1.1.1 空间向量及其运算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

N参考答案 学习手册参考答案 第一章空间 >“1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其运算 要点精析 例1D【解析】向量是有向线段，不能比较大小，故 A为真命题；两向量相等，则方向相同，模长相等，起 点相同，则终点也相同，故B为真命题：模为0的向量 为零向量，故C为真命题；共线的单位向量是相等向量 或相反向量，故D为假命题.故选D. 例2解：(1)与向量AB是相等向量的（除它自身之 外)有AB,DC及D,C (2)向量AA的相反向量为A4,BB,CC,DD (3)AC I=VIABP+ADP+AATP =V2+2+1下=V9=3. 变式训练1ABC【解析】对于A,有b=-2a,所以a与 b是平行向量；对于B,有d=-3C,所以d与c是平行向 量；对于C,f是零向量，与e是平行向量；对于D,不 满足g=Ah,所以g与h不是平行向量，故选A,B,C. 例3(I)B【解析】若AB的中点为D,则CN-CD+ DN=(a+b+c),故选B. (2)解：①AA-CB=AA-DA=AA+AD=AD AA+AB+BC-(AAAB)+BC-AB+BC-AC 在图中标出略. 变式训练2解：(1)P是CD的中点，AP=AA+ AD:+DF-atAD+D.C.-atc+3AB-a+c+b. (2)N是BC的中点，AN=AA+AB+BN=-a+h+ 2BC--a+b+2AD--a+b+c. (3)M是AA1的中点，：M=MA+AF=)A+ 参考答案。 句量与立体几何 又NG-CcG号8Caa-20+Ma-ca, 证G-宁*be+a+ca+b+2c 例4解：(1)正四面体的棱长为1，则10A=0B1 △OAB为等边三角形，∠A0B=60°， OA'.OB =10A'llOB lcos(OA',OB') os0=xx060 2)由于E,F分别是OA,OC的中点，EF 4c .EF.CB=IEF IICB lcos(EF,CB) C-Cos(C =xx(4C,cE） =号×1x1xcos120-子 (3)(0A'+0B)(CA'+CB) =(0A+0B)·(0A-0C+0B-0C) =(0A+0B)·(0A+0B-20C) =0A2+0A.0B-20A.0C+0B.04+0B-20B.0C =1+72x7+3+1-2x1 变式训练3 解：：m-ME+BC+C示=子A店+(A记-A店)+ 号a0-d)=}6+时0+号C, awN-ga店+兮aD+号Cyg正号d, AB+号AC.AD-号AB.AC+gAD2+号AC=- ga+号号a4gr4号哥，放iV.示= 21 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 变式训练4解：在△AOB及△BOC中，易知BE=OH= Y.又B证-}oi-0i.0i-0+0C).B oi=401.0B+401.0C-号0B-号oB.0C=}× 分+子×7-3-分×33s(成，0丽) 配：弧-一号又：异面直线所成角的范围为0、受引 IBE HOH'I 故异面直线01与BE所成角的余弦值为子 数学文化 B【解析】由题设可得示意图如图所示， D A 例题答图 :AC-AC+CC=AD+AB+4A.又：以A为端点的 三条棱长均为1，且彼此的夹角都是60°，.AC-AD+ AB+AA+2AD.AB+2ABAA+2AD.AA=6,BACI= V6.故选B. 1.1.2空间向量基本定理 要点精析 例1解：(1)易知0A+0B+0C=30M, :.0A-0M=(0M_-0B)+(0M-0C), .·MA=BM+CM=-MB-MC .向量MA,MB,MC共面. (2)由(1)知向量MA,MB,MC共面，三个向 量有公共点M,M,A,B,C共面，即点M在平面 ABC内. 变式训练1证明：E,F,G,H分别是所在三角形的 重心，M,N,Q,R为所在边的中点。 顺次连接M,N,Q,R,所得四边形为平行四边形， 且有Pm=子PM,P㎡-号m,心-子P,m子P限 :四边形MNQR为平行四边形， EG-P元-PE=P-pm=子Md=子(M+M) =号p-pi)+子(m-pi =号(3m-陀+号(3m陀)=F+团， 22 由共面向量定理得EG,EF,E共面，E,F, G,H四点共面。 例2证明：设AB=a,AD-b,AA=c. A正2D,A-号元， A正-号0A-号C, AE=子AD=b,A,号C-AA) =号a正a0-m-=号a+号0 EF-4f-a正号a0号号a号-c 又EB=EA+df+MB=-子b-c+a=a-子b-c, EF号B.E,RB三点共线 变式训练2解：(1)F尼=F而+DE,而F而=-DF= -DC=-}c,D呢=？(Di+Di)=子(a+b),E=3a+ 2b-3c. 2)mr2a*号b号c好++gc+a 43x分号3x0x号.Pmi3Y 2 例3解：(1)假设a+b,b+c,c+a共面， 则存在实数A,u使得a+b=入(b+c)+u(c+a), .a+b=入b+a+(入+)c. 1=μ， {a,b,c}为基底，.a,b,c不共面.l=入， 0=入+w. 此方程组无解， ,a+b,b+c,c+a不共面. .{a+b,b+c,c+ad可以作为空间的一个基底. (2)AM-AB +BM-AB+BC =A正+2(BE+BC) =A店+2丽+C-A店) b+7a+3c-b)第一章空间向量与立体几何。 第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其运算 5.单位向量：模等于1的向量称为单位 学习目标 向量 1.了解空间向量、向量的模、零向量、 6.相等向量：大小相等、方向相同的向 相反向量、相等向量、共面向量等概念 量称为相等向量， 2.会用平行四边形法则、三角形法则作 7.相反向量：与向量a长度相等而方向 出向量的和与差，掌握向量加法、数乘向量： 相反的向量，称为a的相反向量，记为-a, 运算的意义及运算律 AB的相反向量为BA 3.掌握两个向量数量积的概念、性质及 8.平行向量：方向相同或者相反的两个 运算律， 非零向量互相平行，此时表示这两个非零向 要点精析 量的有向线段所在的直线平行或重合.通常 规定零向量与任意向量平行， 川要点1空间向量的概念 9.共面向量：一般地，空间中的多个向 量，如果表示它们的有向线段通过平移后， 1.定义：空间中既有大小又有方向的量 都能在同一平面内，则称这些向量共面， 称为空间向量. 思考空间中任意两个向量是否一定 2.模（或长度）：向量的大小. 能够平移到同一个平面内？ 3.表示方法 例1下列命题中，假命题是( (1)几何表示法：可以用有向线段来直 A.同平面向量一样，任意两个空间向 观地表示向量，如始点为A终点为B的向 量都不能比较大小 量，记为AB,模为AB: B.两个相等的向量，若起点相同，则终 (2)字母表示法：可以用字母a,b,c 点也相同 表示，模为la,bl,lcl. C.只有零向量的模等于0 4.零向量：始点和终点相同的向量称为 D.共线的单位向量都相等 零向量，记作0. 学 高中数学选择性必修第一册人教B版 例2如图1-1-1所示， a,b,作AB=,AD=b,以向量AB,AD为 以长方体ABCD-ABCD1的 邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向 八个顶点中的两点为始点和 量AC为向量a,b的和向量 终点的向量中： 图1-1-1 3.多边形法则：已知n个向量，依次把 (1)试写出与AB是相等向量的所有向量； 这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点 (2)试写出AA1的相反向量； 为始点，第n个向量的终点为终点的向量称 (3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量AC1 为这n个向量的和向量， 的模 4.向量加法运算律 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 思考能否借助空间图形说明加法结 合律的合理性？ 例3(1)如图1-1-2(A)所示，在 反思感悟 三棱柱ABC-ABC中，N是AB的中点，若 两个向量的模相等，则它们的长度相等， CA'=a,CB'=b,CC'=c,CN=() 但方向不确定，即两个向量（非零向量）的 A(a+b-c） B.(asbte) 模相等是两个向量相等的必要不充分条件. C.atb+1c D.a+1(b+c) B变式训练① 2 (多选题)下列各组向量中，是平行向 量的是( ) A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0) 图1-1-2(A) 图1-1-2(B) C.e=(2,3,0),f=(0,0,0) (2)如图1-1-2(B)所示，已知长方 D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40) 体ABCD-A'B'CD',化简下列向量表达式， 川要点2空间向量的线性运算 并在图中标出化简结果的向量. ①AA-CB; 1.三角形法则：一般地，空间中给定两 个向量，b,在该空间中任取一点A,作 ②AA+AB+B'C AB=a,BC-b,再作向量AC,则向量AC称 为向量a与b的和（或和向量） 2.平行四边形法则：已知不共线的向量 第一章空间向量与立体几何。 (5)ab=ba(交换律). 变式训练② (6)(a+b)c=a·c+b·c(分配律)： 如图1-1-3所示，在 例4如图1-1-4所示，已知正四面体 平行六面体ABCD-ABCD1 O-ABC的棱长为1，点E,F分别是OA, 中，设AA1=M,AB=b, OC的中点.求下列向量的数量积： AD=c,M,N,P分别是 (1)0A.0B: AA1,BC,CD1的中点， 图1-1-3 (2)EF.CB; 试用a,b,c表示以下各向量： (3)(0A+0B)·(CA+CB). 图1-1-4 (1)AP;(2)AN;(3)MP+NC 分析根据数量积的定义进行计算， 求出每组向量中每个向量的模以及两向量 的夹角，要结合正四面体的特征 要点3数量积的运算及应用 变式训练3 1.空间向量数量积的定义 在正四面体ABCD中，棱长为a,M,N 已知两个非零向量a,b,则allblcos(a,b) 称为a,b的数量积（或内积），记作ab. 分别是棱AB,CD上的点，且MB=2IAM, 2.数量积的几何意义 Ci=NDi,求MN的值 a与b的数量积等于a在b上的投影ad 的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单 位向量e的数量积等于a在e上的投影a'的 数量.规定零向量与任意向量的数量积为0. 3.空间向量数量积的性质 (1)a⊥b→a-b=0. (2)a.a=laP-a2. (3)la-bl≤lallbl.. (4)(入a)·b=入(ab). 学 3 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 变式训练4 数学文化 在例4中，若H为BC中点，求异面直 例晶胞是能完整反映晶体内部原子或 线OH与BE所成角的余弦值， 离子在三维空间分布之化学-结构特征的平 行六面体单元.整块晶体可以看成是无数晶 胞无隙并置而成的.已知在平行六面体 ABCD-ABC,D1中，以顶点A为端点的三条 棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°， 则AC的长为() A.6 B.V6 C.9 D.3V2 2 2 反思感悟 分析 由空间向量加法的几何意义可 在几何体中求空间向量的数量积的 得AC1=AD+AB+AA1,再利用向量数量积 步骤： 的运算律，进而求AC即可. (1)首先将各向量分解成已知模和夹 角的向量的组合形式 (2)利用向量的运算律将数量积展开， 转化成已知模和夹角的向量的数量积， (3)根据向量的方向，求出向量的夹 角及向量的模. (4)代入公式a·b=lalb1·cos(a,b》 求解 4)学