12.1函数讲义2025-2026学年沪教版数学八年级上册

12.1 函数 学习目标 1. 理解变量与常量的概念，能在具体情境中识别变量与常量。 2. 学会用表格表示变量之间的关系，并能根据表格信息分析变量的变化趋势。 3. 理解用关系式表示变量之间关系的方法，能根据实际问题列出简单的关系式。 4. 理解函数的概念，能判断两个变量之间是否存在函数关系。 5. 掌握函数解析式的概念，能根据函数解析式进行相关计算。 6. 学会求简单函数的自变量取值范围。 7. 能根据函数解析式，已知自变量的值求函数值，或已知函数值求自变量的值。 知识点讲解 1. 变量与常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量。 在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量。 例如：汽车行驶过程中，行驶的路程和时间是变量，而汽车行驶的速度如果保持不变，则速度是常量。 2. 用表格表示变量间的关系 通过列表格的方式，可以清晰地展示一个变量（自变量）与另一个变量（因变量）之间的对应数值。 表格的第一行（或列）通常表示自变量，第二行（或列）表示因变量。 例如：某商店销售一种商品，每件售价5元，销售数量与销售额的关系如下表： 销售数量（件） 1 2 3 4 5 ... 销售额（元） 5 10 15 20 25 ... 其中，销售数量是自变量，销售额是因变量。 3. 用关系式表示变量间的关系 用数学式子（等式）来表示两个变量之间的关系，这种式子叫做关系式。 在关系式中，通常用含自变量的代数式表示因变量。 例如：上述销售额 y（元）与销售数量 x（件）之间的关系式可表示为：y = 5x。 4. 函数的概念 在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 理解函数概念的关键在于：对于自变量的每一个确定值，函数值的唯一性。 5. 函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式，也称为函数关系式。 通常记作：y = f(x)，其中 f(x) 是一个含 x 的代数式。例如 y = 2x + 3，等。 6. 自变量的取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 确定自变量取值范围时，主要考虑以下几点： 1. 整式型：自变量可取全体实数。例如 y = 3x - 1，x 可取任何实数。 2. 分式型：分母不能为零。例如，需满足，即。 3. 根式型： · 偶次根式（如二次根式）：被开方数必须大于或等于零。例如，需满足，即。 · 奇次根式（如三次根式）：被开方数可取全体实数。 4. 实际问题：自变量的取值不仅要使函数解析式有意义，还要符合实际意义。例如，若 x 表示人数，则 x 应为非负整数。 7. 求自变量的值或函数值 1. 求函数值：已知自变量 x = a，求函数 y 的值，只需将 x = a 代入函数解析式中计算即可，结果记为 y = f(a)。 2. 求自变量的值：已知函数值 y = b，求相应的自变量 x 的值，只需解方程 b = f(x) 即可。 例题解析 例1：识别变量与常量 一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶的路程为 s 千米，行驶的时间为 t 小时。 （1）请指出这个变化过程中的变量和常量。 （2）试用含 t 的式子表示 s。 解析： （1）在这个变化过程中，汽车行驶的速度60千米/小时是固定不变的，所以常量是60。 汽车行驶的路程 s 和行驶的时间 t 是不断变化的，所以变量是 s 和 t。 （2）根据路程 = 速度 × 时间，可得 s = 60t。 例2：用表格表示变量关系 某城市居民用电的电价是0.5元/千瓦时。设用电量为 x 千瓦时，应付电费为 y 元。 （1）填写下表： 用电量 ( x )（千瓦时） 10 20 30 40 50 应付电费 ( y )（元） （2）y 是 x 的函数吗？为什么？ 解析： （1）因为电费 = 电价 × 用电量，即 。 当 x = 10 时，； 当 x = 20 时，； 当 x = 30 时，； 当 x = 40 时，； 当 x = 50 时，。 故表格填写如下： 用电量 ( x )（千瓦时） 10 20 30 40 50 应付电费 ( y )（元） 5 10 15 20 25 （2）y 是 x 的函数。 因为对于用电量 x 的每一个确定的值，应付电费 y 都有唯一确定的值（通过计算得出）与之对应，符合函数的定义。 例3：判断是否为函数关系 下列各选项中，y 是 x 的函数的有（ ） A. 正方形的面积 y 与边长 x B. 式子（）中，y 与 x C. 人的身高 y 与年龄 x 解析： A. 正方形面积。对于边长 x 的每一个确定正值（边长不能为负），面积 y 都有唯一确定的值与之对应，所以A 是函数关系。 B. 对于 x 的每一个确定的值（如 x = 4），y 有两个值（y = 2 和 y = -2）与之对应，不满足“唯一确定”，所以B 不是函数关系。 C. 对于一个确定的年龄 x，可能有多个人，身高 y 的值不一定唯一（不同的人身高不同），所以C 不是函数关系。 答案：A 例4：求自变量的取值范围 求下列函数中自变量 x 的取值范围。 （1）y = 2x - 5 （2） （3） （4） 解析： （1）函数 y = 2x - 5 是整式型。 所以自变量 x 的取值范围是全体实数。 （2）函数是分式型，分母不能为0。 则 解得 所以自变量 x 的取值范围是。 （3）函数是二次根式型，被开方数需大于或等于0。 则 解得 所以自变量 x 的取值范围是。 （4）函数既含二次根式（分子），又含分式（分母）。 需同时满足： 分子被开方数非负：，即 分母不为0：，即 综合可得，自变量 x 的取值范围是且。 例5：求函数值与自变量的值 已知函数。 （1）当 x = -1 时，求函数 y 的值。 （2）当 y = 1 时，求自变量 x 的值。 解析： （1）当 x = -1 时， （2）当 y = 1 时，可得方程： 移项，得 提取公因式 x，得 x(2x - 3) = 0 则 x = 0 或 2x - 3 = 0 解得 x = 0 或 巩固练习 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1. 在圆的面积公式中，常量是（ ） A. S B.. r D. S 和 r 2. 下列关系式中，y 不是 x 的函数的是（ ） A. y = 3x B... 3. 函数中自变量 x 的取值范围是（ ） A. x > 2 B. x <2 C.. 4. 函数中自变量 x 的取值范围是（ ） A... x > -3 D. x <-3 5. 已知函数 f(x) = 3x - 2，则 f(2) 的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题 6. 长方形的长为5cm，宽为 x cm，面积为 y cm²，则 y 与 x 之间的函数解析式为_________，其中自变量 x 的取值范围是_________。 7. 已知函数 y = 2x - 1，当 x = 0 时，y =_________当 y = 5时，x=_________。 8. 函数中自变量 x 的取值范围是_________。 9. 某种储蓄的月利率为0.5%，存入本金 x 元，则本息和 y（元）与所存月数 n 之间的函数关系式为_________（不考虑利息税），其中常量是_________，变量是_________。 三、解答题 10. 某商店出售一种文具，每个进价为2元，售价为3元。若售出数量为 x 个，商店获得的利润为 y 元。 （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式。 （2）指出自变量 x 的取值范围。 （3）当售出100个时，利润是多少元？ 11. 求下列函数中自变量 x 的取值范围。 （1） （2） （3） 12. 已知函数。 （1）求 f(0) 和 f(-1) 的值。 （2）当 f(x) = 1 时，求 x 的值。 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. 答案：B 解析：在中，是圆周率，是一个固定不变的常数，所以是常量；S 随着 r 的变化而变化，所以 S 和 r 是变量。 2. 答案：D 解析：A、B、C选项中，对于 x 的每一个确定值，y 都有唯一确定的值与之对应。D选项，例如当 x = 4 时，y = 2 或 y = -2，y 的值不唯一，故 y 不是 x 的函数。 3. 答案：C 解析：函数是二次根式，被开方数需非负，即，解得。 4. 答案：B 解析：函数是分式，分母不能为0，即，解得。 5. 答案：A 解析： 二、填空题 6. 答案：y = 5x；x > 0 解析：长方形面积 = 长×宽，所以 y = 5x。由于长方形的宽不能为0或负数，所以自变量 x 的取值范围是 x > 0。 7. 答案：-1；3 解析：当 x = 0 时，。 当 y = 5 时，2x - 1 = 5 2x = 5 + 1 2x = 6 x = 3 8. 答案：且 解析：被开方数，解得；分母，解得。所以自变量 x 的取值范围是且。 9. 答案：（或）；0.5%（或0.005）；y，x，n 解析：月利率0.5%，则每月利息为，n 个月的利息为 0.005xn，本息和。其中，月利率0.5%是固定不变的，是常量；本金 x、月数 n、本息和 y 是变化的，是变量。 三、解答题 10. 解析： （1）每个文具的利润为售价 - 进价 = 3 - 2 = 1（元）。 总利润。 所以函数关系式为 y = x。 （2）售出数量 x 不能为负数，且为整数，所以自变量 x 的取值范围是 x 为非负整数（且 x 为整数）。 （3）当 x = 100 时，y = 100。 答：当售出100个时，利润是100元。 11. 解析： （1）函数是整式型。 所以自变量 x 的取值范围是全体实数。 （2）函数是分式型，分母不能为0。 解得且。 所以自变量 x 的取值范围是且。 （3）函数含二次根式和分式。 对于二次根式： 对于分式： 解得 所以自变量 x 的取值范围是且。 12. 解析： （1）求 f(0)： 求 f(-1)： （2）当 f(x) = 1 时， 方程两边同乘 x + 2（），得 2x - 1 = x + 2 移项，得 2x - x = 2 + 1 x = 3 经检验，x = 3 时，分母，所以 x = 3 是原方程的解。 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.1 函数 学习目标 1. 理解变量与常量的概念，能在具体情境中识别变量与常量。 2. 学会用表格表示变量之间的关系，并能根据表格信息分析变量的变化趋势。 3. 理解用关系式表示变量之间关系的方法，能根据实际问题列出简单的关系式。 4. 理解函数的概念，能判断两个变量之间是否存在函数关系。 5. 掌握函数解析式的概念，能根据函数解析式进行相关计算。 6. 学会求简单函数的自变量取值范围。 7. 能根据函数解析式，已知自变量的值求函数值，或已知函数值求自变量的值。 知识点讲解 1. 变量与常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量。 在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量。 例如：汽车行驶过程中，行驶的路程和时间是变量，而汽车行驶的速度如果保持不变，则速度是常量。 2. 用表格表示变量间的关系 通过列表格的方式，可以清晰地展示一个变量（自变量）与另一个变量（因变量）之间的对应数值。 表格的第一行（或列）通常表示自变量，第二行（或列）表示因变量。 例如：某商店销售一种商品，每件售价5元，销售数量与销售额的关系如下表： 销售数量（件） 1 2 3 4 5 ... 销售额（元） 5 10 15 20 25 ... 其中，销售数量是自变量，销售额是因变量。 3. 用关系式表示变量间的关系 用数学式子（等式）来表示两个变量之间的关系，这种式子叫做关系式。 在关系式中，通常用含自变量的代数式表示因变量。 例如：上述销售额 y（元）与销售数量 x（件）之间的关系式可表示为：y = 5x。 4. 函数的概念 在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 理解函数概念的关键在于：对于自变量的每一个确定值，函数值的唯一性。 5. 函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式，也称为函数关系式。 通常记作：y = f(x)，其中 f(x) 是一个含 x 的代数式。例如 y = 2x + 3，等。 6. 自变量的取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 确定自变量取值范围时，主要考虑以下几点： 1. 整式型：自变量可取全体实数。例如 y = 3x - 1，x 可取任何实数。 2. 分式型：分母不能为零。例如，需满足，即。 3. 根式型： · 偶次根式（如二次根式）：被开方数必须大于或等于零。例如，需满足，即。 · 奇次根式（如三次根式）：被开方数可取全体实数。 4. 实际问题：自变量的取值不仅要使函数解析式有意义，还要符合实际意义。例如，若 x 表示人数，则 x 应为非负整数。 7. 求自变量的值或函数值 1. 求函数值：已知自变量 x = a，求函数 y 的值，只需将 x = a 代入函数解析式中计算即可，结果记为 y = f(a)。 2. 求自变量的值：已知函数值 y = b，求相应的自变量 x 的值，只需解方程 b = f(x) 即可。 例题解析 例1：识别变量与常量 一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶的路程为 s 千米，行驶的时间为 t 小时。 （1）请指出这个变化过程中的变量和常量。 （2）试用含 t 的式子表示 s。 例2：用表格表示变量关系 某城市居民用电的电价是0.5元/千瓦时。设用电量为 x 千瓦时，应付电费为 y 元。 （1）填写下表： 用电量 ( x )（千瓦时） 10 20 30 40 50 应付电费 ( y )（元） （2）y 是 x 的函数吗？为什么？ 例3：判断是否为函数关系 下列各选项中，y 是 x 的函数的有（ ） A. 正方形的面积 y 与边长 x B. 式子（）中，y 与 x C. 人的身高 y 与年龄 x 例4：求自变量的取值范围 求下列函数中自变量 x 的取值范围。 （1）y = 2x - 5 （2） （3） （4） 例5：求函数值与自变量的值 已知函数。 （1）当 x = -1 时，求函数 y 的值。 （2）当 y = 1 时，求自变量 x 的值。 巩固练习 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1. 在圆的面积公式中，常量是（ ） A. S B.. r D. S 和 r 2. 下列关系式中，y 不是 x 的函数的是（ ） A. y = 3x B... 3. 函数中自变量 x 的取值范围是（ ） A. x > 2 B. x <2 C.. 4. 函数中自变量 x 的取值范围是（ ） A... x > -3 D. x <-3 5. 已知函数 f(x) = 3x - 2，则 f(2) 的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题 6. 长方形的长为5cm，宽为 x cm，面积为 y cm²，则 y 与 x 之间的函数解析式为_________，其中自变量 x 的取值范围是_________。 7. 已知函数 y = 2x - 1，当 x = 0 时，y =_________当 y = 5时，x=_________。 8. 函数中自变量 x 的取值范围是_________。 9. 某种储蓄的月利率为0.5%，存入本金 x 元，则本息和 y（元）与所存月数 n 之间的函数关系式为_________（不考虑利息税），其中常量是_________，变量是_________。 三、解答题 10. 某商店出售一种文具，每个进价为2元，售价为3元。若售出数量为 x 个，商店获得的利润为 y 元。 （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式。 （2）指出自变量 x 的取值范围。 （3）当售出100个时，利润是多少元？ 11. 求下列函数中自变量 x 的取值范围。 （1） （2） （3） 12. 已知函数。 （1）求 f(0) 和 f(-1) 的值。 （2）当 f(x) = 1 时，求 x 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $