1.2.4 二面角-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 1.2.4 效果评价 1.在长方体ABCD-ABCD1中，已知 AB=BC=V2AA,E为CC,的中点，则二 2 面角EBD-C的平面角的大小为() A.石B.年C.牙D.2 2.过正方形ABCD的顶点A作线段AP 垂直于平面ABCD,且AP=AB,则平面ABP 与平面CDP所成的锐二面角的大小为() A平 B.牙 C.π D.以上都不正确 6 3.把正方形ABCD沿对角线AC折起， 当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积 最大时，二面角B-AC-D的大小为() A.30° B.45° C.60° D.90° 4.如图，已知三 棱柱ABC-ABC1的底 面是正三角形，侧面 C ABBA1是菱形，且 第4题图 ∠AAB=60°，M是 AB1的中点，MB⊥AC,则二面角A1-BB-C 的余弦值为() A.2V5 B.V5 5 5 C.Z D.V6 3 5.如图，将边长为1的正方形ABCD沿 (18)练 二面角 对角线AC折成大小等 于0的二面角B'-AC D,M,N分别为AC, BD的中点，若0∈ 胥2牙，则线段MN 第5题图 长度的取值范围为( A.V2V6 4’4 B.2.V5 C. D.[1,3] 3 6.若二面角内一点到两个面的距离分别 为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二 面角的大小是 7.若P是△ABC所在平面外一点，且 △PBC和△ABC都是边长为2的正三角形， PA=V6,则二面角P.BC-A的大小为 8.如图，在边长为2 的正方体中，M为棱AB 的中点，则二面角B-CM B的正切值是 第8题图 9.如图所示，ABCD是正方形，V是平 面ABCD外一点，且VA=VB=VC=AB,求二 面角A-VB-C的余弦值. D 第9题图 10.已知边长为2的正方形纸片ABCD, 现将其沿着对角线AC翻折，点B翻折后的 对应点为B',二面角B'-AC-D的大小等于 45°，求四面体AB'CD的体积. 提升练习 11.(多选题)如图， 在正方体ABCD-ABCD1 中，E为线段AA1上的一 个动点，F为线段BC上 的一个动点，则平面EFB 第11题图 与底面ABCD所成的锐二面角的平面角的余 弦值可能为() A3B石C5D.2 2 第一章空间向量与立体几何。 12.如图，平面四边形ABCD中，AB=8, CD=3,AD=5V3,∠ADC=90°，∠BAD= 30°，点E,F满足AE=2AD,AF=)AB, 将△AEF沿EF对折至△PEF,使得PC=4V3. (1)证明：EF⊥PD: (2)求平面PCD与平面PBF所成的二 面角的正弦值， B 第12题图 练(19高中数学选择性必修第一册人教B版 在△ABD中，AD=AB+BD-2AB-BDc0s45°=号， 1 .AD=V 3，sin∠DAE=DE_ 3 AD v5 5 3 即AD与平面PAC夹角的正弦值为VS 14.(1)解：如图，由已 知AD∥BC,故∠DAP或其补 角即为异面直线AP与BC所 成的角 AD⊥平面PDC,AD⊥ PD.在Rt△PDA中，由已知， 第14题答图 得AP-VAD+PD=V万，故cos∠DAP-AD-V5 AP 5， ·异面直线AP与BC所成角的余弦值为Y 5 (2)证明：AD⊥平面PDC,直线PDC平面PDC, .AD⊥PD.又.BC∥AD,.PD⊥BC.又.PD⊥PB,BC∩ PB=B,.PD⊥平面PBC. (3)解：过点D作AB的平行线交BC于点F,连接 PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所 成的角.PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的 射影，∴.∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角. 由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,由已知， 得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC 在Rt△DCF中，可得DF-VCD+CF=2V5, 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP-PD-V5 ΓDF-5 ·直线AB与平面PBC所成角的正弦值为V5 5 1.2.4二面角 效果评价 1.B【解析】如图，连接AC, D BD,相交于点O,AB=BC, ·.OC⊥BD,而△BCE≌△DCE, D- .BE=DE,则OE⊥BD,∴.∠EOC ---0、 为二面角EBD-C的平面角.设 AB-BC-2.0C-AG=V2. 第1题答图 AA=2V2,则CE=2CCF2AAF=V2,∠E0C= 4 即二面角EBDC的平面角的大小为牙.故选B, 2.A【解析】设AP=AB=1,如图，以A为原点， 74 AB所在直线为x轴，AD所在 直线为y轴，AP所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，P (0,0,1),D(0,1,0),C B (1,1,0),PC=(1,1,-1), PD=(0,1,-1) 第2题答图 设平面PCD的一个法向量为m=(x,y,z), mP元=+y-0,取yl,得m=(0,1,1), 则 m·PD=y-z=0, 平面ABP的一个法向量为=(0,1,0)： 设平面ABP与平面CDP所成的角为O, 则cos0=m2=1—=V2, Imllnl V2x1 2 牙故选A 3.D【解析】如图所示，三棱锥底面积一定，欲 使得三棱锥体积最大，只需三棱锥的高最大即可， 即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大， .当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大 时，二面角B-AC-D的大小为90°.故选D. 第3题答图 第4题答图 4.B【解析】取AB的中点O,连接OC,OA1,则 AB⊥OC,AB⊥OA1,建系如图所示，设OA=0B=1,则 OA1=0C=V3,则平面ABB1的法向量为=(1,0,0)， B0,1,0),C(-V3,0,0),A(0,0,V3), M(0,1,V3),B(0,2,V3), 则BC=(-V3,-1,0),BB=(0,1,V3) 设平面BBC的一个法向量为n=(x,y,z), 则m-BC-0,V3y0, n-BB=0,y4V3z=0. 令x=1,得n=(1,-V3,1), 品方孚放选 5.A【解析】如图，连接B'M,DM,得AC⊥BM, AC⊥DM, ∴.∠DMB是二面角B'-AC-D 的平面角，且BMDM=Y2 2 在等腰△DMB'中，MN⊥B'D 且∠DM3∠DMB'=号0， B 2 第5题答图 e号，罗1， 则Mw-Dco0eV2,Y61, 14， 4 线段w长度的取值花围为Y?,放 选A 6.120°【解析】设二面角大小为0，由题意可知 own0)=-6449-7,12r 7.90°【解析】取BC的中点O,连接PO,A0(图 略)，则∠POA就是二面角PBC-A的平面角.又PO= A0=V3,PA=V6,.∠P0A=90° 8.V5【解析】如图，以 D为原点，DA为x轴，DC为y 轴，DD,为z轴，建立空间直角 坐标系， B(2,2,0),B(2,2,2), C(0,2,0),M(2,1,0),CM= 第8题答图 (2,-1,0),CB1=(2,0,2). 设平面CMB的一个法向量为m=(x,y,z), 则m-2y=0. m.CB1=2x+2z=0, 取=1，得m=(1,2,-1), 平面CBM的一个法向量为=(0,0,1) 设二面角B-CM-B的平面角为0， 则cos0lmn=1-1 Imllnl v6.1 V6 tan0=V5,.二面角B-CM-B的正切值为V5. 9.解：如图，取VB的中点为E 连接AE,CE. ·.·VA=VB=VC=AB,四边形ABCD为 正方形， .∴AE⊥VB,CE⊥VB ∠AEC是二面角A-VB-C的平面角. 设AB=a,连接AC,在△AEC 第9题答图 中，AE=EC-Ya,AC=V2a,由余 参考答案。 (V5a-V5a-(VZo 弦定理可知，cos∠AEC= 2 2xV3axV3a 2 2 =弓所求二面角AVBC的余弦值为子 10.解：如图，连接AC,BD R 设AC与BD相交于E,则BE⊥ AC,DE⊥AC,.∠BED为二面 角B'AC-D的平面角，大小等于 45°，且AC⊥平面B'ED. 在平面BED中，过B'作B'O⊥ 第10题答图 平面ACD,则O在DE上.原正方形的边长为2，∴S△m= ×2x2=2,BE=V2,则B'0=1,四面体AB'CD的 2 体积为了×2x1=号 提升练习 11.ABD【解析】在正方体ABCD-ABCD1中，E为 线段AA,上的一个动点，F为线段BC上的一个动点， 当F与B重合时，平面EFB即为平面ABBA1,此时平 面EFB与底面ABCD所成二面角的平面角为90°，余弦 值为0： 当E与A重合，F与C,重合时，平面EFB是平面 ABCD,此时平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的 平面角为45°，余弦值为V2 综上所述，平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角 的平面角的余弦值的取值范围是0，Y?放选ABD, 12.(1)证明：连接EC,在△AEF中，由余弦定理 知EF=2,则EF⊥AE. ,EF⊥PE,EF⊥ED,则EF⊥平面PED,EF⊥PD. 2V3 E 3V3 30 第12题答图(1) 第12题答图(2) (2)解：在△CDE中，CE=VDE+CD=V27+9=6: 在△PCE中，PE+CE=PC,PE⊥EC. 易知EP,EF,ED两两垂直，以EF,ED,EP所在 直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标. 75 高中数学选择性必修第一册人教B版 如图(2)，则P(0,0,2V3),F(2,0,0),B(4, 2V3,0),C(3,3V3,0),D(0,3V3,0) PB=(4,2V3,-2V3),FB=(2,2V3,0), 可求得平面PBF的一个法向量=(V3,-1,1). PD=(0,3V3,-2V3),CD=(-3,0,0),可求 得平面PCD的一个法向量2=(0,2,3).设平面P℃D 与平面PBF所成二面角为O, 所以cou0-5V后V后 sin=8V65 65 1.2.5空间中的距离 效果评价 1.B【解析】过A,B分别作x轴的垂线，垂足分 别为A',B(图略)，则AA1=3,IBB1=2,A'B1=5. 又6-A+1F+B官，M店n-3454242x3x2x号 44,即1AB1=2VI.故选B. 2.A【解析】PA=(-2,0,-1),PAV5,PAl -竖，则点P到直线1的距离4-- V5万=3Y2.故选A 2 3.B【解析】方法一：设点E到平面ACD,的距离 为，则VeM=,号h分X2V73V互)号× 2x子×42，h号散选B 方法二：建立如图所示的 D 坐标系，A(2,0,0),D(0, 0,2),C(0,4,0),E(2,2, A 0),则AD=(-2,0,2),CD A =(0,-4,2),ED1=(-2,-2, 第3题答图 2). 设平面ACD的法向量为n=(x,y,z), 则nAD-0, 1-2x+2z=0 n.CD:=0, l-4y+2=0. 令y=1,则=2，=2， 212,4圆号放 选B 76 4.D【解析】由正方体的性 质，易得平面ABD∥平面BDC, 则两平面间的距离可转化为点B 到平面ABD1的距离.以D为坐标 原点，DA,DC,DD1所在的直线 分别为x轴、y轴、z轴建立如图 所示的空间直角坐标系，则A(a, 第4题答图 0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a),C(0,a,0),CA= (a,-a,a),BA=(0,-a,0),连接AC,由AC⊥平 面ABD,得平面ABD,的一个法向量为n=(1,-1, 1),则两平面间的距离d=BML=。-Y了a故 Inl V3 3 选D. 5.B【解析】如图所示，建 立空间直角坐标系B-yz,易得 B A /1 A D BA=(a,0,0),BC=(0, 第5题答图 a,a). 设n=(x,y,z)是平面ABCD的一个法向量， n-BA=0,1a=0, 由 n.BC=0 ay+az=0, 令z=1,得n=(0,-1,1). mg,g4,号小0.-1.10-0. ·EF⊥n,故EF∥平面ABCD 又Ea,0.子， BEn-号0,0，子小0.-1,10-号0 dBEm=V2a.故选B. 6.2V6【解析】设AB=a,AD=b,AA=c,易得 AC=a+b+c,则lACP=AC·AC=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ 2a-b+2ac+2b-c+b2+c2-4+4+4+4+4+4=24,.4C1=2V6. 7.V6【解析】建立如图所 3 示的空间直角坐标系，则N(0,2, 0),S(0,0,2),D(-1,4,0), (A .=(0,-2,2),SD=(-1, 4,-2). 第7题答图