第三章 指数运算与指数函数重难点检测卷-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

第三章 指数运算与指数函数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一上·全国·课后作业）若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高二下·浙江·期末）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 4．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23高三上·上海徐汇·期中）已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·专题练习）设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ）． A． B． C． D． 7．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）有容积相等的桶和桶，开始时桶中有升水，桶中无水．现把桶中的水注入桶中，分钟后，桶的水剩余（升），其中为正常数．假设5分钟后，桶和桶中的水相等，要使桶中的水只有升，必须再经过（    ）    A．12分钟 B．15分钟 C．20分钟 D．25分钟 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 11．（23-24高一上·湖南长沙·期末）以下关于数的大小的结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（23-24高一上·山东青岛·期中）计算： ．（保留小数点后两位） 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则 ． 14．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）函数的最小值为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·福建泉州·期中）（Ⅰ）计算：    （Ⅱ）化简： 16．（23-24高一上·广东深圳·期中）设函数，. (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求的值域. 17．（23-24高三上·江苏·开学考试）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)若在上最小值为，求实数的值. 18．（23-24高二上·浙江·期中）已知定义在上的函数. (1)求的值，并判断的奇偶性（要有过程）； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数． (1)设，判断并证明函数的奇偶性； (2)判断是否为定值，并求关于x的不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 指数运算与指数函数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一上·全国·课后作业）若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由题意利用根式的性质得到关于x,y的不等式组，然后确定x,y的符号即可. 【详解】，，．由 ，得 . 故选C. 【点睛】本题主要考查根式的定义与运算法则，属于基础题. 2．（23-24高二下·浙江·期末）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案． 【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1， 则512天后甲的质量为：, 乙的质量为：， 由题意可知，， 所以. 故选：A. 3．（23-24高一下·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 【答案】B 【分析】在公式中令求解即可. 【详解】设， 令 解得则即方程的正实数根. 由， 可得. 因为方程的实数根为负数， 所以，即， 故. 故选：B. 4．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得定义域，由定义域不关于原点对称，可判断AC；BD定义域关于原点对称，进而令，利用奇函数的定义计算可判断B，令，利用奇函数的定义计算可判断D. 【详解】因为， 对于A，，定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故A错误； 对于B，所以，则， 令，定义域关于原点对称， ，所以B正确； 对于C，，定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故C错误； 对于D，所以，则， 令，定义域关于原点对称， ， 所以不是奇函数，所以D不正确； 故选：B. 5．（22-23高三上·上海徐汇·期中）已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一坐标系内分别画出函数和的图象，结合图象即可判断. 【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图象，如图所示： 由图象知，当时，，所以选项正确； 作出直线，当时，若，则，所以选项正确； 当时，若，则，所以选项正确． 所以不可能成立的是， 故选：． 6．（2025高一·全国·专题练习）设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不同的范围，求解出的值域，从而得到的值域，同理可得的值域，再根据取整运算得到可能的取值. 【详解】由题意得，． ①当时，，此时，， 则，， 从而，， 所以． ②当时，，， ，，，， 故． ③当时，，此时，， 则，， 从而，， 所以． 综上所述，的值域为． 故选：B． 7．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可. 【详解】因为为偶函数，为奇函数，且①， 所以，②， ①②两式联立可得，. 由可得， 可得， 令，其中， 任取、且，则， 所以， ， 当时，则，则，则， 当时，则，则，则， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 令，则，则， 因为函数、在上均为增函数，则， 故，即，故的最大值为. 故选：C. 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）有容积相等的桶和桶，开始时桶中有升水，桶中无水．现把桶中的水注入桶中，分钟后，桶的水剩余（升），其中为正常数．假设5分钟后，桶和桶中的水相等，要使桶中的水只有升，必须再经过（    ）    A．12分钟 B．15分钟 C．20分钟 D．25分钟 【答案】B 【分析】由题意可得桶中水的体积，由，可得，利用，结合指数运算可得答案. 【详解】由题意，桶中水的体积， 因为时，，所以，得． 设再经过分钟后桶中的水只有升，则， 所以， 所以，即再经过15分钟，桶中的水只有升． 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用幂的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立，，，以及之间的内在联系即可求得. 【详解】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 10．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】BC 【分析】根据分母不为求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D. 【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为，故A错误； 因为， 又，当时，则， 当时，则， 所以函数的值域为，故B正确； 又，故C正确； 当时，当时，所以不是减函数，故D错误. 故选：BC 11．（23-24高一上·湖南长沙·期末）以下关于数的大小的结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由指数函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A：因为指数函数在上单调递增，且，所以，正确； 对于B：因为指数函数在上单调递减，且，所以，正确； 对于C：因为，，所以，错误； 对于D：因为，且，所以，错误. 故选：AB 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（23-24高一上·山东青岛·期中）计算： ．（保留小数点后两位） 【答案】0.13 【分析】将式子变形为，再对估计即可得解. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 又，所以， 所以，所以 故答案为：0.13. 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此． 14．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）函数的最小值为 . 【答案】12 【分析】根据函数的定义域，讨论的不同取值，去绝对值，再根据函数的单调性求函数的最小值. 【详解】函数的定义域需满足，即，即定义域为， 当时，， 函数在区间单调递减，当时，， 当时，， 函数在区间单调递减，当时，， 综上可知，函数的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·福建泉州·期中）（Ⅰ）计算：    （Ⅱ）化简： 【答案】（Ⅰ）100；（Ⅱ） 【分析】（I）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. （II）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. 【详解】（Ⅰ）原式. （Ⅱ）原式. 【点睛】本小题主要考查根式和指数运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题. 16．（23-24高一上·广东深圳·期中）设函数，. (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求的值域. 【答案】(1)； (2)奇函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）由题意可得对于恒成立，，即有对于恒成立，结合对勾函数的性质及基本不等式求解即可； （2）分和求出函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义判断、证明即可； （3），则有，再令，则有，分、结合对勾函数、反比例型函数求解即可. 【详解】（1）解：定义域为R，即对于恒成立， 令，那么，即对于恒成立， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，，当且仅当时等号成立， 所以， 即的取值范围为； （2）解：定义域分两种情况讨论： ①当时，定义域为R , 定义域关于原点对称. ②当时，定义域不为R （i） 定义域为，定义域关于原点对称； （ii） ，解得 即， 所以定义域关于原点对称. 所以的定义域关于原点对称， 下面判断和的关系， ， 即， 所以是奇函数， 综上所述是奇函数； （3）解：当时， ， 设， 那么， 设， 那么， ①当时，； ②当时，， 因为， 由对勾函数的性质可得 所以， 即 所以 综上，的值域为 17．（23-24高三上·江苏·开学考试）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)若在上最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的解析式，令，设，利用二次函数的单调性求值域； （2）先求出的解析式，令，设，对称轴为，讨论对称轴与区间的关系，可得最小值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 令，则，当且仅当即时，等号成立， 所以，记， 易知函数在上单调递增，所以， 即的值域为，所以函数的值域为. （2） ， 令，根据单调性的性质知，函数在单调递增， 则，记，对称轴为， 当时，在上单调递增，所以的最小值为， 解得，不合题意舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，解得或舍去； 综上可得，. 18．（23-24高二上·浙江·期中）已知定义在上的函数. (1)求的值，并判断的奇偶性（要有过程）； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，为奇函数 (2) 【分析】（1）直接代入即可得的值，判断与的关系可得奇偶性； （2）利用分离参数思想可得，令，求出右端函数的最小值即可得结果. 【详解】（1）， 因为函数的定义域为，关于原点对称， 因为，， 所以为奇函数. （2）由，得， 因为，所以， 所以． 令，则，此时不等式可化为， 记，因为当时，和均为减函数， 所以为减函数，故， 因为恒成立，所以． 19．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数． (1)设，判断并证明函数的奇偶性； (2)判断是否为定值，并求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)是定值，关于x的不等式的解集为 【分析】（1）先求得的解析式，然后根据函数奇偶性的定义来进行判断. （2）是定值，由此化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】（1） ， 是奇函数，证明如下： 的定义域是，， 所以是奇函数. （2）为定值. 所以， 即， 即①， 在上单调递增， ， ，即②， 由①②得，而， 所以关于x的不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $