集合的概念、集合间的关系-江苏省2026年职教高考一轮复习《数学考点双析卷》第1卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：江苏省2026年职教高考一轮复习《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年职教高考数学真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》的第1卷，主要考查集合的概念、集合间的关系的掌握情况。 江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》 第1卷 集合的概念、集合间的关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．由英文单词“”中的字母构成的集合的子集个数为（   ） A．3 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】首先确定该集合的元素的个数，再由子集个数的公式求值即可. 【详解】由英文单词“”中的字母构成的集合中， 共有共个元素，所以该集合的子集个数为， 故选：C. 2．下列说法正确的是（    ） A．某班级中的所有高个子同学能组成集合 B．空集是任何集合的真子集 C．集合与集合是同一个集合 D．方程组的解集为 【答案】C 【分析】根据集合的概念即可解得. 【详解】选项A：某班级中的所有高个子同学中，高个子的定义不明确，不符合确定性，错误. 选项B：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，错误. 选项C：集合与集合是同一个集合，正确. 选项D：方程组的解集为，错误. 故选：C. 3．若集合有且仅有 个真子集，则实数 的值是 （    ） A． B． 或 C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】分类讨论两种情况，当时，由集合有且仅有 个真子集，可知中，列方程求解即可. 【详解】集合有且仅有 个真子集， 则集合 只有一个元素， 当时，，得，真子集为， 满足有且仅有 个真子集. 当时，则中，， 即，得， 解得， 此时集合只有1个元素，真子集个数为1，符合题意 所以或. 故选：C. A．1 B． C． D． 4．已知集合，，，则集合P的真子集的个数是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先列举出集合P中的元素，再根据真子集个数的公式求值即可. 【详解】已知集合，，， 则时，时，，时，， 当时，时，，时，， 当时，时，，时，， 当时，时，，时，， 所以，共个元素， 所以集合P的真子集的个数为， 故选：D. 5．能正确表示集合和集合关系的Venn图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合得出，结合维恩图的应用即可得解. 【详解】，解得或，所以， 集合，所以， 故选：. 6．若集合，，且，则等于（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据集合相等元素相等，得到方程的根为，再根据韦达定理求得参数，即可求解. 【详解】因为集合，，且， 所以的解为， 根据韦达定理可知，，，解得， 所以，. 故选：C. 7．已知集合，若集合有个子集，则实数最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据子集的数量，确定集合的元素，再根据元素个数，确定参数范围. 【详解】集合有个子集，且集合所有元素为整数，说明集合M有2个元素，分别是1和2. 而，故得到. 即M的最小值为2. 故选：B. 8．集合，，则集合的真子集的个数为（ ） A．8 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】根据题意，用列举法表示出集合，再根据真子集的个数公式即可得出结果. 【详解】已知集合，， 所以，集合中有个元素， 所以集合的真子集的个数为个， 故选：C. 9．若，则，就称集合是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，是伙伴关系集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找出集合中满足伙伴关系的元素组，再根据这些元素组确定伙伴关系集合的个数. 【详解】因为，所以可单独存在，即−1与自身构成一组满足伙伴关系的元素， 则满足伙伴关系的元素组有，，三组， 由单个元素组构成的伙伴关系集合共3个， 由两个元素组构成的伙伴关系集合共3个, 由三个元素组构成的伙伴关系集合共1个, 所以伙伴关系集合的个数为个， 故选：C. 10．设整数，集合，令集合且三条件恰有一个成立，若 和 都在 中，则下列选项正确的是 （    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】采用特殊值排除法. 【详解】采用特殊值排除法 取，显然满足 和 都在 中. 此时, , 故A、C、D均错误. 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．已知集合，，且，则的值为 . 【答案】0 【分析】根据集合相等对应元素相等求解即可. 【详解】，，且， ，解得或者， 不满足集合中元素的互异性，舍去， 符合题意. 故答案为：0. 12．已知集合，，并且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据子集的概念求解即可. 