专题04 函数的概念和性质（二）（期中真题汇编，青海、宁夏专用）高一数学上学期

专题04 函数的概念和性质（二） 5大高频考点概览 考点01 函数的单调性 考点02 函数的奇偶性 考点03 函数性质的综合应用 考点04 利用函数性质解不等式 考点05 函数的新定义 地 城 考点01 函数的单调性 一、单选题 1．(24-25高一上·青海西宁第五中学·期中)已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中)函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期中)下列函数为增函数的是（   ） A． B． C．（是自变量） D． 4．(23-24高一上·青海西宁北外附属新华联外国语高级中学·期中)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．(24-25高一上·宁夏银川景博中学·期中)函数的单调递减区间为 ． 6．(23-24高一上·宁夏银川西夏区宁夏育才中学·期中)函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ． 四、解答题 7．(23-24高一上·青海西宁北外附属新华联外国语高级中学·期中)已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求函数在上的最值. 8．(23-24高一上·青海海南州高级中学、共和县高级中学·期中)已知函数，且． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并给予证明． 9．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中)函数. (1)若，证明：函数在上单调递增； (2)在满足（1）的条件下，解不等式. 地 城 考点02 函数的奇偶性 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期中)下列函数中为偶函数是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)设是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·宁夏永宁县上游高级中学·期中)已知定义在上的函数，满足当时，，则=（  ） A．2 B． C．4 D． 二、多选题 4．(24-25高一上·青海西宁第十四中学·期中)下列函数中，在上单调递增且图像关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．(24-25高一上·宁夏中宁县第一中学·期中)若为奇函数，则 6．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 四、解答题 7．(24-25高一上·青海海南州·期中)已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若是奇函数，求的值. 8．(24-25高一上·宁夏银川一中·期中)已知函数是R上的奇函数，且. (1)若函数在区间递增，求实数的取值范围； (2)设，若对，，使得成立，求实数的取值范围. 地 城 考点03 函数性质的综合应用 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中)下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高一上·青海西宁第四高级中学·期中)下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的有（   ） A． B． C． D． 3．(22-23高一上·宁夏青铜峡·期中)对于函数，以下结论正确的是（    ） A．的定义域为R B．值域为R C．是偶函数 D．在上是减函数 4．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中)下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （     ） A． B． C． D． 5．(23-24高一上·宁夏石嘴山第三中学·期中)下列说法不正确的是（   ） A．函数在定义域内是减函数 B．若是奇函数，则一定有 C．若为奇函数，则为偶函数 D．若的定义域为，则的定义域为 三、解答题 6．(24-25高一上·青海西宁第四高级中学·期中)已知定义在上的奇函数满足. (1)求的解析式； (2)证明：函数在上单调递减； (3)求关于的不等式的解集. 7．(24-25高一上·青海西宁第二中学·期中)已知函数是上的偶函数，当，， (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 8．(24-25高一上·青海海南州·期中)已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义法证明； (2)若对任意的，都有，求的取值范围． 地 城 考点04 利用函数性质解不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·青海西宁第四高级中学·期中)已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·宁夏石嘴山第三中学·期中)已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·青海海东第二中学·期中)已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 二、填空题 4．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期中)偶函数的定义域为，且对于任意 ，均有 成立，若 ，则实数的取值范围为 . 5．(24-25高一上·宁夏永宁县上游高级中学·期中)已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，当时总有，则满足的x的范围是 . 6．(23-24高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中)若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 地 城 考点05 函数的新定义 一、单选题 1．(24-25高一上·青海西宁第二中学·期中)定义在上的函数满足且，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(23-24高一上·宁夏银川第二十四中学·期中)已知函数在上满足：①；②当时，；③.则下列命题正确的是 （    ） A． B．函数是上的奇函数 C．函数在上为减函数 D．函数在上的最小值为4 三、填空题 3．(23-24高一上·宁夏银川一中·期中)已知函数满足，当时，且，若当时，有解，则的取值范围为 . 4．(24-25高一上·宁夏银川一中·期中)若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是 (用区间表示) 四、解答题 5．(24-25高一上·青海西宁第十四中学·期中)若函数的定义域是，且对任意的，，都有成立. (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式； (3)在条件（2）前提下，解不等式. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的概念和性质（二） 5大高频考点概览 考点01 函数的单调性 考点02 函数的奇偶性 考点03 函数性质的综合应用 考点04 利用函数性质解不等式 考点05 函数的新定义 地 城 考点01 函数的单调性 一、单选题 1．(24-25高一上·青海西宁第五中学·期中)已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，若函数在是单调函数，则区间应完全在对称轴的同侧，由此构造关于的不等式，解得的取值范围 【详解】函数的对称轴为 若函数在上是单调递增函数，则 若函数在上是单调递减函数， 解得或 故的取值范围是 故选：C． 2．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中)函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为定义在上的偶函数可得，然后利用的单调性可得答案. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以， 因为对任意都有， 即有在上单调递减， 所以， 故选：D 二、多选题 3．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期中)下列函数为增函数的是（   ） A． B． C．（是自变量） D． 【答案】BD 【分析】根据增函数的定义，结合幂函数以及对勾函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，由函数可得其定义域为， 由，且，则，故A错误； 对于B，由函数在上单调递增，函数在上单调递增， 当时，，故是增函数，故B正确； 对于C，当时，不是增函数，故C错误； 对于D，由，则， 当且仅当，即时，等号成立，由， 则函数在上单调递增，故D正确. 故选：BD. 4．(23-24高一上·青海西宁北外附属新华联外国语高级中学·期中)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据奇函数的定义判断函数奇偶性，利用单调性的定义和性质判断函数的增减性. 【详解】选项四个函数定义域都是R， 函数的斜率为-2，在R上单调递减，故A错误； 函数，，则是奇函数， 任取，则，所以在R上单调递增；故B正确； ，则在单调递减，在单调递增，故C错误； ，则，所以是奇函数， 因为单调递增，单调递减，所以在R上单调递增，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 5．(24-25高一上·宁夏银川景博中学·期中)函数的单调递减区间为 ． 【答案】， 【分析】化简为分段函数，去掉绝对值．利用二次函数的图象及性质即可得到答案． 【详解】 函数化简为： ，开口向上，对称轴，所以在是减区间，在是增区间； ，开口向上，对称轴，所以在是增区间，在是减区间； 所以：的单调递减区间和． 故答案为：，． 6．(23-24高一上·宁夏银川西夏区宁夏育才中学·期中)函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性逆用解抽象不等式. 【详解】由得， 因为函数的定义域为，且在定义域内是增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 7．(23-24高一上·青海西宁北外附属新华联外国语高级中学·期中)已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)函数在上单调递减，理由见详解 (2)， 【分析】（1）由题分析知函数在上单调递减， 利用函数单调性的定义证明即可； （2）由（1）函数的单调性，可知函数在上单调递减，从而求最值. 【详解】（1）函数在上单调递减； 理由如下： 取，规定； 则 因为， 所以 所以 所以函数在上单调递减 （2）由（1）函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以， . 8．(23-24高一上·青海海南州高级中学、共和县高级中学·期中)已知函数，且． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并给予证明． 【答案】(1) (2)在上的单调递增；证明见解析； 【分析】（1）将代入计算即可求得； （2）利用函数单调性的定义，按照取值、作差、变形定号、下结论即可证明得出结论； 【详解】（1）由可得， 可得； （2）在上的单调递增； 证明如下：取，且， 则， 易知，又，所以； 可得，即； 因此可得，在上的单调递增. 9．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中)函数. (1)若，证明：函数在上单调递增； (2)在满足（1）的条件下，解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）代入，根据单调性的定义，即可证明； （2）先证明为奇函数，将不等式转化为.进而结合函数的单调性以及范围，列出不等式，化简求解即可得出答案. 【详解】（1）当时，可得函数. 任取，且， 则. 因为，且， 所以，，即， 所以， 即， 所以函数在上单调递增. （2），定义域为关于原点对称. 又由， 所以函数为奇函数. 则由不等式可得， . 又，, 函数在上单调递增， 所以， 整理可得， 解得或. 所以，不等式的解集为. 地 城 考点02 函数的奇偶性 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期中)下列函数中为偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶函数的定义判断奇偶性,得到答案. 【详解】对于A选项，，定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数，故A错误； 对于B选项，函数，定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故B错误； 对于C选项，函数，其定义域为，关于原点对称，， 所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，函数，其定义域为,关于原点对称，， 所以是奇函数，不是偶函数，故D错误， 故选：C. 2．(23-24高一上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)设是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意有，从而可得，进一步可以算出，. 【详解】由题意是定义在上的奇函数， 则由奇函数的性质可得， 解得， 所以，从而. 故选：C. 3．(24-25高一上·宁夏永宁县上游高级中学·期中)已知定义在上的函数，满足当时，，则=（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由知道函数为奇函数，又因为函数在处由定义，所以满足，解得的值. 【详解】∵，为奇函数， ∴，∴. 故选：B. 二、多选题 4．(24-25高一上·青海西宁第十四中学·期中)下列函数中，在上单调递增且图像关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据单调性与奇偶性可得答案 【详解】关于A选项，函数为奇函数，其图像关于原点对称，故A错误； 关于B选项，函数为偶函数，其图像图像关于轴对称，且函数在上单调递增，故B正确； 关于C选项，函数的定义域是，故函数为非奇非偶函数，故C错误； 关于D选项，函数的定义域为，，所以函数为偶函数，当时，，所以函数在上单调递增，故D正确． 故选：BD. 三、填空题 5．(24-25高一上·宁夏中宁县第一中学·期中)若为奇函数，则 【答案】 【分析】由奇函数的定义求解参数即可. 【详解】的定义域为， 因为为奇函数， 则，由， ， 所以，解得， 故答案为： 6．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】先根据奇偶性分析的关系，然后根据的值求解出的值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又因为， 所以， 故答案为：. 四、解答题 7．(24-25高一上·青海海南州·期中)已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若是奇函数，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用建立方程组法即可求得函数解析式； （2）先根据（1）的结论，求出的解析式，再利用奇函数的定义可求参数的值. 【详解】（1）因为①， 所以②. ①+2×②得:， 则. （2）（2）由（1）可知，. 因为是奇函数，所以， 即对于定义域内的任意值恒成立， 故需使，解得. 8．(24-25高一上·宁夏银川一中·期中)已知函数是R上的奇函数，且. (1)若函数在区间递增，求实数的取值范围； (2)设，若对，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用奇函数求出，再利用二次函数单调性求出的范围. （2）分别求出函数在上的值域、函数在区间上值域，利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】（1）由函数是R上的奇函数，且，得，解得， 由函数在区间上单调递增，得，解得， 所以实数的取值范围是. （2）对于，当，的值域为， 由对，，使得成立， 得函数在区间的值域为在区间上值域的子集， 的对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，的值域为， 由，得，解得； 当时，函数在区间上单调递减，的值域为， 由，得，解得， 所以实数的取值范围. 地 城 考点03 函数性质的综合应用 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中)下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别判断函数在定义域内的奇偶性和单调性即可. 【详解】对于A：为反比例函数，为奇函数，在区间以及上都是增函数，但在定义域内不是增函数，故A错误； 对于B：既是奇函数又是减函数，不符合题意，故B错误； 对于C：为奇函数；时，为增函数，时，为增函数，且函数图象连续，该函数在R上为增函数，故C正确； 对于D：指数函数，不是奇函数，不符合题意，故D错误； 故选：C 二、多选题 2．(24-25高一上·青海西宁第四高级中学·期中)下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，，定义域关于原点对称，且，所以是偶函数， 且在上单调递增，A正确； 对于B，定义域为，关于原点对称，由，得， 所以不是偶函数，B不正确； 对于C，由，，定义域关于原点对称， 得，所以是偶函数， 且在上单调递增，C正确； 对于D，由，定义域关于原点对称， 得，是偶函数. 当时，，故在上单调递减，D不正确. 故选：AC. 3．(22-23高一上·宁夏青铜峡·期中)对于函数，以下结论正确的是（    ） A．的定义域为R B．值域为R C．是偶函数 D．在上是减函数 【答案】ACD 【分析】根据奇偶性和解析式，画出图象，即可对各选项作出判断． 【详解】， 对于，都有意义，所以的定义域为R， 又， 为偶函数， 当时，，当时，图象与时的图象关于轴对称，作出图象，如图所示， 对于A：的定义域为R，故A正确； 对于B：由函数图象可知，，故B错误； 对于C：为偶函数，故C正确； 对于D：由函数图像可知，当时，为减函数，故D正确； 故选：ACD． 4．(24-25高一上·宁夏银川宁夏师范大学附属中学（银川第四十三中学）·期中)下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据幂函数的性质即可判断ABC，根据偶函数的定义和一次函数单调性即可判断D. 【详解】对AC，根据幂函数性质知，均为奇函数，故AC错误； 对B，为偶函数，且其在区间上单调递增，故B正确； 对D，，其定义域为，关于原点对称，且，故为偶函数， 当时，，则其在上单调递增，故D正确； 故选：BD. 5．(23-24高一上·宁夏石嘴山第三中学·期中)下列说法不正确的是（   ） A．函数在定义域内是减函数 B．若是奇函数，则一定有 C．若为奇函数，则为偶函数 D．若的定义域为，则的定义域为 【答案】AB 【分析】求出单调区间判断A；由奇函数定义判断BC；求出函数的定义域判断D. 【详解】对于A，函数在上都单调递减，在定义域上不单调，A错误； 对于B，当奇函数的定义域内没有0时，无意义，B错误； 对于C，由为奇函数，得，则，即为偶函数，C正确； 对于D，由，得，即的定义域为，D正确. 故选：AB 三、解答题 6．(24-25高一上·青海西宁第四高级中学·期中)已知定义在上的奇函数满足. (1)求的解析式； (2)证明：函数在上单调递减； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，求得，再利用，求得，可得的解析式； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）利用函数的奇偶性与单调性即可求解. 【详解】（1）因为为奇函数，所以，即； 因为，所以.    经检验函数是奇函数 所以的解析式为. （2）证明：，且，    ，，，，   ，即 所以函数在上单调递减； （3）因为为奇函数，所以等价于， 因为在上单调递减，所以，解得， 即不等式的解集为. 7．(24-25高一上·青海西宁第二中学·期中)已知函数是上的偶函数，当，， (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义求时，函数的解析式，即可得结果； （2）根据函数解析式以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得，运算求解即可. 【详解】（1）当时，则， 由题意可得：， 所以函数的解析式为. （2）因为的开口向下，对称轴为， 可知函数在内单调递增， 且函数是上的偶函数，可知函数在内单调递减， 若，则， 整理可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 8．(24-25高一上·青海海南州·期中)已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义法证明； (2)若对任意的，都有，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）任取，由可得结论； （2）根据单调性可得，根据可构造不等式求得结果. 【详解】（1）在上单调递增，下面证明： 若，则. 即，所以在上单调递增． （2）若，则，不满足条件； 若，则对任意，都有，满足条件. 所以的取值范围是． 地 城 考点04 利用函数性质解不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·青海西宁第四高级中学·期中)已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的奇偶性与单调性求得与的解，从而分类讨论即可得解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又在上是增函数，， 当时，不成立； 当时，由，得，则，故或； 由，得，则，故或； 而由，得或，解得或， 即的解集为. 故选：A. 2．(23-24高一上·宁夏石嘴山第三中学·期中)已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】探讨函数的奇偶性、单调性，再利用性质求解不等式即得. 【详解】函数的定义域为R，， 即函数是R上的偶函数，当时，， 函数在上单调递增，则在上单调递减， 在上单调递增，又在上单调递增， 因此在上单调递增，而不等式， 于是，两边平方得，解得， 所以所求不等式的解集为. 故选：B 3．(23-24高一上·青海海东第二中学·期中)已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】根据条件可知同正或同负，然后结合图象以及函数的奇偶性分别求解出对应解集，由此可知结果. 【详解】因为，所以或， 因为是奇函数，是偶函数， 所以时，，时，，时，，时，； 所以时，，时，，时，， 时，， 所以当时，解得或， 所以当时，解得， 综上可知，的解集为或或， 故选：A. 二、填空题 4．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期中)偶函数的定义域为，且对于任意 ，均有 成立，若 ，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先根据单调性和奇偶性的概念求出在上的单调性，再将函数不等式转化为自变量不等式求解即可. 【详解】因为对于任意 ，均有 成立， 所以在上单调递减， 又是偶函数，所以在单调递增， 所以不等式即等价于， 即，整理得， 解得或，即实数的取值范围为， 故答案为： 5．(24-25高一上·宁夏永宁县上游高级中学·期中)已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，当时总有，则满足的x的范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用单调性及偶函数的性质解不等式. 【详解】由对任意，当时总有，得函数在上单调递增， 而函数是定义域为R的偶函数，则函数在上单调递减， 不等式，则， 即，解得， 所以所求x的范围是. 故答案为： 6．(23-24高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期中)若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据函数为偶函数，不等式变形为，又在上单调递增，且，分与两种情况进行求解，得到答案. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以，且， 因为在上单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 当时，则，故， 当时，则，故， 综上：的解集为. 故答案为：. 地 城 考点05 函数的新定义 一、单选题 1．(24-25高一上·青海西宁第二中学·期中)定义在上的函数满足且，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据求出，再根据函数的单调性以及定义域即可求解. 【详解】 ，即， ， ，可转化为：， 即， 即， 满足，且，有， 在上单调递增， 即 ，解得：， 即不等式的解集为：. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用求出，再借助函数的单调性解不等式，转化的过程中应注意函数的定义域. 二、多选题 2．(23-24高一上·宁夏银川第二十四中学·期中)已知函数在上满足：①；②当时，；③.则下列命题正确的是 （    ） A． B．函数是上的奇函数 C．函数在上为减函数 D．函数在上的最小值为4 【答案】ABC 【分析】令，即可判断A；令，即可判断B；结合函数单调性的定义判断C；赋值求出，进而结合函数单调性即可判断D. 【详解】由题意，， 令，得，即，故A正确； 令，得，即， 所以函数是上的奇函数，故B正确； 任取，且， 则， 因为，所以， 由题知，当时，，所以， 即，所以函数在上为减函数，故C正确； 因为，所以， ， 令，得， 令，得， 因为函数在上为减函数， 所以函数在上的最小值为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 3．(23-24高一上·宁夏银川一中·期中)已知函数满足，当时，且，若当时，有解，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件导出在上单调递增，再将不等式转化为，借助单调性脱去法则分离参数，求出函数最大值即可. 【详解】，，则，由当时，，得， 又，，则， 于是在上单调递增，不等式化为，， 从而，因此， 依题意，当时，有解，即有解， 显然，则，当，即时，，于是， 所以的取值范围是. 故答案为： 4．(24-25高一上·宁夏银川一中·期中)若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是 (用区间表示) 【答案】 【分析】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可知的定义域为， 又因为函数是“函数”，故其值域为； 而，则值域为； 当时，， 当时，，此时函数在上单调递增，则， 故由函数是“函数”可得， 解得，即实数的取值范围是， 故答案为： 四、解答题 5．(24-25高一上·青海西宁第十四中学·期中)若函数的定义域是，且对任意的，，都有成立. (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式； (3)在条件（2）前提下，解不等式. 【答案】(1)为奇函数 (2) (3)或 【分析】（1）利用已知求出，可得，即可证出； （2）先利用奇函数性质求出时，，再结合已知和，即可求解析式； （3）作出函数的图象，利用图象得是定义在上的增函数，将不等式转化为，再利用的单调性可得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）为奇函数， 理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得，所以对任意恒成立， 所以为奇函数， （2）由题知当时，， 则时，， 又， 所以. （3）作出函数的图象，如下图所示： 由图可知，是定义在上的增函数， 因为，所以， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $