，四边形不一定为菱形，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 把方程3x（x﹣1）＝（x+2）（x﹣2）+9化成ax2+bx+c＝0的形式为_____． 【答案】2x2－3x－5＝0 【解析】 【分析】方程整理为一般形式即可． 【详解】解：方程整理得：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．解题的关键是掌握在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 12. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设一元二次方程的两个根为，根据，根据面积公式计算即可． 【详解】设一元二次方程的两个根为， ∵， ∴菱形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数关系定理，菱形的面积公式，熟练掌握根与系数关系定理，菱形的面积公式是解题的关键． 13. 一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出___个小分支． 【答案】5 【解析】 【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案． 【详解】解：设每个支干长出x根小分支， 根据题意可得：1+x+x2＝31， 解得x＝5或x＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴每个支干长出5根小分支， 故答案是：5． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 14. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是_____度． 【答案】22.5 【解析】 【详解】∵ABCD是正方形， ∴∠DBC=∠BCA=45°， ∵BP=BC， ∴∠BCP=∠BPC=（180°-45°）=67.5°， ∴∠ACP度数是67.5°-45°=22.5° 15. 如图，矩形中，与交于点O，分别在和上取点M、N，使得．若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题可先根据矩形性质确定各点坐标相关条件，建立平面直角坐标系，将点M、N坐标用含变量的式子表示，再依据两点间距离公式列出的表达式，最后通过完全平方公式求其最小值． 【详解】解：在矩形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 如图，以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立坐标系．过点M作于点G，则， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为2， 即的最小值为． 故答案为： 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程（请选择合适的方法） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用公式法即可求解； （2）利用配方法即可求解； 【小问1详解】 解： ∴方程有两个不等的实数根 即 【小问2详解】 解：移项，得， 配方，得， 由此可得 17. 已知关于的方程． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的周长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）利用根与系数的关系求得，，再利用完全平方公式得到，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴，，（） ∵斜边长， ∴， ∴，即， 整理得（负值舍去）， ∴， ∴的周长为； ∴的周长为． 18. 我们知道，四边形具有不稳定性，利用这个性质我们可以把如图1所示的衣帽架变化为不同的形状．如图2，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）变化成四边形．解决下列问题． （1）四边形的形状是_______，理由是_______． （2）若正方形的对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂，，则橡皮筋会不会断裂？请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）菱形；四条边相等的四边形是菱形； （2）不会断裂，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理，解题的关键是要掌握菱形的判定及性质． （1）根据正方形的性质可得，则可根据四条边相等的四边形是菱形证明四边形是菱形； （2）设扭动后对角线的交点为，利用菱形的性质及条件，得出为等边三角形，利用勾股定理算出，从而得到，再比较即可判断． 【小问1详解】 解；∵原来的框架是正方形， ∴， ∴四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形）， 故答案为：菱形；四条边相等的四边形是菱形； 【小问2详解】 解：不会断裂，理由如下： 设扭动后对角线的交点为，如下图： ，， 为等边三角形， ， ∵四边形是菱形是菱形 ，， ， ∴， ， 不会断裂． 19. 某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为米（如图），栅栏厚度不计． （1）若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时的值； （2）养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】（1） （2）牛场的总面积不可能达到180平方米， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据题意可得较大长方形的长为米，则较大长方形的宽为（米），依题意得：，再求解即可； （2）依题意得：，再进行求解并判断即可． 【小问1详解】 解：中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，较小长方形的宽为米， 较大长方形的长为米， 则较大长方形的宽为（米）， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去． ． 【小问2详解】 牛场的总面积不可能达到180平方米，理由如下： 依题意得：， 整理得：． 解得：，． 当时，，不合题意，舍去． 当时，，不合题意，舍去． 牛场的总面积不可能达到180平方米． 20. 随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【答案】（1）220 （2）参加活动的学生人数为18人 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． 故答案为：220； 【小问2详解】 解：设参加活动的学生人数为人， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 21. 在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答： ；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】（1）四边形是平行四边形 （2）2或8 （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，截图的关键是∶ （1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解∶如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形EGFH为矩形时，或； 【小问3详解】 解∶如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 22. 请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【答案】（1） （2） （3）两个实数根分别是，4； 【解析】 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 【小问3详解】 解：一元二次方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大1， ∴的两个实数根分别是，4； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 23. 定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． （1）性质探究：①如图，已知：四边形中，、、、分别是、、、的中点，、交于点，，且，求证：四边形是“中方四边形”； ②可以发现：四边形的两条对角线是什么关系时，四边形是“中方四边形”？________． （2）问题解决：如图，以锐角两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”； （3）拓展应用：如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点，若，求的最小值． 【答案】（1）①见解析；②垂直且相等 （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）①由中点条件及三角形中位线的性质易得四边形是平行四边形；再由，且，可得四边形是正方形，从而结论得证；②根据①的求解过程可得四边形的两条对角线是垂直且相等时，四边形是“中方四边形； （2）连接，证明，则得，由（1）即可得四边形是“中方四边形”； （3）分别取的中点E、F、H，连接；由四边形是“中方四边形”得四边形是正方形，则有；由三角形中位线定理得，则，当点H在线段上时，取得最小值，从而取得最小值，进而求得最小值． 【小问1详解】 证明：①∵E、F、G、H分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴； ∵， ∴； ∵是的中位线， ∴， ∴； ∴四边形是矩形； ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形是“中方四边形”； ②根据①的求解过程可得四边形的两条对角线是垂直且相等时，四边形是“中方四边形”， 故答案为：垂直且相等； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，， ∴， 即； ∴， ∴； ∵ ， ∴； ∵，， ∴由（1）知，四边形是“中方四边形”； 【小问3详解】 解：如图，分别取的中点E、F、H，连接； ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴； ∵的中点分别是E、F、H， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， 故当点H在线段上时，取得最小值， 从而取得最小值，且最小值为． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了平行四边形的判定，矩形的判定及正方形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，两点间线段最短等知识，有一定的综合性，三角形中位线定理的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期随堂练习 九年数学（一）北师大 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 关于一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3， B. 3，2 C. 3，5 D. 5，2 2. 将多项式进行配方，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直且相等 4. 已知2是关于x的方程x2﹣2ax+4=0的一个解，则a的值是（ 　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（  ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A. 1.5＜x＜1.6 B. 1.6＜x＜1.7 C. 1.7＜x＜1.8 D. 1.8＜x＜1.9 6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点C的坐标是，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 8. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则为（　　） A. 6 B. 8 C. 24 D. 12 9. 某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（ ） A. 每顶帐篷单价为x元 B. 降价后平均每天可出售顶 C. 每顶帐篷单价应降价x元 D. 降价后每顶帐篷利润为元 10. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，连接，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，则四边形为矩形 B. 当时，则四边形为矩形 C. 当时，则四边形为矩形 D. 当时，则四边形为菱形 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 把方程3x（x﹣1）＝（x+2）（x﹣2）+9化成ax2+bx+c＝0的形式为_____． 12. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为_________． 13. 一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出___个小分支． 14. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是_____度． 15. 如图，矩形中，与交于点O，分别在和上取点M、N，使得．若，则的最小值为________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程（请选择合适的方法） （1） （2） 17. 已知关于的方程． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 18. 我们知道，四边形具有不稳定性，利用这个性质我们可以把如图1所示的衣帽架变化为不同的形状．如图2，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）变化成四边形．解决下列问题． （1）四边形的形状是_______，理由是_______． （2）若正方形的对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂，，则橡皮筋会不会断裂？请说明理由．（参考数据：） 19. 某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为米（如图），栅栏厚度不计． （1）若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时的值； （2）养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 20. 随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 21. 在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答： ；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 22. 请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 23. 定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． （1）性质探究：①如图，已知：四边形中，、、、分别是、、、的中点，、交于点，，且，求证：四边形是“中方四边形”； ②可以发现：四边形的两条对角线是什么关系时，四边形是“中方四边形”？________． （2）问题解决：如图，以锐角两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”； （3）拓展应用：如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点，若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $