专题1 数列——裂项求和法 专项训练-2026届高三数学一轮复习

专题1数列— 裂项求和法 一、例题讲解： 1.己知等差数列an}满足a3=8,a17=3a5· (1)求{an}的通项公式： 1 (2)设bn=一，求数列{bn}的前n项和，. na 2.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S,=25,a2+a=12. (1)求{an}的通项公式： 1 ②若，4S。一，求，}的前项和7 3.已知等差数列an}的前n项和为Sn,且满足2a4=a2+18,S;=a1。+15. (1)求数列an}的通项公式： (2)若6，= 9 一，求数列bn}的前n项和Tn a2n-a2n+ 试卷第1页，共3页 4.己知数列an}是公差不为0的等差数列，若a=1,且42，a4,a成等比数列. (I)求{an}的通项公式： (②)若6=1 一，求数列bn}的前n项和Sn; an·an 5.等比数列{an}中的所有项均为整数，己知a2=9,6a,+a=45 (1)求a与前n项和Sn; (2)设bn=log a,求数列 1 的前10项的和To bb 6.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，数列bn}是公比为2的等比数列，a是a,a:的 等比中项，b-a3=3,b,=2a1. (1)求数列{an},{b,}的通项公式； 1 (2)求数列 的前n项和Sn· anan+ 试卷第1页，共3页 7.在等比数列{an}中，a2a3=8,a1+a4=9. (1)求{an}的通项公式， 1 (2)若{an}为递增数列，bn=log2an+1,求数列 的前n项和Sn bb 8.数列(a,}是公比为)的等比数列，且1-a,是a,与1+a,的等比中项 (1)求数列{an}的通项公式： ++++< ②设数列-810ga,的前项和为S，证明：了+3十S,+…+34 试卷第1页，共3页 二、巩固强化： 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a,+S=12,a=9. (1)求{an}的通项公式： (2)求数列 1 的前n项和Tn. a an) 10.己知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2+a,=40,S,=70. (1)求Sn: 2 (②)若b,=5,求数列b,}的前n项和为7： 11.在等差数列{an}中，a4+ag=34,a1o=29. (1)求{an}的通项公式： ②设久d求数列的前原和7 试卷第1页，共3页 12.己知数列{an}是等差数列，a2=4,a4=10 (I)求{an}的通项公式： (2)设数列 1 的前项和为T,求 anan 13.等差数列{an}中，a,=4,ag=2a,neN. (I)求{an}的通项公式： 1 (②)设6，n+3列a。,求数列b,}的前n项和S. 14.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,满足a,=2,d>0,且a4是a2与a的 等比中项 (I)求数列{an}的通项公式： ②深数列安前n项和7 试卷第1页，共3页 15.己知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S1。=110,且a,a2,a4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 1 ②若6a,-a,+,求数列6，}的前n项和7 16.已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=2,b=16,4=b,a4=b (I)求数列{an},{bn}的通项公式： ②)令c,=2 ,求数列{cn}的前n项和Tn anant 试卷第1页，共3页 《专题1数列—一裂项求和法》参考答案 1.(1)an=2n+2; n (2)20n+) 【分析】(1)根据已知及等差数列通项公式求公差，进而写出通项公式： (2)应用裂项相消法求和即可 【详解】(1)若等差数列的公差为d,结合题设有a+14d=3(a+2d), 所以8+14d=24+6d,可得d=2, 故an=a3+(n-3)d=2n+2. 1111 (2)由（1)得6,2n+02片n+7: n 0-n+}=20m+0 2.(1)an=2n-1 n (②T.=2n+1 【分析】(1)依次得a=5,a4=7,d=2即可求解； (2)由等差数列求和公式、裂项相消法即可求解 【详解】1)由S,=25=a+al=5a,可得a,=5, 2 由a2+a5=a3+a4=12可得，a4=7,d=2, 故am=7+2(n-4)=2n-1. (2)由1)得s,=1+2n-1=, 2 11 111 故，=49，-4n2-2m-102n+122n-2m+1) /,1.11 11） 一十…+ 2n-12n+12n+1 3.(1)an=3n ②T.22n+1 n 【分析】(1)由已知条件列方程组求出a,d,从而可求出{an}的通项公式； 答案第1页，共2页 (2)由(1)可求得{b}的通项公式，利用裂项相消法可求得数列(b.}的前项和T,… 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d, 2a,+6d=a+d+18 由2a4=a2+18,S=a1o+15,可得 5×4 5a+ d=a,+9d+15' 2 a,+5d=18 整理得 4a+d=15’解 d-3,数列a,的通项公式a=3+30m-)=3m, 4=3 232aw-l2a- 1 (2)bn= 所以7=A++6+6北非》+2 n 故数列b,的前硕和了。-2n+1 n 4.(1)an=n o4 【分析】(1)设等差数列{a,}的公差为d(d≠0)，根据等比中项的性质得到方程，解得d=1, 即可求出通项公式： 111 (2)由(1)可得 ,ann中，再利用裂项相消法求和即可。 【详解】(1)设等差数列an}的公差为d(d≠0)， 因为a2,a4,a成等比数列， 所以(a,)=a2ag· 即(a+3d)2=(a,+d)(a,+7d), 即d2=ad,又a=1,且d≠0，解得d=1 所以a,=a,+n-1d=n. (2)由1)知：6=，1-1-11 an'an n(n+l)nn+1' 则s,=1-1+}1t+11 十…+一 223 nn+1' 答案第1页，共2页 即Sn=1-1 n +1n+1 5.04,=3,s=3-3 2 a品 【分析】(1)根据等比数列的通项公式和己知条件，列首项，公比9的方程组，即可得其 通项公式和前项和公式： 1 (2)把(1)的结果代入B,整理得，的表达式，利用裂项求和法即可求前10项和Z· 9 【详解】(1)设{an}的公比为q,依题意得 a9=9 (6a+a,g2=45’解得 9=219=3’又因为 等比数列{an}中的所有项均为整数，则 4=3 9=3 因此，an=3”,S。= 3×1-3”）3+1-3 1-3 2 (2)由(1)知bn=log3an=n, 1 111 则bbnn+可nn+l 11 所以Z=1x2+2x3++i =1-+1++-=1-1-10 1 10×11223 10111111 6.(1)an=2n-1,bn=2"; 0 【分析】(1)利用基本量，结合题意，列出方程组，求得4，b以及公差，即可求得两个数 列的通项公式： (2)根据(1)中所求a,利用裂项求和法，即可求得Sn 【详解】(1)设{an}的公差为d,因为a2是a,a的等比中项，故a,a=a, 即a(a,+4d=(a,+d)', 整理得：2a,d=d2,又d≠0，故可得d=2a; 又b-a3=3,b=2a1,即4b-a1+2d)=3,b=2a1,故7a1-2d=3,7a1-4a1=3, 答案第1页，共2页 解得a=1,d=2,b=2; 故an=2n-1,bn-2" 2由可知，a=2加-，故2m-2a引点2对 1 aa,aa; n 故数列 1 aan) 的前n项和S= n 2n+1 7.(1)答案见解析 @s,=n+1 n 【分析】(1)利用等比数列的通项公式先得基本量a,9,从而得解； 1 (2)先由(1)得到，：，再利用裂项相消法即可得解 【详解】(1)设等比数列{an}的公比为q, 由/%4，=8 (a+a=9’得 4+ag=9’有a-90+8=0,解得a=1减a,=8, a2g3=8 当a,=1时，q=2,故数列{an}的通项公式为a,=1×2=2-; 当4=8时，92故数列a的通项公式为a,=8×(=2 (2)因为an}为递增数列，所以an=2"-, 由bn=l0g22-+1=n, 1 1 11 有6n+1nn+T' s.a- (②)证明见解析 【分析】(1)利用等比数列的通项公式求解： (2)利用裂项相消求和求解即可 答案第1页，共2页