精品解析：辽宁省沈阳市南昌初级中学(沈阳市第二十三中学)2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷

九年级（数学）限时作业 试题满分120分 考试时间120分钟 第一部分 选择题 一、选择题（共10个小题，下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分） 1. 若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理，可知另一个根为，再根据韦达定理可知的值为根之和，即可求得 【详解】的一个根为2，设另一根为 ，解得 又 故选D 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关键． 2. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用配方法进行配方即可． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等． 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 4. 对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据题目所给新定义将方程变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可． 【详解】解：根据题意由方程得： 整理得： 根据根的判别式可知该方程有两个不相等实数根． 故选D． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根． 5. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 6. 如图，在中，，，，，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得，然后利用比例性质求EC和AE的值即可 【详解】∵， ∴，即， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE 7. 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 解法二： ∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为，   故选：． 8. 如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，是的中位线，然后根据中位线的性质定理解答即可． 【详解】解：、分别为、的中点， 是的中位线． ，即． ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义与性质，掌握三角形的中位线性质定理是解题的关键． 9. 如图1，在菱形中，对角线、相交于，要在对角线上找两点、，使得四边形是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 甲和乙 D. 甲乙都不是 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查了菱形的判定和性质．根据菱形的性质可得，然后根据给出的方案结合菱形的判定方法进行判定即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故方案甲正确； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故方案乙正确． 故选：C． 10. 在一幅长60dm宽40dm的庆祝建国70周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图．要使整个挂图的面积为2800dm2，设纸边的宽为xdm，则可列出方程为（　　） A. x2+100x﹣400＝0 B. x2﹣100x﹣400＝0 C. x2+50x﹣100＝0 D. x2﹣50x﹣100＝0 【答案】C 【解析】 【分析】如果设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（40+2x）和（60+2x），根据总面积即可列出方程． 【详解】解：设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（60+2x）和（40+2x）， 根据题意可得出方程为：（60+2x）（40+2x）＝2800， 整理得：x2+50x﹣100＝0， 故选C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知面积的公式. 二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是_______． 【答案】，##， 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可； 【详解】由可设，，k是非零整数， 则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键． 13. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______． 【答案】8或9 【解析】 【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根， 因此有， 解得， 则方程为，解得另一个根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理； （2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根， 因此，根的判别式， 解得， 则方程为，解得方程的根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理； 综上，的值为8或9， 故答案为：8或9． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 14. 如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作图—作垂线，菱形的判定和性质，勾股定理，根据作图可知：垂直平分，证明，得到，推出四边形为菱形，设，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分，设，相交于点， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：10． 15. 如图，把边长为3的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由，推出，再由可得，设，在中由勾股定理求出，再由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或0（舍去）， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第二部分 非选择题 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）运用因式分解法解方程即可； （2）运用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， 解得：，． 【小问2详解】 解： ∵，， ∴ ∴， ∴，． 17. 先化简，再求值：，其中实数m可使关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根． 【答案】， 【解析】 【分析】分式化简，首先将分式除法变更为分式乘法，再约分，将分子和分母的公因式约去，求得最简因式；再根据一元二次方程辨别式等于0，求得m的取值；将m代入最简分式，从而得到答案． 【详解】＝•＝ ∵一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝16+4m＝0， ∴m＝﹣4 将m＝﹣4代入原式 ＝＝＝． 【点睛】本题考查了分式的除法法则、分式约分、平方差公式、完全平方公式和一元二次方程等知识点；求解本题的关键在于熟练掌握一元二次方程和分式除法的性质，从而准确计算得到答案． 18. 最近几年苏州文旅产业不断创新．小明计划假期来无锡游玩，他打算从3个人文景点（A、拙政园；B．周庄古镇；C．苏州博物馆）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．灵岩山；E．天平山）中随机选取一个． （1）小明从人文景点中选苏州博物馆的概率是 ； （2）用树状图或列表的方法求小明同时选周庄古镇和天平山两个景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图，再列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计算，即得答案． 【小问1详解】 解：∵人文景点一共有3个，且每个景点被选取的概率相同， ∴小明从人文景点中选灵山大佛的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中小明同时选中周庄古镇和天平山两个景点的结果数有1种， ∴小明同时选中周庄古镇和天平山两个景点的概率为． 19. 如图，若直线，它们依次交直线于点和点． （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理； （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可； （2）由平行线分线段成比例定理推出，得到，根据即可求出长． 【小问1详解】 解：， ， ，，， ， ； 【小问2详解】 ∵， ， ∴， ∵， ∴， ． 20. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 【答案】（1） 证明： 正方形ABCD， （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明再结合BE＝DF，从而可得结论； （2）先利用正方形的性质证明 再求解EF的长，再利用四边形AECF的面积，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连结AC， 正方形ABCD， ∴四边形AECF的面积 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，掌握“正方形的对角线相等且互相垂直平分”是解本题的关键． 21. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；任务2：下调后每个手办的售价为50元；任务3：不能 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，根据题意得到，进而问题可求解． 任务3：假设平均每天能获利2100元，设此时下调后每个手办的售价为元，列出方程求解即可． 【详解】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又 ∵要尽量减少库存， ， 答：下调后每个手办的售价为50元． 任务3：设下调后每个手办的售价为元， 则， 整理得：， ， 故平均每天不能获利2100元． 22. 如图，在矩形中，，点从点出发沿线段方向向点运动，点从点出发沿线段方向向点运动，点与点的速度相同，将矩形沿翻折，点，的对称点为点，，连接． （1）在点的运动过程中，当交于点时，与交于点，延长交于点，连结． ①如图1，若，，求． ②如图2，若，当四边形为菱形时，求的值． （2）如图3，在（1）②条件下，点继续向点运动（不包含四边形为菱形这个位置），当四边形的的一边与垂直时，求的值． 【答案】（1）①② （2）或 【解析】 【分析】（1）①折叠，得到，，进而得到，，平角的定义，结合角的和差关系得到，，根据，得到，三角形的外角的性质，求出的度数即可； ②根据折叠和菱形的性质，推出，进而推出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而得到的长，再根据线段的和差关系进行求解即可； （3）设，则：，分和两种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵矩形， ∴，， ∵菱形， ∴，，，， 由题意，得：， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 设，则：， ∵折叠， ∴，， 当四边形的的一边与垂直时，分两种情况： ①当点与点重合时，此时，如图： 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴； 即：； ②当时，作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 即：， 解得：或， ∵当时，，由（2）可知，此时四边形为菱形，不符合题意； ∴， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查矩形与折叠，菱形的性质，勾股定理，三角形的外角，解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点． （1）如图①，连接、，判断与的关系，并证明． （2）将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点，的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线分别与轴，交于点与交于点，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为，求的值． 【答案】（1）且；证明见详解 （2）①； ②的值为或 【解析】 【分析】（1）连接、后延长至，交于点，根据正方形的性质和全等三角形的性质和判定可得，再根据推出，即可证明． （2）①∵根据题意结合正方形的性质可得四边形是矩形，进而得出，，再根据当时，正方形与重合部分为五边形，可列式，代入数值化简即可． ②分成，，，，五种情况时，令重合部分面积等于，即可求解． 【小问1详解】 且． 证明：连接、后延长至，交于点，如图： ∵四边形是正方形，顶点，，点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故且． 【小问2详解】 解：①∵，，， ∴，， 由平移知，四边形是正方形，得，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，正方形与重合部分为五边形， ， ∴． ②当时，则有， 由题意得， 解得：，不符题意； 当时， 由题意得， 解得或（不符题意，舍去）； 当时，有， ∴， ∴， ， 解得：（不符题意，舍去）和（不符题意，舍去）； 当时，点与点重合， 此时，不符合题意； 当时， ∴， 由题意得， 解得：或（舍去）； 综上，的值是或． 【点睛】本题考查了平移，正方形的性质，解一元二次方程，全等三角形的性质和判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（数学）限时作业 试题满分120分 考试时间120分钟 第一部分 选择题 一、选择题（共10个小题，下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分） 1. 若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 6. 如图，在中，，，，，则的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 8. 如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是（    ） A. B. C. D. 9. 如图1，在菱形中，对角线、相交于，要在对角线上找两点、，使得四边形是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 甲和乙 D. 甲乙都不是 10. 在一幅长60dm宽40dm的庆祝建国70周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图．要使整个挂图的面积为2800dm2，设纸边的宽为xdm，则可列出方程为（　　） A. x2+100x﹣400＝0 B. x2﹣100x﹣400＝0 C. x2+50x﹣100＝0 D. x2﹣50x﹣100＝0 二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是_______． 12. 若，则________． 13. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______． 14. 如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为_____． 15. 如图，把边长为3的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则___________． 第二部分 非选择题 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中实数m可使关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根． 18. 最近几年苏州文旅产业不断创新．小明计划假期来无锡游玩，他打算从3个人文景点（A、拙政园；B．周庄古镇；C．苏州博物馆）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．灵岩山；E．天平山）中随机选取一个． （1）小明从人文景点中选苏州博物馆的概率是 ； （2）用树状图或列表的方法求小明同时选周庄古镇和天平山两个景点的概率． 19. 如图，若直线，它们依次交直线于点和点． （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 20. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 21. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 22. 如图，在矩形中，，点从点出发沿线段方向向点运动，点从点出发沿线段方向向点运动，点与点的速度相同，将矩形沿翻折，点，的对称点为点，，连接． （1）在点的运动过程中，当交于点时，与交于点，延长交于点，连结． ①如图1，若，，求． ②如图2，若，当四边形为菱形时，求的值． （2）如图3，在（1）②条件下，点继续向点运动（不包含四边形为菱形这个位置），当四边形的的一边与垂直时，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点． （1）如图①，连接、，判断与的关系，并证明． （2）将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点，的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线分别与轴，交于点与交于点，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $