15.3.2等边三角形（第2课时 含30 °角的直角三角形的性质）（课件）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备课系列（人教版2024）

该初中数学课件聚焦含30°角的直角三角形性质，通过复习等边三角形性质判定搭建学习支架，引导学生测量探究发现30°角所对直角边是斜边一半，实现新旧知识自然衔接。 其亮点在于以探究式学习培养数学眼光，通过倍长法截半法发展推理能力，结合屋架设计轮船触礁等实例强化模型意识。结构化小结与分层练习助力学生掌握，教师教学更高效。

人教版（2024）八年级数学上册 第十五章 轴对称 15.3.2等边三角形 （第2课时 含30​°角的直角三角形的性质） 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.探索含30°角的直角三角形的性质． 2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算. 新课导入 等边三角形 性质 1. 三边相等 2. 三个角都相等，都是60° 3. “三线合一” 4. 轴对称图形（3条对称轴） 判定 1. 三边相等（定义法） 2. 三个角都相等 3. 有一个角是60°的等腰三角形 复习 等边三角形的性质和判定. 利用等边三角形的性质和判定，可以发现并证明直角三角形的一个性质。本节课我们就来学习这个性质. 知识点讲解 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论. 30° A B C 通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A=30°， 那么直角边BC等于斜边AB的一半.下面证明这一结论。 探 究 要证明BC=AB，只要证明2BC=AB. 为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可. 30° A B C D 证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD. 又因为∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°， 所以△ABD是等边三角形， 所以BD=AB. 又 BD=2BC， 所以BC=AB. 证明方法：倍长法 你还有其他证明方法吗？ 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°. 求证：BC=AB. 30° A B C 证明：如图，在BA上截取BE=BC，连接EC. 由题意得∠B= 60° . 又BE=BC， ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=CE. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°= 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=EC=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC，∴BC=AB. E 证明方法：截半法 定义与概念 由此可得： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°，∠A = 30°， ∴ BC = AB. 几何语言： A B C 30° 典型例题 经典例题 例5 图中是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°. 求立柱 BC，DE 的长. 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°， ∴BC = AB，DE = AD. ∴BC = ×7.4 =3.7(m) . 又 AD = AB，∴DE = AD = ×3.7 =1.85(m). 答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m. 总结归纳 特别解读 应用此性质，必须满足两个条件： 1.在直角三角形中； 2.有一个锐角为30°.二者缺一不可. 课堂练习 基础题 知识点 含 角的直角三角形的性质 1.［2024河南信阳期中］如图，在中， ， ， 的垂直 平分线交于点，交于点.若，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】连接 ，如图. 是的垂直平分线，， .又 ， ， .在直 角三角形中， .故选C. 2.如图，在中，， 于点 ，，则 等于( ) A A.3 B.4 C.6 D.9 【解析】 在中， ， ， ， ， ， ， ， . 16 3.［2025黑龙江哈尔滨质检］如图，一艘轮船以15海里/时的速度 由南向北航行，在处测得小岛在北偏西 方向上，2小时后， 轮船在处测得小岛在北偏西 方向上，在小岛 周围18海里内 有暗礁，若轮船继续向前航行，____触礁的危险.（填“有”或“无”） 有 【解析】如图，过点作 . , ， , ，（海里）， 海里， 海里. ， 有触礁的危险.故答案为有. 17 4.如图， ，点在射线上，且，点在射线 上.若 是锐角三角形，则 的取值范围是___________. 【解析】如图，过点作，垂足为， ，交于点 .在中， ， ， , .在中，， ， ,.当点 在和之间时， 是锐角三角形，的取值范围是 .故答案为 . 思路分析 当点在射线上运动时， 的形状可能是钝角三角形、直角三角形或锐角三角形． 画出相应的图形，根据三角形的变化，构造含 角的直角三角形，即可得到 的取值范围． 18 B D 解：过点C作AB边上的高，交BA的延长线于点D. ∵∠B=∠ACB=15°， ∴∠DAC=30°. ∵AB=AC=10 cm，CD⊥AB，∠DAC=30°， ∴CD= AC=5 cm. ∴S△ABC= AB×CD=25 cm2. A C 5.如图,一个等腰三角形的两个底角为15°,腰长为10 cm，求这个等腰三角形的面积. 提升题 6. 如图，在中， ， ，. 若点在直线上（不与点，重合），且 ，则 的长为_______. 6或12 拓展题 7.如图，在等边三角形中，，与相交于点 ，于点. 求证： . 证明： 为等边三角形，， . 又， . . ， . . ， . . . 课堂小结 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 使用要点 含30°角的直角三角形的性质 ①分清30 °的角所在的直角边 ②作辅助线，构造直角三角形 注意 前提条件：直角三角形中 证题方法 倍长法 截半法 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第84页练习 第1，2题 1. 在 Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边 AB 与 BC 之间有什么关系？ 解：∵ ∠C = 90°，∠B = 2∠A，∠A +∠B +∠C = 180°， ∴ ∠A + 2∠A + 90° = 180°. ∴ ∠A = 30°. ∴ ∠B = 2∠A = 60°. ∴ AB = 2BC. 课本练习 2. 在 Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 2BC，∠B 和∠A 各是多少度？ A B C D 解：如图，延长 BC 至点 D，使 CD = BC，连接 AD，则 BD = 2BC. ∵ AB = 2BC，∴ AB = BD. ∵∠ACB = 90°，CD = BC， ∴ AC 是 BD 的垂直平分线. ∴ AD = AB = BD. ∴ △ABD 是等边三角形. ∴ ∠B = 60°. ∴ ∠CAB = 90° – ∠B = 30°. 感谢观看 $