校本作业16正余弦定理应用举例-福建省厦门外国语学校2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2024级厦外高一（下）数学校本作业16——正、余弦弦定理应用举例 作业目标： 1.能够在实际问题情境中，用正余弦定理解决简单的问题. 基础巩固： 一、选择题： 1.若点P在点Q的北偏东44°55'方向上,则点Q在点P的 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.东偏北45°10'方向上 B.北偏东45°50'方向上 C.南偏西44°55'方向上 D.西偏南44°50'方向上 2.一艘海盗船从C处沿着北偏东20°的方向前进,速度的大小为20 km/h,在点C南偏东40°方向且距离为20 km的B处有一海警船,沿着北偏西10°的方向快速拦截,若要拦截成功,则海警船速度的大小至少为(　　) A.20 km/h B.40 km/h C.50 km/h D.20 km/h 3.如图,为测量塔AB的高度,某人在与塔底A在同一水平线上的点C处测得∠ACB=45°,再沿AC向前行走20(-1)米到达点D,测得∠ADB=30°,则塔高为 (　　) A.40 米 B.20 米 C.40米 D.20米 4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平线,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角∠CAD的大小是 (　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 5.一海轮从A处出发,沿南偏东40°的方向航行,速度的大小为40海里/时,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 (　　) A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 6.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45°方向,距离20 海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)方向的C处,且cos θ=.已知A,C之间的距离为10海里,则该货船的速度大小为 (　　) A.4 海里/时 B.3 海里/时 C.2 海里/时 D.4 海里/时 7.圭表(圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板,表是与圭垂直的杆)是中国古代用来确定节令的仪器,利用正午时太阳照在表上,表在圭上的影长来确定节令.如图,已知冬至和夏至正午时,太阳光线与地面所成角分别为α,β,表影长之差为l,那么表高为 (　　) A. B. C. D. 8.要测量底部不能到达的某电视塔的高度,在电视塔底部所在水平面上选择甲、乙两观测点,在甲、乙两观测点测得电视塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔底部与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500米,则电视塔在这次测量中的高度是 (　　) A.100 米 B.400米 C.200 米 D.500米 【答题卡】 班级： 姓名： 座号： 1、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 二、填空题： 9.在△ABC中,A=105°,B=30°,则在C点望A,B的视角为　　　　.  10.如图,为测量塔PA的高度,在塔底所在的水平面内取一点C,测得塔顶的仰角为θ,由C向塔前进30米后到达点D,测得塔顶的仰角为2θ,再由D向塔前进10 米后到达点E,测得塔顶的仰角为4θ,则塔高为　　　　米.  11.我方舰艇在岛A南偏西50°方向相距12海里的B处发现敌方舰艇正从岛A沿北偏西10°的方向以10海里/时的速度航行,若我方舰艇要用2小时追上敌方舰艇,则速度的大小为　　　　海里/时.   12.学校里有一棵树,甲同学在A地测得树尖D的仰角为45°,乙同学在B地测得树尖D的仰角为30°,量得AB=AC=10 m,若树根部为C(A,B,C在同一水平面上),则∠ACB=　　　　.  13.如图所示，四边形是由等腰直角三角形以及直角三角形拼接而成，其中，若，则到的距离为__________． 14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在群岛上取两点C,D,测得CD=80米,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点间的距离为　　　　米.  1 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题： 15.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡角为15°的观礼台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10 米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一水平面上.若国歌播放的时间约为50秒,则升旗手应以约多大的速度匀速升旗? 16.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上,距离为12 海里,在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°方向上,距离为8 海里,货轮向正北方向由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60°方向上,求灯塔C与D处之间的距离. 17. 某市政协会议有委员提案,在澴河之滨修建文昌阁,恢复历史人文景观.如图所示,在沿河道路共线的三点A,B,C处测得阁顶P的仰角分别为30°,45°,60°且AB=BC=50 m,求文昌阁的高度. 作业16参考答案： 1.C　[解析] 如图所示,易知点Q在点P的南偏西44°55'方向上.故选C. 2.D　[解析] 如图,设在A处两船相遇,则由题意得∠ACB=120°,∠B=30°,则△ABC是等腰三角形,则AC=20 km,AB=20 km,所以海盗船需1小时以内(包括1小时)到达点A处,则海警船1小时至少航行20 km.故选D. 3.D　[解析] 在Rt△ABC中,设AB=x米,则由∠ACB=45°,可知AC=x米.在Rt△ABD中,因为AD=[x+20(-1)]米,∠ADB=30°,所以=tan 30°,即=,解得x=20,即塔高为20米.故选D. 4.B　[解析] 作AE⊥CD于点E(图略),则AD2=AE2+DE2=602+202=4000,AC2=AE2+CE2=602+(50-20)2=4500.在△CAD中,由余弦定理的推论得cos∠CAD==,故∠CAD=45°.故选B. 5.B　[解析] 根据条件可知在△ABC中,AB=20海里,∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠C=45°,则由正弦定理得=,所以BC==10(海里).故选B. 6.A　[解析] 因为cos θ=,0°<θ<45°,所以sin θ=,所以cos(45°-θ)=×+×=.在△ABC中,由余弦定理得BC2=(20)2+102-2×20×10×=340,所以BC=2海里,故该货船的速度大小为=4(海里/时). 7.D　[解析] 如图,设表高AB=x,在△ACD中,∠CAD=β-α,则==,∴AC=.在直角三角形ABC中,=sin β,即x=AC·sin β==l·==.故选D. 8.D　[解析] 由题意作图如图所示,其中AS为塔高,设为h米,甲、乙两地分别设为B,C,则∠ABS=45°,∠ACS=30°,BC=500米,∠ABC=120°,所以在△ABS中,AB=AS=h米,在△ACS中,AC=h米.在△ABC中,因为AB=h米,AC=h米,BC=500米,∠ABC=120°,所以由余弦定理得(h)2=5002+h2-2×500×h×cos 120°,可得h=500.故选D. 9.45°　[解析] 在C点望A,B的视角为C=180°-105°-30°=45°. 10.15　[解析] ∵∠CPD=∠EDP-∠DCP=2θ-θ=θ,∴PD=CD=30米,∵∠DPE=∠AEP-∠EDP=4θ-2θ=2θ,∴PE=DE=10米.在△PDE中,由余弦定理的推论得cos 2θ== =,∴2θ=,∴4θ=.∵sin 4θ=,∴PA=PE·sin 4θ=10×=15(米),故塔高为15米. 11.14　[解析] 设我方舰艇的速度大小为v海里/时,在C处追上敌方舰艇,则由题意知在△ABC中,AC=10×2=20海里,AB=12海里,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=784,所以BC=28海里,所以v==14. 12.30°　[解析] 如图所示,在Rt△ACD中,∵AC=10 m,∠DAC=45°,∴DC=10 m,在Rt△DCB中,∵∠DBC=30°,∴BC=10 m.在△ABC中,由余弦定理的推论得cos∠ACB==,∴∠ACB=30°. 13.【答案】 【解析】 【分析】 根据正切的二倍角公式可求得，再由同角三角函数间的关系求得，再在中，运用余弦定理可求得答案. 【详解】 解：因为，解得或（舍去）， 由，解得， 因为是等腰直角三角形，所以，故，， 在中，， 由余弦定理得， 故答案为：. 14.80　[解析] 在△ACD中,∵∠ACD=15°,∠ADC=150°,∴∠DAC=15°,由正弦定理得AC===40(+)米.在△BCD中,∵∠BDC=15°,∠BCD=135°,∴∠DBC=30°,由正弦定理得BC==40(-)米.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=1600×(8+4)+1600×(8-4)+2×1600×(+)×(-)×=1600×16+1600×4=32 000,∴AB=80 米,故A,B两点间的距离为80 米. 15.解:由题意知在△BCD中,∠BDC=30°+15°=45°, ∠CBD=60°-30°=30°,CD=10 米, 由正弦定理得=,所以BC==20(米). 在Rt△ABC中, AB=BCsin 60°=20×=30(米), 所以升旗速度大小约为=0.6(米/秒), 即升旗手应以约0.6米/秒的速度匀速升旗. 16.解:在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,∠ABD=180°-60°-75°=45°,AB=12 海里, 由正弦定理得AD=·sin 45°=24(海里). 在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°=242+(8)2-2×24×8×=192,所以CD=8 海里, 故C,D之间的距离为8 海里. 17.解:设文昌阁的高度为h m,则OC= m,OB=h m,OA=h m. 在△BCO中,由余弦定理得OC2=OB2+BC2-2OB·BC·cos∠OBC, ∴=h2+502-2h×50cos∠OBC①, 在△ABO中,由余弦定理得AO2=OB2+AB2-2OB·ABcos∠OBA, ∴3h2=h2+502+2h×50cos∠OBC②. ①+②得,h2=2h2+5000,可得h=25, 故文昌阁的高度为25 m. $