5.2.1 样本空间与事件-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第二册人教B版 5.2 概 5.2.1样本 学习目标 1.掌握样本点与样本空间的概念，在实 际问题中能正确求出随机事件的样本空间. 2.掌握基本事件、随机事件、必然事件 的概念 3.掌握随机事件的概率的概念，会借助 样本空间和样本点理解随机事件的概率， 要点精析 川要点1必然事件与随机事件 随机事件、必然事件、不可能事件 (1)如果随机试验的样本空间为2，则 随机事件A是2的一个非空真子集. (2)任何一次随机试验的结果，一定是 样本空间2中的元素，因此可以认为每次试 验中2一定发生，从而称2为必然事件； 又因为空集⑦不包含任何样本点，因此可以 认为每次试验中☑一定不发生，从而称⑦为 不可能事件 思考你能说出几个生活中的随机 事件、必然事件、不可能事件的具体实：： 例吗？ 例1判断下列现象是必然现象还是随 机现象， (1)掷一个质地均匀的骰子出现的 点数： (48)学 率 空间与事件 (2)在10个同类产品中，有8个正品、 2个次品，从中任意抽出2个检验的结果 分析本题考查随机现象和必然现象 的概念 B变式训练① 指出下列事件是必然事件、不可能事 件，还是随机事件 ①中国体操运动员将在下届奥运会上获 得全能冠军 ②若x∈R,则x2+1≥1. ③掷一枚骰子两次，朝上的面的数字之 和小于2. 分析本题考查必然事件、随机事件、 不可能事件的概念 例2给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必 有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时可使x2<0”是不 可能事件； ③“明天全天要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡(6个是次品)中取 出5个，5个都是次品”是随机事件」 其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 B变式训练2 下列事件中，必然事件是() A.10人中至少有2人生日在同一个月 B.11人中至少有2人生日在同一个月 C.12人中至少有2人生日在同一个月 D.13人中至少有2人生日在同一个月 川要点2样本空间 在写试验结果时，一般采用列举法写 出，必须首先明确事件发生的条件，根据日 常生活经验，按一定次序列举，才能保证所 列结果没有重复，也没有遗漏 思考你能分别举出样本空间为有限 集和无限集的例子吗？ 例3“连续抛掷两枚质地均匀的骰 子，记录朝上的面的点数”，该试验的结果 共有() A.6种 B.12种 C.24种 D.36种 分析本题将基本事件利用有序数对 形式列举出来。 第五章统计与概率。 B变式训练3 设O为正方形ABCD的中心，在O,A, B,C,D中任取3点，则样本空间为 要点3随机事件发生的概率 事件发生的可能性大小可以用该事件发 生的概率来衡量，概率越大，代表越有可能 发生，事件A发生的概率通常用P(A)来表示. (1)规定：P(☑)=0；P(2)=1. (2)对于任意事件A来说，显然有 P(☑)≤P(A)≤P(2),因此0≤P(A)≤1. 思考抛掷一枚质地均匀的硬币，落地 后正面向上的概率为50%，那么能否理解为 将这枚硬币抛掷两次必有一次正面向上？ 例4先后两次抛掷一枚质地均匀的骰 子，观察朝上的面的点数. (1)写出对应的样本空间； (2)用集合表示事件A:点数之和为3， 事件B:点数之和不超过3； (3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小 (指出P(A)≥P(B)或P(A)≤P(B)即可)· 分析本题列举出样本空间，进而通 过对事件A和B所包含的样本点个数来判 断P(A)和P(B)的大小. 学（49 N 高中数学必修第二册人教B版 B变式训练④ 从分别写有1,2,3,4,5,6的6张 卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2 张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 () A吉 B. c号 数学文化 例造纸术、印刷术、指南针、火药被 称为中国古代四大发明，此说法最早由英国 汉学家艾约瑟提出，并为后来许多中国的历 (50)学 史学家所使用，普遍认为这四种发明对中国 古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大 的推动作用.某小学三年级共有学生400名， 随机抽查100名学生并提问中国古代四大发 明，能说出两种及其以上发明的有73人， 据此估计该校三年级的400名学生中，对四 大发明只能说出一种或一种也说不出的有 ) A.69人 B.84人 C.108人 D.115人 分析用样本估计总体，列出比例式 可得N 高中数学必修第二册人教B版 则总体的平均数为品×474+号×562-5268（分）。 总体的方差为s= 20 (x-2)2]+12[s+0-z)2]}= 0×8x374(474-5268]+12x [11.82+(56.2-52.68)2]}=107.6,总体的标准差s≈10.37. ·.这名选手得分的平均数为52.68分，标准差约为 10.37 例3解：(1)频率分布表 分组 频数 频率 分组 频数 频率 [41,51) 2 2 [81,91) 10 10 30 [51,61) 1 30 [91,101) 5 30 [61,71) 4 [101,111] 2 2 30 30 [71,81) 6 6 30 (2)频率分布直方图 4频率 组距 301 60 041516171819110111空气污染指数 例3答图 (3)答对下述两条中的一条即可：①该市一个月中 空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的5： 有26天处于良的水平，占当月天数的号：处于优或良 的天数共有28天，占当月天数的4.说明该市空气质量 基本良好.②该市一个月中空气质量为轻微污染的有2 天，占当月天数的二.污染指数在80以上的接近轻微污 151 染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17 天，占当月天数的只，超过50%.说明该市空气质量有 30' 待进一步改善 变式训练3 解：(1)由题中数据可得，频率分布表如下： 40 分组 频数 频率 [320,380) 6 0.20 [380,440) 18 0.60 「440.500) 4 0.13 [500,560] 2 0.07 合计 30 1.00 (2)频率分布直方图如图： 频率 T组距 0.01 0.0033 0.0022 0.0012上 320380440500560月水电费用/元 变式训练3答图 (3)该月水电费用在[440,560]内的家庭所占的 百分比为0.13+0.07=0.2=20%. 数学文化 24【解析】由题意，得1+24机=125，解得=224 n ●m5.2概 率 5.2.1样本空间与事件 要点精析 例1解：(1)掷一个质地均匀的骰子，其点数有可能 出现1~6，点数是不能确定的，因此是随机现象。 (2)抽出的2个产品中有可能全部是正品，也有可 能是1个正品1个次品，还有可能是2个次品，故是随 机现象 变式训练1 解：由题意知①中事件可能发生，也可能不发生， 所以是随机事件；②中事件一定会发生，是必然事件； 由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之 和最小是2，不可能小于2，所以③中事件不可能发生， 是不可能事件」 例2D【解析】三个球分为两组，有两种情况，1+2和 3+0,①是正确的命题；任意实数x都有x2≥0，.②是 正确的命题；“明天全天要下雨”是随机事件，③是 错误的命题；“从100个灯泡(6个是次品)中取出5 个，5个都是次品”发生与否是随机的，④是正确的 命题.故有3个正确命题.故选D. 变式训练2 D【解析】一年有12个月，因此无论10,11,12 个人，都有可能所有人都不在同一个月出生，而13>12， 所以13人中至少有2人在同一月份出生，为必然事件。 故选D. 例336【解析】试验的全部结果为(1,1)，(1,2)， (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), (4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2), (6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种.故选D. 变式训练3 (ABC,ABD,ABO,ACD,ACO,ADO,BCD BCO.BDO.CDO 例4解：(1)用(1,2)表示第一次掷出1点，第二 次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示，则可知 所有样本点均可表示成(i,)的形式，其中i,j都是 1,2,3,4,5,6中的数.因此，样本空间2={(i,j1≤ i≤6,1≤j≤6，ieN,jeNW. (2)不难看出，A={(1,2),(2,1)月，B=(1,1), (1,2),(2,1)小 (3)A事件发生时，B事件一定发生，也就是说B 事件发生的可能性不会比A事件发生的可能性小，.直 观上可知P(A)≤P(B). 变式训练4 C【解析】样本空间2={(1,2)，(1,3)，(1， 4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5), (4,6),(5,6)},共15个样本点，其中符合数字之积 是4的倍数的样本点有6个，故所求概率P?子，故 选C 数学文化 C【解析】在这100名学生中，只能说出一种或一 种也说不出的有100-73=27（人）· 参考答案⊙ 设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说 出一种或一种也说不出的有x人，则罗0，解得 x=108.故选C 5.2.2事件之间的关系与运算 要点精析 例1{2,4,5,6,7,8,10,12}{5,7}【解析】 事件A=2,5,7},事件B=2,4,6,8,10,12, ∴AUB=2,4,5,6,7,8,10,12,B=3,5,7,9,11}, .AnB={5,7}. 例2D【解析】从装有2个红球和2个黑球的口袋内 任取2个球，至少有1个黑球与事件恰有2个红球是对 立事件，A不成立；恰好有1个黑球与事件恰有2个 红球是互斥的事件，B不成立；至多有1个红球与事 件恰有2个红球是对立事件，.C不成立；至少有1个 红球与事件恰有2个红球是既不对立也不互斥的事件， D成立.故选D 变式训练1 C【解析】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币 正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.故选C 例3B【解析】设事件A为只用现金支付，事件B为 只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支 付，则A,B,C刚好组成全事件，且A,B,C为互斥 事件，则P(B)=1-P(A)-P(C)=1-0.15-0.45=0.4.故选B. 变式训练2 D【解析】从5名大学生中录用3人，所有不同的 可能结果有（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、 戊)，（甲、丙、丁），（甲、丙、戊），（甲、丁、戊）， (乙、丙、丁)，（乙、丙、戊），（乙、丁、戊），（丙、 丁、戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有 不同结果只有（丙、丁、戊）1种，其对立事件为“甲 或乙被录用”，-b品放选D 数学文化 例1解：如果三个臭皮匠A,B,C能答对的题目彼此 互斥（他们能答对的题目不重复），则P(AUBUC)= PA)+PB)+C)-褐>PD)=号，放三个臭皮匠方为胜 方，即三个臭皮匠顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠 A,B,C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶 41