第一次月考复习冲刺（提高篇） 【精英班课程】同步培优讲义2025-2026学年九年级数学上学期（沪教版2024）

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第一次月考复习冲刺（提高篇） 考点一、相似形与比例线段 1.下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 2.已知a、b是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3.若，则___________． 4.若，则的值为（    ） A． B．1 C．1.5 D．3 5．已知，点P是线段的黄金分割点且，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D． 6.（1）若，求的值； （2）若，且，求． 考点二、三角形一边的平行线 7.已知，AD与BC相交于点O.若，AD=10，则AO= ． 8．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 10.如图，能推出DEBC的比例式是（　　） A． B． C． D． 11.如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么的值是 ． 12.如图，AG：GD4∶1， BD ：DC2∶3，则 AE∶EC的值为 ． 考点三、相似三角形 13.如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（    ） A． B． C． D． 14.如图，AB与CD相交于点O，且∠OAD=∠OCB，延长AD、CB交于点P，那么图中的相似三角形的对数为 ． 15.如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．    (1)如果，求线段的长； (2)设的面积为2，求的面积． 16.如果两个相似三角形面积的比为，那么它们周长的比为 ． 17.如图，长方形的边在的边上，顶点分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 18.《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 考点四、向量的线性运算 19．（2025·上海嘉定·一模）下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果和都是单位向量，那么 C． D．如果，那么 20．下列判断错误的是（     ）． A． B．如果（为非零向量），那么 C．设为单位向量，那么 D．如果，那么或 21．如图，在平行四边形中，M是的中点，，垂足为E，设，，则 ． 22．（2025·上海松江·一模）如图，梯形中，，，设，，那么可以用、表示为 ． 23.如图，四边形中，，与相交于点，，，．      (1)求的长； (2)设，，试用、表示． 考点五、锐角三角比 24．计算：． 25．计算：． 26.计算：． 27．计算：． 28（2025·上海普陀·一模）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 29．在等腰中，，如果，那么的值是 ． 考点六、解直角三角形及应用 30.已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ． 31.如图，已知，，，是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与分别交于点，如果是直角三角形，那么的长是 ． 32．如图，，且和之间的距离是和之间的距离是的三个顶点分别在上，与交于点，如果，那么的长是 ． 33．如图，在中，，，是边上一点，将沿直线翻折，点的对应点为，如果，那么的值为 ． 34．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)在边上取一点，使，连接，求的正切值． 考点七、几何证明 35.如图，在中，点分别是的中点，且，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)证明：． 36.如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证：； (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 考点八、二次函数 37.已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 38.在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 39.二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 40.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上． ①求点的坐标； ②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标． 41.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标； (3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考点九、几何综合题 42.已知：如图，在中，，，，与边相交于点P． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果是直角三角形，求的正切值． 43.已知梯形中，，，，，．点在射线上，点在射线上（点、点均不与点重合），且，连接，设，的面积为. (1)如图1所示，求的值； (2)如图2所示，点在线段上，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，求的长. 44.已知中，，平分，，，点，分别是边，上的点（点不与点，重合），且，，相交于点． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第一次月考复习冲刺（提高篇） 考点一、相似形与比例线段 1.下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【答案】C 【解析】解：A、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； B、两个面积相等的三角形不一定相似，不符合题意； C、两个正方形一定相似，符合题意； D、两个菱形不一定相似，不符合题意． 故选：C． 2.已知a、b是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、由得，，故本选项不符合题意； B、由得，，整理得，，故本选项符合题意； C、由得，，整理得，，故本选项不符合题意； D、由得，，整理得，，故本选项不符合题意． 故选：B． 3.若，则___________． （3）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 4.若，则的值为（    ） A． B．1 C．1.5 D．3 【答案】A 【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可． 【详解】解： 由， ， ， 故选：A． 【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义． 5．已知，点P是线段的黄金分割点且，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：A． 6.（1）若，求的值； （2）若，且，求． 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）先设，得到，然后代入计算即可； （2）先设，得到，再根据求出，最后进行比较即可． 【详解】解：（1）设， ∴， ∴； （2）设， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参数，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值． 考点二、三角形一边的平行线 7.已知，AD与BC相交于点O.若，AD=10，则AO= ． 【答案】4 【解析】解：根据平行线分线段成比例定理，由AB∥CD可得， ∵AD=10， ∴OD=10-OA， 代入可得， 解得OA=4，经检验，符合题意； 故答案为4． 8．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， A、， ∴， ∴，正确，不符合题意； B、， ∴，正确，不符合题意； C、， ∴， ∴，正确，不符合题意； D、根据上述论证，故该选项错误，符合题意； 故选：D ． 9．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【解析】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， ∴． 解得． 故选：C． 10.如图，能推出DEBC的比例式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 又， 故选C 11.如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的重心和相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵△ABC的中线AD、CE交于点G， ∴G是△ABC的重心， ∴， ∵GF∥BC， ∴＝， ∵DC＝BC， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查三角形重心问题，关键是根据三角形的重心得出比例关系． 12.如图，AG：GD4∶1， BD ：DC2∶3，则 AE∶EC的值为 ． 【答案】8:5 【分析】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF∥CE得到，则CE=DF，由DF∥AE得到，则AE=4DF，然后计算的值． 【详解】过点D作DF∥CA交BE于F，如图， ∵DF∥CE， ∴， 而BD：DC=2：3， ∴，则CE=DF， ∵DF∥AE， ∴， ∵AG：GD=4：1， ∴，则AE=4DF， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 考点三、相似三角形 13.如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C．若添加，不能证明，故本选项符合题意； D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 14.如图，AB与CD相交于点O，且∠OAD=∠OCB，延长AD、CB交于点P，那么图中的相似三角形的对数为 ． 【答案】3 【详解】分析：图中有4对相似三角形，利用相似三角形的判定方法一一证明即可． 详解： ∵在△ABP与△CDP中，∠BAP=∠DCP，∠APB=∠CPD， ∴△ABP∽△CDP， ∴∠ABP=∠CDP，AP：CP=BP：DP， ∴∠ADO=∠CBO， 又∵∠OAD=∠OCB， ∴△OAD∽△OCB， ∴, ∴， ∵∠AOC=∠DOB， ∴△AOC∽△DOB， ∵在△PAC与△PBD中，∠P=∠P，AP：BP=CP：DP ∴△PAC∽△PBD， 综上所述，图中的相似三角形有4对：△ABP∽△CDP，△OAD∽△OCB，△PAC∽△PBD，△AOC∽△DOB． 故答案是：4． 点睛：考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 15.如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．    (1)如果，求线段的长； (2)设的面积为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：，， ， 且， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 16.如果两个相似三角形面积的比为，那么它们周长的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：由题意，相似三角形的相似比为：， ∴它们周长的比为； 故答案为：． 17.如图，长方形的边在的边上，顶点分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设交于点，由题意得， ，，，得出四边形是矩形，由得到，继而得到，即，计算即可求解． 【详解】解：设交于点，如图， 长方形的边在的边上，顶点分别在、上， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为： ． 18.《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【解析】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 考点四、向量的线性运算 19．（2025·上海嘉定·一模）下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果和都是单位向量，那么 C． D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，平面向量，解答本题的关键是掌握平面向量的基本概念和性质． 由平面向量的基本概念和性质，即可判断． 【详解】解：A、两向量的模相等，方向不一定相同，故A选项不符合题意； B、两单位向量的方向可能不同，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、如果，那么，正确，故D选项符合题意； 故选：D． 20．下列判断错误的是（     ）． A． B．如果（为非零向量），那么 C．设为单位向量，那么 D．如果，那么或 【答案】D 【解析】解：、与任何向量的乘积都是零向量，故原选项正确，不符合题意； 、方向相同或相反的非零向量叫平行向量，因为（为非零向量），所以，故原选项正确，不符合题意； 、单位向量的模为，所以设为单位向量，那么，故原选项正确，不符合题意； 、两个向量的模相等，则两个向量的长度相等，当方向不确定，故原选项错误，符合题意； 故选：． 21．如图，在平行四边形中，M是的中点，，垂足为E，设，，则 ． 【答案】/ 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22．（2025·上海松江·一模）如图，梯形中，，，设，，那么可以用、表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则，是解题的关键．先根据，，，得出，然后利用三角形法则，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 23.如图，四边形中，，与相交于点，，，．      (1)求的长； (2)设，，试用、表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质和向量的知识，掌握了以上知识是解题的关键； （1）利用已知条件证出，再得出，然后代入计算即可求解． （2）先求得，再根据，然后即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，   解得：； （2）解：∵， ∴， 又∵与同向， ∴， ∵，   ∴； 考点五、锐角三角比 24．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 25．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 26.计算：． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．把特殊角的三角函数值代入后计算即可． 【详解】解： 27．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ． 28（2025·上海普陀·一模）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：B． 29．在等腰中，，如果，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题考查求角的正弦值，勾股定理．过点作，根据，不妨设，，设，勾股定理列出方程求出的长，进而求出的长，再根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作，如图，设， ∵， ∴不妨设，则：， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 考点六、解直角三角形及应用 30.已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ． 【答案】30 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了坡度的计算，特殊角的三角函数值的计算，理解坡度的含义，掌握特殊角的三角函数的计算是解题的关键． 根据坡度坡面的垂直高度和水平宽度的比值，即坡角的正切值，其中是斜坡与水平面之间的夹角，由此即可求解． 【详解】解：设坡角为， ∴， ∴, 故答案为： ． 31.如图，已知，，，是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与分别交于点，如果是直角三角形，那么的长是 ． 【答案】或2 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】由三线合一可得，进而求出各边长，然后根据是直角三角形分类讨论，当时或时，画出图形，利用特殊角求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是中点， ∴，即， ∵， ∴，，， ∵线段绕点顺时针旋转得到对应线段， ∴， ∴，，， ①当时， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 此时，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形的计算，掌握等腰三角形的性质，解直角三角形的计算，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 32．如图，，且和之间的距离是和之间的距离是的三个顶点分别在上，与交于点，如果，那么的长是 ． 【答案】5 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，过点作，，交于点，根据平行线分线段成比例，得到，证明，求出的长，勾股定理求出的长，锐角三角形函数求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，，交于点，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：5． 33．如图，在中，，，是边上一点，将沿直线翻折，点的对应点为，如果，那么的值为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算与运用，折叠的性质，相似三角形判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，设，运用勾股定理可得，分类讨论：如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，设交于点，运用勾股定理可得，由平行可证，可得解得，，再证，可得即可求解；将沿直线翻折，点的对应点为，，延长交于点，运用勾股定理可得，由折叠与平行的性质可得，则，再证，得到即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 设， ∴， 如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，设交于点， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 同理，， ∴， ∴， 解得，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即， 整理得，， ∵， ∴； 如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，延长交于点， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 34．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)在边上取一点，使，连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点作，垂足为，由面积法求得，进而解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为，由（）得，解直角三角形得，证是等边三角形，得，，，从而求得，，，利用正切定义即可得解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ，． （2）解：过点作，垂足为 由（）得， ∴，， ， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ，， ∴， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，度直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 考点七、几何证明 35.如图，在中，点分别是的中点，且，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）根据等边对等角可得，再证这组夹角的两边成比例即可； （2）作交于点H，可证，，推出，，进而可得，再根据得出，推出，等量代换可证． 【详解】（1）证明：， ，即， 又点分别是的中点， ，， ， ∴， ； （2）证明：如图，作交于点H， ， ，；，， ，， 又点分别是的中点， ，， ，， ， 由（1）得， ，即， ， ． 36.如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证：； (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定是解题的关键． （1）由及可得，则有；再由平行条件得，则可证明； （2）由及，可得，则可得，进而得；再证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）证明：∵ ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． 考点八、二次函数 37.已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，A，B两点关于对称轴对称，即可得出A，B两点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵和关于对称轴对称， ∴， ∴ 故答案为：． 38.在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据“上加下减，左加右减”的原则求得新抛物线的解析式为，即可得出，解得，从而求顶点的横坐标为2． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线的解析式为， ∵所得到的新抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点的横坐标为2． 故答案为：2． 39.二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 40.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上． ①求点的坐标； ②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识． （1）点C的坐标为，得到在中，，得到，点A的坐标为，得到，解得； （2）①点B的坐标为，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点P关于x轴的对称点为，得到在直线上，得到，解方程即可得到答案；②设交抛物线的对称轴于点H，过点H作于点N，证明，求出直线的解析式为，得到，得到，证明，在中，,设，则则，得到，由得到，则，得到，则点H的坐标是，求出直线的解析式为，与抛物线解析式联立得到求出点M的横坐标，即可得到点M的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 在中，， ∴ ∴点A的坐标为， ∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴； （2）①当时，，解得或， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为 ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， 则点P关于x轴的对称点为， ∵在直线上， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴， ∴点P的坐标为； ②设交抛物线的对称轴于点H，过点H作于点N， ∵，， ∴ 设直线的解析式为， 则 解得，     ∴直线的解析式为， ∴， ∵，且点D在抛物线对称轴直线上， ∴， ∵ ∴， 在中，, 设，则则， ∴， ∵， ∴，则 ∴， 则点H的坐标是，即， 设直线的解析式为， 则     解得，     ∴直线的解析式为， 与抛物线解析式联立得到 解得，（不合题意，舍去） 当时， ∴ 41.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标； (3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P1（1，10.5），P2（7，4.5） (3)存在，（3，8）或或（3，11） 【分析】（1）直接将A（﹣2，0）和点B（8，0）代入y＝x2+bx+c（a≠0），解出b，c的值即可得出答案； （2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标； （3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，0）和点B（8，0）， ∴ ∴抛物线解析式为：； （2）解：当x＝0时，y＝8， ∴C（0，8）， ∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8， ∵， ∴ 14 过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F， 设， ∴F（t，﹣t+8）， ∴， ∴， 即 ， ∴t1＝1，t2＝7， ∴P1（1，10.5），P2（7，4.5）； （3）解：存在，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）． ∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°， ∴△OBC为等腰直角三角形， 抛物线的对称轴为， ∴点E的横坐标为3， 又∵点E在直线BC上， ∴点E的纵坐标为5， ∴E（3，5）， 设， ①当MN＝EM，∠EMN＝90°， △NME∽△COB，则， 解得或（舍去）， ∴此时点M的坐标为（3，8）， ②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时， 则， 解得：或（舍去）， ∴此时点M的坐标为； ③当MN＝EN，∠MNE＝90°时， 此时△MNE与△COB相似， 此时的点M与点E关于①的结果（3，8）对称， 设M（3，m）， 则m﹣8＝8﹣5， 解得m＝11， ∴M（3，11）； 此时点M的坐标为（3，11）； 故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）． 【点睛】本题是一道综合题，涉及二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线． 考点九、几何综合题 42.已知：如图，在中，，，，与边相交于点P． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果是直角三角形，求的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据等边对等角可得；推得；根据等角对等边可得；根据直角三角形两锐角互余，等角的余角相等可得；根据等角对等边可得；根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例，且都等于相似比即可证明． （2）结合题意可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得；结合（1）中结论可求得；分别求出和，即可求解． （3）分两种情况讨论：当时，根据相似三角形的判定和性质可求得；根据勾股定理和（1）中结论可求得，即可列出等式，求得，根据勾股定理求出，分别求出、与的关系，根据锐角三角函数的定义即可求解；当时，根据同旁内角互补，两直线平行可得；根据两直线平行，内错角相等可得；根据锐角三角函数的定义可推得，根据正方形的判定和性质即可求出，根据特殊角的锐角三角函数值即可求解；当时，分析可得不存在，即可推得该情况不存在． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴, 即． （2）解：∵， ∴， 即， ∴， 在中，， ∴， 又∵， 即， 整理得：； ∵， ∴， ∴． （3）解：当时， ∵，， ∴， ∴, ∴， 即， 在中，， 即， 又∵， ∴， 故， 则， 整理得：， 在中，， 即，， ， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵，， 故， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； 则和是正方形的对角线， ∴ 故． 当时，点A在上，即不存在， 故不存在这种情况． 【点睛】本题考查了等边对等角，等角对等边，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，锐角三角函数等；结合第1问中的结论通过列出等式，求出是解题的关键． 43.已知梯形中，，，，，．点在射线上，点在射线上（点、点均不与点重合），且，连接，设，的面积为. (1)如图1所示，求的值； (2)如图2所示，点在线段上，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，求的长. 【答案】(1) (2) (3)或或；或 【分析】（1）过点A作交于点E，过点E作于点F，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义即可得出答案； （2）过点作于点F， 于点H，根据，，在中根据三角函数求出，，求出，根据三角形面积公式求出，然后求出x的取值范围即可； （3）分四种情况进行讨论：当时，当，点Q在线段延长线上时，当，点Q在线段上时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点A作交于点E，过点E作于点F，如图所示： ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 即的值为． （2）解：过点作于点F， 于点H，如图所示： 根据解析（1）可知，， ∴在中， ∵，， ∴， ∴在中， ∴， ∴， ∵点在线段上，且当点Q在点C上时，的面积为0，即， ∴， 解得：， ∵点、点均不与点重合， ∴． （3）解：当时，过点作于点M，如图所示： 根据解析（2）可知，， 根据勾股定理得：， ， ∵，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 解得：， 即； 当，点Q在线段延长线上时，如图所示： ， 根据解析（2）可知，， ∴， 解得：， 即； 当，点Q在线段上时，如图所示： ， 根据解析（2）可知，， ∴， 解得：， 即； 当，过点Q作于点N， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知，或或；或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，求函数解析式，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，注意分类讨论． 44.已知中，，平分，，，点，分别是边，上的点（点不与点，重合），且，，相交于点． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，再根据相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，即可得到答案； （2）过点F作于点M，于点N，先证明，进一步求得，接着利用面积法证明，设，证明，求得，即可进一步求得答案； （3）先证明，可得，再利用等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质逐步求得，最后证明，进一步求出，即可得到答案． 【详解】（1）平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）过点F作于点M，于点N， ，， ， 又， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， 设，则，，， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ； （3）是以为腰的等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，利用面积比求线段比等知识与方法，灵活运用相关知识与方法是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $