1.1.2 空间向量基本定理-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第一章空间向量与立体几何。 1.1.2 空间向量基本定理 反思感悟 学习目标 (1)应用空间向量共面定理，即其中 1.理解空间向量基本定理 一个向量能用另两个向量线性表示，通常 2.运用空间向量基本定理解决一些几何 应结合图形，选择其中某两个向量作为基 问题， 向量，其他向量都用这两个基向量线性 3.理解基底、基向量及向量的线性组合 表示 的概念 (2)选择目标向量以外的一组基底， 通过待定系数法，建立这三个向量的一个 要点精析 线性关系式 川要点1共面向量定理 ③变式训练① 如果两个向量a,b不共线，则向量a, 如图1-1-5所示，P是平行四边形 b,c共面的充要条件是，存在唯一的实数对 ABCD所在平面外一点，连接PA,PB,PC, (x,y),使c=xa+yb. PD,点E,F,G,H分别是△PAB,△PBC, 思考平面向量基本定理中对于向量：： △PCD,△PDA的重心，分别延长PE,PF, 与b有什么要求？在空间中能成立吗？ PG,PH,交对边于M,N,Q,R,并顺次 例1已知A,B,C三点不共线，平面：连接MW,NQ,QR,RM.应用向量共面定 ABC外的一点0满足0M=}01+号0B+ 理证明：E,F,G,H四点共面. Toc (1)判断MA,MB,MC三个向量是否 共面； (2)判断点M是否在平面ABC内. 图1-1-5 学 5 高中数学选择性必修第一册人教B版 川要点2空间向量基本定理 变式训练2 如果空间中的三个向量a,b,c不共 如图1-1-7所示，四面体ABCD中，E, 面，那么对空间中的任意一个向量卫，存在： F分别为AB,DC上的点，且AEI=IBEI,ICF 唯一的有序实数组(x,y,),使得p=xa+ =2IDF,DA-a,DB-b,DC=c. yb+zc. (I)以{a,b,c}为基底表示FE: 特别地，当a,b,c不共面时，可知 (2)若∠ADB=∠BDC=∠ADC=60°，且 xa+yb+zc=0时，x=y=z=0. 思考平面向量的基底要求两个基向 lal=4,Ibl=3,Icl=3,F 量不共线，那么构成空间向量基底的三个 向量有什么条件？ 例2如图1-16所示， 在正方体ABCD-ABCD1中， E在AD1上，且AE=2ED1, 图1-1-7 F在对角线AC上，且AF= 图1-1-6 号元求证：E,KB三点 共线. 川要点3相关概念 1.线性组合：表达式xa+yb+zc一般称 反思感悟 为向量a,b,c的线性组合或线性表达式. 判断向量共线就是利用已知条件找到 2.基底：空间中不共面的三个向量a, 实数x,使a=xb成立，同时要充分利用空 b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向 间向量的运算法则，结合图形，化简得出： 量的一组基底 a=b,从而得出a∥b,即向量a与b共线， 3.基向量：基底{a,b,c}中a,b,c 共线向量定理还可用于证明两直线平行或都称为基向量 证明三，点共线. 4.分解式：如果p=xa+yb+zc,则称xa+ 6 学 第一章空间向量与立体几何 yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式， 反思感悟 5.拓展：设O,A,B,C是不共面的四 用基底表示向量的步骤： 点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实 (1)定基底：根据已知条件，确定三 数组{x,y,,使0P=xOA+y0B+0C,当 个不共面的向量构成空间的一个基底」 且仅当+y+=1时，P,A,B,C四点共面. (2)找目标：用确定的基底（或已知基 思考基向量和基底一样吗？0能否 底)表示目标向量，需要根据三角形法则及 作为基向量？ 平行四边形法则，结合相等向量的代换、向 例3(1)若{a,b,c}是空间的 量的运算进行变形、化简，最后求出结果。 个基底，试判断{a+b,b+c,c+a能否作为 (3)下结论：利用空间向量的一个基 该空间的一个基底。 底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表 (2)如图1-1-8，在 示要彻底，结果中只能含有a,b,c,不能 三棱柱ABC-A'B'C'中，已 含有其他形式的向量， 知AA=,AB=b,AC=C,B 变式训练3 点M,N分别是BC',B'C 图1-1-8 在空间四边形ABCD中，AB=a-2c, 的中点，试用基底{a,b,c}表示向量AM AN. CD=5a-5b+8c,对角线AC,BD的中点分别 分析(1)判断a+b,b+c,c+a是否 是E,F,则EF= 共面，若不共面，则可作为一个基底，否 变式训练4 则，不能作为一个基底 (2)借助图形寻找待求向量与a,b,c (变条件、变结论)如图1-1-9所示， 的关系，利用向量运算进行分析，直至向 例3(2)中增加条件“P在线段AA'上，且 量用a,b,c表示出来 AP=2PA'”,试用基底{a,b,c}表示向量 MP」 图1-1-9 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 数学文化 A44 例粽子是由竹叶包裹 B县，子 3 糯米蒸制而成的食品，是中 国传统节庆食物之一.粽子 G c令多 作为中国历史文化积淀最深 G 厚的传统食品之一，传播亦 D号号号 甚远.而大多数的粽子的形 图1-1-10 分析利用空间向量的运算法则求得 状是三棱锥结构，如图1-1-10，设O-ABC 是正三棱锥，G1是△ABC的重心，G是OG1 0c-0G401+40丽+40C,即得 4 上的一点，且OG=3GG1,若OG=x0A+yOB (x,y,). +z0C,则(x,y,z)为() (8)学N 高中数学选择性必修第一册人教B版 变式训练4解：在△AOB及△BOC中，易知BE=OH= Y.又B证-}oi-0i.0i-0+0C).B oi=401.0B+401.0C-号0B-号oB.0C=}× 分+子×7-3-分×33s(成，0丽) 配：弧-一号又：异面直线所成角的范围为0、受引 IBE HOH'I 故异面直线01与BE所成角的余弦值为子 数学文化 B【解析】由题设可得示意图如图所示， D A 例题答图 :AC-AC+CC=AD+AB+4A.又：以A为端点的 三条棱长均为1，且彼此的夹角都是60°，.AC-AD+ AB+AA+2AD.AB+2ABAA+2AD.AA=6,BACI= V6.故选B. 1.1.2空间向量基本定理 要点精析 例1解：(1)易知0A+0B+0C=30M, :.0A-0M=(0M_-0B)+(0M-0C), .·MA=BM+CM=-MB-MC .向量MA,MB,MC共面. (2)由(1)知向量MA,MB,MC共面，三个向 量有公共点M,M,A,B,C共面，即点M在平面 ABC内. 变式训练1证明：E,F,G,H分别是所在三角形的 重心，M,N,Q,R为所在边的中点。 顺次连接M,N,Q,R,所得四边形为平行四边形， 且有Pm=子PM,P㎡-号m,心-子P,m子P限 :四边形MNQR为平行四边形， EG-P元-PE=P-pm=子Md=子(M+M) =号p-pi)+子(m-pi =号(3m-陀+号(3m陀)=F+团， 22 由共面向量定理得EG,EF,E共面，E,F, G,H四点共面。 例2证明：设AB=a,AD-b,AA=c. A正2D,A-号元， A正-号0A-号C, AE=子AD=b,A,号C-AA) =号a正a0-m-=号a+号0 EF-4f-a正号a0号号a号-c 又EB=EA+df+MB=-子b-c+a=a-子b-c, EF号B.E,RB三点共线 变式训练2解：(1)F尼=F而+DE,而F而=-DF= -DC=-}c,D呢=？(Di+Di)=子(a+b),E=3a+ 2b-3c. 2)mr2a*号b号c好++gc+a 43x分号3x0x号.Pmi3Y 2 例3解：(1)假设a+b,b+c,c+a共面， 则存在实数A,u使得a+b=入(b+c)+u(c+a), .a+b=入b+a+(入+)c. 1=μ， {a,b,c}为基底，.a,b,c不共面.l=入， 0=入+w. 此方程组无解， ,a+b,b+c,c+a不共面. .{a+b,b+c,c+ad可以作为空间的一个基底. (2)AM-AB +BM-AB+BC =A正+2(BE+BC) =A店+2丽+C-A店) b+7a+3c-b) AN-AAA BBN-AAAB+C -ab+() +c. 变式训练33ab+3c 【解析】E正-)(E心+E店) =}ai:ci+好ai+ca =4A店+}B+4成+4a+}ci+4D成 -(ABCD)-3a-b+3c. 变式训练4解：MP=MC+C'A+4'P =2BC-A'C}A=号(BB+Bd-A元-}aM =}a+a-1-元-}4-号ae-b)t0 26. 数学文化 A【解析】如图所示，连接AG并延长交BC于点 M,则M为BC的中点， AM-号a店+MC)=3o6-20+0C. AG=AM=}(0B-201+0C). .0G=3GG,.0G=3GG=3(0G-0G), :0d-30G 则oc-0G(oi+1G) =10+号0i-号0+号0C =+4o丽+4o配， 4 例题答图 分子故选A 1 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 要点精析 例1解：(1)由题意建立如图所示 的空间直角坐标系，则A(0,0,0), A'(0,0,1),B(1,0,0), E0,1,,c1,3, B 例1答图 参考答案。 F3,1,,D0,1,0). ①A正=AD+D呢=AD+号D=AD+)A 0,1,月 AC-AB+BC=AB+2AD-l,子，0 A=A+MD+D下-4A+AD+)A店=（号，1,1月 2EF-AF-AE=(AAADAB-AD+AA= 2+24B分，0，： EG-G-AE-(AB+2ADAD2AA) =A店-20-21,3月 G-AC-A0-正+分0-0-正-分40 1,, (2)由于A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4), D(2,-1,-2),P=AB=(2,1,3),q=CD=(2,0,-6). ①p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)=(2,1,3) +(4,0,-12)=(6,1,-9)； ②3p-9=3(2,1,3)-(2,0,-6)=(6,3,9) -(2,0,-6)=(4,3,15)； ③(p-q)·p+9)=p2-92=pP-1qP=(22+12+32)-(22+02+6) =-26. 变式训练1解：AB=(2,6,-3),AC=(-4,3,1), AB-AC=(6,3,-4). 00m号4d=26,3,43,子，-2， 则点P的坐标为3，弓，-2 (2)设点P的坐标为(x,y,z),则AP=(x-2,y+ 1,z-2). A2aB-aC)=3,,-2. x-2=3, x=5, +1号，即=3则点P的坐标为5，分，0) z-2=-2.z=0, 例2解：(1)BC=(-2,-1,2),且c∥BC, .设c=λBC=(-2A,-入，2λ)， 得1Cl=V(-2A)4(-A)+(2Ay=3AI=3, 23