5.1.2 数据的数字特征-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

5.1.2数据 学习目标 1.理解数据的基本数字特征：最值、平 均数、中位数、百分位数、众数、极差、方 差与标准差等. 2.准确计算一组数据的平均数、中位 数、百分位数、方差与标准差，培养学生的 数学运算能力. 要点精析 川要点数字特征的计算 (1)平均数：如果给定的一组数是 ,x2,…,xn,则这组数的平均数为x= (xtx+…+）. n (2)中位数：①如果一组数有奇数个 数，且按照从小到大排列后为，x2,…, 2+1,则称xt1为这组数的中位数；②如果一 组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为 ,2,…,,则称+出为这组数的中 2 位数 (3)百分位数：设一组数按照从小到大 排列后为，为2，…，x,计算i=p%(p∈ (0,100)的值，如果i不是整数，设io为 大于i的最小整数，取x,为p%分位数；如 果i是整数，取+u为p%分位数.特别地， 2 规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分 位数是x(即最大值)· (4)众数：一组数据中，某个数据出现 第五章统计与概率。 的数字特征 的次数称为这个数据的频数，出现次数最多 的数据称为这组数据的众数. (5)极差：一组数的极差指的是这组数 的最大值减去最小值所得的差， (6)方差：如果x,x2,…,xn的平均 数为x,则方差可用求和符号表示为s2= 12 (7)标准差：方差的算术平方根称为标 准差。 思考 (1)一组数有奇数个数，那么这组数 的中位数就是中间的那一个数吗？ (2)一组数据的众数只能有一个吗？ 例1甲、乙两人某次飞镖游戏中的成 绩如下表所示. 甲的成绩 环数 6 8 9 10 频数 2 4 2 1 乙的成绩 环数 6 7 8 9 10 频数 4 3 甲、乙两人成绩的平均数分别记作x甲， x乙，标准差分别记作s甲，s乙，则() A.x甲<x乙，S甲>S乙 B.x甲<x乙，S甲<S乙 C.x甲>x乙，S甲>S乙 D.x甲>x乙，S甲<S乙 分析本题考查平均数和标准差的 计算 学 37 N 高中数学必修第二册人教B版 变式训练1 设一组样本数据x1,2,…,x的方差 为0.01，则数据10x1,10x2,…,10xn的方 差为() A.0.01 B.0.1 C.1 D.10 例2一组数据12,34,15,24,39， 25,31,48,32,36,36,37,42,50的第 25,75百分位数分别是 B变式训练② 某校组织学生参加植树活动，活动结束 后，统计了高一某班50名学生每人植树的 情况，绘制了如下的统计表： 植树棵数 3 4 5 6 人数 20 15 10 那么这50名学生平均每人植树 棵，这50名学生每人植树数的75%分位数 是 反思感悟关于百分位数 (1)直观来说，一组数的p%分位数指 的是将这组数按照从小到大的顺序排列后， 处于p%位置的数，例如中位数就是50%分 位数」 (2)按照定义可知，p%分位数可能不 唯一 (3)设一组数按照从小到大排列后为 x1,x,…,xn,计算i=吧%的值，如果i不 是整数，设io为大于i的最小整数，取x 为p%分位数；如果i是整数，取+出为 2 38)学 p%分位数.特别地，规定：0分位数是 (即最小值)，100%分位数是x。(即最 大值) (4)实际应用中，除了中位数外，经 常使用的是25%分位数（简称为第一四分 位数)与75%分位数（简称为第三四分 位数) 例3某工厂连续5天生产的零件数依 次为1,2,3,4,5（单位：万个)，若 这组数据x1,2,x3,x4,x5的方差为144， 且x,x,x号，x,x号的平均数为400，则 该工厂这5天平均每天生产零件 万个 分析本题将方差公式展开变形，转 化成平均数的形式，解方程即可. B变式训练③ 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手 的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个 原始评分中去掉1个最高分、1个最低分， 得到7个有效评分.7个有效评分与9个原 始评分相比，不变的数字特征是() A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 例4气象意义上从春季进入夏季的标 志为连续5天的日平均温度均不低于22℃。 现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度 的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地5个数据的中位数为24，众数为 22: ②乙地5个数据的中位数为27，总体均 值为24； ③丙地5个数据中有一个数据是32，总 体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有 分析本题需要根据信息列出5个数 据的可能取值，来判断三地连续5天的日 平均温度是否均不低于22℃，从而判断是 否进入夏季 B变式训练④ 某厂研制了一种生产高精产品的设备， 为检验新设备生产产品的某项指标有无提 高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据 如下： 旧 9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 备 旧设备和新设备生产产品的该项指标的 样本平均分数分别记为x和y,样本方差分 别记为s和s. (1)求x,y,s7,s; (2)判断新设备生产产品的该项指标的 均值较旧设备是否有显著提高（如果少-x≥ 2V,那么认为新设备生产产品的该 项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不 认为有显著提高) 第五章统计与概率。 反思感悟1.众数、中位数、平均数 的特点 (1)众数、中位数及平均数都是描述 一组数据集中趋势的量 (2)平均数的大小与一组数据里每个 数的大小均有关系，任何一个数据的变动 都会引起平均数的变动， (3)众数考查各数出现的频数，其大 小与这组数据中部分数据有关，当一组数 据中有不少数据重复出现时，其众数往往 更能反映问题 (4)中位数仅与数据的排列位置有关， 某些数据的变动对中位数没有影响，中位 数可能出现在所给数据中，也可能不在所 给数据中，当一组数据中个别数据变动较 大时，用中位数描述这种趋势 2.方差的作用 在实际问题中，仅靠平均数不能完全 反映问题，还要研究方差.方差描述了数据 相对平均数的离散程度：在平均数相同的 情况下，方差越大，离散程度越大，数据 波动性越大，稳定性就越差；方差越小， 数据越集中，质量越稳定 数学文化 例某鞋店试销一种新女鞋，如果你 是鞋店经理，最关心的是哪种号码的鞋销 量最大，那么下列统计量中对你来说最重 要的是（) A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 学(39第五章 >n5.1统 计 5.1.1数据的收集 要点精析 例1D【解析】①不是简单随机抽样，原因是简单随 机抽样中总体的个数是有限的，而题中是无限的；②不 是简单随机抽样，原因是简单随机抽样是不放回地抽 取，而题中是有放回地抽取；③不是简单随机抽样，原 因是简单随机抽样是逐个抽取，而题中是一次性抽取： ④不是简单随机抽样，原因是个子最高的5名同学是56 名同学中特定的，不存在随机性，不是等可能抽样.故 选D. 变式训练1 ③【解析】①中样本总体数目不确定，不是简单随 机抽样；②中样本不是从总体中逐个抽取，不是简单随 机抽样；③中符合简单随机抽样的特点，是简单随机 抽样 例205【解析】根据随机数表，排除超过33及重复的 编号，选出来的第一个编号为21，第二个编号为32 第三个编号为05，故选出来的第3个红色球的编号为05. 变式训练2 D【解析】根据随机数表，排除超过20及重复的编 号，选取出来的个体编号依次为08,02,14,07,01， 故选出来的第5个个体编号为01.故选D. 例33000【解析】由已知高三年级抽取的学生人数为 150-40-50=60(人).设该校高中的学生总数为n,则 60=150,解得=3000，“该高中共有学生3000人 1200-n1 变式训练3 解：因为一般来说，创新能力与职称有关，所以应 该用分层抽样 设样本中具有高级职称的人数为七，则10=，x 8001601 x=20,即要抽取具有高级职称的科研人员20人.类似 地，可以算得抽取具有中级职称的科研人员40人，具 有初级职称的科研人员30人，无职称的科研人员10人 参考答案。 统计与概率 数学文化 D【解析】由题意结合分层抽样的方法可知，需从 南乡征集的人数为487×8758+7236+835625 8356 -4178 167.12≈167.故选D. 5.1.2数据的数字特征 要点精析 例1B【解析】由题意，x6+72+8x4+92+10)-8, =1x(6+7+8+9x4+10x3)=8.7,xm<z; x元210 s=0×[6-8+2x7-84x8-842x9-84(10- 8)2]=1.2, s20×[(6-87P4(7-874(8-8744×9-87+3x (10-8.7)2]=1.61, s甲<Sz.故选B 变式训练1 C【解析】=+++比2 n si=[(x-046xr44x-0]-01, 则数据10x1,10x2,…,10x的平均数为10c, 方差s号=100[(x-x+(-0++(x.-)2]=100si= n 100x0.01=1.故选C. 例22539【解析】把数据从小到大排序为12,15， 24,25,31,32,34,36,36,37,39,42,48,50,共 14个数，14x25%=3.5,14×75%=10.5,..第25,75百分 位数分别是第4,11项数据，即是25,39. 变式训练2 45【解析】平均每人植树20x3+15x4+10x5+5x6- 20+15+10+5 4(棵).50×75%=37.5，..这50名学生每人植树数的 75%分位数是5. 例316【解析】依题意，得x+x+…+=2000.设1， x2,,x4,x5的平均数为无，根据方差的计算公式有 号[r4(-4…+-0门-14， 37 高中数学必修第二册人教B版 ∴.(x+x+…+)-2元(x+2+…+)+5元2=720，即2000- 10元2+5x2-720,.x=16. 变式训练3 A【解析】中位数是将9个数据从小到大（或者从 大到小)排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个 最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差 和极差均受影响.故选A 例4甲、丙【解析】①甲地：5个数据的中位数为24， 众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度 的记录数据可能为22,22,24,25,26，其连续5天的 日平均气温均不低于22℃. ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24， 当5个数据为19,20,27,27,27时，可知其连续5天 的日平均温度有低于22℃的，故乙地不确定进入夏季. ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值 为26，若有低于22，假设取21，此时方差就超出了 10.8,可知其连续5天的日平均温度均不低于22℃.如 22,25,25,26,32,这组数据的平均值为26，方差 为10.8，但是进一步扩大范围，方差就会超过10.8， 故丙地肯定进人夏季.则肯定进人夏季的地区有甲、丙 两地 变式训练4 解：（)=0×9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+ 10.0+10.1+10.2+9.7)=10 -0×10.1+104+101+100+101+103+106+ 10.5+10.4+10.5)=10.3 s×02403240240240.1P40240401P0.24039） =0.036. si=0×(0.22+0.1P+0.2+0.39+0.2+0+0.32+0.2+ 0.12+0.22)=0.04 (2)-=103-10-03,2V-2V0w076. y-x=0.3=2×0.15=2V0.15=2V0.0225>2V0.0076, 满y-≥2V带 .·新设备生产产品的该项指标均值较旧设备有显著 提高。 38 数学文化 B【解析】鞋店经理最关心的是哪种号码的鞋销量 最大，所以应该选择统计量中的“众数”.故选B. 5.1.3数据的直观表示 要点精析 例1A【解析】由图易知月接待游客量每年7,8月明 显高于12月，故A错误；观察折线图的变化趋势可知 年接待游客量逐年增加，故B正确：对于选项C,D, 由图可知显然正确.故选A. 变式训练1 C【解析】这12天的AQI的中位数是95+I04-995, 故A错误；这12天中，空气质量为“优良”的有 95,85,77,67,72,92,共6天，故B错误；从4日 到9日，空气质量越来越好，故C正确：这12天的 AQI的平均值为110，故D错误.故选C. 例2B【解析】从折线图中能看出世界人口的变化情 况，故①正确；从条形图中可得到2050年非洲人口大约 将达到18亿，故②错误；从扇形图中能够明显地得到结 论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故 ③正确：由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050 年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误.因此正确的 命题有①③.故选B. 例3B【解析】对于甲，=79488+82+82+93+91≈ 6 85.8:对于乙，=72+74+81+89+96+9≈85.2，A正确： 6 甲的极差为93-79=14，乙的极差为99-72=27，故B错 误；对于甲，方差s≈26.5，对于乙，方差s≈106.5， 故C正确；甲得分的中位数为82+88=85，乙得分的中 2 位数为81+89-85，故D正确.故选B. 2 变式训练2 解：(1)这20名工人年龄的众数为30，这20名 工人年龄的极差为40-19=21. (2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人 年龄的茎叶图如下： 119 2888999 3000001111222 40