2.4因式分解法解一元二次方程同步练习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.4因式分解法解一元二次方程同步练习 一、单选题 1．方程的解为（　　） A． B．， C． D．， 2．解方程 7（8x+3）=的最佳方法应选择（　　） A．因式分解法 B．直接开平方法 C．配方法 D．公式法 3．已知实数a、b满足(a2﹣b2)2﹣2(a2﹣b2)＝8，则a2﹣b2的值为(    ) A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2 4．方程(x＋2)2＝3(2＋x)最适合的解法是(      ) A．直接开平方法 B．因式分解法 C．公式法 D．配方法 5．一个三角形的两边长为3和6,第三边边长是方程(x-2)(x-4)=0的根，则这个三角形的周长为 (   ) A．11 B．13 C．11或13 D．11和13 6．如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．6 B．9 C．6或9 D．以上都不正确 7．已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或3 8．一元二次方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（　　） A．x= B．x=3 C．x1=3，x2= D．x1=3，x2=﹣ 二、填空题 9．方程的解是 ． 10．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）﹣12＝0，则x2+y2的值是 ． 11．方程a2－16＝0可化成两个一次方程是 和 ；则x1＝ ，x2＝ ． 12．一元二次方程x2+3x=0的解是 ． 13．已知，则 ． 三、解答题 14．解方程： (1)； (2)． 15．用适当的方法解方程： （1）； （2） 16．一个直角三角形的两条直角边的长恰好是一元二次方程的两个根，求这个直角三角形的周长． 17．三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间一个数的6倍多3，求这三个数． 18．现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab （1）求4※7的值； （2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值； （3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】由因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】解：， 或， 解得，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．A 【分析】根据题目特点，可把8x+3看做一个整体，移项后，用因式分解法即可求解方程. 【详解】根据一元二次方程的特点，选择因式分解法解方程. 故选A. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键. 3．C 【详解】设y=a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8=0，即（y﹣4）（y+2）=0， 可得y﹣4=0或y+2=0， 解得：y1=4，y2=﹣2， ∴a2﹣b2=4或﹣2， 故选C． 【点睛】本题考查整体思想的运用以及换元法解方程，通过设y=a2-b2，原方程转化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即得a2﹣b2的值． 4．B 【分析】根据方程特点，可知方程的左右两边都有公因式x+2，移项后即可利用因式分解法解方程． 【详解】解：∵把x+2看成一个整体，移到等号左边，等号左边可以提公因式x+2 ∴因式分解法解方程是最适合的方法 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是把方程中的x+2看成一个整体，比较容易判断． 5．B 【分析】求出一元二次方程的解，与三角形的另外两边比较,找到第三条边,求出三角形的周长. 【详解】∵，∴x1＝2,x2＝4,则当时,2 ＋3 ＜6,不能构成三角形; 当时,4＋3＞ 6，则三角形的周长是3＋4＋6＝13,所以B选项是正确的. 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟悉一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键. 6．B 【详解】解方程得：， （1）若等腰三角形的腰长为1，底边为4，∵1+1<4，∴此时围不成三角形，此种情况不成立； （2）若等腰三角形的腰长为4，底边为1，∵1+4>4，∴此时能围成三角形，三角形的周长为9； 故选B. 7．A 【分析】采用换元法，设，将方程变形为，然后解方程，再根据判断取值. 【详解】设，则原式可化为：，解得：， ∵， ∴. 故选A. 【点睛】本题考查用换元法解方程，换元降次是关键，最后还要注意根据判断取值. 8．C 【分析】先移项，然后提取公因式（x-3）对等式的左边进行因式分解，即利用因式分解法解方程． 【详解】解：由原方程，得 2x（x-3）-5（x-3）=0， 提取公因式（x-3），得 （x-3）（2x-5）=0， ∴x-3=0或2x-5=0， ∴x1=3，x2=； 故选C． 【点睛】本题考查解一元二次方程--因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法． 9． 【分析】本题考查了解一元二次方程，可以先因式分解，再分别令两个一次因式为零即可求解． 【详解】解： 或 故答案为： ． 10． 【分析】运用换元法设，则原式为，解方程即可． 【详解】解：设， 则原式为：， 整理为：， 解得：，， ∵x2+y2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，换元法，运用换元法将原式整理为一元二次方程是解本题的关键． 11． a+4=0 a-4=0 4 -4 【分析】利用平方差公式，把方程因式分解，然后得到两个一元一次方程，即可求解. 【详解】a2－16＝0 （a+4）（a-4）=0 a+4=0或a-4=0 解得x1＝4，x2＝-4． 故答案为a+4=0；a-4=0；4；-4. 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是利用平方差公式把方程化为ab=0的形式. 12．0，-3 【分析】利用提公因式法把方程变形为ab=0的形式，构成两个一元一次方程解答即可. 【详解】x2＋3x＝0 x（x+3）=0 x=0或x+3=0 解得x1＝0，x2＝－3. 故答案为x1＝0，x2＝－3. 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是利用提公因式法把方程化为ab=0的形式. 13．3 【分析】，原方程化为：，解这个方程即可求解． 【详解】解：设，原方程化为： 整理，得， 解得，（负值不合题意，舍去） ∴3， 故答案为：3 【点睛】本题考查了解一元二次方程，求代数式的值，用换元法把方程化为一元二次方程是解题的关键． 14．(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，把y+2看做一个整体，移项后提公因式即可化为ab=0的形式解方程即可； （2）利用平方差公式因式分解，可化为ab=0的形式求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：； （2）， 因式分解得：， 即：， ∴或， 解得： 【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，关键是利用因式分解法把方程化为ab=0的形式，比较简单，是常考题． 15．（1）， （2）， 【分析】（1）方程两边同除以2，然后直接开平方即可； （2）利用配方法把方程化为的形式，然后可用直接开平方解方程． 【详解】（1）解：， ， ，． （2）解：， ， ，． 【点睛】此题主要考查了配方法解一元二次方程，关键是要把方程化为的形式． 16．7 【分析】设直角三角形的两条直角边为a，b，斜边为c，根据韦达定理得到a，b与方程系数的关系，再根据勾股定理求得斜边长，进而得到三角形的周长． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为a，b，斜边为c， ∵a，b为方程的两个根， 根据韦达定理有，， ∴斜边 ， ∴这个直角三角形的周长． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理等，解此题的关键在于巧用韦达定理和勾股定理的联系简化了计算过程，不需要求出直角边的长度即可求出直角三角形的周长．韦达定理：若有两个实数根，，那么，． 17．5，7，9 【分析】设中间的一个奇数为x，得到的方程(x＋2)(x－2)＝6x＋3，解方程即可． 【详解】设这三个连续的正奇数为(x－2)，x，(x＋2)，根据题意，得(x＋2)(x－2)＝6x＋3，整理，得x2－6x－7＝0.解这个方程，得x1＝7，x2＝－1(不合题意，舍去)．当x＝7时，x－2＝5，x＋2＝9.答：这三个数为5，7，9 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是明确连续正奇数的关系，设出未知数，列方程求解. 18．（1）112（2）x1=2，x2=﹣4（3）a= 【详解】试题分析： （1）按照“新运算：※”的运算规则，把题目中的“新运算”转化为普通运算，再按有理数的相关运算法则计算即可； （2）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化普通运算，就可将涉及“新运算”的方程转化为“一元二次方程”，然后再解方程即可； （3）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化为普通运算，得到普通的含有“字母”系数的方程，再根据题意解答即可. 试题解析： （1）4※7=4×4×7=112； （2）由新运算的定义可转化为：4x2+8x﹣32=0， 解得x1=2，x2=﹣4； （3）∵由新运算的定义得4ax=x， ∴（4a﹣1）x=0， ∵不论x取和值，等式恒成立， ∴4a﹣1=0， 即． 点睛：在涉及“新运算”的问题中，弄清把“新运算”转化为“普通运算”的规则，把题目中涉及新运算的部分按“规则”转化为普通运算，其余部分不变，再按普通方法解答即可. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $