2.3.1 圆的标准方程-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第一册人教B版 (方法二)1：y=k(x+1)过定点P(-1,0),当斜率不 存在时不是最大距离，则斜率存在 设Q(0,-1),则Q到1的最大距离在直线1与直线 PQ垂直时取得，此时k=1,最大距离为PQ=V2.故 选B. 例2解：由直线1在两坐标轴上的截距相等，若截距 为0，设所求直线1的方程为y=kx(k≠0)，.d=4-3到 V1+k2 =3V2,解得k=12+3V4或k=2-3V14.若截距 不为0，设所求直线方程为x+y-a=0(a≠0).由题知d= 4+3-d=3V2,解得a=1或a=13.综上，所求直线方 V2 程为y=-12+?V4x或y=-12-3V4x或+y-10或 2 2 x+y-13=0. 变式训练2分【解析】由之2-+3y-20,可得x2月 )号、即x-+1=0或x+y-2-0,原点0到直线+1 0的距离的平方为= 没宁，原点0到成2 0的距离的平方为P- 2「2，+的最小值为 例3解：由题可知，4与6的距离是4与6的距离的分 l与l2的距离为d= 14-1 3 V+(-2)V5 与l的距离为d=1d=1=V5 3V55 变式训练3ACD【解析】2：(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0 化为m(x-y+2)+2x-y+5=0. 令t-y+2=0, =-3,因此，恒过定点(-3,1)， 2-y45=0,y=-1. 故A正确， 当m=1时，2：3x-2y+7=0.4×3+(-3)×(-2)≠0， .两直线不垂直，故B错误 当m=2时，2：4x-3y+9=0,4≠9，故两直线平行， 故C正确。 当l,/%,时，m+=-m+≠2m+5 4 m=2.2:4x- -3 4 3)+90,∴.两平行线间的距离为5 =1,故D正确. 1V4+(-3)7 故选ACD. 例4解：若1,2的斜率存在，由题可设直线1，的方程 为y=kx+1,设直线2的方程为y=k(x-5). 42 :直线1，上的点A到直线，的距离-1+5=5. 1V1+k2 .252+10k+1=25k2+25,k=12 5 l1,12的方程分别为12x-5y+5=0,12x-5y-60=0. 若，2的斜率不存在，则，的方程为x=0,2的方 程为=5，它们之间的距离为5，同样满足条件. 综上，满足条件的直线方程有两组： 11:12x-5y+5=0,1212x-5y-60=0或 l1:x=0,l2:=5. 变式训练4解：.ax+y-a-2=0,整理得y=-a(x-1)+2, .直线过定点Q(1,2) 当0Q⊥时，原点到直线的距离最大，此时最大 值为V+2=V5, 此时直线，的斜率为-子，即子 直线的方程为分y号2-0.印x+2-50 数学文化 解：设△ABC是等腰三角 形，以底边CA所在的直线为x 轴，连接顶点B和底边中点O 的直线为y轴，建立如图所示 P O 的平面直角坐标系. 设A(a,0),B(0,b), 例题答图 C(-a,0)(a心0，b>0), 则直线AB的方程为bx+ay-ab=0, 直线BC的方程为bx-ay+ab=0. 设底边AC上任意一点为P(x,0),-a≤x≤a 过点P作PF⊥BC于点F,PE⊥AB于点E, 则点P到AB的距离1PE=bx-abl1-b(a-x) Va㎡+bV㎡+b 点P到BC的距离PA=b+abl=b(a+x) Vai Va+b 点A到BC的距离h=lba+abl=2ab Va+b2 Va+b .IPEl+IPFl=b(a-x)b(atx)_ 2ab =h, Va+b Va+b Va+b 即等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等 于一腰上的高的长 >"2.3圆及其方程 2.31圆的标准方程 要点精析 例1解：(1)x2+(y-1)2=32,.圆心为(0,1)，半 径=3. (2)(x-2)2+(y+1)2=(V10)2,.圆心为(2，-1)， 半径=V10. 例2解：(1)根据已知条件，设圆A的方程为(x-1)2+ 0y-2)2=r2,由圆A经过点B(3,-2),得(3-1)2+(-2-2)2= r2,解得=20，∴.圆A的方程为(x-1)+(y-2)=20. (2)方法一：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则 (a,b)是圆心的坐标，由题意可得，a=生-2，b 2+(-2)-0.将点B(3,-2)代人圆的方程(x-2)+y=寸， 解得2=(3-2)2+(-2)2=5，所求圆的方程为(x-2)2+y2-5. 方法二：设P(x,y)为圆上任意一点，：AB为圆 的直径，则PA·PB=0,.(x-1)(x-3)+0y-2)(y+2)=0, .(x-2)2+y2=5. 例3解：方法一：设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y- b)2=2 (3-a)2+(1-b)2=2, 依题意，有{(-1-a)2+(3-b)2-2, 3a-b-2=0. 即3-241-bP-(-1-)+(3-b只， 3a-b-2=0. a=2, 解得b=4, r2=10. 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(0y-4)2=10. 方法二：直袋4B的斜半=品一子 线段AB的垂直平分线m的斜率为2. 线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=3, 2 1,-2 因此直线m的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0. 又.圆心在直线3x-y-2=0上 圆心是这两条直线的交点。 联立方程，得 2x-y=0, 3x-y-2-0, 解得x=2, y=4. 设圆心为C,·.圆心坐标为(2,4). 又.半径长=CA=1V10, .∴.所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2-10. 方法三：设圆心为C,:圆心C在直线3x-y-2=0 上，.可设圆心C的坐标为(a,3a-2). 又.CA1=CB1,V(a-3)4(3a-2-1)7 参考答案⊙ =V(a+1)+(3a-2-3)2,解得a=2, .圆心为(2,4)，半径长r=ICA=V10. 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=10. 变式训练1解：()令-7m+6m+1>0,<m<1. (2)=vm46m*-V7m多}9. 7mx1,0≤4y7 7 例4解：·圆的方程为(x-5)2+(y-6)2-10, 分别将M(6,9),N(3,3),Q(5,3)代入得 (6-5)2+(9-6)2=-10,.∴.M在圆上； (3-5)2+(3-6)2=13>10,N在圆外； (5-5)P+(3-6)2=9<10,∴.Q在圆内. 变式训练2解：.点A在圆的外部，..(1+a)2+(2-a)2> 2d. 2a-5<0,a<号.又20，a≠0，a的取值范 围为(-x,0)u0,多 例5解：(1)由题意知，x2+y2表示圆上的点到坐标 原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距 离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大 值和最小值 原点(0,0)到圆心(-1,0)的距离为d=1,故圆 上的点到坐标原点的最大距离为1+之，最小距离为 13分 因此+y的最大值和最小值分别为9和1 4 4 (2)令x+y=z,并将其变形为y=-x+z, 问题转化为斜率为-1的直线在经过圆上的点时，在 y轴上的截距的最值. 当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和 最小值 此时有号分解得=空1 2 因此y的最大值为2-L,最小值为-Y2-1. 2 2 变式训练3解：P(x,y)是圆C上的任意一点，而圆 C的半径为2，圆心C(3,0),圆心C到直线x-y+1=0 的距离d-3-0+1=2V2,六点P到直线x-y+1=0 1V1+(-1)2 的距离的最大值为2V2+2,最小值为2V2-2. 例6【解析】解法1：记AB=c,AC=b,BC=a,则c= 43 高中数学选择性必修第一册人教B版 2,b=V2a. 所以cosC=h2-e2-3d-4 2ab 2V2a 从而SAB= absinc-VVI-coxC -竖 8a2 =子V8-6a4 =V-G-2412s 故当a=2V3时，△ABC的面积取得最大值2V2. 解法2：建立如图所示的平 面直角坐标系，则A(-1,0), B(1,0),设C(x,y)(y≠0)， 因为AC=V2BC,所以 V(+1)+y=V2V(x-1)+y7, 化简得：(x-3)2+y2=8,所以点C 例6答图 的轨迹是以T(3,0)为圆心，2V2为半径的圆，不含 x轴上的两个点， 当点C位于如图所示位置时，SAc取得最大值，且 (5eur)a-3×2x2V7-2Vz. 变式训练442V3【解析】点0(0,0)在圆内，最 长的弦为过点0的直径，∴.最长的弦长为2r=4.最短弦 是过点O且与过点O的直径垂直的弦，O(0,0)与圆 心的距离为1，..最短弦长为2√4-1=2V3 数学文化 ABD【解析】设P(x,y),由A(-2,O),B(4,O), 瑞分 可得1V(x-4)+y2=2V(x+2)+2, 两边平方整理可得x2+2+8x=0, 即为(x+4)2+y2=16, 故曲线C的方程为(x+4)2+y2-16,故A正确； 曲线C的方程表示圆心为(-4,0)，半径为4的圆， 点(1,1)与圆上的点的距离的最小值为V26-4,最 大值为V26+4, 而3∈[V26-4,V26+4],故B正确： 设M(x1,h),由M0=2MA,可得 Vxrtyr=2V(x+2)ty, 两边平方整理可得4y+5-0。 44 联立方程x+8=0与++9+90，解得 3 x=2,h无实数解，故C错误； 设N(2,2),由INOP+lNAP=4,可得2+y2+(x+2)2+ 2=4, 整理可得x22+y2+2x2=0,联立方程x22+y22+8x2=0与 x22+y2+2-0,解得x=0,y2=0,故D正确. 故选ABD 2.3.2圆的一般方程 要点精析 例1a<1【解析】把方程配方得(x+a)P+(y+a)2=1-a,若 该方程表示圆，则需1-心0，即a<1. 变式训练1BD【解析】以线段AB所在直线为x轴， 线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A(-2, 0),B(2,0),设P(x,y)· 对于A,若∠APB=90°，则点P的轨迹是x2+y2=4 (y≠0)，故A不符合题意； 对于B,PBP+PAP=10,即x2+2=1,所以点P轨迹 为圆，B符合题意； 对于C,PA=(-2-x,-y),PB=(2-x,y),所以 PA.PB=x2+y2-4=-6,即x2+y2=-2,显然不成立，故C不 符合题意； 对于D,由IPAI=3IPBl,得IPAP=91PB,x2+y2-5x+ 4-0,点P轨迹是以各，0为圆心，=号的圆，放D 符合题意 故选BD 例2解：方法一：设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+ Ey+F=0,A,B,C在圆上， {1+16+D+4E+F=0, D=-2, ..4+9-2D+3E+F=0,解得E=2, 16+25+4D-5E+F=0 F=-23 .△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0,即(x 1)2+(y+1)2=25 .外心坐标为(1，-1)，外接圆半径为5. 方法三：号写产-3，k6 -1,∴AB⊥AC .△ABC是以角A为直角的直角三角形，.外心是 线段BC的中点，坐标为(1，-1)，=号BC=5.外接 圆方程为(x-1)24(y+12=25. 变式训练2解：圆心C号，号，第二章平面解析儿何。 2.3 圆及其方程 2.3.1圆的标准方程 例1根据下列圆的方程，写出各圆的 学习目标 圆心及半径 1.掌握圆的标准方程。 (1)x2+(y-1)2=9; 2.根据圆的标准方程和点的坐标，可以 (2)(x-2)2+(y+1)2=10. 用代数法判断点与圆的位置关系 3.会利用定义、待定系数法或借助于圆 的几何性质求出圆的标准方程 4.通过对圆的标准方程的学习，使学生 感受到我们是用代数法研究圆，初步形成用 代数法解决几何问题的能力. 例2已知两点A(1,2)和B(3,-2). 要点精析 (1)求以点A为圆心，且经过点B的圆 川要点1圆的标准方程 的方程； (2)求以AB为直径的圆的方程. 圆的定义：平面内到一定点的距离等于 定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定 长是圆的半径 思考在平面直角坐标系中，如何把 圆的问题转化为数和方程的问题，用代数 运算来解决呢？ 圆的标准方程：一般地，如果平面直 角坐标系中⊙C的圆心为C(a,b),半径为 思考(1)若圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2 r(>0),设M(x,y)为平面直角坐标系中 经过点(2，-1)且=1，则该圆确定吗？如 任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是 果不确定，那么C(a,b)的位置有何特点？ CM1=r,即V(x-a)+(y-b)P=r,两边平方，得 (2)若圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2经过 (x-a)P+(y-b)2=r2,该式通常称为圆的标准方程. A(2,1),B(0,1)两点，则该圆确定吗？ 思考确定圆的标准方程需要几个独 如果不确定，那么C(a,b)的位置又有怎 立条件？ 样的特点？ 学 59 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 例3已知圆过两点A(3,1),B(-1, (3)几何性质法：结合圆的有关几何 3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上，求此 性质，更加直观地解决问题，就是我们所 圆的标准方程。 说的“数形结合”思想.常用的圆的几何性 质：范围、对称性、圆心在弦的垂直平分 线上，直径所对的圆周角为直角等；一般 地，三角形有唯一的外接圆，圆心为三角 形三边垂直平分线的交点；垂径定理！ B变式训练① 若方程(x-m-3)2+(y-1+4m2)2=1+6m-7m2 表示圆 (1)求m的取值范围； (2)求圆的半径r的取值范围. 思考回顾例3的求解过程，说明(3- a)2+(1-b)2=r2与(-1-a)2+(3-b)2=2,消2得 到(3-a)2+(1-b)2=(-1-a)2+(3-b)2表达的几 何意义，并指出消元后得到的方程表示的 图形和A(1,3),B(4,2)两点具有什么 样的位置关系 反思感悟 求圆的标准方程的方法： 川要点2点与圆的位置关系 (1)定义法：已知圆心坐标和半径大 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为 小，直接代入圆的标准方程。 C(a,b),半径为r,点P(xo,yo),设d= (2)待定系数法： IPCl=V(xo-a)2+(yo-b)2. 设方程 设所求圆的方程为(x-a)P+(y-b)P=r 位置 d与r 由已知条件，建立关于a,b, 关系 的大小 图示 点P的坐标的特点 列方程组 的方程组 解方程组 解方程组，求出a,b,t 点在 圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)>r2 得方程 将a,b,r代入所设方程，得所 求圆的方程 60)学 第二章平面解析八何。 续表 川要点3与圆有关的最值问题 位置 d与r 关系 的大小 图示 点P的坐标的特点 例5已知x和y满足(+1)2+y2=1 4 点在 d=r (0-a)24(y-b)2=r2 (1)求x2+y2的最值； 圆上 10x (2)求x+y的最值. 点在 圆内 d<r (x0-a)2+(3yo-b)2<2 例4判断点M(6,9),N(3,3),Q(5, 3)与圆(x-5)2+(y-6)2=10的位置关系 反思感悟 最值问题转化成与圆相关的几何意义 的问题，其中经常用到的是距离、截距 斜率等概念 B变式训练② 已知点A(1,2)在圆C:(x+a)24(y-a)2= B变式训练3 2a2的外部，求实数a的取值范围。 若P(x,y)是圆C:(x-3)2+2=4上任意 一点，求出点P(x,y)到直线x-y+1=0的距 离的最大值和最小值 学(61 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 例6若AB=2,AC=V2BC,求S△MB 数学文化 的最大值 例 (多选题)古希腊著名数学家阿波 罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发 现：平面内到两个定点A,B的距离之比为 定值入（入≠1）的点所形成的图形是圆.后 来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿 波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角 坐标系xOy中，A(-2,0),B(4,0),点P 满延份-，设点P所构成的前线为C,下 列结论中正确的有（) 变式训练④ A.C的方程为(x+4)2+y2=16 B.在C上存在点D,使得D到点(1,1) 圆的方程为(x+1)2+y2=4,则过(0,0) 的距离为3 的弦中，最长弦长为 最短弦长为 C.在C上存在点M,使得MO=2IMAI D.在C上存在点N,使得NOP+WAP=4 62)学