第3章 实数（25个高频易错考点训练 共50题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册章节复习培优专项训练

第3章 实数（易错题考点集训） 【25个高频易错考点 共50题】 易错考点01：求一个数的算术平方根 2 易错考点02：利用算术平方根的非负性解题 2 易错考点03：估计算术平方根的取值范围 2 易错考点04：求算术平方根的整数部分和小数部分 3 易错考点05：算术平方根的实际应用 3 易错考点06：平方根概念理解 4 易错考点07：与算术平方根有关的规律探索题 4 易错考点08：求一个数的平方根 5 易错考点09：平方根的应用 5 易错考点10：已知一个数的平方根。求这个数 5 易错考点11：无理数 6 易错考点12：无理数的大小估算 6 易错考点13：无理数整数部分的有关计算 6 易错考点14：实数概念理解 7 易错考点15：实数的分类 8 易错考点16：实数的性质 8 易错考点17：实数与数轴 8 易错考点18：实数的大小比较 9 易错考点19：立方根概念理解 10 易错考点20：求一个数的立方根 10 易错考点21：已知一个数的立方根，求这个数 10 易错考点22：立方根的实际应用 11 易错考点23：与立方根有关的规律探索 12 易错考点24：算术平方根和立方根的综合应用 13 易错考点25：实数的混合运算 13 易错考点01：求一个数的算术平方根 1．（23-24七年级上·上海·期末）已知，则0.06的平方根约等于 ． 2．（23-24七年级下·北京西城·阶段练习）下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 易错考点02：利用算术平方根的非负性解题 3．（2023七年级上·江苏南通·竞赛）已知，为实数，其中，则的平方根是 ． 4．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）下列说法正确的有（  ） ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错考点03：估计算术平方根的取值范围 5．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． (1)直接写出小正方形的边长为___________； (2)小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 6．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是 ． 易错考点04：求算术平方根的整数部分和小数部分 7．（22-23七年级下·广东广州·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1． (2) 对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 8．（22-23八年级上·湖南郴州·期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 易错考点05：算术平方根的实际应用 9．（24-25七年级下·广东东莞·期末）阅读与思考，请先完成第（1）小题的填空，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． 解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则 由边长的实际意义，得___________________． 答：该大正方形的边长是_________________． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 10．（24-25七年级下·河南焦作·期中）如图，用五个面积均为2的小正方形拼成了一个“T”字图形，然后将这个“T”字图形剪拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 易错考点06：平方根概念理解 11．（24-25七年级上·云南保山·期末）下列说法中正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．4的平方根是2 12．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若代数式没有平方根，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 易错考点07：与算术平方根有关的规律探索题 13．（24-25七年级下·广东东莞·阶段练习）若，则 ， ，若，则 ． 14．（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 易错考点08：求一个数的平方根 15．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如果一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数的平方根为（   ） A．4 B． C． D． 16．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 易错考点09：平方根的应用 17．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，则这个长方形的周长为 ． 18．（22-23七年级下·全国·期末）已知：实数a，b满足． (1)可得___________，___________； (2)若一个正实数m的两个平方根分别是和，求x和m的值． 易错考点10：已知一个数的平方根。求这个数 19．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）已知的平方根为它本身，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 20．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 易错考点11：无理数 21．（23-24七年级上·上海·期末）在实数，，3.14，，，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个）中，无理数的个数为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 22．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在实数，，，，，，…中，无理数的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错考点12：无理数的大小估算 23．（24-25七年级上·贵州黔西·期末）如图，数轴上A，B，C，D四点中，最接近于的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 24．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 易错考点13：无理数整数部分的有关计算 25．（23-24七年级下·陕西延安·期末）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 26．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）我们用表示不大于的最大整数．的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)＝ ，＝ ； (2)设的小数部分为a，则＝ ； (3)已知：，其中是整数，且，求的值的相反数． 易错考点14：实数概念理解 27．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是 （填序号）． ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 28．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错考点15：实数的分类 29．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，，． 正整数集合{ }； 非负数集合{ }； 整数集合{ }； 有理数集合{ }； 30．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，，… 整数集合{ }； 分数集合{ }； 无理数集合{ }； 易错考点16：实数的性质 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）的绝对值是（   ） A．1 B． C． D． 易错考点17：实数与数轴 33．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（    ） A． B． C． 或 D．或 34．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 易错考点18：实数的大小比较 35．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请把实数近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 36．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）比较大小： (1) 与4； (2)与． 易错考点19：立方根概念理解 37．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）．   A．负数没有立方根 B．的立方根可以表示为 C．等于4 D．任何一个正数都有两个立方根 38．（2025七年级上·全国·专题练习）若是的算术平方根，是的立方根，求a与b的值． 易错考点20：求一个数的立方根 39．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）实数，，，中最大的数为 ． 40．（25-26七年级上·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 易错考点21：已知一个数的立方根，求这个数 41． （21-22七年级下·辽宁·阶段练习）已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根． 42．（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知的立方根为，4的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 易错考点22：立方根的实际应用 43．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 44．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 易错考点23：与立方根有关的规律探索 45．（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 46．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 易错考点24：算术平方根和立方根的综合应用 47．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 48．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 易错考点25：实数的混合运算 49．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2) ； (3) ； (4) ． 50．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 实数（易错题考点集训） 【25个高频易错考点 共50题】 易错考点01：求一个数的算术平方根 2 易错考点02：利用算术平方根的非负性解题 2 易错考点03：估计算术平方根的取值范围 3 易错考点04：求算术平方根的整数部分和小数部分 5 易错考点05：算术平方根的实际应用 6 易错考点06：平方根概念理解 7 易错考点07：与算术平方根有关的规律探索题 8 易错考点08：求一个数的平方根 9 易错考点09：平方根的应用 10 易错考点10：已知一个数的平方根。求这个数 11 易错考点11：无理数 12 易错考点12：无理数的大小估算 13 易错考点13：无理数整数部分的有关计算 14 易错考点14：实数概念理解 16 易错考点15：实数的分类 17 易错考点16：实数的性质 18 易错考点17：实数与数轴 19 易错考点18：实数的大小比较 20 易错考点19：立方根概念理解 21 易错考点20：求一个数的立方根 22 易错考点21：已知一个数的立方根，求这个数 23 易错考点22：立方根的实际应用 24 易错考点23：与立方根有关的规律探索 26 易错考点24：算术平方根和立方根的综合应用 28 易错考点25：实数的混合运算 29 易错考点01：求一个数的算术平方根 1．（23-24七年级上·上海·期末）已知，则0.06的平方根约等于 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了算术平方根及平方根，将转化为进行计算，即可得到答案． 【规范解答】解：， ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·北京西城·阶段练习）下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【思路引导】依次对每个说法根据平方根、算术平方根的定义进行判断，确定正确说法的个数．本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【规范解答】解： 的平方根是，故①错误； 没有平方根，故②错误； ，故③错误； 是的算术平方根，故④错误； ，的算术平方根是，则的算术平方根是，故⑤错误； 算术平方根是一个非负数，则的算术平方根是，故⑥错误． 综上正确的说法有0个， 故选：A． 易错考点02：利用算术平方根的非负性解题 3．（2023七年级上·江苏南通·竞赛）已知，为实数，其中，则的平方根是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查算术平方根的非负性及求一个数的平方根．掌握相关结论即可． 根据算术平方根和乘方的非负性求出，，再计算的平方根即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 则的平方根是． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）下列说法正确的有（  ） ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了平方根概念的运用．如果，则是的平方根．若，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫的算术平方根；若，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断． 【规范解答】解：根据平方根概念可知：①负数没有算术平方根，故错误； ②反例：0的算术平方根是0，故错误； ③当时，的算术平方根是，故错误； ④的算术平方根是4，故错误； ⑤算术平方根不可能是负数，故正确． 所以正确的有⑤，共1个． 故选：A． 易错考点03：估计算术平方根的取值范围 5．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． (1)直接写出小正方形的边长为___________； (2)小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 【答案】(1)10； (2)能成功，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了算术平方根，正方形的性质，长方形的性质，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键． (1)利用正方形的性质和算术平方根的意义解答即可； (2)设长方形的长宽分别为，，长方形的面积公式和算术平方根的意义求得长方形的长，再与小正方形的边长作比较即可． 【规范解答】（1）解∶面积为大正方形拼成如图2所示的两个相同的小正方形，每个小正方形的面积为， 小正方形的边长为． 故答案为∶10； （2）解：在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，能成功． 理由∶依题意设长方形的长、宽分别为，， 则， 即， 解得（不符合题意，舍去），， 则长方形的长、宽分别为， ， 即， 小明可以剪出这样的长方形． 6．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向右移动两位，那么对应的算术平方根的小数点向右移动一位，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 易错考点04：求算术平方根的整数部分和小数部分 7．（22-23七年级下·广东广州·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 【答案】(1)5，7 (2)4次之后结果为1． 【思路引导】（1）先计算和估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义对290进行连续求根整数，可得4次之后结果为1． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：5，7； （2）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， 答：对290连续求根整数，4次之后结果为1． 【考点剖析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的算术平方根的计算能力． 8．（22-23八年级上·湖南郴州·期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 【答案】35 【思路引导】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴的最大整数为35． 故答案为：35． 【考点剖析】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键． 易错考点05：算术平方根的实际应用 9．（24-25七年级下·广东东莞·期末）阅读与思考，请先完成第（1）小题的填空，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． 解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则 由边长的实际意义，得___________________． 答：该大正方形的边长是_________________． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 【答案】(1) (2)该大正方形的边长是 【思路引导】本题考查了算术平方根；熟练掌握图形的拆补是解题的关键． （1）拼成的正方形面积等于原2个小正方形的面积；进一步求边长即可； （2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可； 【规范解答】（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则 由边长的实际意义，得． 答：该大正方形的边长是 故答案为：． （2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则 由边长的实际意义，得 答：该大正方形的边长是． 10．（24-25七年级下·河南焦作·期中）如图，用五个面积均为2的小正方形拼成了一个“T”字图形，然后将这个“T”字图形剪拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了算术平方根的运用，理解正方形的面积，掌握算术平方根的计算是关键． 根据题意得到正方形的面积为10，由算术平方根的计算即可求解． 【规范解答】解：用五个面积均为2的小正方形拼成了一个“T”字图形， ∴， ∴正方形的边长为， 故选：C ． 易错考点06：平方根概念理解 11．（24-25七年级上·云南保山·期末）下列说法中正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．4的平方根是2 【答案】C 【思路引导】本题考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解本题的关键．根据平方根的定义即可判断． 【规范解答】解：A、负数没有平方根，故错误，不符合题意； B、没有平方根，故错误，不符合题意； C、0的平方根是0，故正确，符合题意； D、4的平方根是，故错误，不符合题意． 故选：C． 12．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若代数式没有平方根，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查平方根的定义；根据负数没有平方根得到，计算即可求出． 【规范解答】解：∵代数式没有平方根， ∴， 解得：； 故选：A． 易错考点07：与算术平方根有关的规律探索题 13．（24-25七年级下·广东东莞·阶段练习）若，则 ， ，若，则 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了算术平方根的性质，如果被开方数扩大为原来的100倍，其算术平方根也在扩大，但只扩大为原来的10倍；同理，如果被开方数缩小为原来的，其算术平方根也在缩小，但只缩小为原来的． 根据算术平方根的性质结合题意即可求解． 【规范解答】解：∵ ∴，， ∵， ∴ 故答案为：，，． 14．（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【思路引导】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【规范解答】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 易错考点08：求一个数的平方根 15．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如果一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数的平方根为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查平方根的含义，知道正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．分析题目根据正数的两个平方根互为相反数可得；接下来解方程可得的值，从而可求出这个正数，进一步可得答案． 【规范解答】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得. 则， 这个正数是，它的平方根为. 故选：D 16．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是平方根，算术平方根的含义，根据平方根，算术平方根的含义求解即可． 【规范解答】解：A．，故选项不符合题意； B．，故选项不符合题意； C．，故选项不符合题意； D．，则的计算错误，故选项符合题意． 故选：D． 易错考点09：平方根的应用 17．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，则这个长方形的周长为 ． 【答案】24 【思路引导】本题考查了求平方根的实际应用，设这个长方形的宽为，则长为，根据面积是列方程求出x的值，然后根据周长公式计算即可．根据题意列出方程是解答本题的关键． 【规范解答】解：设这个长方形的宽为，则长为， 由题意得：，即， ∵， ∴，即这个长方形的宽为，长为， 则这个长方形的周长． 故答案为：24． 18．（22-23七年级下·全国·期末）已知：实数a，b满足． (1)可得___________，___________； (2)若一个正实数m的两个平方根分别是和，求x和m的值． 【答案】(1)，3 (2)， 【思路引导】（1）非负数之和等于0时，各项都等于0，得到，，即可求出a、b的值； （2）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，即可求出x的值，由平方根的定义即可求出m的值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，3． （2）由题意可得：， ∴． ∵，， ∴， ∵ ∴． 【考点剖析】本题考查非负数的性质：算术平方根、绝对值，平方根，关键是掌握平方根的性质，非负数的性质． 易错考点10：已知一个数的平方根。求这个数 19．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）已知的平方根为它本身，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平方根，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，列式得，，再算出，的值，即可作答． （2）由（1）得，即，故得出的平方根，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵的平方根为它本身，的算术平方根是3． ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∴的平方根为． 20．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【答案】D 【思路引导】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可． 【规范解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得： ∴m的值为： 故选：D． 易错考点11：无理数 21．（23-24七年级上·上海·期末）在实数，，3.14，，，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个）中，无理数的个数为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】本题考查无理数． 根据无理数的定义，找出题中所有的无理数，即可得无理数的个数． 【规范解答】解：是有理数，是有理数，3.14，是分数，属于有理数， 无理数有：，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个）， ∴无理数的个数为． 故选：C． 22．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在实数，，，，，，…中，无理数的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【规范解答】解：，是整数，是有限小数，是分数，它们都不是无理数， ，，…是无限不循环小数，它们是无理数，共3个， 故选：C． 易错考点12：无理数的大小估算 23．（24-25七年级上·贵州黔西·期末）如图，数轴上A，B，C，D四点中，最接近于的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【思路引导】本题考查了估算无理数的大小，实数与数轴． 先估算出的大小，再判断即可． 【规范解答】∵ ∴最接近于的是点： 故选：A 24．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先根据无理数的估算方法确定的取值范围，再观察数轴即可求解． 【规范解答】解：， 观察数轴可得，实数对应的可能是点， 故答案为：． 易错考点13：无理数整数部分的有关计算 25．（23-24七年级下·陕西延安·期末）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)3， (2) 【思路引导】本题主要考查无理数的估算，求平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据即可求解； （2）根据，求出a，b的值，然后代入求值，再根据平方根定义解答即可． 【规范解答】（1）解：， ∴ ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∵16的平方根是， ∴的平方根是． 26．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）我们用表示不大于的最大整数．的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)＝ ，＝ ； (2)设的小数部分为a，则＝ ； (3)已知：，其中是整数，且，求的值的相反数． 【答案】(1)， (2)0 (3) 【思路引导】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据平方运算估算出和，进而求解； （3）估算的范围即可得到和，然后根据相反数的意义，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵，是整数，且， ∴，， ∵， ∴， ∴的相反数为：． 易错考点14：实数概念理解 27．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是 （填序号）． ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 【答案】①②/②① 【思路引导】本题考查了实数的四则运算，在三个数之间合理的使用运算符号是解题的关键． 根据“四则操作”的定义依次对各个说法进行判断即可． 【规范解答】解：“四则操作”的结果为3，故①正确； ∵， ∴对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是，故②正确； ∵，， ∴对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的不是，故③错误； 综上所述，说法正确的是①②． 故答案为：①②． 28．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【规范解答】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴有理数有无限个，无理数也有无限个，故④错误． ∴正确的是②③共2个． 故选：B． 易错考点15：实数的分类 29．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，，． 正整数集合{ …}； 非负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 有理数集合{ …}． 【答案】见解析 【思路引导】根据正整数的定义，整数，非负数定义，有理数分类解答即可． 本题考查了有理数的分类，熟练掌握分类标准，准确分类是解题的关键． 【规范解答】解：正整数集合{15，171…}； 非负数集合{15，，，171，0，，…}； 整数集合{15，，，171，0…}； 有理数集合{ 15，，，，，，，171，0，，…}． 30．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，，… 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 无理数集合{ …}． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．本题根据整数，分数，无理数的意义，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：整数集合{ ，0，，5，…}； 分数集合{ ，，，，…}； 无理数集合{，…，…}； 易错考点16：实数的性质 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 【答案】(1) (2) (3) 【规范解答】（1）解：∵，即， 正整数是大于0的整数 ∴小于的所有正整数：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴大于且小于的所有整数； （3）解：∵绝对值小于的整数满足， 而， ∴， ∴绝对值小于的所有整数有：． 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）的绝对值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了实数的性质，先判断出与的大小关系，得出，再根据负数的绝对值是其相反数，即可求解． 【规范解答】解：因为， 所以， 故的绝对值是． 故选：D． 易错考点17：实数与数轴 33．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题考查数轴上的点，圆的周长，掌握相关知识是解题关键．分两种情况讨论：当圆沿着数轴往右或往左滚动一周，所经过的路径长为圆的周长，据此解答． 【规范解答】解：圆滚动一周所经过的路径长为： 当圆沿着数轴往右滚动一周，此时点A表示的数是：； 当圆沿着数轴往左滚动一周，此时点A表示的数是：， 综上所述，点A表示的数是或， 故选：C． 34．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 【答案】(1)， (2)①，画图见解析；②画图见解析 【思路引导】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数． （2）①根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图形即可；②从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移4个单位，用同样的方法得到点N． 【规范解答】（1）解：由图1知，小正方形的对角线长是， ∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案是：， （2）解：①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5， ∴正方形的边长是， 如图所示： 故答案是：； ②如图所示： 易错考点18：实数的大小比较 35．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请把实数近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 【答案】见解析， 【思路引导】本题考查实数与数轴，实数大小比较，根据实数与数轴上的点一一对应，以及实数的大小关系将所给的4个实数表示在数轴上，再根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数比较大小即可． 【规范解答】解：， 所给的四个实数在数轴上表示如下： 由四个实数在数轴上表示的位置可知： 36．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）比较大小： (1) 与4； (2)与． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法即可得解． （1）通过比较两个数的平方大小来比较这两个数即可 （2）根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解； 【规范解答】（1）解：因为 ， 所以； （2）解：因为，， ， ∴． 易错考点19：立方根概念理解 37．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）．   A．负数没有立方根 B．的立方根可以表示为 C．等于4 D．任何一个正数都有两个立方根 【答案】B 【思路引导】本题考查了立方根．运用立方根的意义分析即可． 【规范解答】解：A、负数没有平方根但有一个负的立方根，故本选项不符合题意； B、的立方根可以表示为，故本选项符合题意； C、，因为，故本选项不符合题意； D、任何正数都只有一个正的立方根，故本选项不符合题意． 故选：B． 38．（2025七年级上·全国·专题练习）若是的算术平方根，是的立方根，求a与b的值． 【答案】， 【思路引导】本题考查了立方根的定义，算术平方根的定义，熟记定义并利用根指数列出方程是解题的关键． 根据算术平方根和立方根的定义，利用根指数列出方程求解即可． 【规范解答】解：由题意得，，，且, 解得：，． 易错考点20：求一个数的立方根 39．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）实数，，，中最大的数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值和平方的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据算术平方根、立方根、绝对值和平方的知识，进行化简，然后比较即可求解； 【规范解答】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴实数，，，中最大的数为， 故答案为：； 40．（25-26七年级上·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)0 【思路引导】本题主要考查了有理数混合运算，求一个数的立方根，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据乘法分配律进行计算即可； （2）根据乘方运算法则，立方根定义，进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 易错考点21：已知一个数的立方根，求这个数 41．（21-22七年级下·辽宁·阶段练习）已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，估算无理数的大小等知识点，能求出、、的值是解此题的关键． 根据算术平方根和立方根定义得出，，求出、的值，再估算出的大小，求出的值，计算的值，最后根据平方根的定义求出即可． 【规范解答】解：的算术平方根是，的立方根是4， ，， 解得，， ∵， ∴， 是的整数部分， ， ， 的平方根是． 42．（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知的立方根为，4的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c的值即可； （2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可． 【规范解答】（1）解：∵的立方根是， ∴， ∵4的算术平方根是， ∴， ∵， ∴即， ∴的整数部分是5， 又是的整数部分， ∴， 综上可知，，； （2）解：∵，，， ∴． ∴的平方根为． 易错考点22：立方根的实际应用 43．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查算术平方根，立方根的应用， （1）根据长方体体积的计算公式“长方体的体积底面积高”列方程求解即可； （2）根据“正方体体积的计算方法以及个小正方体体积与总体积之间的关系”列方程求解即可； 理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【规范解答】（1）解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； （2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：， 解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． 44．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【答案】(1)2 (2)阴影部分的面积为2，边长为 (3)或． 【思路引导】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 【规范解答】（1）解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得： 故这个魔方的棱长为2； （2）棱长为2， 每个小立方体的棱长都是1， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：； （3）正方形的边长为，点A与1重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或． 易错考点23：与立方根有关的规律探索 45．（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【思路引导】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【规范解答】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 46．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【思路引导】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【规范解答】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 易错考点24：算术平方根和立方根的综合应用 47．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【规范解答】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 48．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查平方根、立方根定义与性质，熟记平方根、立方根定义与性质是解决问题的关键．由平方根、立方根定义与性质逐一分析各选项的等式是否成立，即可得到答案． 【规范解答】解：A、，选项中左边是两个值，而右边仅取正根，显然不等，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意； 故选：D． 易错考点25：实数的混合运算 49．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1)10 (2)7 (3) (4) 【思路引导】（1）根据混合运算步骤，先省略加号，再同号相加即可得到结果； （2）根据乘法的分配律运用简便运算即可得到答案； （3）根据立方根和算术平方根以及二次根式的性质化简式子，再进行计算即可得到答案； （4）根据立方根、算术平方根和取绝对值得到答案即可； 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点剖析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的四则混合运算，立方根，算术平方根和二次根式的计算，解决此题的关键是正确的计算． 50．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先乘法，再加法进行计算即可； （2）除法变乘法，逆用乘法分配律进行计算即可； （3）进行乘方和开方运算即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 学科网（北京）股份有限公司 $