【详解】由可知：是的子集， 因为集合，， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 13．设，，则 .（填“”“ ”“ ”或“”） 【答案】 【分析】先分析集合和中元素的特征，再分析与的关系. 【详解】由可知集合是由3的自然数倍减去1的数构成的， 即， ，可知集合是由3的非负偶数倍减去1的数构成的， 即， 所以包含且不等于，即， 故答案为：. 14．由实数，，，，所组成的集合中最多含 个元素，最少含 个元素. 【答案】2；1 【分析】先进行化简，然后通过取值判断集合中元素的个数至多和至少有多少个. 【详解】∵，，且当时，，当时，集合中有元素：，，∴由实数，，，，所组成的集合中最多含有2个元素，最少含有1个元素. 故答案为：2；1 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．设. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求的值. 【答案】 (1) (2) 或或. 【分析】（1）先求出集合，从而求出集合的所有子集； （2）根据分是否为0讨论即可. 【详解】（1）， 所以集合的所有子集为； （2）当时，，符合题意； 当时，要使，需满足或， 即或； 综上所述，或或. 16．已知集合，，其中，如果，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】结合题意分类讨论为空集和不是空集的情况，结合一元二次方程根与系数的关系即可得解. 【详解】由得，，， ，， ①当时，，解得， ②当或时，，解得， 当时，，解得，此时，符合题意； ③当时，，此不等式组无解； 综上所述，实数的取值范围是. 17．已知集合，且，，求集合B． 【答案】 【分析】根据相等集合的定义即可求解. 【详解】因为，所以均为偶数, 又，所以也均为偶数， 因为，所以，且至少有两个为偶数， ①当均为偶数，则集合，,不合题意； ②当有两个为偶数，若，则集合B中最大的元素为12， 所以集合C中最大的元素为12，所以， 此时集合，不合题意， 所以，此时集合B中最大的元素小于等于10，且， 所以，符合题意； 综上. 18．已知实数集R的子集S满足条件：①；②若，则．求证： (1)若，则S中必有另外两个元素； (2)集合S中不可能只有一个元素． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题设条件②求出集合的其它元素，即可证结论. （2）设S为单元素集可得，进而求参数a，即可判断S中是否可能只有一个元素． 【详解】（1）∵， ∴，同理：，， ∴S中还有-1，两个元素. （2）不妨设S为单元素集，则，整理得，解得， ∴S不可能为单个元素集合. 试卷第2页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：江苏省2026年职教高考一轮复习《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年职教高考数学真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》的第1卷，主要考查集合的概念、集合间的关系的掌握情况。 江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》 第1卷 集合的概念、集合间的关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．由英文单词“”中的字母构成的集合的子集个数为（   ） A．3 B．6 C．8 D． 2．下列说法正确的是（    ） A．某班级中的所有高个子同学能组成集合 B．空集是任何集合的真子集 C．集合与集合是同一个集合 D．方程组的解集为 3．若集合有且仅有 个真子集，则实数 的值是 （    ） A． B． 或 C． 或 D． 或 4．已知集合，，，则集合P的真子集的个数是（    ） A．4 B． C． D． 5．能正确表示集合和集合关系的Venn图是（   ） A． B． C． D． 6．若集合，，且，则等于（    ） A． B．2 C． D．1 7．已知集合，若集合有个子集，则实数最小值为（    ） A． B． C． D． 8．集合，，则集合的真子集的个数为（ ） A．8 B．6 C．7 D． 9．若，则，就称集合是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，是伙伴关系集合的个数是（   ） A． B． C． D． 10．设整数，集合，令集合且三条件恰有一个成立，若 和 都在 中，则下列选项正确的是 （    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知集合，，且，则的值为 . 12．已知集合，，并且，则实数的取值范围是 . 13．设，，则 .（填“”“ ”“ ”或“”） 14．由实数，，，，所组成的集合中最多含 个元素，最少含 个元素. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．设. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求的值. 16．已知集合，，其中，如果，求实数的取值范围. 17．已知集合，且，，求集合B． 18．已知实数集R的子集S满足条件：①；②若，则．求证： (1)若，则S中必有另外两个元素； (2)集合S中不可能只有一个元素． 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $