1.1.1整式的运算（下）（教学设计）-劳保版第8版《数学 上册》《上好课》

课程名称 劳保版第8版 《数学 上册》 1.1.1 整式的运算（下） 教材分析 因式分解是代数式的恒等变形之一，是整式乘法运算的逆运算，也是后续学习分式化简、解一元二次方程、一元二次不等式等内容的基础。掌握因式分解的方法，对学生代数运算能力的提升至关重要。 教材从因式分解与整式乘法的互逆关系引入，逻辑清晰地介绍了三种基本方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式）和十字相乘法（包括二次项系数为1和不为1两种情况）。知识呈现由浅入深，层层递进，并配以例题和“知识巩固”练习。 教材内容全面，但例题数量有限。在实践中，学生的困难在于方法的综合运用与选择。因此，在教学中需补充综合性的例题和练习，强化学生根据多项式特征快速选择恰当方法的能力。 学情分析 学生已掌握了整式的概念及整式的四则运算法则，会运用平方差公式和完全平方公式，但对 “逆运算” 的思维转换不够熟练。中职学生能够进行简单的模仿操作，但运算水平参差不齐，面对复杂系数的分解易产生畏难情绪。预计学生的主要困难在于：无法快速准确地识别一个多项式应首选何种方法；十字相乘法中“拆项”与“凑项”的技巧掌握。 教学目标 知识与技能：理解因式分解与整式乘法互为逆运算的关系。掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法进行因式分解。能根据多项式的结构特点，选择恰当的方法分解因式。 情感态度：在探索因式分解方法的过程中，增强解决复杂运算问题的信心，克服对数学的畏难情绪。 教学重难点 教学重点：掌握提公因式法、公式法和十字相乘法这三种因式分解的基本方法。 教学难点：熟练运用十字相乘法，灵活选择分解因式的恰当方法。 教学方法 讲授法、问答法、练习法 课前准备 多媒体课件、板书设计、课堂练习题 教学媒体 PPT课件 教学过程 教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图 导入 1. 复习提问：上节课我们学习了整式乘法，请同学们计算 (x+2)(x-3)等于什么？ 2. 提问：那如果知道结果是 x² - x - 6，它是由哪两个整式相乘得来的？ 3. 引出课题：这种把一个多项式分解成几个整式相乘的运算，就叫做因式分解。它与整式乘法互为逆运算。 1.学生计算出结果 x² - x - 6 2.学生根据第一问，猜测是(x+2)(x-3) 1. 复习多项式与多项式的乘积运算 2. 给学生留下整式乘法与因式分解互为逆运算的印象 新课讲授 1、 因式分解 1. 概念：把一个多项式分解成几个整式相乘的运算 2. 与乘法的关系：互为逆运算 如： 2、 提公因式法 1. 方法：如果一个多项式的每一项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，将多项式分解成两个因式相乘 2. 举例：2x² + 4x - 8x³ 提问：这个式子有几项，公因式是什么？ 演示： 3.变式： 提问：公因式是什么？请同学们仿照上述过程，自己试着因式分解 演示： 3、 公式法 1. 方法：把乘法公式的等号两边互换位置，就可以把某些具有特殊形式的多项式分解成几个因式相乘 2. 提问：请同学们回忆平方差公式、完全平方公式 3. 公式 a² - b² = (a+b)(a-b) a² +2ab + b²=(a+b)² a² -2ab + b²=(a-b)² 4. 例题（1）（2） 提问：这两问能否运用公式法？如何运用？ 演示：（1） （2） 四、十字相乘法 （一）二次项系数为1的情况 1. 提问：请同学们计算 2. 方法： 3. 方法提示 5. 例题 提问：哪两个数的和为7，积为12？ 演示： （二）二次项系数不为1的情况 1.方法：先分解二次项系数，分别写在十字线左上角和左下角；然后分解常数项，分别写在十字线右上角和右下角；最后交叉相乘并求和，使其等于一次项系数。 2.方法演示 3. 例题 以 2x² + 7x + 6 为例，详细演示“十字相乘”的步骤：竖分二次项 (2x * x) → 竖分常数项 (3 * 2) → 交叉相乘相加检验 (2x*2 + x*3 = 4x+3x=7x) → 横向写出因式 (2x+3)(x+2)。 4.变式 (让学生自己试着分解，教师巡视） 竖分二次项 (3x * x) → 竖分常数项 (-1) *(- 2) → 交叉相乘相加检验 3x*(-2 )+ x*(-1) = -6x-x=-7x) → 横向写出因式 (3x-1)(x-2)。 聆听 学生回答 有3项，公因式是2x 学生回答3ab，学生自行计算 学生口述平方差公式、完全平方公式的内容 学生聆听，记笔记 学生回答可以，第一问对应平方差，第二问对应完全平方 学生计算出   聆听，做笔记 学生通过找12的约数，算出这两个数分别为3和4 聆听 学生动手计算 对因式分解有初步印象 复习整式的概念及公因式 通过变式及时巩固提公因式法 复习平方差公式、完全平方公式，加深学生对公式法的印象 加深学生对十字相乘法的理解与记忆 课堂练习 例1 ： 方法：提公因式法 解： 例2 ： 方法：公式法 解： 例3： 方法：公式法 解： 例4： 方法：十字相乘法（二次项系数为1） 解：5+(-2)=3,5*(-2)=-10 故 例5： 方法：十字相乘法（二次项系数不为1） 解：2=1*2 -3=(-3)*1 1*1+2*(-3)=-5 故 例6： 方法：提公因式 + 公式法 解： 例7： 方法：公式法或十字相乘法 解：（公式法） （十字相乘法）4x = 2x*2x 9=(-3)*(-3) 2x*(-3)+2x*(-3) = -12x 故 课堂小结 1. 因式分解与整式乘法互为逆运算，关系如下： 2. 因式分解的三种方法及适用情况 提公因式法：多项式各项有公因式； 公式法：符合平方差或完全平方的结构； a² - b² = (a+b)(a-b) a² ± 2ab + b² = (a±b)² 十字相乘法：二次三项式 x² + (m+n)x + mn = (x+m)(x+n) ax² + bx + c= (a₁x + c₁)(a₂x + c₂) 课后作业 ①课本P8知识巩固1第二题（1）-（5） ②见《同步练习》 板书设计 一、定义 一个多项式 → 化为几个整式的积 互逆关系： x² +ax+bx+ab ⇌ (x+a)(x+b) 二、方法 1. 提公因式法 2. 公式法 a² - b² = (a+b)(a-b) a² ± 2ab + b² = (a±b)² 3. 十字相乘法 二次项系数 = 1：x² + (m+n)x + mn = (x+m)(x+n) 二次项系数 ≠ 1： ax² + bx + c= (a₁x + c₁)(a₂x + c₂) 其中a = a₁·a₂ c = c₁·c₂ a₁c₂ + a₂c₁ = b 教学反思 1. 本节课容量较大，时间分配需格外精准，重点应放在十字相乘法的讲解和练习上。 2. 通过学生的练习反馈，可以准确评估他们对各种方法的掌握程度，以便下节课进行针对性巩固。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $